2023-2024学年沪科版九年级数学上册期中提升卷二
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1．下列关系式中表示是的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线经变换后得到抛物线，则这个变换可以是（ ）
A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位
C．向左平移5个单位 D．向右平移5个单位
3．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，ABC的面积为44，则四边形DBCE的面积是（ ）
A．22 B．24 C．26 D．28
4．如图，在△ABC中，点D、E分别在边BA、CA的延长线上， =2，那么下列条件中能判断DE∥BC的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，以点O为位似中心，在点O同侧作△DEF，使得△DEF与△ABC成位似图形，若OA：OD＝1：2，则△ABC与△DEF的周长比为（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5
6．二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
7．如图，在中，的平分线交于点，在延长线上取点，作交于点，交于点，则下列式子错误的是（ ）
A． B． C． D．
8．一次函数与反比例函数的图像如图所示，当时，自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．在同一平面直角坐标系中，反比例函数y（b≠0）与二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，中，∠B＝90°，AB＝BC＝4cm，点D为AB中点，点E和点F同时分别从点D和点C出发，沿AB、CB边向点B运动，点E和点F的速度分别为1cm/s和2cm/s，则的面积ycm2与点F运动时间x/s之间的函数关系的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．若二次函数的图象最高点的纵坐标为2，则a的值是 ．
12．已知，则 ．
13．如图，在同一平面直角坐标系中，函数y1＝kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2＝（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，则不等式y1＞y2的解集是 ．
14．如图所示，已知中，，边上的高，为上一点，，交于点，交于点，设点到边的距离为.则的面积关于的函数图像大致为 .
解答题（共9小题，15-18每题8分，19-20每题10分，21,22每题12分，23题14分，共计90分）
15．抛物线与轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式及它与轴的交点坐标．
(2)求这个函数的最大值(或最小值)和对应的自变量的值．
16．小明想用镜子测量校园内一棵松树的高度，如图所示，他把镜子放在水平地面上的点，沿着直线后退到点，这时恰好在镜子里看到树稍顶点的像，量得米，米．已知、均与地面垂直，小明的眼睛距离地面1.5米（即米），请你求出松树的高．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在BC、AB上，且∠BDE＝∠CAD．
（1）求证：△BDE∽△CAD；
（2）求证：△ADE∽△ABD．
18．如图，在直角坐标系中，抛物线交x轴于点A和点，点为抛物线上的一点．
(1)求b的值及该抛物线的对称轴．
(2)若，求n的最大值与最小值的差．
19．如图，在四边形中，，点E在上，．
(1)求证：；
(2)若，求与的周长之比．
20．“互联网＋”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条90元时，每月可销售50条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为元（售价不低于40元），每月的销售量为条．
(1)直接写出与的函数关系式；
(2)该网店每月获得的利润为元，当销售单价多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
(3)该网店店主为了保证捐款后每月利润4420元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？
21．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，且，．
(1)求一次函数的解析式；
(2)连结AO并延长交双曲线于点D，连结BD，求△ABD的面积．
22．已知抛物线y=ax2+4x+c经过A(2，1)，B(3，0)两点．
(1)求抛物线的解析式，并在给定的平面直角坐标系中画出此抛物线；
(2)根据图象，直接写出当 3≤y≤0时，x的取值范围；
(3)将抛物线y=ax2+4x+c向下平移m个单位后与直线AB只有一个公共点，求m的值．
23．已知：梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝3，AB＝6，DF⊥DC分别交射线AB、射线CB于点E、F．
（1）当点E为边AB的中点时（如图1），求BC的长；
（2）当点E在边AB上时（如图2），联结CE，试问：∠DCE的大小是否确定？若确定，请求出∠DCE的正切值；若不确定，则设AE＝x，∠DCE的正切值为y，请求出y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）当△AEF的面积为3时，求△DCE的面积．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页2023-2024学年沪科版九年级数学上册期中提升卷二
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列关系式中表示是的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据反比例函数定义：形如的函数是反比例函数，即可得到答案．
【详解】解：A、是反比例函数，故本选项符合题意；
B、是一次函数，故本选项不符合题意；
C、是二次函数，故本选项不符合题意；
D、是正比例函数，故本选项不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟记正比例函数，反比例函数以及一次函数、二次函数的定义是解题的关键，是基础题，难度不大．
2．抛物线经变换后得到抛物线，则这个变换可以是（ ）
A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位
C．向左平移5个单位 D．向右平移5个单位
【答案】B
【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．
【详解】解：，顶点坐标是（-1，-4）
，顶点坐标是（1，-4）
∴将抛物线向右平移2个单位后得到.
故选B.
【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
3．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，ABC的面积为44，则四边形DBCE的面积是（ ）
A．22 B．24 C．26 D．28
【答案】D
【分析】利用得到，所以则，解得，从而得到，然后计算两个三角形的面积差得到四边形DBCE的面积．
【详解】解：如图，设最小的三角形底边长为m,FH=3m，DE=4m,
则FH：DE=3:4,
图中所有三角形均相似，
∴，
∴
设，则，
∴，
解得，
∴，
∴四边形DBCE的面积．
故选D．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质，关键是得出FH：DE=3:4．
4．如图，在△ABC中，点D、E分别在边BA、CA的延长线上， =2，那么下列条件中能判断DE∥BC的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】只要证明，可得△BAC∽△DAE，证得∠B=∠D，即可解决问题．
【详解】解：A、 ，可得AE：AC=1：1，与已知不成比例，故不能判定；
B、，可得AC：AE=1：1，与已知不成比例，故不能判定；
C、即与已知的，可得两组边对应成比例，但夹角不知是否相等，因此不一定能判定；
D、，又∠BAC=∠DAE，∴△BAC∽△DAE，∴∠B=∠D，则DE//BC，符合题意，
故选D．
【点睛】本题考查相似三角形的判定、平行线的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5．如图，以点O为位似中心，在点O同侧作△DEF，使得△DEF与△ABC成位似图形，若OA：OD＝1：2，则△ABC与△DEF的周长比为（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5
【答案】A
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比求解即可．
【详解】解：∵△DEF与△ABC成位似图形，
∴△DEF∽△ABC，
∵OA：OD＝1：2，
∴AB：DE＝1：2，
∴△ABC与△DEF的周长比为1：2，
故选：A．
【点睛】此题考查了位似图形的性质和相似图形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的周长比等于相似比．
6．二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】A
【分析】根据二次函数图象与系数的关系逐个判断．
【详解】解：抛物线开口向下，，
对称轴在轴左边，可得，
图象与轴交点在原点上方，，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握抛物线开口、对称轴、与轴轴交点等与、、的关系．
7．如图，在中，的平分线交于点，在延长线上取点，作交于点，交于点，则下列式子错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由平行推出相似三角形，根据相似三角形的判定与性质，同时结合三角形的角平分线定理即可求出答案
【详解】∵
∴，
∴，
故A正确；
如图所示：作，，
∵CD平分
∴
∵，
∴
∵，
∴
∴，
故B正确；
∵
∴，，
∴，
∵CD平分
∴
∴
∴
∴
故C正确；
由D选项的等式可知需要证明，结合题目已知条件无法证明其成立，
故D错误；
故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练运用相似三角形的性质是解题关键，同时要求学生要能够熟悉三角形的角平分线的定理，合理利用面积法处理问题的能力等．
8．一次函数与反比例函数的图像如图所示，当时，自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题目中的图示，计算出一次函数与反比例函数的交点，由此即可求解．
【详解】解：∵一次函数与反比例函数有交点，
∴，解方程组得，或，
如图所示，设一次函数与反比例函数分别交于点，
∴，，
∴当时，自变量x的取值范围在点之间，即，
故选：．
【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数交点问题，掌握一次函数与反比例函数交点的计算方法，结合图形分析是解题的关键．
9．在同一平面直角坐标系中，反比例函数y（b≠0）与二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b的值取值范围，进而利用反比例函数的性质得出答案．
【详解】A、抛物线y＝ax2+bx开口方向向上，则a>0，对称轴位于轴的右侧，则a，b异号，即b<0．所以反比例函数y的图象位于第二、四象限，故本选项错误；
B、抛物线y＝ax2+bx开口方向向上，则a>0，对称轴位于轴的左侧，则a，b同号，即b>0．所以反比例函数y的图象位于第一、三象限，故本选项错误；
C、抛物线y＝ax2+bx开口方向向下，则a<0，对称轴位于轴的右侧，则a，b异号，即b>0．所以反比例函数y的图象位于第一、三象限，故本选项错误；
D、抛物线y＝ax2+bx开口方向向下，则a<0，对称轴位于轴的右侧，则a，b异号，即b>0．所以反比例函数y的图象位于第一、三象限，故本选项正确；
故选D．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象以及二次函数的图象，要熟练掌握二次函数，反比例函数中系数与图象位置之间关系．
10．如图，中，∠B＝90°，AB＝BC＝4cm，点D为AB中点，点E和点F同时分别从点D和点C出发，沿AB、CB边向点B运动，点E和点F的速度分别为1cm/s和2cm/s，则的面积ycm2与点F运动时间x/s之间的函数关系的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由y＝AE×BF＝×（2+x）（4﹣2x）＝﹣x2+4（0≤x≤2），即可求解．
【详解】解：由题意得：设CF＝2x，DE＝x，
则BF＝BC﹣FC＝4﹣2x，AE＝AD+DE＝2+x，
则y＝AE×BF＝×（2+x）（4﹣2x）＝﹣x2+4（0≤x≤2），
故选：D．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，确定函数表达式是解题的关键．
二、填空题
11．若二次函数的图象最高点的纵坐标为2，则a的值是 ．
【答案】-1
【分析】由抛物线顶点纵坐标且为最高点得出，且a＜0，解之可得．
【详解】解：∵二次函数的图象最高点的纵坐标为2，
∴，且a＜0，
解得：a=-1或a=4（舍去），
故答案为：-1．
【点睛】本题主要考查二次函数的最值，解题的关键是掌握二次函数的顶点坐标公式与性质．
12．已知，则 ．
【答案】/2.4
【分析】根据比例的性质求解，将等式的两边同时乘以，进而可得，根据比例的性质，即可求得答案．
【详解】，
，
即，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．
13．如图，在同一平面直角坐标系中，函数y1＝kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2＝（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，则不等式y1＞y2的解集是 ．
【答案】﹣3＜x＜0或x＞2．
【分析】通过对函数图象特征的了解：函数图象在上面的y值总比函数图象在下面的y值大；反之，就越小；
【详解】解：∵函数y1＝kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点
∴以﹣3和2为大小的分界点，﹣3＜x＜0，x＞2是y1函数图象都在y2函数图象的上方，
∴y1＞y2
故答案为﹣3＜x＜0或x＞2．
【点睛】这题主要考查反比例函数与一次函数的图象特征；解题思路：确定图象的交点，利用当x的值，函数图象上方的y值比函数图象下方的y值大；
14．如图所示，已知中，，边上的高，为上一点，，交于点，交于点，设点到边的距离为.则的面积关于的函数图像大致为 .
【答案】抛物线y =-x2+6x．（0＜x＜6）的部分.
