永春一中高二年级期中考试数学科试卷（2023.11）
考试时间 120 分钟，试卷总分 150 分
一、单选题
1．已知圆的方程 x2 y2 2ax 9 0圆心坐标为 (5,0)，则它的半径为（ ）
A．3 B． 5 C．5 D．4
2．图中的直线 l1, l2 , l3的斜率分别为 k1,k2 ,k3，则有（ ）
A． k1 k2 k3 B． k1 k2 k3
C． k1 k3 k2 D． k3 k1 k2
3．已知向量 a 3, 2,5 ，b 1, x, 1 且a b，则 x的值为（ ）
A．4 B．2 C．3 D．1
4．在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中，M为 AC与 BD的交点，若 A1B1 a，A1D1 b，
A A c
1 ，则下列向量中与B1M 相等的向量是（ ）．
1 a 1
b c 1 a 1
A． B． b c2 2 2 2
1 a 1
b c 1 1
C． 2 2 D．
a b c
2 2
x2 25 y．已知椭圆C : 0, 22 2 1(a b 0)经过点 ，当 k变动时，C截得直线 y kx的最大弦长为4 2，则Ca b
的方程为（ ）
x 2 y 2 x2 2A． 1 B y． 1
8 4 4 2
x2 y2 x2 y2C． 1 D． 1
32 2 32 4
6．一束光线从点 A 3,3 射出，沿倾斜角为150 的直线射到 x轴上，经 x轴反射后，反射光线所在的
直线方程为（ ）
A． y 3x 2 B． y 3x 2
C． y 3 x 2 D y 3 ． x 2
3 3
7．已知圆C : x2 y 2 8x 12 0，点 P在圆C上，点 A 6,0 ，M 为 AP的中点，O为坐标原点，则 tan MOA
的最大值为（ ）
A 6 7 6． B． C． D 6．
12 12 4 3
高二年数学科试卷，第 1页（共 4页）
{#{QQABYQyAogCAQAAAARgCAQnqCgEQkBGACIoOgBAAsAAAARFABAA=}#}
8．如图，已知椭圆C1和双曲线C2具有相同的焦点 F1 c,0 ， F2 c, 0 ，A、B、C、D是它们的公共点，
且都在圆 x2 y2 c2上，直线 AB与 x轴交于点 P，直线CP与双曲线C2交于
点Q 2 5，记直线 AC、 AQ的斜率分别为 k1、 k2，若椭圆C1的离心率为 ，5
则 k1 k2的值为（ ）
2 4A．2 B． 3 C． 3 D．4
二、多选题
9．直线 l过点P 1,2 且斜率为 k，若与连接两点 A 1, 3 ，B 3, 2 的线段有公共点，则 k的取值可以
为（ ）
A． 2 B．1 C．2 D．4
10．在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E,F 分别是 A1D1和C1D1的中点，则下列结论正确的是（ ）
A． A1C1 //平面CEF B． B1D 平面CEF
C CE 1． DA DD1 DC D．点D与点B1到平面CEF的距离相等2
11．已知 x、 y满足 x2 y2 6x 2y 1 0，则（ ）
A y 6 2 4． x2 y2的最小值为 10 3 B． x 的最大值为 1 7
C． x 2y的最小值为1 3 5 D x 3 2． y 1 2 x2 y 3 2 的最小值为5
12．月光石是由两种长石混合组成的具有月光效应的长石族矿物.某月光石的截面曲线可近似看成由半
圆和半椭圆组成.圆的半径 椭圆的短半轴长都为 1，椭圆的焦距为 2, A,B是曲线上不同的两点，O为坐
标原点， ABO的面积为 S ABO，则（ ）
A．线段 AB的最大值为1 2
B．若 A,B 1在半圆上，则 S ABO的最大值为 2
C．当 AB x轴时， S ABO的最大值为 2
D A,B 2．若 在半椭圆上，当 S 时， OA OB ABO 取得最大值 62
三、填空题
13 2．抛物线 x 2py p 0 上的点 x , 7 到焦点的距离为10，则 p 0 .
14．已知点 A 0,5 ，B 1, 2 ，C 3, 4 ，D 2,a 四点共圆，则a .
