三明地区部分高中校协作
2023—2024 学年第一学期期中联考
高二数学试题
（考试时间：120分钟 总分：150分）
试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一、单选题。（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目
要求的。）
2 2
1.已知椭圆 + = 1的一个焦点坐标为(0,2)，则 的值为( )
+2 9
A. 1 B. 3 C. 7 D. 9
2.已知向量 = (0,1,1)， = (1,1,0)，则向量 在向量 上的投影向量为( )
1 1 1 1
A. (0, 1, 1) B. ( 1,0, 1) C. (0, , ) D. ( , 0, )
2 2 2 2
3.如果 < 0，且 < 0，那么直线 + + = 0 不通过( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4.已知直线 1: + 1 = 0与 2: 2 + 1 = 0平行，则 1与 2的距离为( )
3√ 5 √ 5 3 1
A. B. C. D.
5 5 5 4
5.《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷
雨、立夏、小满、芒种，这些节气的日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个
节气日影长之和为85.5尺，则小满日影长为 ( )
A. 4.5尺 B. 3.5尺 C. 2.5尺 D. 1.5尺
6.动圆 过定点 (0,2)，且与圆 ： 2 + ( + 2)2 = 4相内切，则动圆圆心 的轨迹方程是( )
2
2
2 2 2
A. = 1( < 0) B. 2 = 1 C. 2 = 1( < 0) D. 2 + = 1
3 3 3 3
高二数学 第1页（共 4页）
{#{QQABIQSEggCoQAIAARgCAQXYCgMQkAEACAoOgBAEsAAAwAFABAA=}#}
2 2
7.已知椭圆 + = 1( > > 0)的右焦点为 ，左顶点为 .若点 为椭圆 上的点，
2 2
10
⊥ 轴，且 √ ∠ < ，则椭圆 的离心率的取值范围为( )
10
1 2 1 2
A. (0, ) B. ( 0, ) C. ( , 1 ) D. ( , 1 )
3 3 3 3
8.若曲线 1: (
2 4 )( + 3 ) = 0与曲线 2: = 1 + √
2 2 的图像恰有三个不同的交点，
则 的取值范围为 ( )
3 4 4 3
A. ( , +∞) B. ( , 1] C. ( , 1) D. ( , 1]
4 3 3 4
二、多选题（本大题共 4小题，共 20 分。在每小题有多项符合题目要求。）
9.已知数列{ }的前 项和 =
2 4 ，则( )
A. { }不是等差数列 B. = 2 5
C. 数列{ }是等差数列 D. | 1| + | 2| + + | 10| = 67
10.已知点 为圆 ： 2 + 2 = 9上的动点，直线 过点 ( 6,0)， (0, 6)，过 上一点 作圆 的切线
， ，切点分别为 ， ，则下列说法正确的有( )
A. 点P 到 l 的距离的最大值为3√ 2 + 3 B. 当∠ 最大时，| | = 3√ 2
C. 四边形 的面积的最小值为 9 D. 四边形 的面积最小时，直线 的方程为 2 + 2 = 0
11.已知抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点 到准线的距离为2，过 的直线 交抛物线 于两点 ， ，则( )
A. 抛物线 的准线方程为 = 2
B. 若| | = 4，则| | = √ 21
√ 3
C. 若| | · | | = 4 2，则 的斜率为±
3
D. 过点 作准线的垂线，垂足为 ，若 轴平分∠ ，则| | = 4
12.如图，已知正方体 1 1 1 1的棱长为 2，点 为 1的中点，
点 为正方体上底面 1 1 1 1上的动点，则( )
A. 满足 //平面 1的点 的轨迹长度为√ 2
√ 2
B. 满足 ⊥ 的点 的轨迹长度为
2
C. 存在唯一的点 满足∠ =
2
D. 存在点 满足| | + | | = 4
高二数学 第2页（共 4页）
{#{QQABIQSEggCoQAIAARgCAQXYCgMQkAEACAoOgBAEsAAAwAFABAA=}#}
第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
三、填空题（本大题共 4小题，共 20 分。）
13.以点 (2,1)为圆心，且与 轴相切的圆的标准方程为 ．
14.已知抛物线 ： 2 = 4 ，直线 ： = 2 2交 于 ， 两点，则线段 的长是 ．
2 2
15. 设 1， 2分别是椭圆 + = 1 的左、右焦点， 为椭圆上任一点，点 的坐标为(6,4)， 25 16
则| | + | 1|的最大值为 ．
16.已知数列{ }满足 1 = 1， + ( 1)
+1 = 1 ，记数列{ }的前 项和为 ，则 2022 2023 = ．
四．解答题（本大题共 6小题，共 70 分。）
17.（10分）已知圆C 的圆心为(－2,1)，半径为 3， l 是过点 P (0,2)的直线．
（1）求圆C 的方程，并判断点 P 是否在圆上，证明你的结论；
（2）若圆C 被直线 l 截得的弦长为 2 5 ，求直线 l 的方程．
18.（12分）已知等差数列 an 的前n 项和为 Sn ， a5 + a9 = 2， S3 =57 .