【分析】可过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似三角形的性质可求出EF，进而求出函数关系式，由此即可求出答案．
【详解】解：过点A向BC作AH⊥BC于点H，
∵
∴△AEF∽△ABC
∴即，
∴y=×2（6-x）x=-x2+6x．（0＜x＜6）
∴该函数图像是抛物线y =-x2+6x．（0＜x＜6）的部分．
故答案为：抛物线y =-x2+6x．（0＜x＜6）的部分.
【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，根据几何图形的性质确定函数的图像能力．要能根据函数解析式及其自变量的取值范围分析得出所对应的函数图像的类型和所需要的条件，结合实际意义分析得解．
三、解答题
15．抛物线与轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式及它与轴的交点坐标．
(2)求这个函数的最大值(或最小值)和对应的自变量的值．
【答案】(1)；抛物线与轴的交点坐标为，
(2)当时，有最大值
【分析】（1）把点代入，待定系数法求解析式，进而令，解方程即可求解；
（2）将解析式化为顶点式，进而即可求解．
【详解】（1）由题意，把点代入，
得．
．
令，则，解得，．
抛物线与轴的交点坐标为，．
（2），
顶点坐标为，抛物线开口向下，
当时，有最大值．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，求抛物线与轴的交点坐标，化为顶点式，掌握二次函数的性质是解题的关键．
16．小明想用镜子测量校园内一棵松树的高度，如图所示，他把镜子放在水平地面上的点，沿着直线后退到点，这时恰好在镜子里看到树稍顶点的像，量得米，米．已知、均与地面垂直，小明的眼睛距离地面1.5米（即米），请你求出松树的高．
【答案】松树的高为7.5米．
【分析】根据题意可证，得到，由此求解即可．
【详解】解：由题意知，，
∴
∴，
∵米，米，米，
∴
∴（米）．
答：松树的高为7.5米．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在BC、AB上，且∠BDE＝∠CAD．
（1）求证：△BDE∽△CAD；
（2）求证：△ADE∽△ABD．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠B=∠C，结合已知条件∠BDE=∠CAD，即可证得结论；
（2）根据（1）的结论得到∠ADC=∠DEB，利用补角的性质可证得∠AED=∠ADB，再由公共角∠DAE=∠BAD，即可得出△ADE∽△ABD．
【详解】（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠BDE=∠CAD，
∴△BDE∽△CAD；
（2）∵△BDE∽△CAD，
∴∠ADC=∠DEB，
∴180-∠ADC=180-∠DEB，
∴∠AED=∠ADB，
又∵∠DAE=∠BAD，
∴△ADE∽△ABD．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法、等腰三角形的性质、补角的性质；熟练掌握三角形相似的判定方法，由等腰三角形的性质和补角的性质证出∠AED=∠ADB是解决问题的关键．
18．如图，在直角坐标系中，抛物线交x轴于点A和点，点为抛物线上的一点．
(1)求b的值及该抛物线的对称轴．
(2)若，求n的最大值与最小值的差．
【答案】(1)，对称轴
(2)8
【分析】（1）把代入，解得，易知对称轴，即可作答；
（2）由（1）知，对称轴，因为为抛物线上的一点，，则把，和分别代入，求出，再求n的最大值与最小值的差，即可列式作答．
【详解】（1）解：把代入，
则，
解得，
则
那么对称轴；
（2）解：由（1）知，对称轴，
∵为抛物线上的一点，且，
∴把，和分别代入，
∴当时，
当时，；
当时，；
所以n的最大值与最小值的差为．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象性质以及比较函数值的大小，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
19．如图，在四边形中，，点E在上，．
(1)求证：；
(2)若，求与的周长之比．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）得，再由，即可得出结论；
（2）由相似三角形的性质列出比例式即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：由（1）知，，
∴与的周长之比．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
20．“互联网＋”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条90元时，每月可销售50条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为元（售价不低于40元），每月的销售量为条．
(1)直接写出与的函数关系式；
(2)该网店每月获得的利润为元，当销售单价多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
(3)该网店店主为了保证捐款后每月利润4420元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？
【答案】(1)
(2)当销售单价70元时，每月获得的利润最大，最大利润是4500元
(3)当销售单价定为66元，既符合店主的要求，又让消费者得到最大的实惠
【分析】（1）直接利用“销售单价每降1元，则每月可多销售5条”得出与的函数关系式；
（2）总利润销量每件利润，由此可得出函数关系式，再将函数关系式化为顶点式即可求出最值；
（3）解不等式即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意可得，，
与的函数关系式为；
（2）解：
，
，
有最大值，
当时，，
即当销售单价70元时，每月获得的利润最大，最大利润是4500元；
（3）解：由题意得：，
整理得，
如图：
解得：，
当时，能保证捐款后每月利润4420元，
而为了让顾客得到最大实惠，故，
当销售单价定为66元时，即保证捐款后每月利润4420元，且让消费者得到最大的实惠．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是根据题意建立函数模型，正确得出与之间的函数关系式．
21．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，且，．
(1)求一次函数的解析式；
(2)连结AO并延长交双曲线于点D，连结BD，求△ABD的面积．
【答案】(1)
(2)16
【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）过点D作轴交AB于点E．根据A、D两点关于原点对称，可得，把代入得，则，根据即可求得△ABD的面积．
（1）
解：把代入得，
∴反比例函数的解析式为，
∴
将和代入得，解得
∴一次函数的解析式为：
（2）
过点D作轴交AB于点E．
∵A、D两点关于原点对称，
∴
把代入得，
∴
∴，
∴
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数的性质，根据对称性求得点的坐标是解题的关键．
22．已知抛物线y=ax2+4x+c经过A(2，1)，B(3，0)两点．
(1)求抛物线的解析式，并在给定的平面直角坐标系中画出此抛物线；
(2)根据图象，直接写出当 3≤y≤0时，x的取值范围；
(3)将抛物线y=ax2+4x+c向下平移m个单位后与直线AB只有一个公共点，求m的值．
【答案】(1)；作图见解析
(2)或
(3)
【分析】（1）利用待定系数法可求得抛物线的解析式，再列表、描点、连线即可画出此抛物线；
（2）根据图象即可求得结果；
（3）先求得直线AB的解析式，联立方程，根据方程根的判别式，即可求解．
【详解】（1）解：由题意，将A(2，1)，B(3，0)代入y=ax2+4x+c得：
，解得：
∴抛物线的解析式为：y= x2+4x 3，
列表：
x 0 1 2 3 4
y -3 0 1 0 -3
描点、连线，函数图像如图所示．
；
（2）解：由y= x2+4x 3的图像得：当时，或；
（3）解：根据题意，设直线AB的解析式为：，则：
，解得：，
∴直线AB的解析式为：，
将抛物线向下平移m个单位后得到的抛物线解析式为：，
∵平移后抛物线与直线AB只有一个公共点
∴方程，即有两个相等的实数根．
∴，解得，
∴m的值为．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象的几何变换，会利用方程求抛物线与直线的交点．要熟练掌握画图的能力和识别图形的能力．
23．已知：梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝3，AB＝6，DF⊥DC分别交射线AB、射线CB于点E、F．
（1）当点E为边AB的中点时（如图1），求BC的长；
（2）当点E在边AB上时（如图2），联结CE，试问：∠DCE的大小是否确定？若确定，请求出∠DCE的正切值；若不确定，则设AE＝x，∠DCE的正切值为y，请求出y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）当△AEF的面积为3时，求△DCE的面积．
【答案】（1）9；（2）∠DCE的大小确定，.（3）当△AEF的面积为3时，△DCE的面积为25或73.
【分析】（1）根据AD//BC和 E为AB中点，得出 AD＝ BF，DE＝ EF，再根据AD＝3，AB＝6，求出BF＝3，再求出DF的值，最后求出CF即可；
（2）作CH⊥AD交AD的延长线于点H，再得出△AED∽△HDC再根据AB⊥AD，CH⊥AD，AD//BC，得出CH ＝AB＝6，然后得出∠DCE的正切值；
（3）当点E在边AB上，设AE＝x，根据△AEF的面积为3得出x的值，再求出DE,DC的值，然后可以得出△DCE的面积；当点E在边AB延长线上，设AE＝y，根据△AEF的面积为3，得出，联结CE，作CH⊥AD交AD的延长线于点H，得出DC,DE的值即可.
【详解】解：（1）∵AD//BC，∴.∵E为AB中点，∴AE＝BE. ∴AD＝ BF，DE＝ EF.
∵AD＝3，AB＝6，∴BF＝3，BE＝3. ∴BF＝BE.
∵AB⊥BC，∴∠F＝45°且EF＝.
∴DF＝2EF＝.
∵DF⊥DC，∠F＝45°，∴CF＝12.
∴BC＝ .
（2）∠DCE的大小确定，.
作CH⊥AD交AD的延长线于点H，∴∠HCD＋∠HDC＝90°.
∵DF⊥DC，∴∠ADE＋∠HDC＝90°. ∴∠HCD＝∠ADE.
又∵AB⊥AD，∴∠A＝∠CHD. ∴△AED∽△HDC.
∴.
∵AB⊥AD，CH⊥AD，AD//BC，∴CH ＝AB＝6.
∵AD＝3，CH＝6，∴.即.
（3）当点E在边AB上，设AE＝x，
∵AD//BC，∴，即.∴.
∵△AEF的面积为3，∴.
∴.
∵AD＝3，AB⊥AD，∴DE＝5. ∵，∴DC＝10.
∵DF⊥DC，∴.
当点E在边AB延长线上，设AE＝y，
∵AD//BC，∴，即.∴.
∵△AEF的面积为3，∴.∴.
∵AD＝3，AB⊥AD，∴DE＝.
联结CE，作CH⊥AD交AD的延长线于点H，同（1）可得.
∴DC＝
∵DF⊥DC，∴.
综上，当△AEF的面积为3时，△DCE的面积为25或73.
