贵州省黔西南州重点学校2023-2024学年高一上学期第三次质量检测数学试题（含解析）

2023-2024学年度第一学期第三次质量检测试题
（年级：高一年级 科目：数学）
一、单选题（每题5分）
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．命题：“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知是定义在上的奇函数，满足且，则（ ）
A．4 B．-4 C．1 D．-1
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
7．数学上有两个重要的函数：狄利克雷函数与高斯函数，分别定义如下：对任意的，函数称为狄利克雷函数；记为不超过的最大整数，则称为高斯函数，下列关于狄利克雷函数与高斯函数的结论，错误的是（ ）
A． B．
C． D．的值域为
8．已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每题5分）
9．下列式子中正确的是（ ）
A． B．若，则
C．若，则 D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．命题“，都有”的否定是“，使得”
B．当时，的最小值为
C．若不等式的解集为，则
D．“”是“”的充分不必要条件
11．设奇函数与偶函数的定义域均为，且在区间上都是单调增函数，则（ ）
A．不具有奇偶性，且在区间上是单调增函数
B．不具有奇偶性，且在区间上的单调性不能确定
C．是奇函数，且在区间上是单调增函数
D．是偶函数，且在区间上的单调性不能确定
12．下列命题正确的有（ ）
A．定义域为，则的定义域为
B．是上的奇函数
C．函数的值域为
D．函数在上为增函数
三、填空题（每题5分）
13．计算： ．
14．若函数的定义域为，则的定义域为 ．
15．已知是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围为 ．
16．若，则的值为 .
四、解答题（17题10分，其余每题12分）
17．已知幂函数为偶函数.
(1)求的解析式；
(2)若，求实数的取值范围.
18．已知函数，且，．
(1)求a，b的值，并写出的解析式；
(2)设，求在的最大值和最小值．
19．已知函数是定义域上的奇函数，且．
(1)判断并证明函数在上的单调性；
(2)令函数，若在上有两个零点，求实数的取值范围．
20．已知，命题：，命题：函数在上存在零点.
(1)若是真命题，求的取值范围；
(2)若，中有一个为真命题，另一个为假命题，求的取值范围.
21．某手机生产企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且.由市场调研知，每部手机售价0.6万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.
(1)求出2023年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数解析式（利润＝销售额－成本）；
(2)2023年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
22．已知函数是偶函数.
(1)求的值;
(2)设 ，，若对任意的 ，存在，使得，求的取值范围.
参考答案：
1．A
【分析】直接利用集合的交运算法则进行运算即可.
【详解】因为集合，
故，
故选：
2．C
【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可得解.
【详解】因为命题“，”为全称命题，
所以“，”的否定为：“，”，
故选：C.
3．D
【分析】根据函数有意义求解即可.
【详解】由题意，，解得，且，
所以函数的定义域为.
故选：D.
4．D
【分析】利用函数的周期性和奇偶性求函数值.
【详解】由，可知周期为4，又是定义在上的奇函数，
所以.
故选：D.
5．C
【分析】根据指、对数函数单调性结合中间值“1”分析判断.
【详解】因为，
可知，
且在定义域内单调递减，则，即，
所以.
故选：C.
6．D
【分析】方法一：根据函数的奇偶性及函数值的符号排除即可判断；方法二：根据函数的奇偶性及某个函数值的符号排除即可判断.
【详解】方法一：因为，即，所以，
所以函数的定义域为，关于原点对称，
又，所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，
故排除；
当时，，即，因此，故排除A.
故选:D.
方法二：由方法一，知函数是奇函数，其图象关于原点对称，故排除；
又，所以排除A.
故选：D.
7．C
【分析】利用狄利克雷函数与高斯函数的定义，逐项推理判断即得.
【详解】由高斯函数的定义知，都是整数，即都是有理数，所以，A正确；
若为有理数，则也是有理数，；若为无理数，则也是无理数，，B正确；
取，则，C错误；
的值域是，所以的值域为，D正确．
故选：C
8．B
【分析】根据函数由复合而成，结合复合函数的单调性判断在区间上是增函数，即可求得答案.
【详解】由题意知函数由复合而成，
在R上是单调递减函数，故由在区间上是减函数，
可知在区间上是增函数，故，
即实数的取值范围是，
故选：B
9．AD
【分析】根据指对数互化以及指对数的运算性质判断四个选项即可.
【详解】对于A，，，故A正确；
对于B，，则，故B错误；
对于C，，则，故C错误；
对于D，，故D正确，
故选：AD.
10．BCD
【分析】结合含有量词的命题的否定检验选项A，结合基本不等式检验选项B，结合二次不等式的解集与二次方程根的关系检验选项C，结合不等式的性质检验选项D．
【详解】对于，命题“，都有”的否定是“，使得”，故A错误；
对于B，因为，且，
当且仅当即时取等号,故B正确；
对于C，由不等式的解集为，
可知，，，
，，，故C正确
对于D，由“”可推出“”，由可得或，推不出“”，故D正确．
故选:BCD．
11．ABD
【分析】根据，的单调性和奇偶性逐项判断即可.