（1）求数列 an 的通项公式an ；
（19） 求 Sn 的最大值.
x2 y2
19. （12分）已知双曲线C : =1(a 0,b 0) 的离心率为 2，且过点 A(2,3) .
a2 b2
（1）求双曲线C 的方程；
5
（2）若斜率为 的直线 l 与C 交于 P,Q两点，且与 x 轴交于点M ，若Q 为 PM 的中点，求 l 的方程.
5
高二数学 第3页（共 4页）
{#{QQABIQSEggCoQAIAARgCAQXYCgMQkAEACAoOgBAEsAAAwAFABAA=}#}
20.（12分）在三棱锥 P ABC 中，底面 ABC 与侧面 PAB 均为正三角形，
AB = 2, PC = 6 ， M 为 AB 的中点．
（1）证明：平面 PCM ⊥平面 PAB ；
3
（2） N 为线段 PA上一点，且 S P CN M△CMN = ，求二面角 的正弦值.
4
21.（12 分）已知点F 为抛物线 E : y2 = 2 px( p 0)的焦点，点M (7,3) , MF = 3 5 ，且点M 到抛物线准线的距
2
离不大于10，过点M 作斜率存在的直线与抛物线E 交于 A, B两点（ A 在第一象限），过点 A 作斜率为 的直
3
线与抛物线的另一个交点为点C．
（1）求抛物线E 的标准方程；
（2）求证：直线 BC过定点．
22．(12分) 已知圆 A1：(x +1)
2 + y2 =16 ，B 是圆 A A y A A B1上的点， 1关于 轴的对称点为 2 ，且 2 的垂直平分线
与 A B1 交于点 P ，记 P 的轨迹为 ．
（1）求 的方程；
（2）坐标原点O关于 A , A1 2的对称点分别为 B , B ，点 A , A 关于直线 y = x 的对称点分别为C ,C ，过 A1 2 1 2 1 2 1的直
线 l 与 交于点M , N ，直线 B M , B N 相交于点Q1 2 ．请从下列结论中，选择一个正确的结论并给予证明．
①△QB C 的面积是定值；②△QB B1 1 1 2 的面积是定值；③△QC C1 2 的面积是定值．
高二数学 第4页（共 4页）
{#{QQABIQSEggCoQAIAARgCAQXYCgMQkAEACAoOgBAEsAAAwAFABAA=}#}三明地区部分高中校协作
2023—2024学年第一学期期中联考
高二数学试题（答案）
一、单选题
1-8 B C D A B A D C
二、多选题
9. BC 10. AC 11. BCD 12. ABC
三、填空题
2 2
13. (x-2) + ( y 1) =1 14. 5 15. 15 16. 506
四、解答题
17.（10 分）
2 2
解：（1）圆 C 的方程为： (x + 2) + ( y 1) = 9 ……………………………….1
点 P不在圆上．证明如下：
∵ PC = (0+ 2)2 + (2 1)2 = 5 3 ， ……………………………….3
∴由圆的定义可知点 P是在圆 C的内部，不在圆上； ……………………………….4
（2）由直线与圆的位置关系可知，圆心 C 到直线 l 的距离 d = 32 5 = 2，………………………………5
①当直线 l的斜率不存在时，直线 l的方程为 x＝0，
此时 d = 2 0 = 2，满足题意； ……………………………….7
②当直线 l的斜率存在时，设直线 l为 y＝kx＋2，即 kx－y＋2＝0，
2k 1+ 2 3
又∵ d = = 2 ，解得 k = ，此时直线 l 为 3x＋4y－8＝0， ……………………………….9
k 2 +1 4
综上所述：直线 l的方程为 x＝0 或 3x＋4y－8＝0． ……………………………….10
18. （12 分）
解：（1）设等差数列 an 的公差为d ，
