陕西省部分学校2023-2024学年高三上学期期中联考文科数学试题（含解析）

高三联考数学（文科）
考生注意：
1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.
2.请将各题答案填写在答题卡上.
第Ⅰ卷
一 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，若，则（ ）
A.1 B.-2 C.1或-2 D.0
2.已知，则（ ）
A. B. C. D.
3.为了得到函数的图象，可将函数的图象（ ）
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
4.已知向量均为单位向量，且，则（ ）
A. B. C. D.
5.已知是函数的极小值点，则（ ）
A. B. C.2 D.-2
6.已知等比数列满足，则（ ）
A.1 B.3 C.4 D.15
7.在四面体中，两两垂直，且，则四面体外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
8.小明准备将新买的《孟子》《论语》《诗经》3本书立起来随机地放在书架上，则《论语》《诗经》两本书相邻的概率为（ ）
A. B. C. D.
9.若函数在定义域内单调递增，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
10.如图，二面角的平面角的大小为，则（ ）
A. B. C. D.2
11.已知为坐标原点，分别是椭圆的左顶点 上顶点和右焦点，点在椭圆上，且，若，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
12.设函数是函数的导函数，，且恒成立，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.设满足约束条件则的最小值为__________.
14.某工厂生产甲 乙 丙三种不同型号的产品，产量分别为件，为检验产品的质量，用分层抽样的方法从以上产品中抽取一个容量为的样本，已知从乙产品中抽取了7件，则__________.
15.已知数列满足，则__________.
16.已知抛物线与直线交于两点，点在抛物线上，且为直角三角形，则面积的最小值为__________.
三 解答题：共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22 23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（12分）
人口结构的变化，能明显影响住房需求.当一个地区青壮年人口占比高，住房需求就会增加，而当一个地区老龄化严重，住房需求就会下降.某机构随机选取了某个地区的10个城市，统计了每个城市的老龄化率和空置率，得到如下表格.
城市 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和
老龄化率 0.17 0.2 0.18 0.05 0.21 0.09 0.19 0.3 0.17 0.24 1.8
空置率 0.06 0.13 0.09 0.05 0.09 0.08 0.11 0.15 0.16 0.28 1.2
并计算得.
（1）若老龄化率不低于，则该城市为超级老龄化城市，根据表中数据，估计该地区城市为超级老龄化城市的频率；
（2）估计该地区城市的老龄化率和空置率的相关系数（结果精确到0.01）.
参考公式：相关系数.
18.（12分）
的内角的对边分别为.已知.
（1）证明：.
（2）若，求的面积.
19.（12分）
如图，在正四棱柱中，分别为的中点，.
（1）证明：平面.
（2）求四面体的体积.
20.（12分）
已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为.
（1）求双曲线的方程.
（2）已知双曲线的左 右顶点分别为，直线与双曲线的左 右支分别交于点（异于点）.设直线的斜率分别为，若点在双曲线上，证明为定值，并求出该定值.
21.已知函数.
（1）若，求曲线在处的切线方程；
（2）当时，证明：.
（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的方程为.
（1）求的普通方程和的直角坐标方程；
（2）若与相交于两点，点，求的值.
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若恒成立，求的取值范围.
高三联考数学参考答案（文科）
1.B 若，则或.当时，，不符合元素的互异性；当时，，符合题意.
2.A 因为，所以.
3.C ，故将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象.
4.B ，所以.
5.D 因为，所以.又是的极小值点，所以，解得.经检验知，当时，是的极小值点.
6.B 设的公比为.因为，所以，且，解得，则.
7.D 设四面体外接球的半径为，因为两两垂直，且，所以，则四面体外接球的表面积为.
8.C 不同的摆放方法有6种，其中《论语》《诗经》两本书不相邻的情况有2种，分别为论语》，《孟子》，《诗经》}，{《诗经》，《孟子》，《论语》}.故《论语》《诗经》两本书相邻的概率为.
9.D 因为在定义域内单调递增，所以解得.
10.A 如图，作点在平面的投影，作，垂足为，连接，因为二面角的平面角的大小为，所以，，则.
11.D 易知.
因为，所以，则，即，
所以.
12.D 令，则，则在上单调递增.因为，所以，则等价于，即，则.
13. 由约束条件作出的可行域（图略）可知，当直线经过点时，取得最小值-5.
14.20 由题可知，，解得.
15.4 因为，所以，所以，故.
16.1 设，则.因为为直角三角形，所以，即0.因为，所以.
17.解：（1）由表中数据可知，调查的10个城市中，老龄化率不低于的有4个，故估计该地区城市为超级老龄化城市的频率为.
（2），
则
.
故该地区城市的老龄化率和空置率的相关系数约为0.63.
18.（1）证明：因为，所以，
则.
又，所以，
故，即.
（2）解：由（1）可知，.
因为，所以，
则，
故的面积.
19.（1）证明：连接，在正四棱柱中，因为分别为的中点，所以，四边形为菱形，所以.
设，连接，由，得，所以，即.
因为平面平面，所以平面.
（2）解：因为为的中点，，所以.
又，所以平面.
，
20.解：（1）因为渐近线方程为，所以，即.
.
故的方程为.
（2）因为点在双曲线上，所以，即.
联立得.
.
.
.
.
因为，所以，所以.
.
故为定值，定值为.
21.（1）解：因为，所以.
，
故曲线在处的切线方程为，即
（2）证明：令，
则.
因为，所以.
令，则.
令，则.
当时，单调递增，故，即在上恒成立，则在上单调递增，则，即在上恒成立，则在上单调递增，
故，即.
22.解：（1）消去参数，得到的普通方程为.
由得到的直角坐标方程为.
（2）由（1）可知，点在上，将的方程转化为（为参数），
代入的普通方程得，
则，故.
23.解：（1）当时，不等式化为，解得.
当时，不等式化为，恒成立.
当时，不等式化为，解得.
综上所述，原不等式的解集为.
（2）因为，
所以恒成立等价于，
解得或，故的取值范围为.