第四章 指数函数与对数函数章末检测试题（含解析）

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第四章 指数函数与对数函数章末检测试题（解析）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生作答时，将所有答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．
2．选择题答案使用2AB铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，书写要工整、笔迹清楚，将答案书写在答题卡规定的位置上．
3．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效．
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.计算:( )
A.-1 B.1 C. D.
2.函数的定义域为（ ）
A.（0，2） B.[0,2) C.[1,2) D.[0,1)∪(1,2)
3.若,且x>0,则x=( )
A.5 B.4 C.3 D.2
4.已知函数,则函数f(x)的图象（ ）
A．关于原点对称 B．关于直线y=x对称 C．关于x轴对称 D．关于y轴对称
5.已知是上的减函数，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6.已知，则a,b,c的大小关系是（ ）.
A.a>c>b B.b>c>a C.b>a>c D.a>b>c
7.函数f(x)=1+log2x与g(x)=2-x+1在同一直角坐标系下的图象大致是(　 　)
8.函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点所在的大致区间是(　　)
A．(1，2) B．(0，1) C．(2，e) D．(3，4)
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.下列等式不一定正确的是
A． B．
C． D．
10.已知a，b均为正实数，若logab+logba＝，ab＝ba，则＝（　　）
A． B． C． D．2
11.关于函数f（x）＝|ln|2﹣x||，下列描述正确的有（　　）
A.函数f（x）在区间（1，2）上单调递增；
B.函数y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称；
C.若x1≠x2，但f（x1）＝f（x2），则x1+x2＝4；
D.函数f（x）有且仅有两个零点.
12.高斯是德国著名的数学家、近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数，例如：，．已知函数 ，则关于函数 的叙述中正确的是
A． 是偶函数 B． 是奇函数
C． 在 上是增函数 D． 的值域是
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A B，且实数a的取值范围是(c，＋∞)，则c＝________．
14.函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)的反函数g(x)过点(9,2)，则f(2)＝ .
15.已知函数f(x)=2-x+1,且g(x)=,则方程g(x)=2的解为 .
16.已知定义在上的偶函数和奇函数满足，且在上恒成立，则实数的取值范围为 .
四、解答题：本题共6道题，共70分.第17题10分亲，18题、19题、20题、21题、22题满分各12分.
17.（本题满分10分）
已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝.
(1)画出函数f(x)的图象；
(2)根据图象写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域．
18.（本题满分12分）
已知，函数．
(1)若，求不等式的解集；
(2)若方程的解集恰有一个元素，求的取值范围．
19.（本题满分12分）
已知函数 的图象过点 和点 ．
(1)求 的表达式；
(2)解不等式 ；
(3)当 时，求函数 的值域．
20.（本题满分12分）
某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过15万元时，按销售利润的10%进行奖励；当销售利润超过15万元时，若超过部分为A万元，则超出部分按
2log5（A＋1）进行奖励，没超出部分仍按销售利润的10%进行奖励．记奖金总额为y（单位：万元），销售利润为x（单位：万元）．
（1）写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数表达式；
（2）如果业务员老张获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
21.（本题满分12分）
已知定义在上的函数是偶函数．
(1)求a的值；
(2)判断函数在上的单调性并证明；
(3)解不等式：．
22.（本题满分12分）
已知f(x)为奇函数,g(x)为偶函数，且f(x)+g(x)=2log2(1-x).
（1）求f(x)及g(x)的解析式及定义域；
（2）若函数h(x)= 在区间(-1,1)上为单调函数，求实数k的范围；
（3）若关于x的方程有解，求实数m的取值范围.
试题解析
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.计算:( )
A.-1 B.1 C. D.
【答案】A
【解析】,故选A.
2.函数的定义域为（ ）
A.（0，2） B.[0,2) C.[1,2) D.[0,1)∪(1,2)
【答案】B
【解析】要使函数有意义，必有
解得,故选B.
3.若,且x>0,则x=( )
A.5 B.4 C.3 D.2
【答案】C
【解析】∵,且x>0,∴,即x+1=4,x=3,故选C.