【详解】，在区间上都是单调增函数，单调增，单调性没有办法确定，C错.
因为为奇函数，为偶函数，所以不具有奇偶性，A，B正确.
，所以为偶函数，
令，设任意，则，而所在区间无法确定，
故的正负无法判断，所以单调性不能确定，D正确.
故选：ABD.
12．AD
【分析】利用复合函数的定义域判断A；利用奇函数的定义判断B；利用二次函数的性质判断C；利用对勾函数的性质判断D.
【详解】对于A，由得，则的定义域为，故A正确；
对于B，∵，，∴，
则不是上的奇函数，故B错误；
对于C，的对称轴是，则当时，，
则函数的值域为，故C错误；
函数为对勾函数，在上为增函数，故D正确.
故选：AD.
13．/
【分析】根据根式的性质及幂的运算法则计算可得.
【详解】
.
故答案为：
14．
【分析】根据抽象函数定义域的求法计算即可.
【详解】因为的定义域为，则，
所以的定义域为.
故答案为：.
15．
【分析】根据分段函数、一次函数与对数函数的单调性，建立不等式组，可得答案.
【详解】由题意可得，解得.
故答案为：.
16．14
【分析】两边平方求出答案.
【详解】，两边平方得，
即，解得.
故答案为：14
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用幂函数的定义求参数m，然后利用偶函数即可求解解析式.
（2）利用幂函数单调性解不等式即可，注意定义域的限制.
【详解】（1）由于函数是幂函数，故，
解得或，
当时，不是偶函数，不合题意；
当时，是偶函数，符合题意.故.
（2）由（1）知，则原不等式化为，
结合幂函数在上为增函数，得，
解得，即实数的取值范围为.
18．(1)，，
(2)最大值为，最小值为．
【分析】（1）根据，列出方程组，解出的值，进而可得的解析式；
（2）先求出，然后利用换元法，结合二次函数的知识可求出结果．
【详解】（1）由，得，
解得，．且．
所以a，b的值分别为1，2，的解析式为．
（2），
令，则由得，
所以变为，．
对称轴为直线，，
所以当，即时，；
当，即时，．
综上时，的最大值为，最小值为．
19．(1)函数在上单调递减，在上单调递增，证明见解析
(2)
【分析】（1）由是奇函数，可知，，进而列出关系式，求出，即可得到函数的解析式，然后利用定义法，可判断并证明函数在上的单调性；
（2）由函数在上有两个零点，整理得方程在上有两个不相等的实数根，进而可得到，求解即可；
【详解】（1），且是奇函数，，
，解得，
，
检验，由解析式可知，函数的定义域为，关于原点对称，
且，
所以是奇函数，满足要求；
函数在上单调递减，在上单调递增，
证明如下：任取，且，
则，
，且，
，，
∴，
，即，
函数在上单调递减.
同理可证明函数在上单调递增．
（2）函数在上有两个零点，
即方程在上有两个不相等的实数根，
所以在上有两个不相等的实数根，
则，解得，即实数的取值范围为.
20．(1)
(2)或
【分析】（1）解一元二次不等式，即可得答案；
（2）求出为真命题时m的取值范围，再分类讨论命题，的真假，即可求得答案.
【详解】（1）因为是真命题，所以成立，解得；
（2）若为真命题，则函数在上存在零点，
则方程在上有解，
因为，该方程在有解时两解同号，所以方程在上有两个正根，
则，得，
若为真命题，为假命题，得，
若为假命题，为真命题，得，
所以的取值范围为或.
21．(1)
(2)2023年产量为100（千部）手机时，企业利润最大，最大利润为7000万元
【分析】（1）根据题意先得到每生产（千部）手机的投入成本，再由利润＝销售额－成本求解；
（2）根据（1）的结果，分，，分别利用二次函数和基本不等式求解.
【详解】（1）解：由题意知：每生产（千部）手机，
投入的成本，
∴，
即；
（2）当时，，
∴当时，；
当时，
（当且仅当，即时取等号），∴；
综上：2023年产量为100（千部）手机时，企业利润最大，最大利润为7000万元.
22．(1)
(2)
【分析】（1）由偶函数的性质即可求解的值；
（2）由题意可得在上的最小值不小于在上的最小值，分别求出和的最小值，即可求解.
【详解】（1）因为是偶函数，
所以，
即，
，
，
，
，
，
，
，
所以，即.
（2），
因为对任意的 ，存在，使得，
所以在上的最小值不小于在上的最小值，
因为在上单调递增，
所以，
因为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，解得，
所以的取值范围为.