11.3 角的平分线的性质自测(含答案)

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11.3 角的平分线的性质自测
夯实基础
一、耐心选一选，你会开心（每题6分，共30分）
1．如图1所示，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D、C，AD与BC相交于点P，若PA＝PB，则∠1与∠2的大小是（）
A.∠1＝∠2　　 　B.∠1＞∠2　　　　
C.∠1＜∠2　　　　　D.无法确定
2．△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB＝12cm，则△DBE的周长为（）
A、12cm　　　　B、10cm　　　　　C、14cm　　　　D、11cm
3．如图2所示，已知PA、PC分别是△ABC的外角∠DAC、∠ECA的平分线，PM⊥BD，PN⊥BE，垂足分别为M、N，那么PM与PN的关系是（）
A.PM＞PN　　　B.PM＝PN　　　C.PM＜PN　　　D.无法确定
4．如图3所示，△ABC中，AB=AC，AD是∠A的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，下面给出四个结论，其中正确的结论有( )
①AD平分∠EDF； ②AE=AF； ③AD上的点到B、C两点的距离相等
④到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
5． 如图，已知点D是∠ABC的平分线上一点，点P在BD上，PA⊥AB，PC⊥BC，垂足分别为A，C．下列结论错误的是（ ）．
A．AD=CP B．△ABP≌△CBP
C．△ABD≌△CBD D．∠ADB=∠CDB．
二、精心填一填，你会轻松（每题6分，共30分）
6．在直角△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD=8，则点D到斜边AB的距离等于_____________．
7．如图5所示，已知点C是∠AOB平分线上的一点，点P、P′分别在边OA、OB上，如果要得到OP＝OP′，需要添加以下条件中的某一个即可，请你写出所有可能结果的序号为___________________．①∠OCP＝∠OCP′；②∠OPC＝∠OP′C；③PC＝P′C；④PP′⊥OC．
8．如图，已知平分，平分，，且过点，若，，则的周长是 ．
9．如图，在△ABC中，∠C=900，AD平分∠CAB，BC＝8cm，BD＝5cm，那么D点到直线AB的距离是 cm．
10．如图所示：⑴若∠BAD＝∠CAD，且BD⊥AB于B，DC⊥AC于C，则BD＝CD，⑵若BD⊥AB于B，DC⊥AC于C，且BD＝CD，则∠BAD＝∠CAD，试利用上述知识，解决下面的问题：三条公路两两相交于A、B、C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路距离相等，问可供选择的地方有 处．
三、细心做一做，你会成功（共40分）
11．已知：AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BD＝CD，求证：∠B＝∠C.
12．如图，已知在△中，，点是斜边的中点，， 交于．
求证：平分．
13． 先作图，再证明．
（1）在所给的图形（如图）中完成下列作图（保留作图痕迹）
①作的平分线，交于点；
②延长到点，使，连结．
（2）求证：．
综合创新
14．如图，△ABC中，P是角平分线AD，BE的交点．
求证：点P在∠C的平分线上．
15．已知：如图，，是的中点，平分．
（1）若连接，则是否平分？请你证明你的结论．
（2）线段与有怎样的位置关系？请说明理由．
中考链接
16．（2007广东茂名）的角平分 线AD交BC于 点D，，则点D到AB的距离是（　　）
A．1　 B．2 　　 C．3 　　　　 D．4
17． (2007广东)到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（　　）
Ａ．三条中线的交点 Ｂ．三条高的交点
Ｃ．三条边的垂直平分线的交点 Ｄ．三条角平分线的交点
18．（2006年镇江）⑴如图，已知△ABC，∠C＝90°.按下列语句作图（尺规作图，保留作图痕迹）：
①作∠B的平分线，与AC相交于点D；②在AB边上取一点E，使BE＝BC ( http: / / www.1230.org )
③连接ED;⑵根据所作图形，写出一组相等的线段和一组相等的锐角.
（不包括BE＝BC，∠EBD＝∠CBD）
答：________________________________________________．
参考答案
夯实基础
1．选A，提示：∵AD⊥OB，BC⊥OA，PA＝PB，由角平分线的判定可知∠1＝∠2．
2．选A；提示：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，易得△ACD≌△AED，∴CD＝DE，AE＝AC，∴△DBE的周长＝DE＋EB＋DE＝CD＋DB＋EB＝BC＋EB＝AC＋EB＝AE＋EB＝AB＝12cm．
3．选B，提示：过P作PT⊥AC于T，因为PA平分∠DAC，PM⊥BD，∴PM＝PT，又PC平分∠ACE，PT⊥AC，PN⊥BE，∴PN＝PT，∴PM＝PN．
4．选D，提示：①②③④都正确．
5．A
6．8，提示：根据角平分线的性质可得D到斜边AB的距离为8．
7．①、②、④
8．26
9．由∠C＝90°，AD平分∠CAB，可作DE⊥AB于E，所以D点到直线AB的距离是DE的长，由角平分线的性质可知DE＝CD．又BC＝8cm，BD＝5cm，所以DE＝CD＝3cm．所以D点到直线AB的距离是3cm．
10．四处．
提示：如图2所示：⑴作出△ABC两内角的平分线，其交点为O1；⑵分别作出△ABC两外角平分线，其交点分别为O2，O3，O4，故满足条件的修建点有四处，即O1，O2，O3，O4．
11．因为AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，所以DE＝DF，在Rt△DEB与Rt△DFC中，BD＝CD，DE＝DF，所以Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），所以∠B＝∠C．
12．是的中点，，
，，．
又，，，
又，（），
，平分．
13．证明：（1）作图略；
（2），，
为等腰直角三角形，．
又平分．．
．．
综合创新
14．如图，过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，垂足分别为M、N、Q．∵P在∠BAC的平分线AD上，∴PM=PQ．P在∠ABC的平分线BE上，∴PM=PN．∴PQ=PN，∴点P在∠C的平分线．
15．（1）平分．
证明：过点作，垂足为．
，，，
（角平分线上的点到角两边的距离相等）．
又，．
，，
平分（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．
（2），理由如下：
，
（垂直于同一条直线的两条直线平行）．
（两直线平行，同旁内角互补）
又，（角平分线定义）
，，
．即．
中考链接
16．B
17．D
18．⑴作出∠B的平分线，标出交点D；标出点E，连接ED；
⑵写出DE＝DC，∠BDE＝∠BDC或∠ADE＝∠ABC．
A
C
P
B
D
O
1
2
图1
D
M
A
B
C
N
P
E
图2
D
B
C
A
E
F
图3
A
B
C
D
P
Ｏ
Ａ
Ｍ
Ｂ
Ｃ
Ｎ
E
B
D
C
A
A
F
C
D
E
B
Ｂ
Ｄ
Ａ
Ｅ
Ｃ
Ｂ
Ａ
Ｃ
A
B
C
D
E
P
2
1
3
4
Ｄ
Ｃ
Ｍ
Ｂ
Ａ
A
C
B
A
O3
O2
O1
O4
B
C
图2
2
1
3
4
Ｄ
Ｃ
Ｍ
Ｂ
Ａ
Ｅ
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