安徽省黄山市八校联盟2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含答案）

“八校联盟”2023-2024学年度第一学期期中考试
高二数学试题
（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上．
2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在试卷上无效．
3. 非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设点关于坐标原点的对称点是B，则等于
A．6 B. C. D.
2. 设为定点，，动点 满足 ，则动点的轨迹是
A. 线段 B. 直线 C. 圆 D. 椭圆
3. 已知直线l的一个方向向量为，直线l的倾斜角为，则的值为
A． B. 0 C. D. 2
4. 设,则是直线与直线平行的
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知点D在△ABC确定的平面内，O是平面ABC外任意一点，实数x，y满足，则的最小值为
A． B. C. 1 D.
6. 已知P是直线l：上一动点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A、B，则四边形PACB的外接圆的面积的最小值为
A. B. C. D.
7. 已知矩形的四个顶点都在椭圆 上，边和分别经过椭圆的左、右焦点，且，则该椭圆的离心率
A. B. C. D.
8. 《九章算术》是我国古代数学名著。书中将底面为矩形，
且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马。如图，在
阳马中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，
E、F分别为PD，PB的中点，，，
，若AG⊥平面EFC，则=
A． B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是
A．点关于直线的对称点为
B．过,两点的直线方程为
C．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
D．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
10. 如图，直三棱柱中，，，D、E分别为、的中点，则下列结论正确的是
A. ∥
B. 直线DE与平面所成角的正弦值为
C. 平面与平面ABC夹角的余弦值为
D. DE与所成角为
11. 已知AC为圆锥SO底面圆O的直径，，，点B为圆O上异于A、C的一点，M为线段SC上的动点（异于端点），则
A. 直线SB与平面SAM所成角的最大值为
B. 圆锥SO内切球的体积为
C. 棱长为的正四面体可以放在圆锥SO内
D. 当M为SC的中点时，满足的点B有2个
12. 如图所示。已知椭圆方程为，
F1、F2为左右焦点，下列命题正确的是
A. P为椭圆上一点，线段PF1中点为Q，则
为定值
B．直线与椭圆交于R , S两点，A是椭圆上异与R , S的点，且、均存在，则
C．若椭圆上存在一点M使，则椭圆离心率的取值范围是
D．四边形ABCD为椭圆内接矩形，则其面积最大值为2ab
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是
.
14. 已知P为圆上一点，则点到P点的距离的最大值为 .
15. 若关于的不等式的解集是，则值是________.
16. 半径为R的球面上有A、B、C、D四个点，，则的最大值为
.
四、解答题:本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
如图，三棱锥中，点D、E分别为和的中点，设，，.
（1）试用，，表示向量；
（2）若，，求异面直线AE与CD所成角的余弦值.
18.（本小题满分12分）
已知直线.
①若直线l不经过第二象限，求k的取值范围.
②若直线l与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，当△AOB的面积为时(O为坐标原点)，求此时相应的直线l的方程.
19.（本小题满分12分）
如图，△与△都是边长为2的正三角形，平面ABD平面ABC，EC平面ABC且.
（1）证明：CD平面ABE
（2）求平面CED与平面BDE的夹角的大小.
20.（本小题满分12分）
已知定点，动点满足，O为坐标原点.
（1）求动点M的轨迹方程
（2）若点B为直线上一点，过点B作圆M的切线，切点分别为C、D，若，求点B的坐标.
21.（本小题满分12分）
如图，在五面体ABCDEF中，底面ABCD为正方形，侧面CDEF为等腰梯形，二面角E-CD-A为直二面角，，.
（1）求点F到平面ABCD的距离；
（2）设P为线段BC的中点，点Q满足，若直线PQ与平面ADE及平面ABCD所成角相等，求的值.
22.（本小题满分12分）
椭圆的左右焦点分别为、，短轴端点分别为、．若四边
形为正方形，且．
（1）求椭圆标准方程；
（2）若、分别是椭圆长轴左、右端点，动点满足，点在椭圆上，且满足，求证定值（为坐标原点）；
（3）在（2）条件下，试问在轴上是否存在异于点的定点，使，若存在，求坐标，若不存在，说明理由．
“八校联盟”2023-2024学年度第一学期高二期中考试
数学试题参考答案及评分标准
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A A B D B A C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
题号 9 10 11 12
答案 AD ABC AC ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. () 14. 8 15. 2 16.