15．已知直线 l与圆O：x2 y2 4交于 A x1, y1 ，B x2 , y2 两点，且 AB 2 3，则 3x1 4y1 10 3x2 4y2 10
的最大值为 .
高二年数学科试卷，第 2页（共 4页）
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16．在长方体 ABCD A1B1C1D1中，DD1 2DA 2DC 2,E ,F 分别是棱 AB,CC1上的动点（不含端点），且
AE CF，则三棱锥 A1 DEF体积的取值范围是 .
四、解答题
2 2
17 x y．如图，若 F1,F2是双曲线 1的两个焦点.9 16
（1）若双曲线上一点 M到它的一个焦点的距离等于 16，求点 M到另一个焦点的距离；
（2）若 P是双曲线左支上的点，且 | PF1 | | PF2 | 32，试求△F1PF2的面积.
18．已知 ABC的三个顶点是 A 1, 2 ，B 2, 2 ，C 3,5 .
(1)求边 AC上的高所在直线的方程；
(2)求 BAC的角平分线所在直线的方程.
19．如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB AD 1， AA1 2，点 E、 F分别为 AA1、 A1D1的中点．
（1）证明： AC1 平面 BDE；
（2）求二面角 F BE D的余弦值．
高二年数学科试卷，第 3页（共 4页）
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20．已知圆C C 2 2，圆 1： x 3 y2 9，圆C2： x 1 y2 9，这三个圆有一条公共弦.
(1)当圆C的面积最小时，求圆C的标准方程；
(2)在（1）的条件下，直线 l同时满足以下三个条件：
（i）与直线 19x y 3 0垂直；（ii）与圆C相切；（iii）在 y轴上的截距大于 0，
若直线 l与圆C2交于D， E两点，求 DE .
21．如图，在四棱锥P ABCD中，底面 ABCD是边长为 2的正方形，侧面 PAD为等边三角形，顶点 P在
底面上的射影在正方形 ABCD外部，设点 E， F分别为 PA，BC的中点，连接 BE， PF .
(1)证明： BE / /平面 PDF；
(2) 4 2若四棱锥P ABCD的体积为 ，设点G为棱 PB上的一个动点（不含
3
端点），求直线 AG与平面PCD所成角的正弦值的最大值.
2
22．已知F1、 F x分别为椭圆 : y22 1的左、右焦点，M为 上的一点.4
(1)若点 M的坐标为 1,m m 0 ，求△F1MF2的面积；
3
(2)若点 M的坐标为 0,1 ，且直线 y kx k R 与 交于不同的两点 A、B，
5
求证：MA MB为定值，并求出该定值；
(3)如图，设点 M的坐标为 s,t 2，过坐标原点 O作圆M : x s y t 2 r 2（其
中 r为定值，0 r 1且 s r）的两条切线，分别交 于点 P，Q，直线 OP，
OQ的斜率分别记为 k1，k2 .如果 k1k2为定值，求 OP OQ 的取值范围，以及 OP OQ 取得最大值时圆 M的
方程.
高二年数学科试卷，第 4页（共 4页）
{#{QQABYQyAogCAQAAAARgCAQnqCgEQkBGACIoOgBAAsAAAARFABAA=}#}高二年级数学科参考答案：
2a 2 2
1．D 详解：由题得 5, a 5. 10 0 4 9 8所以圆的半径为
2 4.2 2
2．C 【详解】由图象可得， k1 0 k3 k2 ，
3．A 因为 a b，所以 a b 0，因为向量 a
( 3, 2,5)，b (1, x, 1)，所以 a b 3 2x 5 0 ，解得 x 4，
所以 x的值为 4，故选：A．
ABCD ABC D BM 1 1
1
4．A 因为在平行六面体 1 1 1 1中， B 1D1 1 1 ， BD AD A A AB2 2 2
1 1 1
所以 B1M B1B BM A1A 2
A1D1 A1B1 A B AD 1 1 2 1 1 2 1 1 A 1A a b c . 2 2
2 2
5．A 由题意可得b 2 x y， 2a 4 2 ，所以 a2 8,b2 4，所以椭圆方程为 1 .