a5 + a9 = 2a1 +12d = 2
∴ ， ……………………………….2
S3 = 3a1 +3d = 57
a1 = 23
解得 ， ……………………………….4
d = 4
数学参考答案及评分细则 第1页（共 10页）
{#{QQABIQSEggCoQAIAARgCAQXYCgMQkAEACAoOgBAEsAAAwAFABAA=}#}
∴数列 an 的通项公式为an = a1 + (n 1)d = 27 4n . ……………………………….6
（2）由（1）知，an = 27 4n .
2
n (23+ 27 4n) 25 625
所以 Sn = = 2n
2 + 25n = 2 n + . ……………………………….8
2 4 8
25
由二次函数的性质知，对称轴方程为n = ，开口向下，
4
25
所以，当 n 取与 最近的整数即6时， Sn 最大值 ……………………………….10
4
最大值为 S
2
6 = 2 6 + 25 6 = 78 . ………………………………12
19.（12 分）
c b
e = = 1+ ( )2
b
解：（1）因为 = 2 ，所以 = 3，即b = 3a . ……………………………….2
a a a
x2 y2 4 9 2
将点 A 的坐标代入 =1，得 =1， 解得a =1， ……………………………….4
a2 3a2 a2 3a2
2 y
2
故 C的方程为 x =1. ……………………………….5
3
（2）设P(x ，1, y1 ) Q(x2 , y )，M (m,0)， 2
因为 Q为 PM的中点，所以 y1 = 2y2 . ………………………………6
5
因为直线 l的斜率为 ，所以可设 l的方程为 x = 5y + t ， ……………………………….7
5
y2
x2 =1,
联立 得14y2 3 + 6 5ty +3(t
2 1) = 0，
x = 5y + t,
= (6 5t)2 4 14 3(t2 1) =12(t2 +14) 0，
2
3 5t 3(t 1)
由韦达定理可得 y1 + y = ， y2 1y2 = . ……………………………….9
7 14
3 5t 5t
因为 y1 = 2y2，所以 y1 + y2 = 3y2 = ，解得 y2 = ，
7 7
2 5t 2 3(t
2 1)
y1y2 = 2y2 = 2 ( ) = ，解得 t
2 = 21， ……………………………….11
7 14
数学参考答案及评分细则 第2页（共 10页）
{#{QQABIQSEggCoQAIAARgCAQXYCgMQkAEACAoOgBAEsAAAwAFABAA=}#}
即 t = 21，故 l的方程为 x 5y 21 = 0 . ……………………………….12
20.（12 分）
解：解法 1：（1）因为△ABC 是边长为 2 的正三角形，M 为 AB 的中点，
所以CM ⊥ AB ，CM = 3 ，同理， PM = 3 ，
又 PC = 6 ，因为CM 2 + PM 2 = PC2 ，所以CM ⊥ PM ，
又 AB PM = M ， AB, PM 平面PAB，
所以CM ⊥平面PAB，
又CM 平面 PCM ，所以平面 PCM ⊥平面 PAB ．
（2）
因为 PAB 是正三角形，M 为 AB 的中点，所以 PM ⊥ AB ，又CM ⊥ AB ，CM ⊥ PM ，
故以M 为原点，分别以MC, MB, MP 为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系，则
M (0,0,0)，A(0, 1,0)，B(0,1,0)，C( 3,0,0)，P(0,0 3) ，
因为CM ⊥平面PAB，MN 平面PAB，所以CM ⊥ MN .
