福建省三明地区部分高中校协作2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题（含答案）

三明地区部分高中校协作
2023—2024学年第一学期期中联考
高二数学试题
（考试时间：120分钟 总分：150分）
试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、单选题。（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。）
1.已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
3.如果，且，那么直线 不通过( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4.已知直线与平行，则与的距离为( )
A. B. C. D.
5.《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这些节气的日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为尺，前九个节气日影长之和为尺，则小满日影长为( )
A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺
6.动圆过定点，且与圆：相内切，则动圆圆心的轨迹方程是( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆 的右焦点为，左顶点为若点为椭圆上的点，
轴，且，则椭圆的离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.若曲线 与曲线的图像恰有三个不同的交点，
则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求。）
9.已知数列的前项和，则( )
A. 不是等差数列 B.
C. 数列是等差数列 D.
10.已知点为圆：上的动点，直线过点，，过上一点作圆的切线
，，切点分别为，，则下列说法正确的有( )
A. 点到的距离的最大值为 B. 当最大时，
C. 四边形的面积的最小值为 D. 四边形的面积最小时，直线的方程为
11.已知抛物线：的焦点到准线的距离为，过的直线交抛物线于两点，，则( )
A. 抛物线的准线方程为
B. 若，则
C. 若，则的斜率为
D. 过点作准线的垂线，垂足为，若轴平分，则
12.如图，已知正方体的棱长为，点为的中点，
点为正方体上底面上的动点，则( )
A. 满足平面的点的轨迹长度为
B. 满足的点的轨迹长度为
C. 存在唯一的点满足
D. 存在点满足
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题（本大题共4小题，共20分。）
13.以点为圆心，且与轴相切的圆的标准方程为 ．
14.已知抛物线：，直线：交于，两点，则线段的长是 ．
15. 设，分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为，
则的最大值为 ．
16.已知数列满足，，记数列的前项和为，则 ．
四．解答题（本大题共6小题，共70分。）
17.（10分）已知圆的圆心为(－2,1)，半径为3，是过点的直线．
（1）求圆的方程，并判断点是否在圆上，证明你的结论；
（2）若圆被直线截得的弦长为，求直线的方程．
18.（12分）已知等差数列的前项和为，，.
（1）求数列的通项公式；
求的最大值.
19. （12分）已知双曲线的离心率为2，且过点.
（1）求双曲线的方程；
（2）若斜率为的直线与交于两点，且与轴交于点，若为的中点，求的方程.
20.（12分）在三棱锥中，底面与侧面均为正三角形，，为的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）为线段上一点，且，求二面角的正弦值.
21.（12分）已知点为抛物线的焦点，点，且点到抛物线准线的距离不大于，过点作斜率存在的直线与抛物线交于两点（在第一象限），过点作斜率为的直线与抛物线的另一个交点为点．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）求证：直线BC过定点．
22．(12分) 已知圆：，是圆上的点，关于轴的对称点为，且的垂直平分线与交于点，记的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）坐标原点关于的对称点分别为，点关于直线的对称点分别为，过的直
线与交于点，直线相交于点．请从下列结论中，选择一个正确的结论并给予证明．
①的面积是定值；②的面积是定值；③的面积是定值．
三明地区部分高中校协作
2023—2024学年第一学期期中联考
高二数学试题（答案）
一、单选题
1-8 B C D A B A D C
二、多选题
9. BC 10. AC 11. BCD 12. ABC
三、填空题
13. 14. 5 15. 15 16. 506
四、解答题
17.（10分）
解：（1）圆C的方程为： ……………………………….1
点P不在圆上．证明如下：
∵， ……………………………….3
∴由圆的定义可知点P是在圆C的内部，不在圆上； ……………………………….4
（2）由直线与圆的位置关系可知，圆心C到直线l的距离，………………………………5
①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，
此时，满足题意； ……………………………….7
②当直线l的斜率存在时，设直线l为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0，
又∵，解得，此时直线l为3x＋4y－8＝0， ……………………………….9
综上所述：直线l的方程为x＝0或3x＋4y－8＝0． ……………………………….10
18. （12分）
解：（1）设等差数列的公差为，
∴， ……………………………….2
解得， ……………………………….4
∴数列的通项公式为. ……………………………….6
（2）由（1）知，.