【点睛】本题考查的是梯形的综合运用，熟练掌握平行的性质和三角函数和相似三角形是解题的关键.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页2023-2024学年沪科版九年级数学上册期中提升卷三（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知， 则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据比例的性质直接求解即可．
【详解】解：，
．
故选A．
【点睛】本题考查比例的性质，掌握比例的内项之积等于外项之积是解题的关键．
2．将二次函数的图象向上平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得图象的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据二次函数图象的平移规律解答即可．
【详解】解：将抛物线向上平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式是，
故选：A
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，二次函数图象平移的规律是左加右减，上加下减．
3．若y与x成反比例，x与成正比例，则y是z的（ ）
A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．不能确定
【答案】A
【分析】设，（k、a为常数，，），代入后进行化简，即可得出选项．
【详解】解：∵y与x成反比例，x与成正比例，
∴设，（k、a为常数，，），
∴，
即y是z的正比例函数，
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数、正比例函数的定义，能熟记函数的定义是解此题的关键．
4．在同一直角坐标系中，一次函数y=kx-k与反比例函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】试题解析：A、∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0，∴-k＞0，∴一次函数y=kx-k的图象经过一、二、四象限，故本选项正确；
B、∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0，∴-k＞0，∴一次函数y=kx-k的图象经过一、二、四象限，故本选项错误．
C、∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0，∴-k＜0，∴一次函数y=kx-k的图象经过一、三、四象限，故本选项错误；
D、∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0，∴-k＜0，∴一次函数y=kx-k的图象经过一、二、四象限，故本选项错误；
故选A ．
考点：1.反比例函数的图象；2.一次函数的图象．
5．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长是个单位长度，以点为位似中心，在网格中画，使与位似，且与的位似比为，则点的坐标可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用位似性质和网格特点，延长CA到A1，使CA1=2CA，延长CB到B1，使CB1=2CB，则△A1B1C1满足条件；或延长AC到A1，使CA1=2CA，延长BC到B1，使CB1=2CB，则△A1B1C1也满足条件，然后写出点B1的坐标．
【详解】解：由图可知，点B的坐标为（3，-2），
如图，以点C为位似中心，在网格中画△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC位似，且△A1B1C1与△ABC的位似比为2:1，
则点B1的坐标为（4，0）或（-8，0），位于题目图中网格点内的是（4,0），
故选：B．
【点睛】本题考查了位似变换及坐标与图形的知识，解题的关键是根据两图形的位似比画出图形，注意有两种情况．
6．如图，在中，，且DE分别交AB，AC于点D，E，若，则△和△的面积之比等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由DE∥BC，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，进而可得出△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出结论．
【详解】∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
7．如图，将沿射线方向平移后得到．若，，，则线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知条件和平移的性质推出AB=DE=3，，即可推出EC的长度从而求出BF的长．
【详解】解：将沿射线方向平移后得到，，，，
DE=3，∠A=∠CPE，∠B=∠DEC，，BC=EF，
PE=2， ，
AB : PE=BC : EC，即3 : 2=4 : EC，
EC=，
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查平移的性质、相似三角形的判定和性质，求证三角形相似，找到对应边是解题的关键．
8．已知抛物线，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线开口向下 B．抛物线的对称轴是直线
C．当时，的最大值为 D．抛物线与轴的交点为
【答案】D
【分析】根据二次函数的性质对A、B进行判断；根据二次函数图象上点的坐标特征对C进行判断；利用抛物线与轴交点坐标对D进行判断．
【详解】A、a=1＞0，则抛物线的开口向上，所以A选项错误；
B、抛物线的对称轴为直线x=1，所以B选项错误；
C、当x=1时，有最小值为，所以C选项错误；
D、当x=0时，y=-3，故抛物线与轴的交点为，所以D选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要涉及开口方向，对称轴，与y轴的交点坐标，最值问题，熟记二次函数的性质是解题的关键．
9．如图，某小区有一块三角形绿地，其中．计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧，使点P，M，N分别在边上．记，图中阴影部分的面积为．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系 B．一次函数关系，反比例函数关系
C．二次函数关系，一次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系
【答案】A
【分析】先求出，再证明都是等腰直角三角形，从而推出，，由此即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴都是等腰直角三角形，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴y与x，S与x满足的函数关系分别是一次函数关系，二次函数关系，
故选A．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，列函数关系式，二次函数的定义等等，正确求出对应的函数关系式是解题的关键．
10．如图，点是正方形内一点，是等边三角形，连接、对角线交于点，现有以下结论：①；②；③，其中正确的结论有（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】①根据等边三角形得∠CMB＝60°，再根据等腰三角形的性质得∠AMB＝∠CMD＝75°，最后根据周角的定义即可得出结论；②证明△MND∽△MDC，列比例式即可得出结论；③过点M作MG⊥AB于G，设MG＝x，根据直角三角形30度角的性质和勾股定理分别计算BC、AG、BG的长，根据面积公式计算即可得出结论．
【详解】解：∵△MBC是等边三角形，
∴∠MBC＝∠MCB＝∠CMB＝60°，BM＝BC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝BC，
∴∠ABM＝∠DCM＝30°，
∵AB＝BM，
∴∠AMB＝∠BAM＝×（180° 30°）＝75°，
同理：∠CMD＝∠CDM＝75°，
∴∠AMD＝360° 75° 75° 60°＝150°；
故①正确；
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BDC＝45°，
∴∠MDN＝∠CDM ∠BDC＝75° 45°＝30°，
∵∠CMD＝∠CMD，∠MDN＝∠DCM＝30°，
∴△MND∽△MDC，
∴，
∴DM2＝MN MC，
∵∠BAD＝∠ADC，∠BAM＝∠CDM，
∴∠MAD＝∠MDA，
∴MA＝DM，
∴MA2＝MN MC，
故②正确；
过点M作MG⊥AB于G，
设MG＝x，
Rt△BGM中，∠GBM＝30°，
∴BM＝BC＝AB＝2x，BG＝x，
∴AG＝2x x，
∴
故③错误．
故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，勾股定理、平行线的性质等知识；设出未知数，表示出各边长是解题的关键．
二、填空题
11．抛物线经过点、两点，则关于x的一元二次方程的解是 ．
【答案】
【分析】直接利用抛物线与x轴的交点的横坐标与相对应的一元二次方程的解的关系可得答案．
【详解】解： 抛物线经过点、两点，
关于x的一元二次方程的解是
故答案为：
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，掌握“二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标是关于x的一元二次方程的解”是解本题的关键．
12．已知二次函数，当，取得最小值为，则 ， ．
【答案】 －1 －6
【分析】抛物线的开口向上，当x＝，y取得最小值为，也就是对称轴x＝－，求得点P，进一步代入求得q即可．
【详解】解：∵二次函数y＝x2＋px＋q，当x＝，y取得最小值为
∴x＝－，p＝－1，
∴＋q,
解得：q＝－6．
故答案为－1，－6．
【点睛】此题考查二次函数的最值，二次函数的性质，利用最值得出对称轴是解决问题的关键．
13．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，当y＞0时，x的取值范围是 ．
【答案】-3＜x＜1
【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一交点坐标，然后结合函数图象可以直接得到答案．
【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0），对称轴为直线x=-1，
∴抛物线与x轴的另一交点坐标是（-3，0），
∴当y＞0时，x的取值范围是-3＜x＜1．
故答案为：-3＜x＜1．
【点睛】本题考查了抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征．解题时，利用了“数形结合”的数学思想．
14．如图，在菱形中，，M、N是边上任意两点，将菱形沿翻折，点A恰巧落在对角线上的点E处
（1）若，则 ；
（2）若，则
【答案】 /40度
【分析】（1）根据折叠的性质得：，再由，可得，即可求解；
（2）根据折叠的性质得：，，可得，先证明是等边三角形，可得，可得到，可证得，即可求解．
【详解】解：（1）根据折叠的性质得：，
∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：
（2）根据折叠的性质得：，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，图形的折叠，等边三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质，相似三角形的判定和性质，图形的折叠，等边三角形的判定和性质是解题的关键．
三、解答题
15．已知某抛物线过点，对称轴为，顶点在直线上，求此抛物线的解析式．
【答案】
【分析】先求出抛物线的顶点坐标，然后设二次函数的解析式为：，把点代入求出a的值，即可得出答案．
【详解】解：∵对称轴，顶点在直线，
∴，
∴顶点坐标为，
设二次函数的解析式为：，
把点代入得，，
解得：，
∴二次函数的解析式为：．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，解题的关键是求出抛物线的顶点坐标，将抛物线的解析式设为顶点式．
16．如图，在平面直角坐标系中，△AOB的位置如图所示，图中小正方形的边长均为1，请画出△AOB以点O为位似中心，放大到原来的2倍的位似图形，并写出放大后三角形三个顶点的坐标．
【答案】图形见解析
【详解】试题分析：由图可求得△AOB各点的坐标，又由画出△AOB以点O为位似中心，放大到原来的2倍的位似图形，根据位似的性质，求得变化后三角形各点的坐标，继而画出图形．
试题解析：如图，∵A（﹣3，0），B（﹣2，2），O（0，0），△A′OB′是△AOB以点O为位似中心，放大到原来的2倍的位似图形，
∴A′（﹣6，0），O（0，0），B′（﹣4，4）或A″（6，0），O（0，0），B″（4，﹣4）．
考点：作图-位似变换
17．如图，△EFD和△CFB是以点F为位似中心的位似图形，EF：FC＝1：2，若S△EFD＝1，求四边形EBCD的面积．
【答案】9
【分析】利用位似的定义和相似的性质得△DEF∽△BCF，所以＝（）2＝，则S△BCF＝4，再利用高相同，面积比等于底边之比，可计算出S△DCF＝2，S△BEF＝2，然后把所有三角形的面积相加可得到四边形EBCD的面积．
【详解】解：∵△EFD和△CFB是以点F为位似中心的位似图形，
∴△DEF∽△BCF，
∴＝（）2＝，
∴S△BCF＝4S△DEF＝4×1＝4，
∵EF：FC＝1：2，
∴S△DCF＝2S△DEF＝2，S△BCF＝2S△BEF，
∴S△BEF＝2，
∴四边形EBCD的面积＝1+4+2+2＝9．
【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．也考查了三角形面积公式．
18．如图，坐标系上有A（2，0）、B（4，0）两点.二次函数的图象经过这两点
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设该二次函数的图象的顶点为P，抛物线向上或向下平移多少个单位，则△ABP是正三角形．
【答案】（1）（2）抛物线向上平移个单位；或下移
【详解】试题分析：
解：（1）把坐标(2，0)，(4，0)代入，
得 解得
∴所求二次函数的关系式为
（2）顶点坐标P（3，0.5）
AB="2," 要使等边三角形则，AB边上的高为
所以抛物线向上平移个单位；或下移
考点：一元二次方程
点评：此题是对二次函数的考查，属于中考的必考内容，解答此类题型时，应注意数形结合思维的应用．
19．如图，将矩形纸片沿着过点D的直线折叠，使点A落在边上，落点为F，折痕交边于点E，
(1)求证：；
(2)若，求的长；
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】（1）根据矩形的性质可得，从而得到，再由根据折叠的性质可得，从而得到，即可求证；
（2）根据折叠的性质可得，再由勾股定理可得，即可求解．
【详解】（1）证明： ∵四边形是矩形，
∴，
∴，
根据折叠的性质得：，
∴，
∴，
∴；
（2）解：根据折叠的性质得：，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握相似三角形的判定，矩形的性质，勾股定理是解题的关键．
20．如图，线段、是的两条高．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据高线的定义，得到，再根据，即可得证；
（2）证明，列出比例式进行求解即可．
【详解】（1）解：∵线段、是的两条高，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
∴．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质．熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似，是解题的关键．