1 3 3
在 Rt CMN 中， S CMN = 3 MN = MN =
2 4 2
因为 N 为线段 PA 上一点，设 AN = AP，则
AN = AP = (0,1, 3) = (0, , 3 )，
所以MN = AN AM = (0, , 3 ) (0,1,0) = (0, 1, 3 )，
→
3 3 3 2
又 ，所以 ( 1) +3 2
3 1
MN = = ，解得 = ，所以MN = 0, , .
2 4 4 4 4
3
或设 N (x, y, z)
2 2 2
，则 x + y + z = (1)
4
→ → → → y +1 z
又 AP = (0,1, 3)， AN = (x, y +1, z)，由 得 x = 0, = (2)AP/ / AN 1 3
3 3 3 3
由(1)(2)得 x = 0, y = , z = N 0, ,
4 4 4 4
数学参考答案及评分细则 第3页（共 10页）
{#{QQABIQSEggCoQAIAARgCAQXYCgMQkAEACAoOgBAEsAAAwAFABAA=}#}
→ → → 3 3
设面MCN 的法向量为m = (x ， MC = 3,0,0 ，MN = 0, , 2 , y2 , z2 ) ( ) 4 4
3x2 = 0
→
3 3 取 x2 = 0, y 2 =1, z2 = 3 m = (0,1, 3)
y2 z2 = 0
4 4
→ → →
设面PCN 的法向量为 n = (x , y , z )， PC = ( 3,0, 3)，PA = (0, 1, 3) 1 1 1
3x1 3z1 = 0 →
取 x1 =1, y1 = 3, z1 =1 n = (1, 3,1)
y1 3z1 = 0
→ →
m n
→ → 3 + 3
设二面角 P CN M 的大小为 ，则cos = cos m, n = = = 0 ，
→ →
m n 5 4
所以，sin =1，二面角 P CN M 的正弦值为 1.
解法 2（1）因为△ABC 是边长为 2 的正三角形，M为 AB的中点，
所以 AB ⊥ CM , AB ⊥ PM ,且PM = CM = 3，PM CM = M ，
所以 AB ⊥平面PCM，AB 平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PCM
（2）在 CMN 中， PM = CM = 3, PC = 6 ，所以CM 2 + PM 2 = PC2 ，所以CM ⊥ PM ，
又 AB PM = M ，所以CM ⊥平面PAB，MN 平面PAB，所以
CM ⊥ MN .
1 3 3
在 Rt CMN 中， S , CMN = 3 MN = MN =
2 4 2
在边长为 2 的正 PAB 中，取 PA中点 D ，则 BD ⊥ PA, BD = 3 ，又
3
MN = , M 是 AB 的中点，
2
3
所以MN∥BD，所以 PA ⊥ MN ,即PN ⊥ MN , N 是 AD 的中点，则 PN = .
2
2
2 3 15
在 Rt CMN 中, CN = CM 2 +MN 2 = ( 3) + = ,
2 2
15 3
在 PCN 中，CN = , PN = , PC = 6 ，所以CN 2 + PN 2 = PC2 ，所以， PN ⊥CN ，
2 2
又 PN ⊥ MN ,CN MN = N ，所以 PN ⊥平面CMN，PN 平面PCN ，
所以平面PCN ⊥平面CMN ，所以二面角 P CN M 的大小为 90 ，
数学参考答案及评分细则 第4页（共 10页）
{#{QQABIQSEggCoQAIAARgCAQXYCgMQkAEACAoOgBAEsAAAwAFABAA=}#}
二面角 P CN M 的正弦值为 1.