8 4
6 D 3． 倾斜角为150 的直线，斜率为 ，所以入射光线为
3
y 3 3 x 3 3 x 1, y 3 x 2 ，令 y 0，解得 x 2 3，所以入3 3 3
射光线与 x轴的交点为 2 3,0 3，反射光线的斜率为 ，设反射光线的方程为
3
y 0 3 x 2 3 , y 3 x 2.3 3
7 2．A 由题意知圆C的方程为 x 4 y2 4，设P x ,y0 0 ，M x, y ，
6 x0
x, 2 x0 2x 6,
则 P
0 y
,所以 ,又 在圆C上， 0 y, y0 2y,
2
2
所以 x 4 y20 0 4，
即 2x 10 2 2y 2 4，即M 的轨迹方程为 x 5 2 y 2 1 .如图所示，
当OM
2
与圆 x 5 y 2 1相切时， tan MOA取得最大值，
此时 OM 25 1 2 6， tan MOA
1 6
，所以 tan MOA 6的最大值为 .
2 6 12 12
x2 y2 2 28．B 设椭圆标准方程为 2 2 1 a b 0
x y
，双曲线的标准方程为 2 2 1，a b s t
则 a2 b2 c 2 5
4
s2 t 2 c2，由 ， 4a2 5c2 ,c2 a2，
a 5 5
2 2 2 1 2 2 2
所以b a c a ,a 5b ，所以椭圆方程可化为 x2 5y2 a2，
5
答案第 1页，共 8页
{#{QQABYQyAogCAQAAAARgCAQnqCgEQkBGACIoOgBAAsAAAARFABAA=}#}
x2 5y2 a2 15 1
由 2 2 2 ，两式相减得 4y
2 a2 c2 b2 , y 1 b 1 15 15，x2 c2 b2 b2x y c ,x b
，则 A b, b ，
2 4 4 2 2 2
根据对称性可知 A,C
15 1 15 1 15
关于原点对称， A,B关于 x轴对称.则 B b, b ,C b, b ,P b, 0 ，
2 2 2 2 2
1 b 2 2 2 2直线CP的方程为 y 2 x 15b 1
15
x
15
b .将 A b,
1 b x y 15b b 代入 1得 1，
15b 2 2 15 2 2 2 s
2 t 2 4s2 4t 2
15b2 b2
1
由 4s2 4t 2 ，解得 s2 3b2或 s2 5b2，而 a2 5b2， s a，所以 s2 3b2，
s2 t 2 a2 b2 2 4b
2 2
所以 t 2 2 2 2
x y
4b 3b b ，所以双曲线方程可化为 2 2 1，3b b
x2 y2
3b2
2 1
b
由 消去 y并化简得 2 2 ，
y 1
x 15
76x 4 15bx 255b 0
b 2 15
2
17 15 1 17 15 1
设Q x0 , y0 ，解得 x b, y b，所以Q b, b0 0 ，38 38 38 38
1 b 1b 1 b
所以 k1 kAC , k
10 2
k 2 38 , k
15b 15 2 AQ 15 17 15 15 1
k2 3 .
b b
2 38
3 2 5 2 2
9．AD 要使直线 l与线段 AB有公共点，则需 k kPA或 k kPB，而 kPA ， k 2，所 1 1 2 PB 3 1
5
以 k 或 k 2，所以 k的取值可以为 2或 4，
2
10．AC 对 A，因为 E,F分别是 A1D1和C1D1的中点故 EF / /A1C1，故 A1C1 //平面
CEF成立. 对 B，建立如图空间直角坐标系，
设正方体 ABCD A1B1C1D1边长为 2则 B1D ( 2, 2, 2) ，FC (0,1, 2) .故
B1D FC 0 1 4 3 0 .故 B1D, FC不互相垂直.又CF属于平面CEF .故 B1D 平面CEF不成立. 对 C，
1
CE (1, 2,2)， DA DD DC
1
1 (2,0,0) (0,0, 2) (0, 2,0) .
2 2
1 DA DD1 DC (1, 2,2)，故CE
1
DA DD1 DC成立.