21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于第一、三象限内的，两点，与轴交于点，过点作轴，垂足为点，，，点的纵坐标为．
（1）求点的坐标；
（2）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（3）连接，求四边形的面积．
【答案】（1）点的坐标为；（2），；（3）8
【分析】（1）在中利用勾股定理可求得OM，BM的长，进而得出点B的坐标；
（2）根据题意得出B点坐标，可得出反比例函数解析式，把点A的纵坐标代入反比例函数解析式可得出点A的横坐标，再利用待定系数法得出一次函数解析式；
（3）先判定四边形MBOC为平行四边形，再利用面积公式求解即可．
【详解】解：（1）在中，，，
，解得，，
点的坐标为；
（2）反比例函数的图像经过点，
，该反比例函数的解析式为；
反比例函数经过点，而点的纵坐标为，
，解得，点坐标；
将点和的坐标代入一次函数的解析式中，得
，解得，
一次函数的解析式为；
（3）一次函数与轴交于点，当时，，
∴C点的坐标为，，
，，
又轴，，
四边形为平行四边形，
．
【点睛】此题是一次函数与反比例函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式以及平行四边形的判定与平行四边形面积的求法，正确利用数形结合分析是解题关键．
22．如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．
(1)用含a的式子表示花圃的面积．
(2)如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽．
(3)已知某园林公司修建通道、花圃的造价（元）与修建面积x（m2）之间的函数关系如图2所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过10米，那么通道宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价最低，最低总造价为多少元？
【答案】(1)
(2)5
(3)当通道宽为2米时，修建的通道和花圃的总造价最低为105920元．
【分析】（1）用含a的式子先表示出花圃的长和宽，再利用其矩形面积公式即可解答；
（2）根据通道所占面积是整个长方形空地面积的，列方程解答即可；
（3）根据图像设出通道和花圃的解析式，然后用待定系数法求出解析式，再根据实际问题写出自变量的取值范围即可．
【详解】（1）解：由图可知：花圃的面积为；
（2）解：由已知可列式：，解得：，（舍去），
答：所以通道的宽为5米；
（3）解：设修建的道路和花圃的总造价为y，
运用待定系数可得：， ；
，
由，当时， 或，
∴
修建通道、花圃的造价,
则
∴当时，
当在y随x的增大而减小
∴当时，
∴当通道宽为2米时，修建的通道和花圃的总造价最低为105920元．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用、一元二次方程的应用、最值问题等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
23．已知：在中，，，且点，分别在矩形的边，上．
(1)如图，当点在上时，求证：；
(2)如图，若是的中点，与相交于点，连接，求证：；
(3)如图，若，，分别交于点，，求证：
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
(3)详见解析
【分析】先用同角的余角相等，判断出，即可得出结论；
先判断出，得出，，进而判断出，即可得出结论；
先判断出，，进而判断出，得出，进而得出，判断出，即可得出结论．
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
在和中，
；
（2）证明：如图，延长，相交于，
，
由知，，
，
点是的中点，
，
在和中，
，
，，
，
，
，
；
（3）证明：如图，过点作交的延长线于，
，
同的方法得，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，以及等腰三角形的判定和性质，作出辅助线是解决本题的关键．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页2023-2024学年沪科版九年级数学上册期中提升卷三（原卷版）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1．已知， 则 （ ）
A． B． C． D．
2．将二次函数的图象向上平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得图象的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
3．若y与x成反比例，x与成正比例，则y是z的（ ）
A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．不能确定
4．在同一直角坐标系中，一次函数y=kx-k与反比例函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长是个单位长度，以点为位似中心，在网格中画，使与位似，且与的位似比为，则点的坐标可以为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，且DE分别交AB，AC于点D，E，若，则△和△的面积之比等于（ ）
A． B． C． D．
7．如图，将沿射线方向平移后得到．若，，，则线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
8．已知抛物线，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线开口向下 B．抛物线的对称轴是直线
C．当时，的最大值为 D．抛物线与轴的交点为
9．如图，某小区有一块三角形绿地，其中．计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧，使点P，M，N分别在边上．记，图中阴影部分的面积为．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系 B．一次函数关系，反比例函数关系
C．二次函数关系，一次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系
10．如图，点是正方形内一点，是等边三角形，连接、对角线交于点，现有以下结论：①；②；③，其中正确的结论有（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．抛物线经过点、两点，则关于x的一元二次方程的解是 ．
12．已知二次函数，当，取得最小值为，则 ， ．
13．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，当y＞0时，x的取值范围是 ．
14．如图，在菱形中，，M、N是边上任意两点，将菱形沿翻折，点A恰巧落在对角线上的点E处
（1）若，则 ；
（2）若，则
解答题（共9小题，15-18每题8分，19-20每题10分，21,22每题12分，23题14分，共计90分）
15．已知某抛物线过点，对称轴为，顶点在直线上，求此抛物线的解析式．
16．如图，在平面直角坐标系中，△AOB的位置如图所示，图中小正方形的边长均为1，请画出△AOB以点O为位似中心，放大到原来的2倍的位似图形，并写出放大后三角形三个顶点的坐标．
17．如图，△EFD和△CFB是以点F为位似中心的位似图形，EF：FC＝1：2，若S△EFD＝1，求四边形EBCD的面积．
18．如图，坐标系上有A（2，0）、B（4，0）两点.二次函数的图象经过这两点
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设该二次函数的图象的顶点为P，抛物线向上或向下平移多少个单位，则△ABP是正三角形．
19．如图，将矩形纸片沿着过点D的直线折叠，使点A落在边上，落点为F，折痕交边于点E，
(1)求证：；
(2)若，求的长；
20．如图，线段、是的两条高．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于第一、三象限内的，两点，与轴交于点，过点作轴，垂足为点，，，点的纵坐标为．
（1）求点的坐标；
（2）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（3）连接，求四边形的面积．
22．如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．
(1)用含a的式子表示花圃的面积．
(2)如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽．
(3)已知某园林公司修建通道、花圃的造价（元）与修建面积x（m2）之间的函数关系如图2所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过10米，那么通道宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价最低，最低总造价为多少元？
23．已知：在中，，，且点，分别在矩形的边，上．
(1)如图，当点在上时，求证：；
(2)如图，若是的中点，与相交于点，连接，求证：；
(3)如图，若，，分别交于点，，求证：
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页2023-2024学年沪科版九年级数学上册期中提升卷四（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．抛物线y=x2﹣2x+1的顶点坐标是（ ）
A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（﹣2，1） D．（2，﹣1）
【答案】A
【分析】把原二次函数通过配方法，化为顶点式，即可得到答案．
【详解】由原二次函数，得y=（x﹣1）2，
∴该抛物线的顶点坐标是：（1，0）．
故选A．
【点睛】本题主要考查二次函数图象的顶点坐标，掌握配方法，把二次函数化为顶点式，是解题的关键．
2．把一个足球垂直于水平地面向上踢，该足球距离地面的高度（米）与所经过的时间（秒）之间的关系为. 若存在两个不同的的值，使足球离地面的高度均为（米），则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意可得方程10t-t2=a，由存在两个不同的t的值，使足球离地面的高度均为a，故△=b2-4ac＞0，即可求出相应的范围.
【详解】∵a≥0，由题意得方程
10t-t2=a有两个不相等的实根
∴△=b2-4ac=102－4××a＞0得0≤a＜50
又∵0≤t≤14
∴当t=14时，a=h=10×14-×142=42
所以a的取值范围为：42≤a＜50
故选C．
【点睛】考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意得到相应的方程及将实际问题转化为方程问题．
3．点是反比例函数图象上的两点，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【详解】试题分析：根据反比例函数图象的增减性进行填空．
∵反比例函数中的9＞0，
∴经过第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，
又∵A（1，y1）、B（3，y2）都位于第一象限，且1＜3，
∴y1＞y2，
故选A．
考点：反比例函数图象上点的坐标特征.
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB的中点，点P是直线BC上一点，将△BDP沿DP所在的直线翻折后，点B落在B1处，若B1D⊥BC，则点P与点B之间的距离为（ ）
A．1 B． C．1或 3 D．或5
【答案】D
【分析】分点B1在BC左侧，点B1在BC右侧两种情况讨论，由勾股定理可AB=5，由平行线分线段成比例可得，可求BE，DE的长，由勾股定理可求PB的长．
【详解】解：如图，若点B1在BC左侧，
∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=
∵点D是AB的中点，
∴BD=BA=
∵B1D⊥BC，∠C=90°
∴B1D∥AC
∴
∴BE=EC=BC=2，DE=AC=
∵折叠
∴B1D=BD=，B1P=BP
∴B1E=B1D-DE=1
∴在Rt△B1PE中，B1P2=B1E2+PE2，
∴BP2=1+（2-BP）2，
∴BP=
如图，若点B1在BC右侧，
∵B1E=DE+B1D=+，
∴B1E=4
在Rt△EB1P中，B1P2=B1E2+EP2，
∴BP2=16+（BP-2）2，
∴BP=5
故选：D．
【点睛】本题考查了折叠的性质、直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意折叠中的对应关系．
5．已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB，若AB＝2，则PB＝（ ）
A． B． C．3﹣ D．﹣1
【答案】C
【分析】根据黄金分割点的定义，根据AP＞BP情况，AP＝AB叫做黄金比进行计算，代入数据即可得出PB的长．
【详解】解：当AP＞BP时，
AP＝×2＝﹣1，
PB＝2﹣（）＝3﹣，
故选：C．
【点睛】本题考查了黄金分割的知识点，熟记较长的线段=原线段的倍是解题的关键．
6．在反比例函数图像上，到轴和轴的距离相等的点（ ）
A．1个 B．2个 C．4个 D．无数多个
【答案】B
【分析】由题意根据反比例函数的性质和函数的解析式得出函数的图象在第一、三象限，即在每个象限内的点的横、纵坐标的符号相同，根据距离相等得出x=y，代入函数解析式求出即可．
【详解】解：∵中k=6＞0，
∴函数的图象在第一、三象限，即在每个象限内的点的横、纵坐标的符号相同，
当点到x轴、y轴的距离相等时，x=y，
代入函数解析式得：，
解得：，
即点的坐标是或，共2个点，
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解答此题的关键．
7．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，若AB=4，BC=8．则D′F的长为（ ）
A．2 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【分析】连接AC交EF于点O，由矩形的性质得出AD=BC=8，∠B=90°，由勾股定理得出AC=，由折叠的性质得出EF⊥AC，AO=CO=AC=2，证出
Rt △AOF ∽Rt △ADC，则，求出AF=5，即可得出结果．
【详解】解：连接交于点，如图所示：
∵四边形是矩形，
∴，，
，
∵折叠矩形使与重合时，，，
∴，，
∴则Rt △AOF ∽Rt △ADC
∴，即：，
解得：，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握折叠的性质，证明三角形相似是解题的关键．
8．如图，在直角坐标系中，已知点A，点分别是轴和轴上的点，过轴上的另一点作，与反比例函数的图象交于、两点，恰好为的中点，连结和．若，的面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设DC交y轴F，设，先证明，再用相似三角形的性质求出，A、B坐标，知道的面积为，设，E为中点，可以得到是的三等分点，即可以求出k．
【详解】设DC交y轴F，设
∵，
∴
∵
∴，得
∴
∴
设，
∵E为中点，
∴
∵由于C、E都在上，
∴
∴
∴
∴是的三等分点，
∴
∴b=3y，
∴，得
故
得，
∵在上
∴
故选：C
【点睛】此题考查的是反比例函数交点问题以及相似三角形的性质和判定，掌握反比例函数的性质和相似三角形的性质和判定是解题的关键．
9．如图，与位似，点是它们的位似中心，其中，则与的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由位似三角形的含义可得：再利用位似图形的面积比等于位似比的平方可得答案.
【详解】解：
与位似，点是它们的位似中心，
故选：D
【点睛】本题考查的是位似三角形的含义，位似三角形的性质，掌握“位似三角形的面积之比等于位似比的平方”是解题的关键.