四、解答题:本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.解:（1）
…………………………………………………………………………4分
（2）由题意可得：
………………………………………………………………………………5分
………………………………………………………………………………6分
…………………………………………………………………………………………………8分
………………………9分
∴异面直线AE和CD所成角的余弦值为. …………………………10分
18.解：（1）解：由题意可知直线l：y=kx-2k+1 (k)
y=k（x-2）+1 易知直线l过定点（2,1） ………………………………………………2分
当直线l过原点时，可得k=
当k≥时，直线l不经过第二象限. ……………………………………………………4分
（2）解： 由题意可知k0, ∵直线l：y=kx-2k+1与x轴、y轴正半轴的交点分别是
A（2 , 0），B（0,1-2k） ………………………………………………………6分
SΔAOB=｜2-｜｜1-2k｜= ……………………………………………………7分
当k0时，由SΔAOB=得：
= ［(-4k+)+4］=
即：4k2+5k+1=0
∴k=-1或k= - ………………………………………………………………………10分
即：直线l的方程为y=-x+3或y=-x+ …………………………………………………12分
19.解：证明：取AB中点F，连接CF，DF
∵ΔABC，ΔABD都是正三角形
∴AB⊥CF，AB⊥DF，又CF∩DF=F
∴AB⊥面CDF
∴AB⊥CD …………………………………………………………………………………………2分
又平面ABC⊥平面ABD
∴DF⊥面ABC DF= …………………………………………………………………………………3分
又CE⊥面DBC 且EC＝
∵DF∥CE DF ＝CE DF⊥CF
∵CFDE是正方形 ∴CD⊥EF ………………………………………………………………………5分
又EF∩AB=F ∴CD⊥平面ABE. …………………………………………………………………6分
（2）由（1）知AB、CF，DF两两重直，
如图建立空间直角坐标系由于x轴垂直面CEDF
∴平面CDE的法向量为 ………………7分
又 B（1，0，0） D(0，0， ) E(O， ，)
∴＝（-1，0，） =(-1， ，) ………8分
设平面BDE的法向量n=(x，y，z)
则
令x=，n=(，0，1) ……………………………………………………………………10分
∴
∴平面CDE与平面BDE的夹角为 …………………………………………………………………12分
20. 解：（1）由题意得：=（x,y）=(x-4,y-2)
∴
……………………………………………………2分
即
∴M的轨迹方程为 ………………………………………………4分
（2）由题意可知：B为直线3x-y+3=0上一点，又BC、BD分别与圆M相切于点C、D,且BC⊥BD.
连接MC、MD,易知四边形BCMD为正方形. ………………………………………6分
∵四边形BCMD为正方形，且｜MC｜=｜MD｜=｜BC｜=｜BD｜=
∴｜BM｜= ………………………8分
设B（x,y）,则：
……………9分
解得或 ……………11分
∴B点的坐标为 或 ……………………………………………………12分
21.解：(1) 如图，过点F作FODC于点O，连接OA.
因为二面角ECDA为直二面角，所以平面CDEF平面ABCD，
又平面CDEF平面ABCD=CD，FO平面CDE，所以FO平面ABCD,
因为OA平面ABCD，所以FOOA. ………………………………………………………………2分
因为四边形CDEF为等腰梯形，AB=CD=2EF=4,
所以OD=3，所以AO=5 …………………………………………………………………4分
又AF=3，所以FO=，即点F到平面ABCD的距离为. ………………………………5分
(2) 以O为坐标原点，分别以OD，OF所在直线分别为x,z轴，过点O作平面CDEF的垂线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则A（3，4，0），D（3，0，0），E（2，0，），
F（0，0，），P（-1，2，0）， ………………………………6分
由==（-，-4，)，得Q(3-，4-4，)，
∴=(4-，2-4，)， ……………………………7分
设平面ADE的法向量为n=（x，y，），由=（0，4，0）,
=（-1，0，），，得，
令z=1，则n=（，0，1）. ……………………………………………………………………9分
又易知平面ABCD的一个法向量m=（，0，1）. …………………………………………10分
设直线PQ与平面ADE所成角为，与平面ABCD所成角为，
则，∴=， …………………………………………………………11分
整理得=，由=. …………………………………………………………12分
22.解：（1）依题证得且，∴ ………………………………2分
故椭圆方程为 ……………………………………………………………3分
②设方程为
联立方程组可得
解得 ……………………5分
∵ ∴P、C、M三点共线.
∴ ……………………………6分
又由得：.=0 即：MDDC
∴联立方程组可得 …………………………………………………7分
定值 ………………………………………………………9分
③设
…………………………………………………………………………10分
∴得
故 ……………………………………………………………………………………11分
也就是说存在一点满足条件． ……………12分
第8题图
第10题图
第12题图
O