2 2
对D，点D与点 B1到平面CEF的距离相等则点D与点 B1中点O在平面CEF上.连接 AC, AE易得平面CEF即
平面CAEF .又点D与点 B1中点O在 A1ACC1上，故点O不在平面CEF上.故 D不成立.
答案第 2页，共 8页
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11．BCD 方程 x2 y2 6x 2y 1 0 2 2可变形为 x 3 y 1 9，则方程 x2 y2 6x 2y 1 0表示的曲
线是以C 3, 1 2 2为圆心，以3为半径的圆，对于 A选项，设点 P x, y ，则 x y 表示圆C上的点 P到原点O
0 3 2的距离的平方，因为 0 1 2 9，则原点O在圆C外，所以，
OP OC 3 32 1 2 3 10 3，min
2
当且仅当 P为线段OC与圆C的交点时， OP 2取最小值，所以， x y2的最小值为 10 3 19 6 10，
y
故 A错误；对于 B选项，设 k，则 kx y k 0，由题意知直线 kx y k 0与圆C有公共点，
x 1
3k 1 k
则 3
y
，即
2 7k
2 8k 8 0 4 6 2 k 4 6 2 6 2 4 ，解得 ，即 的最大值为 ，故 B正确；
k 1 7 7 x 1 7
3 2 t
对于 C选项，设 x 2y t，即 x 2 y t 0，由题意知直线 x 2 y t 0与圆C有公共点，所以 3，
5
2 2
解得1 3 5 t 1 3 5，故 x 2y的最小值为1 3 5，故 C正确；因为 x 3 y 1 9，所以
x 3 2 y 1 2 x2 y 3 2 3 x2 y 3 2 ，代数式 x2 y 3 2 表示点 P到点M 0,3 的距离，
因为 0 3 2 3 1 2 9，所以，MP MC 3 0 3 2 3 1 2 3 5 3 2，min
当且仅当点 P为线段MC与圆C的交点时， MP 取最小值，
2 2
所以， x 3 y 1 x2 y 3 2 的最小值为3 2 5，故 D正确.
2
12．ABD 2 2由题意得，圆的方程为： x y 1 1 x 0 x，椭圆方程为 y2 1
2 0 x 2 ，
当 A,B在 x轴上时，线段 AB的最大值为1 2，故A正确；
1 1 1
设 AOB ，则 S ABO OA OB sin sin ，当且仅当 时，等号成立，故 B正确；2 2 2 2
2 2
当 AB x轴时，设直线 AB的方程为 y m, 1 m 1
A 1 m ,m ,B 2 1 m ,m
， ，则
2 1 2 1 2 2
AB 2 1 1 m2 ，所以 S 1 ABO AB m 1 m2 m2 ，当且仅当1 m m ，即2 2 4
m 2 时，等号成立，故 C错误；
2
当 A,B在半椭圆上，直线 AB斜率存在时，设直线 AB： y kx m， A x1, y1 ,B x2 , y2 ，
答案第 3页，共 8页
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y kx m
22 1 2k 2 2由 x ，得 x 4kmx 2m
2 2 0 4km 2m 2
2 ，得 x1 x y 1 0 x 2 2
2 , x x 1 2k 1 2 1 2k 2
，
2
y y k x 2m m
2 2k2
1 2 1 x2 2m , y y k2 x x km x x m2 ，1 2k 2 1 2 1 2 1 2 1 2k 2
1 k 2 16k 2 8m2 8 m则 AB 1 k 2 x1 x 2 4x x ，点O到直线 AB的距离 d ，2 1 2 21 2k 2 1 k
1 1 1 k 2 16k 2 8m2 8 m m 4k 2 2m 2 2 1由 S ABO AB d 2 2 ，解得m k 2 ，2 2 1 2 k 2 1 k 2 1 2 k 2 2 2
则 |OA |2 |OB |2 x2 2 2 21 x2 y1 y2 x x
2 2x x y y 21 2 1 2 1 2 2y1y2，
4km 2
2 2 2 2 4 4 2
4m 2 4
2
2m 2m 2 4k 2 4k m 2m 4 12k 8k 12k 12 k 3 3 2 2 2 2 ， 2 2 2 2 ，所以 1 2k 1 2k 1 2k 1 2k 1 2k 1 2 k
OA |2 OB |2 x 2
OA OB 2 6 .当直线 AB的斜率不存在时，设 AB：x x0 0 x0 2 , AB 2 1 0 ，2 2
1 1 x 2S 0 2 ABO AB x 2 1 x
由 2
0 2 2 0 2 ，解得 x0 1，则
y 2 , y 2A B , OA OB x
2
0 y
2 x 2 2 ，故 D正确.