4.已知函数,则函数f(x)的图象（ ）
A．关于原点对称 B．关于直线y=x对称 C．关于x轴对称 D．关于y轴对称
【答案】D
【解析】∵f(x)的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），对 x∈（-∞，0）∪（0，+∞）,,∴f(x)为偶函数，则函数f(x)图象关于y轴对称，故选D.
5.已知是上的减函数，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵是上的减函数,∴
解得, 故选B．
6.已知，则a,b,c的大小关系是（ ）.
A.a>c>b B.b>c>a C.b>a>c D.a>b>c
【答案】D
【解析】∵a=20.7>20=1,,∴a>b>c.故选D.
7.函数f(x)=1+log2x与g(x)=2-x+1在同一直角坐标系下的图象大致是(　　)
【答案】C
【解析】f(x),g(x)的图象都过点(1,1),g(x)的图象过点(0,2),只有C符合,故选C.
8.函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点所在的大致区间是(　　)
A．(1，2) B．(0，1) C．(2，e) D．(3，4)
【答案】A　
【解析】∵f(1)＝ln 2－2＝ln＜ln 1＝0，
f(2)＝ln 3－1＝ln＞ln 1＝0， ∴f(1)·f(2)<0
又∵f(x)＝ln(x＋1)－在区间(1,2)上单调递增，
∴函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点所在的大致区间是(1，2)
故选A.
选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.下列等式不一定正确的是
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】当x>0,y>0时， 正确，当x<0,y<0时，A不正确；对 ，当m=n=1或m=1,n=0等情况时成立；对任意m,n∈R,都成立； 成立的条件是x>0.故选ABD.
10.已知a，b均为正实数，若logab+logba＝，ab＝ba，则＝（　　 ）
A． B． C． D．2
【答案】AD
【解析】设t=，由logab+logba＝得,即2t2-5t+2=0,解得t=2,.当t=2时，即=2,a2=b,又∵ab＝ba，∴ab=a2a,b=2a,;当t=时，同理可得a=2b,=2.故选AD.
11.关于函数f（x）＝|ln|2﹣x||，下列描述正确的有（　　）
A.函数f（x）在区间（1，2）上单调递增；
B.函数y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称 ；
C.若x1≠x2，但f（x1）＝f（x2），则x1+x2＝4；
D.函数f（x）有且仅有两个零点.
【答案】ABD
【解析】函数f（x）＝|ln|2﹣x||的图象如图所示
由图可得，函数f（x）在区间（1，2）上单调递增，A正确；函数y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称，
B正确；若x1≠x2，但f（x1）＝f（x2），x1+x2的值不一定等于4，C错误；函数f（x）有且仅有两个零点，D正确.故选ABD.
12.高斯是德国著名的数学家、近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数，例如：，．已知函数 ，则关于函数 的叙述中正确的是
A． 是偶函数 B． 是奇函数
C． 在 上是增函数 D． 的值域是
【答案】BC
【解析】∵g(1)=[f(1)]=,g(-1)=[f(-1)]=,
∴g(1)≠g(-1),则g(x)不是偶函数，故A错误.
∵f(-x)+f(x)=,
∴ 是奇函数,故B正确.
∵ ,又y=ex在R上单调递增，
∴在R上单调递增，故C正确.
∵,,∴,则,即,
∴g(x)=[f(x)]∈{-1,0},则D错误.故选BC.
填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A B，且实数a的取值范围是(c，＋∞)，则c＝________．
【答案】4
【解析】∵log2x≤2＝log24，
∴0＜x≤4，即A＝{x|0＜x≤4}．
又B＝(－∞，a)，A B，∴a＞4.
又a的取值范围是(c，＋∞)，∴c＝4.
14.函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)的反函数g(x)过点(9,2)，则f(2)＝ .
【答案】9
【解析】由函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数的图象过点(9,2)，可得：y＝ax图象过点(2,9)，
所以a2＝9，又a>0，所以a＝3.所以f(2)＝32＝9.
15.已知函数f(x)=2-x+1,且g(x)=,则方程g(x)=2的解为x= .
【答案】3.