10．如图1，在矩形ABCD中，BC＝x，CD＝y，y与x满足的反比例函数关系式如图2所示，等腰直角三角形AEF的斜边EF过点C，M为EF的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．当x＝3时，EC＜EM
B．当y＝3时，EC＞EM
C．当x增大时，EC×CF的值增大
D．当x增大时，BE×DF的值不变
【答案】D
【分析】由于等腰直角三角形AEF的斜边EF过C点，则△BEC和△DCF都是直角三角形；观察反比例函数图像得反比例解析式为y＝，当x＝3，y＝3，即BC＝CD＝3，根据等腰直角三角形的性质得CE＝3，CF＝3，则C点与M点重合；由于EC CF＝x×y＝2xy，其值为定值；利用等腰直角三角形的性质BE DF＝BC CD＝xy，然后再根据反比例函数的性质得BE DF＝9，其值为定值．
【详解】解：因为等腰直角三角形AEF的斜边EF过C点，M为EF的中点，所以△BEC和△DCF都是直角三角形；观察反比例函数图像得x＝3，y＝3，则反比例解析式为y＝．
A、当x＝3时，y＝3，即BC＝CD＝3，所以CE＝BC＝3，CF＝CD＝3，C点与M点重合，则EC＝EM，所以A选项错误；
B、当y＝3时，x＝＝3，
∴EC＝3，CF＝CD＝3，C点与M点重合，则EC＝EM，选项B不符合题意；
C、因为EC CF＝x y＝2×xy＝18，所以，EC CF为定值，所以C选项错误；
D、因为BE DF＝BC CD＝xy＝9，即BE DF的值不变，所以D选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图像：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图像，注意自变量的取值范围．
二、填空题
11．甲、乙两地的实际距离是400km，在比例尺为1:500000的地图上，甲乙两地的距离是 .
【答案】80cm
【分析】设地图上，甲乙两地的距离是xcm，根据比例尺的定理列出方程，解之可得．
【详解】解：设地图上，甲乙两地的距离是xcm，
根据题意，得：=，
解得：x=80，
即地图上，甲乙两地的距离是80cm
【点睛】本题考查了比例线段，能够根据比例尺灵活计算，注意单位的换算问题．
12．如图，小明站在地面D处，刚好离路灯AB的距离为4米．已知小明身高为1.6米，它的影长CD为2米，那么路灯AB的高为 米．
【答案】4.8
【分析】根据题意求出△ABC∽△EDC，代入数据和比例，求解即可．
【详解】由题意知：BD=4，DE=1.6，CD=2，且AB⊥BC，DE⊥BC，
∴ABDE，
在△ABC中
∵ABDE
∴△ABC∽△EDC
∴
又∵DE=1.6
∴AB=4.8
故AB为4.8．
【点睛】本题主要考查了三角形相似的性质，正确掌握三角形相似的性质是解题的关键．
13．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B的坐标分别为（0，4），（﹣3，0），E为AB的中点，EF∥AO交OB于点F，AF与EO交于点P，则EP的长为 ．
【答案】.
【分析】由点A，B的坐标可得出OA，OB的长度，根据三角形的中位线可得出EF，OF的长，在Rt△OEF中，利用勾股定理可得出OE的长，由EF∥AO可得出△EPF∽△OPA，利用相似三角形的性质可得出 ，结合EP+OP= 即可求出EP的长．
【详解】解：∵点A，B的坐标分别为（0，4），（﹣3，0），
∴OA＝4，OB＝3．
∵E为AB的中点，EF∥AO交OB于点F，
∴EF＝OA＝2，OF＝OB＝．
在Rt△OEF中，OF＝，EF＝2，
∴OE＝．
∵EF∥AO，
∴△EPF∽△OPA，
∴，
∴，
∴EP＝OE＝．
故答案为．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、坐标与图形的性质、勾股定理以及三角形的中位线，解题的关键是利用相似三角形的性质找出EP=OE．
14．对于一个函数，当自变量x取a时，函数值y也等于a，则称点（a，a）是这个函数的同值点，已知二次函数．
（1）若点（2，2）是此函数的同值点，则m的值为 ．
（2）若此函数有两个相异的同值点（a，a）、（b，b），且a＜1＜b，则m的取值范围为 ．
【答案】 ﹣8 m＜﹣3
【分析】（1）根据函数的同值点的定义，代入函数解析式即可求得答案；
（2）（a，a），（b，b）在直线y＝x上，令＝x，整理得，可得Δ＝＞0，解得m＜1，再设，由a＜1＜b，可得x＝1时，y＝3+m＜0，解得m＜﹣3，即可求解．
【详解】解：（1）∵点（2，2）是此函数的同值点，
∴抛物线经过（2，2），
将（2，2）代入得2＝4+6+m，
解得m＝﹣8，
故答案为：﹣8．
（2）∵（a，a），（b，b）在直线y＝x上，
令＝x，
整理得，
∵函数有两个相异的同值点，
∴Δ＝＞0，
解得m＜1，
设，
∵a＜1＜b，
∴x＝1时，y＝3+m＜0，
解得m＜﹣3，
综上可知，m＜﹣3，
故答案为：m＜﹣3．
【点睛】本题考查二次函数的新定义问题，解题关键是理解题意，掌握二次函数与方程的关系，掌握函数与方程的转化．
三、解答题
15．的坐标分别为，，，以原点为位似中心，在第一象限将扩大，使变换得到的与对应边的比为，
画出；
求四边形的面积．
【答案】答案见解析；．
【分析】（1）根据题意作出相应的图形，如图所示；
（2）由图形求出OA，OB，OE，OF的长，四边形ABFE的面积=三角形EOF面积﹣三角形AOB面积，求出即可．
【详解】解：（1）作出相应的图形，如图所示；
（2）由题意得：OA=4，OB=3，OE=8，OF=6，△OAB与△EOF都为直角三角形，则S四边形ABFE=S△OEF﹣S△OAB=OF OE﹣OB OA=×6×8﹣×3×4=24﹣6=18．
【点睛】本题考查了作图﹣位似变换，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
16．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图像，写出三条关于a，b，c的信息．
【答案】a＜0，b＞0，c=2，a-b+c=0，4a+2b+c=0，a+b+c=2，a+b=0等，答案不唯一
【分析】利用抛物线图象的开口方向，与y轴交点坐标，对称轴位置进行判定a、b、c的信息．
【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0；
∵抛物线与y轴的交点为（0，2），故c=2；
∵抛物线对称轴x=＞0，
故a、b异号，b＞0；
∵抛物线经过点（-1,0）和（2,0）,
∴有a-b+c=0①，
4a+2b+c=0②，
②-①得3a+3b=0，
即a+b=0；
又∵抛物线经过（0，2），
故c=2，
∴a+b+c=0+2=2；
a＜0，b＞0，c=2, a-b+c=0，4a+2b+c=0，a+b+c=2，a+b=0．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数之间的关系，利用数形结合思想是解决问题的关键．
17．已知：D、E是△ABC的边AB、AC上的点， AB＝7.4，AD＝3，AC＝6，AE＝3.7，求证：△ABC∽△AED．
【答案】证明见解析
【分析】根据相似三角形的判定定理：两边成比例，夹角相等，即可证明相似.
【详解】证明：在△ABC和△AED 中，
∵，，
∴，
又∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△AED.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握两边成比例，夹角相等，证明三角形相似.
18．如图：小明想测量一棵树的高度AB，在阳光下，小明测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为0．8米．同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），墙壁上的影长CD为1．5米，落在地面上的影长BD为3米，则树高AB为多少米．
【答案】5．25米
【详解】试题分析：连接AC 作CE⊥AB，得到四边形BDCE为矩形，三角形ACE为直角三角形，设AE=x米，利用同一时刻，物体的影长与物高成比例得出方程，然后解方程即可解决问题．
试题解析：方法不唯一
解：连接AC 作CE⊥AB
E才
由题意得：EC=BD=3m EB=CD
设AE=x米
解得：x=3．75．
∴树高是3．75+1．5=5．25（米）
答：树高为5．25米．
考点：1．矩形的性质、2．比例线段．
19．已知抛物线．
(1)当时，请判断点是否在该抛物线上；
(2)抛物线经过点，求m的值．
【答案】(1)点不在该抛物线上
(2)
【分析】（1）将代入可得抛物线解析式，并判断出点是否在该抛物线上；
（2）将代入，求得m的值即可．
【详解】（1）当时，抛物线为，
将代入得，
∴点不在该抛物线上．
（2）∵抛物线经过点，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求二次函数关系式，解题的关键是熟知求二次函数关系式的方法．
20．如图，已知双曲线y＝与直线y＝mx+5都经过点A（1，4）．
（1）求双曲线和直线的表达式；
（2）将直线y＝mx+5沿y轴向下平移n个单位长度，使平移后的图象与双曲线y＝有且只有一个交点，求n的值．
【答案】（1）双曲线的表达式是：y＝，直线的表达式是y＝﹣x+5；（2）n＝1或9
【分析】（1）把点A的坐标分别代入可得两个表达式；
（2）设向下平移后的表达式为：y＝mx＋5 n，联立方程组可得n的值．
【详解】解：（1）把A（1，4）代入y＝得k＝4，
把A（1，4）代入y＝mx+5得m＝﹣1，
∴双曲线的表达式是：y＝，直线的表达式是y＝﹣x+5；
（2）设平移后直线的表达式为：y＝﹣x+5﹣n，
联立反比例表达式为，得到
∴
当有且只有一个交点时，Δ＝0，
即△＝（5﹣n）2﹣16＝0，
解得n＝1或9．
【点睛】本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入是常用方法．
21．某商品交易会上，一商人将每件进价为5元的纪念品，按每件9元出售，每天可售出32件．他想采用提高售价的办法来增加利润，减少库存，经试验，发现这种纪念品每件提价1元，每天的销售量会减少4件．
(1)设销售单价提高x元（x为正整数），写出每天销售量y（个）与x（元）之间的函数关系式；
(2)当售价定为多少元时，每天的利润为140元？
(3)假设这种商品每天的销售利润为w元，商人为了获得最大利润，应将该商品每件售价定为多少元？最大利润是多少元．
【答案】(1)
(2)当售价定为元时，每天的利润为140元
(3)当售价为 元时，利润最大为．
【分析】（1）设售价单价提高元时，利用每天的销售量会减少4件即可列出函数关系式；
（2）售价为元，每天的利润为140元，根据题意列方程即可得到结论；
（3）根据题中等量关系为：利润（售价进价）售出件数，根据等量关系列出函数关系式，将函数关系式配方，根据配方后的方程式即可求出的最大值．
【详解】（1）解：设售价单价提高元，则
；
（2）解：由题可知售价为元，
即，
解得，，
故售价为：或，
需要减少库存，并且每提高1元，销售量会减少4件，
故售价定为10元，
当售价定为元时，每天的利润为140元；
（3）解：，
当时，最大值为，
故售价为，
当售价为 元时，利润最大为．
【点睛】本题考查的是二次函数的应用，熟知利润（售价进价）售出件数是解答此题的关键．
22．已知抛物线y＝（m+1）x2+（m﹣2）x﹣3．
（1）无论m取何值，抛物线必过第三象限一个定点，则该定点的坐标为 ；（不影响后两问解答）
