数学人教A版（2019）必修第一册5.2.1三角函数的概念（共23张ppt）

(共23张PPT)
5.2.1 三角函数的概念
阅读引言
现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的规律，这种变化规律称为周期性。例如：地球自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化，月亮圆缺，潮汐变化，物体做匀速圆周运动时的位置变化，物体做简谐运动时的位移变化，交变电流变化等。这些现象都可以用三角函数刻画。
一、创设情境
如图：圆 O 上的点 P 以 A 为起点做逆时针方向旋转。如何借助角α的大小变化刻画点 P 的位置变化呢？
先研究单位圆上点P的变化情况。
一、创设情境
如图：单位圆 O 上的点 P 以 A 为起点做逆时针方向旋转。我们考虑建立一个数学模型，刻画点P的位置变化情况。
探究1:当α=时，点 P 的坐标是什么？当α=或 α=时，点 P 的坐标又是什么？
二、探究交流
一般地，任意给定一个角α ，它的终边 OP 与单位圆交点 P 的坐标能唯一确定吗？
追问1:
这种唯一确定的关系符合我们前面学习的什么定义？
二、探究交流
追问2:
这里存在几个函数？
三、抽象定义
定义：设 α 是一个任意角， αR ，它的终边 OP 与单位圆相交于点 P ( x , y ).
把点 P 的纵坐标 y 叫做α 的正弦函数，记作 sinα ，即y = sinα ;
把点 P 的横坐标 x 叫做α 的余弦函数，记作 cos α ，即 x = cosα ;
把比值叫做α的正切，记作 tanα 。
定义：设 α 是一个任意角， αR ，它的终边 OP 与单位圆相交于点 P ( x , y ).
（1）把点 P 的纵坐标 y 叫做 α 的正弦函数，记作 sinα ，即
y = sinα ;
（2）把点 P 的横坐标 x 叫做α 的余弦函数，记作 cos α ，即
x = cosα ;
（3）把点 P 的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切函数，记作 tanα ，即 = tan α ( x ≠0).
三、抽象定义
三、抽象定义
我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：
正弦函数
余弦函数
正切函数
思考：在初中我们学习的锐角三角函数是如何定义的？两种定义有什么区别和联系？
锐角三角函数
任意角三角函数
四、新旧知识的联系
四、新旧知识的联系
探究2：设 α(0,)，把按锐角三角函数定义求得的 α的正弦记为z1，把按本节三角函数定义求得的锐角 α的正弦记为 y1 , y1 与z1相等吗？对于余弦、正切也有相同的结论吗？
四、新旧知识的联系
探究2：设 α(0,)，把按锐角三角函数定义求得的 α的正弦记为z1，把按本节三角函数定义求得的锐角 α的正弦记为 y1 , y1 与z1相等吗？对于余弦、正切也有相同的结论吗？
四、新旧知识的联系
探究2：设 α(0,)，把按锐角三角函数定义求得的 α的正弦记为z1，把按本节三角函数定义求得的锐角 α的正弦记为 y1 , y1 与z1相等吗？对于余弦、正切也有相同的结论吗？
概念举例 说出α=，，的正弦值、余弦值、正切值。
例1.求的正弦、余弦和正切值.
解：在直角坐标系中，作易知的终边与单位圆的交点坐标为.所以有：
例1.求的正弦、余弦和正切值.
2.求的正弦、余弦和正切值.
课本P180 练习2
例2.如图，设是一个任意角，它的终边上任意一点(不与原点重合)的坐标为,点与原点的距离为.
求证：
证明：如图，设角的终边与单位圆交于交点分别过点，作轴的垂线，垂足分别为则：
，，，，
于是，，即.因为与同号，所以即同理可得，
例2.如图，设是一个任意角，它的终边上任意一点(不与原点重合)的坐标为,点与原点的距离为.
求证：
课本P180 练习3
3.已知角的终边过点P(-12,5)，求角的三角函数值。
变式：已知角α的终边过点P(-12a,5a)（a≠0）,求角α的三角函数值。
课本P180 练习4
4.已知点P在半径为2的圆上按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为1rad/s，求2s时点P所在的位置。
课堂小结
感谢聆听！