新疆石河子重点中学2023-2024学年高一上学期11月月考数学试题（含解析）

2023-2024学年第一学期高一年级11月月考数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，，若，则（　　）
A．-3 B．3 C．-5 D．5
2. 设函数的零点为，则所在的区间是（　　）
A. B. C. D.
3．设，，，则 （　　）
A． B． C． D．
4．已知幂函数的图像经过点，则函数在区间上的最大值是（ ）
A．－2 B．－3 C．－4 D．－5
5．函数f（x）＝xln|x|的图象大致为 （　　）
A． B．
C． D．
6.若函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内存在一个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C．（－∞，－1） D．（－∞，－1）∪
7．17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化成乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞为“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.已知，，设，则所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
8．定义域为的函数满足，且当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列选项正确的是（ ）
A．若，则的最小值为2 B．若正实数x，y满足，则的最小值为8
C．的最小值为2 D．函数（）的最大值是0
10．若，，则（ ）
A． B． C． D．
11. 下列选项中正确的是（ ）
A. 函数在上是减函数
B. 函数（且）的图像一定经过点
C. 命题“，”的否定是“，”
D. 函数在上单调递增，则a的取值范围是
12．已知函数则下列选项正确的是（ ）
A．函数在区间上单调递增 B．函数的值域为
C．方程有两个不等的实数根 D．不等式解集为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．函数的定义域为 ．
14．已知函数，则的值是 _____．
15. 设函数的定义域为R，已知为偶函数，为奇函数，当时，，若，则______．
16．已知函数若，是互不相同的正数，且，则的取值范围是__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题10分）计算下列各式．
(1)
(2)
18．（本小题12分）已知集合．
（1）分别求；
（2）已知集合，若，求实数a的取值范围．
19．（本小题12分）已知函数．
(1)求f(x)的定义域及单调区间．
(2)求f(x)的最大值，并求出取得最大值时x的值．
(3)设函数，若不等式f(x)g(x)在上恒成立，求实数a的取值范围．
20．（本小题12分）已知函数
(1)若函数图像与轴的两个交点的横坐标都在内，求实数的取值范围；
(2)若关于的一元二次方程在内有唯一解，求实数的取值范围.
21．（本小题12分）已知函数，．
(1)当时，求函数的零点；
(2)当时，若时，关于的方程有解，求实数m的取值范围；
(3)当时，求关于x的不等式的解集．
22. （本小题12分）对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，则称“局部奇函数”.
（1）若是定义在区间上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；
（2）若为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．
2023-2024学年第一学期高一年级11月月考数学试卷
答案解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，，若，则 （　　）
A．-3 B．3 C．-5 D．5
【答案】C
【解析】因为，所以，则，．故选C．
2. 设函数的零点为，则所在的区间是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由零点存在性定理求解．
【详解】易知在上单调递增且连续，，，
所以
故选：B
3．设，，，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由对数函数底数，故对数函数在上单调递增，故有；由指数函数底数，故指数函数在上单调递增，故；由对数函数底数，故对数函数在上单调递减，故．综上所述，．故选D．
4．已知幂函数的图像经过点，则函数在区间上的最大值是（ ）
A．－2 B．－3 C．－4 D．－5
【答案】D
【解析】设幂函数，因为过点，所以，
解得，.
则函数，
因为函数是单调递增的，所以单调递增，则当时， ，故选D.
5．函数f（x）＝xln|x|的图象大致为 （　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为f（﹣x）＝﹣xln|﹣x|＝﹣xln|x|＝﹣f（x），所以f（x）是奇函数，排除C，D．
当0＜x＜1时，ln|x|＜0，f（x）＜0，排除B．故选A．
6.若函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内存在一个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C．（－∞，－1） D．（－∞，－1）∪
【答案】D
【分析】当a＝0，不合题意，舍去，根据函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内是单调函数，利用零点存在性定理列不等式求解.
【解析】当a＝0时，f（x）＝1与x轴无交点，不合题意，所以a≠0；
函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内是单调函数，
所以f（－1）·f（1）＜0，即（5a－1）（a＋1）＞0，
解得a＜－1或a＞.
故选：D.
7．17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化成乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞为“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.已知，，设，则所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，
所以
，
所以，故选B.
8．定义域为的函数满足，且当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数满足，所以函数的图象关于直线成轴对称，
因为当时，，由，则，即，
所以在上单调递增，则在上单调递减，
由，
由，根据函数在上单调递增，则；
由，根据函数在上单调递增，则.
由函数在上单调递减，则，即.
故选：B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列选项正确的是（ ）
A．若，则的最小值为2
B．若正实数x，y满足，则的最小值为8
C．的最小值为2
D．函数（）的最大值是0
【答案】BD
【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可依次求解．
【详解】对于A，当时，，故A错误，
对于B，∵，，，
则，当且仅当，即，时等号成立，
故的最小值为8，故B正确，
对于C，令，，
在上单调递增，则y的最小值为，故C错误，
对于D，当时，
，当且仅当，即时，等号成立，
故，即函数y的最大值为0，故D正确．
故选：BD．
10．若，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】∵，，∴，，∴，故A选项正确；，故B选项错误；
，故C选项错误；，故D选项正确，
故选：AD
11. 下列选项中正确的是（ ）
A. 函数在上是减函数
B. 函数（且）的图像一定经过点
C. 命题“，”的否定是“，”
D. 函数在上单调递增，则a的取值范围是
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A：根据函数单调性的定义和性质分析判断；对于B：根据指数函数的定点分析判断；对于C：根据特称命题的否定是全称命题分析判断；对于D：根据复合函数单调性结合指数函数单调性可得在上单调递增，利用二次函数性质分析求解.