（2）当m＝0时，不与坐标轴平行的直线l1与抛物线有且只有一个交点P（2，a），求直线l1的解析式；
（3）在（2）的条件下，直线y＝kx+b交抛物线于M，N两点（M在N的右侧），PQ∥y轴交MN于点Q，若MQ＝NQ，求k的值．
【答案】（1）（﹣，﹣）；（2）y＝2x﹣7；（3）k＝2．
【分析】（1）将函数解析式变形为y＝m（x2+x）+x2﹣2x﹣3，进而可得出当x2+x＝0，即x＝0或x＝﹣时，y值与m无关，代入x＝0，x＝﹣可求出定点的坐标，取其第三象限的点的坐标即可得出结论；
（2）利用点的坐标特征可得出点P的坐标，设直线l1的解析式为y＝mx+n（m≠0），利用一次函数图象上点的坐标特征可得出n＝﹣2m﹣3，即直线l1的解析式为y＝mx﹣2m﹣3，将y＝mx﹣2m﹣3代入y＝x2﹣2x﹣3整理后可得出关于x的一元二次方程，由直线l1与抛物线有且只有一个交点可得出△＝0，解之可得出m的值，再将其代入y＝mx﹣2m﹣3中即可得出结论；
（3）过点Q作直线l∥x轴，过点M作ME⊥直线l于点E，过点N作NF⊥直线l于点F，则△MEQ≌△NFQ（AAS），利用全等三角形的性质可得出QE＝QF，进而可得出xM+xN＝2xP＝4，将y＝kx+b代入代入y＝x2﹣2x﹣3整理后可得出关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系可得出xM+xN＝k+2，进而可得出k+2＝4，解之即可得出结论．
【详解】解：（1）∵y＝（m+1）x2+（m﹣2）x﹣3＝m（x2+x）+x2﹣2x﹣3，
∴当x2+x＝0，即x＝0或x＝﹣时，y值与m无关．
当x＝0时，y＝﹣3；当x＝﹣时，y＝﹣，
∴该定点的坐标为（﹣，﹣）；
（2）当m＝0时，y＝x2﹣2x﹣3．
∵点P（2，a）为抛物线y＝x2﹣2x﹣3上的点，
∴a＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，
∴点P的坐标为（2，﹣3）．
设直线l1的解析式为y＝mx+n（m≠0），
∵点P（2，﹣3）为直线l1上的点，
∴2m+n＝﹣3，
∴n＝﹣2m﹣3，
∴直线l1的解析式为y＝mx﹣2m﹣3．
将y＝mx﹣2m﹣3代入y＝x2﹣2x﹣3，得：x2﹣2x﹣3＝mx﹣2m﹣3，
整理，得：x2﹣（2+m）x+2m＝0．
∵直线l1与抛物线有且只有一个交点，
∴△＝[﹣（2+m）]2﹣4×1×2m＝0，
解得：m1＝m2＝2，
∴直线l1的解析式为y＝2x﹣7．
（3）在图2中，过点Q作直线l∥x轴，过点M作ME⊥直线l于点E，过点N作NF⊥直线l于点F，
在△MEQ和△NFQ中，
,
∴△MEQ≌△NFQ（AAS），
∴QE＝QF，
∴xE﹣xQ＝xQ﹣xF，即xM﹣xP＝xP﹣xN，
∴xM+xN＝2xP＝4．
将y＝kx+b代入y＝x2﹣2x﹣3，得：x2﹣2x﹣3＝kx+b，
整理，得：x2﹣（k+2）x﹣3﹣b＝0，
∴xM+xN＝k+2，
∴k+2＝4，
∴k＝2．
【点睛】本题为二次函数综合题，综合性较强，难度较大，熟练掌握二次函数图象上点的坐标的特点，函数与方程（组）的关系，是解题关键．
23．如图，在中，．
(1)如图1，在内取点D，连接，，将绕点A逆时针旋转至，，连接，，，若，求的长；
(2)如图2，点D为中点，点E在的延长线上，连接交于点F，，连接并延长至点G，连接，若，求证：﹔
(3)如图3，，点D在的延长线上，连接，在上取点E，，连接，，若，当取最小值时，直接写出的面积．
【答案】(1)；
(2)见解析；
(3)．
【分析】（1）先证明，从而得到，过E作垂直于的延长线于点F，由得到，从而得到和的值，然后在中用勾股定理求出，则即可；
（2）取中点H，连接、，由是中位线得到，由得到，，因为，则是中位线，，，从而证明，得到，因为，得到是等边三角形，即即可；
（3）建立直角坐标系，设，则，用带有x的表达式得到，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：过E作垂直于的延长线于点F，如图3所示，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，，，
∴在中，，，，
∴；
；
（2）解：取中点H，连接、，与交于点O，如图4所示，
∵D是中点，，
∴是的中位线，是的中位线，
∴，，
∵，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，，，
∵，
∴，是等腰三角形，
∵，
∴是等边三角形，，
∴；
；
（3）解：以点为原点，为x轴，建立直角坐标系，
设，则，
∵，
∴是等边三角形，
∴
∵，
∴，
，
∵，则当时，有最小值，即有最小值，
∴．
【点睛】本题主要考查的是三角形综合内容，涉及勾股定理、全等三角形、等腰三角形、中位线性质等，第3问，利用二次函数的性质求得最小值是解题的关键．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页2023-2024学年沪科版九年级数学上册期中提升卷四（解析版）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1．抛物线y=x2﹣2x+1的顶点坐标是（ ）
A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（﹣2，1） D．（2，﹣1）
2．把一个足球垂直于水平地面向上踢，该足球距离地面的高度（米）与所经过的时间（秒）之间的关系为. 若存在两个不同的的值，使足球离地面的高度均为（米），则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
3．点是反比例函数图象上的两点，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB的中点，点P是直线BC上一点，将△BDP沿DP所在的直线翻折后，点B落在B1处，若B1D⊥BC，则点P与点B之间的距离为（ ）
A．1 B． C．1或 3 D．或5
5．已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB，若AB＝2，则PB＝（ ）
A． B． C．3﹣ D．﹣1
6．在反比例函数图像上，到轴和轴的距离相等的点（ ）
A．1个 B．2个 C．4个 D．无数多个
7．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，若AB=4，BC=8．则D′F的长为（ ）
A．2 B．4 C．3 D．2
8．如图，在直角坐标系中，已知点A，点分别是轴和轴上的点，过轴上的另一点作，与反比例函数的图象交于、两点，恰好为的中点，连结和．若，的面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，与位似，点是它们的位似中心，其中，则与的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
10．如图1，在矩形ABCD中，BC＝x，CD＝y，y与x满足的反比例函数关系式如图2所示，等腰直角三角形AEF的斜边EF过点C，M为EF的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．当x＝3时，EC＜EM
B．当y＝3时，EC＞EM
C．当x增大时，EC×CF的值增大
D．当x增大时，BE×DF的值不变
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．甲、乙两地的实际距离是400km，在比例尺为1:500000的地图上，甲乙两地的距离是 .
12．如图，小明站在地面D处，刚好离路灯AB的距离为4米．已知小明身高为1.6米，它的影长CD为2米，那么路灯AB的高为 米．
13．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B的坐标分别为（0，4），（﹣3，0），E为AB的中点，EF∥AO交OB于点F，AF与EO交于点P，则EP的长为 ．
14．对于一个函数，当自变量x取a时，函数值y也等于a，则称点（a，a）是这个函数的同值点，已知二次函数．
（1）若点（2，2）是此函数的同值点，则m的值为 ．
（2）若此函数有两个相异的同值点（a，a）、（b，b），且a＜1＜b，则m的取值范围为 ．
解答题（共9小题，15-18每题8分，19-20每题10分，21,22每题12分，23题14分，共计90分）
15．的坐标分别为，，，以原点为位似中心，在第一象限将扩大，使变换得到的与对应边的比为，
画出；
求四边形的面积．
16．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图像，写出三条关于a，b，c的信息．
17．已知：D、E是△ABC的边AB、AC上的点， AB＝7.4，AD＝3，AC＝6，AE＝3.7，求证：△ABC∽△AED．
18．如图：小明想测量一棵树的高度AB，在阳光下，小明测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为0．8米．同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），墙壁上的影长CD为1．5米，落在地面上的影长BD为3米，则树高AB为多少米．
19．已知抛物线．
(1)当时，请判断点是否在该抛物线上；
(2)抛物线经过点，求m的值．
20．如图，已知双曲线y＝与直线y＝mx+5都经过点A（1，4）．
（1）求双曲线和直线的表达式；
（2）将直线y＝mx+5沿y轴向下平移n个单位长度，使平移后的图象与双曲线y＝有且只有一个交点，求n的值．
21．某商品交易会上，一商人将每件进价为5元的纪念品，按每件9元出售，每天可售出32件．他想采用提高售价的办法来增加利润，减少库存，经试验，发现这种纪念品每件提价1元，每天的销售量会减少4件．
(1)设销售单价提高x元（x为正整数），写出每天销售量y（个）与x（元）之间的函数关系式；
(2)当售价定为多少元时，每天的利润为140元？
(3)假设这种商品每天的销售利润为w元，商人为了获得最大利润，应将该商品每件售价定为多少元？最大利润是多少元．
22．已知抛物线y＝（m+1）x2+（m﹣2）x﹣3．
（1）无论m取何值，抛物线必过第三象限一个定点，则该定点的坐标为 ；（不影响后两问解答）
（2）当m＝0时，不与坐标轴平行的直线l1与抛物线有且只有一个交点P（2，a），求直线l1的解析式；
（3）在（2）的条件下，直线y＝kx+b交抛物线于M，N两点（M在N的右侧），PQ∥y轴交MN于点Q，若MQ＝NQ，求k的值．
23．如图，在中，．
(1)如图1，在内取点D，连接，，将绕点A逆时针旋转至，，连接，，，若，求的长；
(2)如图2，点D为中点，点E在的延长线上，连接交于点F，，连接并延长至点G，连接，若，求证：﹔
(3)如图3，，点D在的延长线上，连接，在上取点E，，连接，，若，当取最小值时，直接写出的面积．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页2023-2024学年沪科版九年级数学上册期中提升卷五（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．二次函数的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题目中函数的解析式直接得到此二次函数的顶点坐标．
【详解】解：∵y=（x-2）2-3，
∴二次函数y=（x-2）2-3的图象的顶点坐标是（2，-3）.