所以. ……………………………….8
由二次函数的性质知，对称轴方程为，开口向下，
所以，当取与最近的整数即时，最大值 ……………………………….10
最大值为. ………………………………12
19.（12分）
解：（1）因为，所以，即. ……………………………….2
将点A的坐标代入，得， 解得， ……………………………….4
故C的方程为. ……………………………….5
（2）设，，，
因为Q为PM的中点，所以. ………………………………6
因为直线l的斜率为，所以可设l的方程为， ……………………………….7
联立得，
，
由韦达定理可得，. ……………………………….9
因为，所以，解得，
，解得， ……………………………….11
即，故l的方程为. ……………………………….12
20.（12分）
解：解法1：（1）因为△ABC 是边长为2的正三角形，M为AB的中点，
所以，，同理，，
又，因为，所以，
又，平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面．
因为 是正三角形，M为AB的中点，所以，又，，
故以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，则，
因为平面，平面，所以.
在中，
因为N为线段PA上一点，设，则，
所以，
又，所以，解得，所以.
或设，则
又，，由得
由(1)(2)得
设面的法向量为， ，
取
设面的法向量为， ，
取
设二面角的大小为，则 ，
所以，，二面角的正弦值为1.
解法2（1）因为△ABC 是边长为2的正三角形，M为AB的中点，
所以，
所以，所以
（2）在中，，所以，所以，
又，所以平面，，所以.
在中，,
在边长为2的正中，取中点，则，又是的中点，
所以，所以是的中点，则.
在中,,
在中，，所以，所以，，
又，所以，
所以，所以二面角的大小为，
二面角的正弦值为1.
21.（12分）
解：（1）焦点，
……………………………….2
又∵，且点到抛物线准线的距离不大于，即 …………….3
∴
∴抛物线E的标准方程为； ………………………………4
（2）依题意直线斜率存在且过点，则可设的方程为，
设，
由，
化简得：
则由韦达定理可知，
………………………….6
消去得： ① ……………………………7
又，则 ② …………………..8
由①②得，
∴ ③ …………………………9
由于 ……………………….10
（ⅰ）若直线没有斜率，则，
又，
∴（舍去）
（ⅱ）若直线有斜率，
直线的方程为，即，将③代入得，∴，
故直线有斜率时过点． …………………………12
22．(12分)
解法一：（1）由题意得，，．
因为为的垂直平分线上的点，所以， 1分
所以，
所以点的轨迹是以为焦点的椭圆． 2分
设：，其中，．
则，，，． 3分
故：． 4分
（2）结论③正确．下证：的面积是定值． 5分
由题意得，，，，，且直线的斜率不为0，
可设直线：，，且，．
由得， 6分
所以， 7分
所以.
直线的方程为：，直线的方程为：， 8分
由
得 9分
，
解得． 11分
故点在直线，所以到的距离，
因此的面积是定值，为． 12分
解法二：（1）同解法一． 4分
（2）结论③正确．下证：的面积是定值． 5分
由题意得，，，，，且直线的斜率不为0，
可设直线：，，且，．
由得， 6分
所以， 7分
所以.
直线的方程为：，直线的方程为：， 8分
由
得 9分
. 11分
故点在直线，所以到的距离，
因此的面积是定值，为． 12分
解法三：（1）同解法一． 4分
（2）结论③正确．下证：的面积是定值． 5分
由题意得，，，，，直线的斜率不为0．
（i）当直线垂直于轴时，：，由得或
不妨设，
则直线的方程为：，直线的方程为：，
由得所以，
故到的距离，此时△的面积是． 6分
（ii）当直线不垂直于轴时，设直线：，，且，．
由得， 7分
所以． 8分
直线的方程为：，直线的方程为：， 9分
由
得 10分
．
下证：．
即证，
即证，
即证，
即证，
上式显然成立， 11分
故点在直线，所以到的距离，
此时的面积是定值，为．
由（i）（ii）可知，的面积为定值． 12分
解法四：（1）同解法一． 4分
（2）结论③正确．下证：的面积是定值． 5分
由题意得，，，，，且直线的斜率不为0，
可设直线：，，且，．
由得， 6分
所以． 7分
直线的方程为：，直线的方程为：， 8分
因为，所以，
故直线的方程为：．
由
得 9分
，
解得． 11分
故点在直线，所以到的距离，
因此的面积是定值，为 …………………12分