【详解】对于选项A：因为，可得，即的定义域为，
又因为，可知在上减函数，
又因为，即，
可知函数在上不是减函数，故A错误；
对于选项B：令，则，可得，
函数（且）的图像一定经过点，故B正确；
对于选项C：命题“，”的否定是“，”，故C正确；
对于选项D：因为在定义域内单调递增，
由题意可得：在上单调递增，则，解得，
所以a的取值范围是，故D错误；
故选：BC.
12．已知函数则下列选项正确的是（ ）
A．函数在区间上单调递增
B．函数的值域为
C．方程有两个不等的实数根
D．不等式解集为
【答案】BC
【分析】画出的图象，结合图象即可判断各选项.
【解析】
画出的图象，如上图所示.
令，解得或，
所以的图象与轴交于.
对于A，由图象可知，函数在区间上不单调，A错；
对于B，由图象可知，函数的值域为，B对；
对于C，，，
由图象可知，方程，即有两个不等的实数根，C对；
对于D，由图象可知，当时，，
所以，由可得.
令，解得或；
令，解得或，
所以，由图象可知，不等式解集为，D错.
故选：BC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．函数的定义域为 ．
【解析】由题可得则，解得，∴的定义域为．
14．已知函数，则的值是 _____．
【解析】根据题意得，所以．
15. 设函数的定义域为R，已知为偶函数，为奇函数，当时，，若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据为奇函数和得到，，然后列方程得到，，最后再根据奇偶性求即可.
【详解】根据题意，由为奇函数，得关于对称，故，，即，
∵，∴，
又∵，∴，即，由，
解得，，
∵偶函数，∴，
∵关于对称，∴．
故答案为：.
16．已知函数若，是互不相同的正数，且，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】先画出函数的图象，如图所示：
因为互不相同，不妨设，且，
而，即有，可得，则，
由，且，可得，且，当时，，此时，但此时b，c相等，故的范围为．故答案为．
四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题10分）计算下列各式．
(1)
(2)
【解析】原式=.
（2）原式=.
18．（本小题12分）已知集合．
（1）分别求；
（2）已知集合，若，求实数a的取值范围．
【解析】（1）因为，……………………2分
，……………………4分
所以，或．……………………6分
（2）因为，当时，，即，……………………8分
当时，则，即．……………………11分
综上，实数a的取值范围是或．……………………12分
19．（本小题12分）已知函数．
(1)求f(x)的定义域及单调区间．
(2)求f(x)的最大值，并求出取得最大值时x的值．
(3)设函数，若不等式f(x)g(x)在上恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】（1）根据具体函数定义域的求解方法，根据题意可得
解得
所以函数的定义域为;
令，则函数 在单调递增，在 上单调递减
又函数在定义域上单调递增，根据复合函数单调性“同增异减”的规则
函数的单调增区间为，单调减区间为 .
（2）由（1）中所得单调性可知，时，取得最大值
故的最大值为1，此时的值为1.
（3）根据题意得，在上恒成立，化简得，
在 上恒成立，即在 上恒成立
即在上恒成立
令，则
即的取值范围为………………12分
20．（本小题12分）已知函数
(1)若函数图像与轴的两个交点的横坐标都在内，求实数的取值范围；
(2)若关于的一元二次方程在内有唯一解，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由一元二次方程根的分布求实数的取值范围；
（2）由一元二次方程根的分布求实数的取值范围；
【解析】（1）由题意得，令，即，
由于函数的两个零点都在内，即，……………………4分
解得：，
则实数的取值范围是；……………………6分
（2）由题意得，关于的一元二次方程在内有唯一解，
当时满足条件，解得；……………………8分
当且时满足条件，解得；……………………10分
当，解得，此时有，满足在内有唯一解，…………11分
所以关于的一元二次方程在内有唯一解，有或，
即实数的取值范围为.……………………12分
21．（本小题12分）已知函数，．
(1)当时，求函数的零点；
(2)当时，若时，关于的方程有解，求实数m的取值范围；
(3)当时，求关于x的不等式的解集．
【答案】(1)
(2)
(3)答案见解析
【分析】（1）令求出的值即可；
（2）求出函数在上的值域即可；
（3）从分类讨论，结合一元二次不等式的解法即可得解.
【解析】（1）当时，，
令，得，
所以函数的零点为；……………………3分
（2）当时，，
当时，，
所以函数在上的值域为，
因为时，关于的方程有解，
所以；……………………7分
（3），
方程的根为，
当，即时，不等式的解集为，
当，即时，不等式的解集为，
当，即时，不等式的解集为，
综上所述，当，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.……………………12分
22. （本小题12分）对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，则称“局部奇函数”.
（1）若是定义在区间上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；
（2）若为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据局部奇函数的定义得到存在，使得，然后利用换元法得到，即可得到的范围；
（2）将为定义域为R上的“局部奇函数”转化为当时方程有解，然后列不等式求解即可.
【小问1详解】
根据局部奇函数的定义，存在，使；
∴，令，
令，因为，所以，
设函数，任取，
所以在时单调递减，在时单调递增，，，
所以，，即，所以，
即实数m的取值范围为.……………………6分
【小问2详解】
根据局部奇函数的定义知，存在，使；
∴；
令，∵，当且仅当时取等号，
即当且仅当时取等号，∴，则：，
可将该式看成关于n的方程，当有解，
设，于是有或，
由，
由，
综上得m的取值范围为……………………12分