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
2．抛物线不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】求出抛物线的图像和轴、轴的交点坐标和顶点坐标，再根据二次函数的性质判断即可．
【详解】解：∵，其中二次项系数，
∴抛物线的图像开口向上，顶点坐标是且在第四象限，
当时，，解得：，，
∴抛物线的图像与轴的交点坐标是和，都在轴的正半轴上，当时，，
∴抛物线的图像与轴的交点坐标是，在轴的正半轴上，
∴抛物线的图像过第一、二、四象限，不过第三象限．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，二次函数图像上点的坐标特征．理解和掌握二次函数的性质是解题的关键．
3．一次函数y=ax+b与反比例函数的图象如图所示，则（ ）
A．a＞0，b＞0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＜0
C．a＜0，b＞0，c＞0 D．a＜0，b＜0，c＞0
【答案】B
【详解】反比例函数y＝的图象位于二、四象限，所以c＜0，
一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限 ，则有a<0，b<0，
故a＜0，b＜0，c＜0，
故选B．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的图象问题，关键是掌握一次函数、反比例函数的图象与性质，根据数形结合解题．
4．已知函数 ，当x取任意实数时，下列说法一定正确的是（ ）
A．若ac >1，则恒有y > 0
B．若a，c互为倒数，则y有最小值为0
C．若a，c互为相反数，则函数图象与x轴一定有两个交点
D．对于任意的实数c，存在一个实数a，使得函数图象与x轴有且只有一个交点
【答案】D
【分析】A、当x=-c时，，当c<0时，y<0，故本选项错误；B、可得，则，则有当a＜0时，y有最大值为0，当a＞0时，y有最小值为0，故本选项错误；C、当a=0时，c=0，则，函数图象与x轴有1个交点，故本选项错误；D、当a=0时，c=0，则，此时函数图象与x轴有且只有一个1个交点，当a=0时，可得当时，函数图象与x轴有且只有一个交点，故本选项正确，即可求解．
【详解】解：A、当x=-c时，，
若ac >1，则ac-1>0，
但是当c<0时，y<0，故本选项错误；
B、若a，c互为倒数，则ac =1，
∴，
∴，
当a＜0时，y有最大值为0，当a＞0时，y有最小值为0，故本选项错误，不合题意；
C、若a，c互为相反数，则a+c=0，即a=-c，
当a=0时，c=0，则，函数图象与x轴有1个交点，故本选项错误，不合题意；
D、当a=0时，c=0，则，此时函数图象与x轴有且只有一个1个交点，
当a≠0时，，
∴当时，函数图象与x轴有且只有一个交点，
∴对于任意的实数c，存在一个实数a，使得函数图象与x轴有且只有一个交点，故本选项正确，符合题意．
故选：D
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质和一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质和一次函数的图象和性质是解题的关键．
5．如图，在正方形网格中，与△ABC相似的三角形是( )
A．△NBD B．△MBD C．△EBD D．△FBD
【答案】B
【详解】分析：根据正方形的小格可以发现∠BAC=90°+45°=135°，，所以和它相似的三角形也应该有一个钝角是135°，夹钝角的两边比是，根据这一特点进行选择．
详解：在△ABC中，∵∠BAC=90°+45°=135°，，
∠BMD=135°，，∴△MBD∽△ABC．
故选B．
点睛：此类题要首先找到已知三角形的特点，再根据相似三角形的判定进行观察选择．
6．已知线段AB=4，点P是它的黄金分割点，AP＞PB，则PB=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据黄金分割的定义即把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比，分别进行计算即可．
【详解】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB，AB=4，
∴PB=4×=6-2.
故选D.
【点睛】此题考查了黄金分割，熟记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的，较长的线段=原线段的是本题的关键．
7．如图所示的是一个边长为1的正方形组成的网格，与都是格点三角形(顶点在网格交点处)，并且，则与的面积之比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．2：3 D．4：9
【答案】D
【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得结果．
【详解】解：∵，，
∴与的面积之比是，
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形面积比等于相似比的平方是解本题的关键．
8．已知抛物线：y=ax2+bx+c（a≠0）上有两点A（﹣5，y1），B（m﹣3，y2），点P（3，y0）为该抛物线的顶点，且满足y1≤y2≤y0，则m的取值范围为（ ）
A．﹣2≤m≤2 B．﹣2≤m≤14 C．m≥2或m≤﹣2 D．m≥14或m≤﹣2
【答案】B
【分析】根据题意可知该抛物线对称轴为，．故当，y随x的增大而增大，当，y随x的增大而减小．再结合，可知B点到对称轴的距离小于等于C点到对称轴的距离．即可列出关于m的绝对值方程，解出m即可．
【详解】∵点P为抛物线顶点，且，
∴该抛物线对称轴为，，即该抛物线开口向下，
∴当，y随x的增大而增大，当，y随x的增大而减小．
∴B点到对称轴的距离小于等于C点到对称轴的距离．
∴，
解得：．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质．根据题意结合二次函数的性质可得出B点到对称轴的距离小于等于C点到对称轴的距离是解答本题的关键．
9．定义：一次函数的特征数为．一次函数的图像向上平移3个单位长度后与反比例函数的图像交于点A，B．若点A，B关于原点对称，则一次函数的特征数是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将一次函数的图象向上平移3个单位长度后，得到解析式，联立一次函数与反比例函数解析式，得到关于x的一元二次方程，设所以是一元二次方程的两根，根据根与系数的关系，得到，由两点关于原点对称，所以，得到，根据定义即可得出答案
【详解】将一次函数向上平移3个单位长度后得到，
设
联立
，
是方程的两根，
，
又，两点关于原点对称，
，
根据定义，一次函数的特征数是
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，联立两个函数解析式，得到一元二次方程，是解决交点问题的基本方法．
10．如图，点在线段上，在BD的同侧作等腰直角和等腰直角，与、分别交于点、，与相交于点，连接，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据等腰直角三角形的性质，证明，，，再根据相似三角形的性质即可得解．
【详解】解：A、∵,为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴
∴，即：，
∴．选项正确，不符合题意；
B、∵
∴，
∵，
∴，
∴．选项正确，不符合题意；
C、∵
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．选项正确，不符合题意；
D、如图，交于点
∵，
∴，
∵，
∴；选项错误，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质．通过等腰直角三角形的性质证明三角形相似是解题的关键．本题考查了手拉手相似模型，平时多积累，多总结常见的几何模型，可以在选择题和填空题中快速的解题．
二、填空题
11．将抛物线向左平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为 ．
【答案】/
【分析】根据函数图象平移的规律：左加右减，上加下减，可得答案．
【详解】解：抛物线向左平移2个单位可得，
故答案为：
【点睛】本题考查二次函数图象的平移，准确掌握平移方法是解题的关键．
12．如图在中，，斜边上的高交于，若，，则的长度等于 ．
【答案】6
【分析】根据直角三角形射影定理求解即可：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项
【详解】根据直角三角形射影定理得出：将，代入求得AD=6
所以答案为6
【点睛】本题主要考查了直角三角形的射影定理，熟练掌握相关定理公式是解题关键
13．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，AD＝，BD＝4，则CD的长为 ．
【答案】
【分析】运用相似三角形对应边成比例，进行计算即可．
【详解】解：∵Rt△ABC中∠ACB=90°，CD⊥AB于D，
∴∠A=∠DCB
∠ADC=∠CDB
∴△ADC∽△CDB
∴
∴CD2=AD BD，即CD2=×4，解得CD=或-（负值舍去），
故答案为
【点睛】本题主要考查了相似三角形性质，解题的关键是熟记相似三角形对应边成比例．
14．在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点，且点在点的左侧．
（1）点的坐标为 ；
（2）当时，抛物线的最小值为，则的值为 .
【答案】 1或
【分析】（1）令，且结合，以及点在点的左侧即可作答；
（2）分和两种情况进行谈论，得出最小值且结合题意，解方程即可列式作答求解．
【详解】解：（1）由题意得：令，
则，
解得：，，
∵点在点的左侧，
∴点的坐标为；
（2）由（1）知点的坐标为，点的坐标为；
∴抛物线的对称轴为直线，
当时，抛物线开口向上，当时，最小值为，
∵当时，抛物线的最小值为，
∴，
∴；
当时，抛物线开口向下，当有最大值，
∵，，且；
∴当时，离对称轴较远，
故在时，抛物线取得最小值，
即，
解得；
所以的值为1或．
故答案为：；1或．
【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，二次函数的对称轴和最值问题，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
三、解答题
15．已知： a∶b∶c＝3∶5∶7且2a＋3b－c＝28， 求3a－2b＋c的值．
【答案】12
【分析】设a=3k，b=5k，c=7k，然后代入2a+3b-c=28求出k的值，从而得出a、b、c的值，然后再把它们的值代入3a-2b+c即可．
【详解】解：∵a∶b∶c＝3∶5∶7
设a＝3k，b＝5k，c＝7k
∵2a＋3b－c＝28
∴6k＋15k－7k＝28，
∴k＝2
∴3a－2b＋c＝9k－10k＋7k＝6k＝12
【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是找出最简洁的方法设a=3k，b=5k，c=7k，再利用这个等量关系，通过设参数k， 转化成关于k的一元方程，求出k后，使得问题得解．
16．如图，已知△ACE∽△BDE，AC=6，BD=3，AB=12，CD=18.求AE和DE的长.
【答案】AE=12,DE=4.
【分析】根据相似三角形对应边成比例求出=，再求解即可．
【详解】解：∵△ACE∽△BDE，
∴==，
∵AC=6，BD=3，
∴==2，
∴AE=18×=12，
DE=12×=4．
【点睛】本题考查相似三角形对应边成比例的性质，熟记性质是解题关键．
17．已知在平面直角坐标系中，二次函数（m为常数，且）与x轴有唯一的交点，一次函数（k为常数，）的图象经过该二次函数图象的顶点，求m，k的值．
【答案】，．
【分析】依据二次函数与x轴有唯一的交点即一元二次方程的可解得，从而得到二次函数解析式，将二次函数化为顶点式可得顶点坐标，再代入一次函数解析式即可求得．
【详解】令，
由于二次函数与x轴有唯一的交点，
则上述方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
∴，
∴抛物线的顶点坐标为，
将代入，
得：，
解得，
∴，．
【点睛】本题考查了二次函数与x轴的交点情况及顶点坐标，代入法求一次函数解析式；解题的关键是掌握二次函数与x轴有唯一的交点即一元二次方程的．
18．如图，在中，，，在边上截取，连接.
(1)求证：；
(2)求的度数.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）先求得的长，然后再计算出与的值，从而可得到与的关系；
（2）由（1）可得到，然后依据对应边成比例且夹角相等的两三角形相似证明，依据相似三角形的性质可知，然后结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得的度数．
【详解】（1）解：，，
，
，
．
，．
．
（2），
．
又，
.
，．
．
，．
设，则，．
，
，
解得．
．
【点睛】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用，证得是解题的关键．
19．如图，在平面直角坐标系内，直线y1=kx+b(k≠0)与双曲线y2=(a≠0)交于A、B两点，已知点A(m，2)，点B(－1，－4).
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）把直线y1沿x轴向负方向平移1个单位，得到直线y3，直接写出y3解析式及当y3＞y2时，自变量x的取值范围.
【答案】（1）双曲线的解析式为y2=，直线的解析式为y=2x-2；（2）y3=2x，当y3＞y2时，自变量x的取值范围是：或
【分析】（1）因为A、B是直线y1=kx+b（k≠0）与双曲线y2=（a≠0）的图象的两个交点，所以把A点、B点坐标代入反比例函数解析式，即可求出a和m的值，从而求出反比例函数的解析式和A点坐标，进而把A、B点的坐标代入一次函数y1=kx+b的解析式，就可求出k、b的值；
（2）根据图象和交点坐标，从而求得x的取值范围．
【详解】解：（1）∵点B（-1，-4）在双曲线y2=（a≠0）上，
∴a=-1×（-4）=4．
∴双曲线的解析式为y2=
∵点A（m，2）在反比例函数y2=的图象上，
∴2=,
∴m=2．
∵点A（2，2）和点B（-1，-4）在直线y1=kx+b（k≠0）上，
解得
∴直线的解析式为y=2x-2．
（2）直线y1沿x轴向负方向平移1个单位，得到直线y3=2（x+1）-2=2x，
解，得或
∴直线y3和双曲线的交点为 和.