21.（12分）
p
解：（1） 焦点F ,0 , M (7,3) , MF = 3 5 ，
2
2
p | FM |= 7 +9 = 3 5 ……………………………….2
2
p
又∵ p 0，且点M 到抛物线E 准线的距离不大于10，即7+ 10 …………….3
2
∴ p = 2
∴抛物线 E的标准方程为 y2 = 4x； ………………………………4
（2）依题意直线 AB 斜率存在且过点M (7,3)，则可设 AB 的方程为 y 3 = k(x 7)，
设 A(x1,y1 ) ,B (x2 ,y2 ) ,C (x3,y3 )，
y 3 = k(x 7)
由 2 ，
y = 4x
ky2化简得： 4y +12 28k = 0,(k 0) ,
=16(7k 2 3k +1) 0
4 12
则由韦达定理可知 y1 + y2 = , y1y2 = 28，
k k
………………………….6
消去 k 得： y1y2 + 28 = 3( y1 + y2 ) ① ……………………………7
y1 y3 y1 y 4 2k 3
又 AC
= = = =
2 2
x x y y y + y 3 ，则 y + y1 3 1 3 1 3 1 3 = 6 ② …………………..8
4 4
由①②得 (6 y3 ) y2 + 28 = 3(6 y3 + y2 )，
∴3( y2 + y3 ) = y2 y3 10 ③ …………………………9
y2 y3 yk = = 2
y3 4=
由于 BC y 2 y 2x x y + y ……………………….10 2 3 2 3 2 3
4 4
（ⅰ）若直线BC 没有斜率，则 y2 + y3 = 0，
又3( y2 + y3 ) = y2 y3 10，
数学参考答案及评分细则 第5页（共 10页）
{#{QQABIQSEggCoQAIAARgCAQXYCgMQkAEACAoOgBAEsAAAwAFABAA=}#}
2
∴ y3 = 10（舍去）
（ⅱ）若直线BC 有斜率，
4 y2
直线 2BC 的方程为 y y2 = x ，即4x ( y2 + y3 ) y + y2 y3 = 0，将③代入得
y2 + y3 4
5
4x ( y2 + y3 ) y +3( y2 + y3 )+10 = 0，∴ ( y2 + y3 ) (3 y)+ 4(x + ) = 0，
2
5
故直线BC 有斜率时过点 ( ,3)． …………………………12
2
22．(12 分)
解法一：（1）由题意得， A ( 1,0)， A1 2 (1,0)．
因为 P 为 A B 的垂直平分线上的点，所以 PA2 = PB ， ................................................................ 1 分 2
所以 PA1 + PA2 = PA1 + PB = A1B = 4 A1A2 ，
所以点 P 的轨迹 是以 A1, A2 为焦点的椭圆．................................................................................. 2 分
x2 y2
设 ： + =1，其中 a b 0 ， a2 b2 = c2 ．
a2 b2
则 2a = 4 ， a = 2， c =1，b = a2 c2 = 3 ． ............................................................................. 3 分
x2 y2
故 ： + =1． ........................................................................................................................... 4 分
4 3
（2）结论③正确．下证：△QC1C2 的面积是定值． ....................................................................... 5 分
由题意得， B ( 2,0)， B (2,0)，C (0, 1)，C (0,1)，且直线 l 的斜率不为 0， 1 2 1 2
可设直线 l ： x =my 1，M (x1, y1 ) , N (x2 , y2 )，且 x 2 ， x 2 ． 1 2
x2 y2
+ =1,
由 4 3 得 (3m2 + 4) y2 6my 9 = 0， ................................................................................. 6 分
x = my 1,
6m 9
所以 y1 + y2 = , y1y2 = ， ............................................................................................ 7 分
3m2 + 4 3m2 + 4
所以 2my1y2 = 3( y1 + y2 ) .