2 2 A 0
yB 6
13 6 x2 2py p 0 y p x2． 抛物线 的准线方程为 ，由抛物线的定义可知，抛物线 2py p 0 上的点
2
x0 , 7
p
到焦点的距离为7 10，解得 p = 6 .
2
14 2 2．1 设过A， B，C的圆的方程为 x2 y2 Dx Ey F 0， D E 4F 0 ，
25 5E F 0 D 6
则 5 D 2E F 0 ，解得 E 2 ，所以过A， B，C的圆的方程为 x2 y2 6x 2 y 15 0，
25 3D 4E F 0 F 15
又点D在此圆上，所以 4 a2 12 2a 15 0，即 a2 2a 1 0，所以 a 1，
| 3x1 4y1 10| | 3x2 4y 10|15．30 2 的几何意义为点 A,B到直线
5 5
3x 4y 10 0的距离之和，根据梯形中位线知其最大值是 AB的中点M 到直
线3x 4y 10 0的距离的 2倍，由题可知，圆O：x2 y2 4的圆心O 0,0 ，
2 AB 2 3 OM 22 (2 3半径为 ， ，则 )2 1，所以 AB的中点M 的轨迹
2
答案第 4页，共 8页
{#{QQABYQyAogCAQAAAARgCAQnqCgEQkBGACIoOgBAAsAAAARFABAA=}#}
10
是以原点O为圆心，1为半径的圆，故点M 到直线3x 4y 10 0的最大距离 1 32 2 ，所以3 4
| 3x1 4y1 10| | 3x 2 4y2 10| 的最大值为 2 3 6，则 3x1 4y1 10 3x2 4y2 10 的最大值为 30．5 5
1 1 x
16． , 设 AE CF x(0 x 1)，延长 BC到G，使得CG ，
3 2 2
CG 1 B1C1 1
则 tan CFG ， tan C
CF 2 1
CB1 ，则 CFG CCBCC 2 1 1，于是
FG / /B1C，而长方体
1
ABCD A1B1C1D1的对角面 A1B1CD是矩形，则有 A1D / /B1C / /FG，又 A1D 平面
A1DE， FG 平面 A1DE，于是 FG / /平面 A1DE，
所以 F 到平面 A1DE的距离等于G到平面 A1DE的距离，由等体积法可知
VA DEF V
1 2
F A DE VG A DE VA DEG AA1 S S ，1 1 1 1 3 DEG 3 DEG
(1 1 x) 1 1 x (1 x)(1
x) 1 x2又 S△DEG S S S 2 2
，
梯形ABGD △ADE △BEG 2 2 2 2 4
1 3 1 1
故 S
2 DEG
，所以V
4 A1 DEF
, ，
3 2
2 2
17．解：（1）F1,F
x y
2是双曲线 1的两个焦点，则a 3,b 4,c 5，点 M到它的一个焦点的距离等于9 16
16，设点M 到另一个焦点的距离为m，则由双曲线定义可知， |m 16 | 2a 6，解得m 10或m 22，即
点M 到另一个焦点的距离为10或 22；
（2）P 2 2是双曲线左支上的点，则 | PF2 | | PF1 | 2a 6， 则 | PF2 | 2 | PF1 | | PF2 | | PF1 | 36，而
| PF | | PF 2 21 2 | 32，所以 | PF1 | | PF2 | 36 2 32 100，即 | PF
2
1 | | PF2 |
2 | F1F2 |
2 100，
1
所以△F1PF2 为直角三角形， F1PF2 90 ，所以 S F PF | PF | | PF |
1
1 2 32 16 .1 2 2 2
5 2 3
18．（1）设 AC边上的高所在直线的斜率为 k，直线 AC的斜率 kAC 3 1 4 ，
4 4
所以 k kAC 1，所以 k ， 故所求直线方程为 y 2 x 2 ，即3 3
4x 3y 2 0 .