【解析】：当 x ≥ 0 时，g(x) = 2 log2(x + 1) = 2，解得 x = 3；
当 x < 0 时，g(x) = f(-x) = 2 x+1 = 2，解得 x = 0(舍)；
所以 g(x) = 2 的解为：x = 3．
16.已知定义在上的偶函数和奇函数满足，且在上恒成立，则实数的取值范围为 .
【答案】.
【解析】由题意，函数满足，①
因为定义在上的偶函数和奇函数满足，则，
即，②
由①②，解得．
又由在上恒成立，即在上恒成立，
即在上恒成立
又因为函数在上单调递减，所以，
所以，即实数的取值范围为．
四、解答题：本题共6道题，共70分.第17题10分，18题、19题、20题、21题、22题满分各12分.
17.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝.
(1)画出函数f(x)的图象；
(2)根据图象写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】 (1）先作出当x≥0时，f(x)＝的图象，利用偶函数的图象关于y轴对称，再作出f(x)在x∈(－∞，0)时的图象．
（2）函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0，1]．
18.已知，函数．
(1)若，求不等式的解集；
(2)若方程的解集恰有一个元素，求的取值范围．
【答案】（1）; （2）．
【解析】(1)当时，不等式，即，所以，解得，故不等式的解集为；
(2)由，可得，解得，，若，则，检验定义域，符合题意；若是原方程的解，则，；若是原方程的解，则，即．因为方程的解集恰有一个元素，所以实数的取值范围为．
19.已知函数 的图象过点 和点 ．
(1) 求 的表达式；
(2) 解不等式 ；
(3) 当 时，求函数 的值域．
【答案】(1);(2)（-1，3）;(3)[-7,18].
【解析】(1)由题意得,解得,则.
(2)由(1)得不等式 即为,
等价于,即,,
则不等式 解集为（-1，3）.
(3)由(1)得g(x)=,,
g(x)min=g(-1)=-7,g(x)max=g(4)=18,则g(x)的值域为[-7,18].
20.某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过15万元时，按销售利润的10%进行奖励；当销售利润超过15万元时，若超过部分为A万元，则超出部分按
2log5（A＋1）进行奖励，没超出部分仍按销售利润的10%进行奖励．记奖金总额为y（单位：万元），销售利润为x（单位：万元）．
（1）写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数表达式；
（2）如果业务员老张获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
【答案】⑴y＝；⑵39万.
【解析】1）由题意，得
y＝
（2）∵当x∈（0,15]时，0.1x≤1.5，
又y＝5.5>1.5，∴x>15，
∴1.5＋2log5（x－14）＝5.5，
解得x＝39．
答：老张的销售利润是39万元．
21.已知定义在上的函数是偶函数．
(1)求a的值；
(2)判断函数在上的单调性并证明；
(3)解不等式：．
【答案】(1) 1；(2)单调递减，理由见解析；(3)(-∞,2).
【解析】（1）依题意，函数，因是R上的偶函数，即，，
因此，，，
而当时，，于是得，
所以a的值是1.
（2）由（1）知，，函数在上单调递减，
，， ，
因，则，，，因此，，
即，所以函数在上单调递减.
(3)依题意，，
而，，
由（2）知，，解得，所以原不等式的解集是.
22.已知f(x)为奇函数,g(x)为偶函数，且f(x)+g(x)=2log2(1-x).
⑴求f(x)及g(x)的解析式及定义域；
⑵若函数h(x)= 在区间(-1,1)上为单调函数，求实数k的范围；
⑶若关于x的方程有解，求实数m的取值范围.
【答案】⑴f(x)=(-1⑵ （-∞，-4]∪[4,+∞); ⑶（-∞，0）.
【解析】(1)∵f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,
∴对于定义域内任意x,f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x).
又∵f(x)+g(x)=2log2(1-x)，
∴f(-x)+g(-x)=2log2(1+x),即-f(x)+g(x)=2log2(1+x),
则可得f(x)=(-1g(x)=(-1⑵由(1)得h(x)=,
∵函数h(x)在区间(-1,1)上为单调函数，
∴,即4或 4,
则实数k的取值范围为（-∞，-4]∪[4,+∞).
⑶由(1)知方程即为,
∴m=,
∵,,,
∴<0,即m的取值范围是（-∞，0）.
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