y y
直线 B M 的方程为： y = 1 (x + 2)，直线 B 21 2N 的方程为： y = (x 2)， .................... 8 分
x1 + 2 x2 2
数学参考答案及评分细则 第6页（共 10页）
{#{QQABIQSEggCoQAIAARgCAQXYCgMQkAEACAoOgBAEsAAAwAFABAA=}#}
y
y =
1 (x + 2) ,
x1 + 2由
yy = 2 (x 2) ,
x2 2
x + 2 y2 (x + 2)得 1= ............................................................................................................................ 9 分
x 2 y1 (x2 2)
3 3 1
y (my +1) ( y1 + y + y y y2 1 my y 2
) 2 1 2
= = 1 2
+ y2 1= 2 = 2 2 = ，
y1 (my2 3) my1y2 3y 3 9 31 ( 3 y1 + y2 ) 3y1 y1 y2
2 2 2
解得 x = 4． ..................................................................................................................................... 11 分
故点Q在直线 x = 4 ，所以Q到C1C2 的距离 d = 4，
1 1
因此△QC1C2的面积是定值，为 C1C2 d = 2 4 = 4． ......................................................... 12 分
2 2
解法二：（1）同解法一． .................................................................................................................... 4 分
（2）结论③正确．下证：△QC1C2 的面积是定值． ....................................................................... 5 分
由题意得， B ( 2,0)， B 2,0 ，C 0, 1 ，C 0,1 ，且直线 l 的斜率不为 0， 1 2 ( ) 1 ( ) 2 ( )
可设直线 l ： x =my 1，M (x1, y1 ) , N (x2 , y2 )，且 x 2 ， x 2 ． 1 2
x2 y2
+ =1,
由 4 3 得 (3m2 + 4) y2 6my 9 = 0， ................................................................................. 6 分
x = my 1,
6m 9
所以 y1 + y2 = , y1y2 = ， ............................................................................................ 7 分
3m2 + 4 3m2 + 4
所以 2my1y2 = 3( y1 + y2 ) .
y
直线 B M 的方程为： y = 1
y
1 (x + 2)，直线 B2N 的方程为： y =
2 (x 2)， .................... 8 分
x1 + 2 x2 2
y1
y = (x + 2) ,
x1 + 2由
yy = 2 (x 2) ,
x2 2
y2 (x1 + 2) + y1 (x2 2) 得 x = 2 ......................................................................................................... 9 分
y2 (x1 + 2) y1 (x2 2)
数学参考答案及评分细则 第7页（共 10页）
{#{QQABIQSEggCoQAIAARgCAQXYCgMQkAEACAoOgBAEsAAAwAFABAA=}#}
y2 (my1 +1) + y1 (my2 3) 2my1y2 + y2 3y = 2 = 2 1
y2 (my1 +1) y1 (my2 3) y2 + 3y1
2my1y2 + 3( y1 + y2 ) 2( y2 + 3y1 )
= 2 = 4 . ........................................................................... 11 分
y2 + 3y1
故点Q在直线 x = 4 ，所以Q到C1C2 的距离 d = 4，
1 1
因此△QC1C2的面积是定值，为 C1C2 d = 2 4 = 4． ......................................................... 12 分
2 2
解法三：（1）同解法一． .................................................................................................................... 4 分
（2）结论③正确．下证：△QC1C2 的面积是定值． ....................................................................... 5 分
由题意得， B
1 ( 2,0)， B (2,0)，C (0, 1)，C (0,1)，直线 l2 的斜率不为 0． 2 1 2
x2 y2 x = 1, x = 1,
+ =1,
（i）当直线 l 垂直于 x轴时， l ： x = 1，由 4 3 得 3 或 3
y = y = .