2
（2）由题意得 AB 3 42 5， AC 42 32 5， 所以 AB AC 5，则
3
5 3 2 1
ABC为等腰三角形，BC D , 的中点为 2 ，故 kAD 5 ，由等腰三角形的性质知，AD为 BAC 2 2 1 7
2
答案第 5页，共 8页
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1
的平分线， 故所求直线方程为 y 2 x 1 ，即 x 7y 13 0 .
7
19.(1)如图，以点 A为坐标原点，分别以 AB,AD,A A1为 x,y,z轴建立空间直角坐标系
则 A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),E(0,0, 2 ),C1 (1,1, 2 ),
2
2
AC1 1,1, 2 , BD 1,1,0 , BE 1,0,
2
AC1 BD 1 1 0, AC1 BD , AC1 BE 1 1 0, AC1 BE ,
BD与 BE是平面 BDE内两条相交直线 AC1 平面 BDE
1 1 2
（2）由（1）进一步可得 F(0， ，2 )， EF
2
0, ,
2 2
设平面 BDE的法向量为m，可取m AC1 1,1, 2 ，设平面 FBE的法向量为 n，n x, y, z
x 2 z 0
由 ,
2
可得 ，取 x=1，可得 n (1,-2, BE n 0 2
) .
1
y
2
z 0 cos m
,n m n 1 2 2 7
EF n 0 m n
2 2 2 7 14
由于二面角 F-BE-D 7为锐二面角，故所求的二面角的余弦值为
14
x 3
2
y2 9 x 1 x 1
20．（1）依题意，由 2 ，解得 或 ，
x 1 y
2 9 y 5 y 5
因此圆C1与圆C2的公共弦的两个端点坐标分别为M 1, 5 ， N 1, 5 ，
当圆C的面积最小时，MN是圆C的直径，则圆C的圆心为 1,0 ，半径为 5，
2
所以圆C的标准方程是 x 1 y2 5.
（2）因为直线 l与直线 19x y 3 0垂直，则设直线 l的方程为 x 19y m 0，
1 0 m
而直线 l与圆C相切，则有 d 5，解得m 11或m 9，
2 5
m
又因为 l在 y轴上的截距大于 0，即 0，所以m 11，
19
即直线 l的方程为 x 19y 11 0，而圆C2的圆心C2 1,0 ，半径 r2 3，
1 0 11 6 5
点C2到直线 l： x 19y 11 0的距离为 d2 ，2 5 5
答案第 6页，共 8页
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2
6 5 DE 6 5于是得 2 r 2 22 d 2 2 9 .
5
5
21．（1）取 AD的中点M ，连接EM ， BM，如图，
由 E为 PA的中点，得 EM / /PD，而 EM 平面 PDF ， PD 平面 PDF ，则 EM / /平面 PDF ，
又MD / /BF，且MD BF，即四边形BMDF为平行四边形，则MB / /DF，
又MB 平面 PDF ，DF 平面 PDF ，于是MB / /平面 PDF ，
显然MB EM M，MB,EM 平面 BEM ，因此平面 BEM / /平面 PDF ，又 BE 平面 BEM ，
所以 BE / /平面 PDF .
（2）连接MF 1 4 2，设该四棱锥的高为 h，则体积为 22 h ，h 2，连接 PM，则 PM AD,FM AD，
3 3
FM PM M ,FM ,PM 平面 PMF，于是 AD 平面 PMF，而 AD 平面 ABCD，则平面 PMF 平面
ABCD，在平面 PMF内过M 作Mz FM ，而平面 PMF 平面 ABCD FM ，从而Mz 平面 ABCD，
显然MA,MF ,Mz两两垂直，以点M 为坐标原点，直线MA,MF ,Mz分别为
x, y, z轴建立空间直角坐标系Mxyz，
则 PM 3， P 0, 1, 2 ， A 1,0,0 ， B 1,2,0 ，C 1,2,0 ，D 1,0,0 ，
则 PB 1,3, 2 ，PC 1,3, 2 ，DC 0,2,0 ，设 PG PB 0 1 ，
则 PG ,3 , 2 ，点G ,3 1, 2 1 ， AG 1,3 1, 2 1 ，
n
PC x 3y 2z 0
设平面 PCD的一个法向量为 n x, y, z ，则 ，取 z 1，得 n 2,0,1 ，
n DC 2y 0
设直线 AG与平面 PCD所成的角为 ，则
n AG
sin cos n , AG 2 2(1 ) 6 1 ，n AG 3 (1 )2 (3 1)2 2(1 )2 3 3 2 3 1
sin 6 t 6 1 6 1
令1 t，则 1 t，且0 t 1，因此 3 3t2 3t 1 3 3 1 33 (1
，
3)2 3
t t2 t 2 4
2 1 2 2
所以当 t ，即 时， sin 取得最大值，且最大值为 .
3 3 3
2
22 1 3．（1）由已知条件得 m2 1，因为m 0，则m ，又 F
4 2 1
( 3,0),F2 ( 3,0)，
△FMF S 1 |F F | m 1 2 3 3 3因此 1 2的面积为 F1MF 1 2 .2 2 2 2 2
答案第 7页，共 8页
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x2
y2 1
（2）设 A(x , y ),B(x , y )
4 4k 2 1 x2 24A A B B ，由 ，得 kx 64 0，
y kx 3 5 25
5
x 24kA xB ,x
64 3 3
5 4k 2 1 A
xB
25 4k 2 1 ，又 yA kxA ， y5 B kxB ，5
MA xA , yA 1 ,MB xB , yB 1 ，于是MA MB
8
xAxB (kxA )(kx
8
) k 2 8 64B 1 xAxB k xA xB 5 5 5 25
2 2
k 2 1 64 8 k 24k 64
64 k 1 192k 2 64 4k 1
0，
25 4k 2 1 5 5 4k 2 1 25 25 4k 2 1 25 4k 2 1 25 4k 2 1
即MA MB 0为定值.
k s t
（3）因为直线OP : y k1x M
1 2 2 2
与 相切，则 r，即 s r k1 2stk 21 t r2 02 ，k1 1
2 2 2
同理，由直线OQ : y k2x与 M相切，可得 s r k2 2stk 22 t r2 0，于是 k1、 k2是关于 的方程
2 1 s
2
s 22 2 2 r
s2 2 2 s r r 2st t2 r2 0的两实根，注意到 ，且 t 1，故 4 k k t r 4 ，1 2 s2 2 r s2 r 2
2
k k 1
s r 2 1 2 2
因 1 2为定值，故不妨设 k1k2 （定值），于是有 4 ，即 s 1 1 r 0 .
s2 r 2
4
1
0 1 2 5
依题意可知， s变化，而 r、 均为定值，即有 4 ，解得 k1k2 ， r ，
1 1 r
2 0 4 5
2 4 2 4
x2 2 x1 x 1 4k 2 2 1 4k 2
设 P x1, y1 ，Q x , y
y 1 1 2
2 2 ，由 4 得 2 ，同理 2 ，
y k1x y2
4k
1 y2 4k 2
1 1 4k 2 2 21 1 4k2
4 1 k 2 4 1 k 2
所以 OP 2 OQ 2 x 2 y 2 21 1 x 2 y 2 1 22 1 4k 21 1 4k 22
16(1 k 2 k 2 k 2k 2 ) 17 16k 2 16k 2 4 9 9 25 1 2 1 2 1 2 4 2 ，当且仅当1 4k1 4k
2 2 2 2 2 2 4 k 2 k 2 2 4 2 k k 4
2 16k1 k2 2 4k1 4k2 1 2 1 2
| k1 |
1
| k2 | (k1k2 0)时取等号，因此 4 OP
2 OQ 2 25 5 ，解得 2 OP OQ ，所以 OP OQ 的范围为
2 4 2
(2, 5]，当 k1 k
1 1
2 或 k1 k2 时，直线OP,OQ关于坐标轴对称，此时圆心 M为椭圆顶点，2 2 2
2 2 4 2 2 4
所以圆 M的方程为 x 2 y 或 x (y 1) .
5 5
答案第 8页，共 8页
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