x = 1 2 2
3 3
不妨设M 1, , N 1, ，
2 2
3 1
则直线 B1M 的方程为： y = (x + 2)，直线 B2N 的方程为： y = (x 2)，
2 2
3
y = (x + 2) ,
2 x = 4,由 得 所以Q( 4, 3)，
1 y = 3,y = (x 2)
2
1 1
故Q到C1C2 的距离 d = 4，此时△QC1C2 的面积是 C1C2 d = 2 4 = 4． ............................ 6 分
2 2
（ii）当直线 l 不垂直于 x轴时，设直线 l ： y = k (x +1)，M (x1, y1 ) , N (x2 , y2 )，且 x 2 ， x 2 ． 1 2
x2 y2
+ =1,
由 得 (4k 2 + 3) x2 + 8k 2 4 3 x + (4k 2 12) = 0 ， .................................................................. 7 分
y = k (x +1) ,
8k2 4k2 12
所以 x1 + x2 = , x1x2 = ． ............................................................................................. 8 分
4k2 + 3 4k2 + 3
y
直线MB 的方程为： y = 1
y
1 (x + 2)，直线MB2的方程为： y =
2 (x 2)， ...................... 9 分
x1 + 2 x2 2
y
y =
1 (x + 2) ,
x1 + 2
由
yy = 2 (x 2) ,
x2 2
数学参考答案及评分细则 第8页（共 10页）
{#{QQABIQSEggCoQAIAARgCAQXYCgMQkAEACAoOgBAEsAAAwAFABAA=}#}
y2 (x1 + 2) + y1 (x2 2) 得 x = 2 ....................................................................................................... 10 分
y2 (x1 + 2) y1 (x2 2)
k (x2 +1)(x1 + 2) + k (x1 +1)(x2 2) 4x1x2 2x1 + 6x= 2 2 = ．
k (x2 +1)(x1 + 2) k (x1 +1)(x2 2) 3x1 + x2 + 4
4x1x2 2x1 + 6x下证： 2 = 4 ．
3x1 + x2 + 4
即证 4x1x2 2x1 + 6x2 = 4(3x1 + x2 + 4)，
即证 4x1x2 = 10(x1 + x2 ) 16，
4k 2 12 8k 2
即证 4 = 10 16 ，
4k
2 + 3 2 4k + 3
即证 4(4k 2 12) = 10( 8k 2 ) 16(4k 2 + 3)，
上式显然成立， .................................................................................................................................. 11 分
故点Q在直线 x = 4 ，所以Q到C1C2 的距离 d = 4，
1 1
此时△QC1C2的面积是定值，为 C1C2 d = 2 4 = 4．
2 2
由（i）（ii）可知，△QC1C2 的面积为定值． .................................................................................. 12 分
解法四：（1）同解法一． .................................................................................................................... 4 分
（2）结论③正确．下证：△QC1C2 的面积是定值． ....................................................................... 5 分
由题意得， B ( 2,0)， B (2,0)，C 0, 1 ，C1 2 1 ( ) 2 (0,1)，且直线 l2 的斜率不为 0，
可设直线 l2 ： x =my 1，M (x1, y1 ) , N (x2 , y2 )，且 x 2 ， x 2 ． 1 2
x2 y2
+ =1,
由 2 4 3 得 (3m + 4) y2 6my 9 = 0， ................................................................................. 6 分
x = my 1,
6m 9
所以 y1 + y2 = , y1y2 = ． ............................................................................................ 7 分
3m2 + 4 3m2 + 4
y y
直线 B1M 的方程为： y =
1 (x + 2)，直线 B2N 的方程为： y =
2 (x 2)， .................... 8 分
x1 + 2 x2 2
x2 y22 2 y 3 x + 2 因为 + =1，所以 2 = 2 ，
4 3 x2 2 4 y2
数学参考答案及评分细则 第9页（共 10页）
{#{QQABIQSEggCoQAIAARgCAQXYCgMQkAEACAoOgBAEsAAAwAFABAA=}#}
3 x
故直线 B N 的方程为： y = 2
+ 2
2 (x 2)．
4 y2
y
y =
1 (x + 2) ,
x1 + 2
由
3 x y = 2
+ 2
(x 2) ,
4 y2
x 2 4y
得 = 1
y2 ............................................................................................................... 9 分
x + 2 3(x1 + 2)(x2 + 2)
4y y 4
1 2 y y
4 9
= = 1 2 = = 3 ，
3(mx 2
2 2 2
1 +1)(my2 +1) 3 m y1y2 + m ( y1 + y2 ) +1 3 9m + 6m + (3m + 4)
解得 x = 4． ..................................................................................................................................... 11 分
故点Q在直线 x = 4 ，所以Q到C1C2 的距离 d = 4，
1 1
因此△QC1C2的面积是定值，为 C1C2 d = 2 4 = 4． ......................................................... 12 分
2 2
数学参考答案及评分细则 第10页（共 10页）
{#{QQABIQSEggCoQAIAARgCAQXYCgMQkAEACAoOgBAEsAAAwAFABAA=}#}