∴当y3＞y2时，自变量x的取值范围是：或.
【点睛】题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，能够熟练运用待定系数法求得函数的解析式；能够运用数形结合的思想观察两个函数值的大小关系
20．已知直线与双曲线交于，两点，过作轴于点，过作轴于点，连接．
（Ⅰ）求，两点的坐标；
（Ⅱ）试探究直线与的位置关系并说明理由．
（Ⅲ）已知点，且，在抛物线上，若当（其中）时，函数的最小值为，最大值为，求的值．
【答案】（Ⅰ）若，则，，若，则，；（Ⅱ），理由见解析；（Ⅲ）的值为
【分析】（Ⅰ）把直线y＝x＋t与双曲线的解析式联立成方程组，解方程组即可求出交点坐标，即C、D两点的坐标；
（Ⅱ）位置关系是：平行，求出直线AB的解析式，与直线CD的解析式y＝x＋t比较，k相等说明两直线平行；
（Ⅲ）先求出C点坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式，最后通过分类讨论：①当时，②当，③当，分别根据函数的最小值为，最大值为，结合二次函数的性质列出方程，得出m，n的值．
【详解】解：（Ⅰ）联立，解得：或，
设，，
若，则，，
若，则，；
（Ⅱ），
理由：不妨设，
由（1）知， ，
∴，，
设直线的解析式为，
则将，两点坐标代入有：，，
∴，
∴直线的解析式为：，
∴直线与的位置关系是；
（Ⅲ）将代入双曲线得，
将代入直线，得，
∵，
∴由（Ⅰ）知，
∴，
∵，在抛物线上，
∴，解得，
即，
由，可知，，
①当时，由函数的最小值为，最大值为，可知，
∴，即为一元二次方程的两解，即，
∵，
∴，．
又∵，
∴此情况不合题意；
②当，即时，
由函数的最小值为，最大值为，可知，
解得：，
此时，即，符合题意，
∴；
③当，即时，
由函数的最小值为，最大值为，可知，
解得：，
∵，
∴此情况不合题意，
综上所述，满足题意的的值为．
【点睛】本题主要考查反比例函数和一次函数的交点，二次函数的性质以及待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质以及分类讨论的数学思想是解题的关键．
21．如图，在 ABCD中，∠BAD的平分线交边BC于点E，交DC的延长线于点F，点G在AE上，联结GD，∠GDF＝∠F．
（1）求证：AD2＝DG AF；
（2）联结BG，如果BG⊥AE，且AB＝6，AD＝9，求AF的长．
【答案】（1）见解析；（2）AF＝
【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，证明△GDF∽△DAF，对应边成比例即可得结论；
（2）根据已知条件可得BA＝BE＝6，EC＝CF＝3，DF＝AD＝9，得AG＝GE＝EF，结合（1）AD2＝DG AF，即可求出AF的长．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DF，AD∥BC，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF＝∠F，
∴AD＝DF，
∵∠GDF＝∠F，
∴△GDF∽△DAF，
∴，
∴AD2＝DG AF；
（2）解：∵AF平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAF，
∵AD∥BC，
∴∠BEA＝∠DAF，
∴∠BEA＝∠BAE，
∵BG⊥AE，AB＝6，AD＝9，
∴BA＝BE＝6，
∵∠BEA＝∠CEF，
∴∠CEF＝∠F，
∴EC＝CF＝3，DF＝AD＝9，
∴，
即AG＝GE＝EF，
∵AD2＝DG AF，
∴AF2＝81，
∴AF＝．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，涉及的知识较多解决本题的关键是注意掌握几何涂星星性质的运用．
22．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，点B的坐标为（3，0），与y轴相交于点C（0，﹣3），顶点为D．
（1）求出抛物线y=x2+bx+c的表达式；
（2）连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．
①当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形．
②设四边形OBFC的面积为S，求S的最大值．
【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）①2；②．
【详解】分析:（1）由B、C两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的表达式；
（2）①可求得直线BC的解析式，则可表示出P、F的坐标，从而可表示出PF和DE的长，由平行四边形的性质可知PF=DE，则可得到关于m的方程，可求得m的值；②用m可表示出PF的长，则可表示出△BCF的面积，从而可表示出四边形OBFC的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值．
本题解析:（1）∵抛物线过B、C两点，
∴，解得,
∴抛物线表达式为y=x2﹣2x﹣3；
（2）①∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴直线BC解析式为y=x﹣3，
∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴D（1，﹣4），
∴E（1，﹣2），
∴DE=﹣2﹣（﹣4）=2，
∵PF∥DE，且P（m，m﹣3），
∴F（m，m2﹣2m﹣3），
∵点P为线段BC上的一个动点，
∴PF=m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）=﹣m2+3m，
当四边形PEDF为平行四边形时，则有PF=DE=2，
即﹣m2+3m=2，解得m=1（舍去）或m=2，
∴当m的值为2时，四边形PEDF为平行四边形；
②由①可知PF=﹣m2+3m，
∴S△FBC=PF OB=×3（﹣m2+3m）=﹣（m﹣）2+，
∵S△OBC=OB OC=×3×3=，
∴S=S△FBC+S△OBC=﹣（m﹣）2++=﹣（m﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当m=时，S有最大值．
点睛:本题考查了二次函数的应用,涉及待定系数法、平行四边形的性质、三角形的面积、二次函数的性质及方程思想等知识，本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中.
23．将矩形折叠，使得点落在边上，折痕为，
（1）如图1，当点与点重合时，若，求的长；
（2）如图2，点落在边的点处（不与重合），若，
①取的中点，连接并延长与的延长线交于点，连接．求证：四边形是平行四边形；
②设，用含有的式子表示四边形的面积，并求四边形的面积的最大值及此时的值．
【答案】（1）5；（2）①见解析；②，面积的最大值为17
【分析】（1）证明，则，即可求解；
（2）①证明，进而求解；
②为梯形，点在处，则，求出，，进而求解．
【详解】解：（1）矩形沿折叠，
，
，
，
，
在中，，，则，
即；
（2）①，即，
，
，，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
②∵四边形为梯形，点在处，
则，
则，
解得，
则，
即，
解得，
，
，故四边形的面积存在最大值，
当时，四边形的面积的最大值为17．
【点睛】本题考查的是四边形综合题，涉及平行四边形的性质、三角形全等、面积的计算等，综合性强，难度较大．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页2023-2024学年沪科版九年级数学上册期中提升卷五（解析（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1．二次函数的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．一次函数y=ax+b与反比例函数的图象如图所示，则（ ）
A．a＞0，b＞0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＜0
C．a＜0，b＞0，c＞0 D．a＜0，b＜0，c＞0
4．已知函数 ，当x取任意实数时，下列说法一定正确的是（ ）
A．若ac >1，则恒有y > 0
B．若a，c互为倒数，则y有最小值为0
C．若a，c互为相反数，则函数图象与x轴一定有两个交点
D．对于任意的实数c，存在一个实数a，使得函数图象与x轴有且只有一个交点
5．如图，在正方形网格中，与△ABC相似的三角形是( )
A．△NBD B．△MBD C．△EBD D．△FBD
6．已知线段AB=4，点P是它的黄金分割点，AP＞PB，则PB=（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示的是一个边长为1的正方形组成的网格，与都是格点三角形(顶点在网格交点处)，并且，则与的面积之比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．2：3 D．4：9
8．已知抛物线：y=ax2+bx+c（a≠0）上有两点A（﹣5，y1），B（m﹣3，y2），点P（3，y0）为该抛物线的顶点，且满足y1≤y2≤y0，则m的取值范围为（ ）
A．﹣2≤m≤2 B．﹣2≤m≤14 C．m≥2或m≤﹣2 D．m≥14或m≤﹣2
9．定义：一次函数的特征数为．一次函数的图像向上平移3个单位长度后与反比例函数的图像交于点A，B．若点A，B关于原点对称，则一次函数的特征数是( )
A． B． C． D．
10．如图，点在线段上，在BD的同侧作等腰直角和等腰直角，与、分别交于点、，与相交于点，连接，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．将抛物线向左平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为 ．
12．如图在中，，斜边上的高交于，若，，则的长度等于 ．
13．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，AD＝，BD＝4，则CD的长为 ．
14．在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点，且点在点的左侧．
（1）点的坐标为 ；
（2）当时，抛物线的最小值为，则的值为 .
解答题（共9小题，15-18每题8分，19-20每题10分，21,22每题12分，23题14分，共计90分）
15．已知： a∶b∶c＝3∶5∶7且2a＋3b－c＝28， 求3a－2b＋c的值．
16．如图，已知△ACE∽△BDE，AC=6，BD=3，AB=12，CD=18.求AE和DE的长.
17．已知在平面直角坐标系中，二次函数（m为常数，且）与x轴有唯一的交点，一次函数（k为常数，）的图象经过该二次函数图象的顶点，求m，k的值．
18．如图，在中，，，在边上截取，连接.
(1)求证：；
(2)求的度数.
19．如图，在平面直角坐标系内，直线y1=kx+b(k≠0)与双曲线y2=(a≠0)交于A、B两点，已知点A(m，2)，点B(－1，－4).
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）把直线y1沿x轴向负方向平移1个单位，得到直线y3，直接写出y3解析式及当y3＞y2时，自变量x的取值范围.
20．已知直线与双曲线交于，两点，过作轴于点，过作轴于点，连接．
（Ⅰ）求，两点的坐标；
（Ⅱ）试探究直线与的位置关系并说明理由．
（Ⅲ）已知点，且，在抛物线上，若当（其中）时，函数的最小值为，最大值为，求的值．
21．如图，在 ABCD中，∠BAD的平分线交边BC于点E，交DC的延长线于点F，点G在AE上，联结GD，∠GDF＝∠F．
（1）求证：AD2＝DG AF；
（2）联结BG，如果BG⊥AE，且AB＝6，AD＝9，求AF的长．
22．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，点B的坐标为（3，0），与y轴相交于点C（0，﹣3），顶点为D．
（1）求出抛物线y=x2+bx+c的表达式；
（2）连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．
①当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形．
②设四边形OBFC的面积为S，求S的最大值．
23．将矩形折叠，使得点落在边上，折痕为，
（1）如图1，当点与点重合时，若，求的长；
（2）如图2，点落在边的点处（不与重合），若，
①取的中点，连接并延长与的延长线交于点，连接．求证：四边形是平行四边形；
②设，用含有的式子表示四边形的面积，并求四边形的面积的最大值及此时的值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页2023-2024学年沪科版九年级数学上册期中提升卷一
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．对称轴为y轴的二次函数是（ ）
A．y=(x+1)2 B．y=2(x-1)2 C．y=2x2+1 D．y=-(x-1)2
【答案】C
【分析】由已知可知对称轴为x＝0，从而确定函数解析式y＝ax2+bx+c中，b＝0，由选项入手即可．
【详解】解：二次函数的对称轴为y轴，
则函数对称轴为x＝0，
即函数解析式y＝ax2+bx+c中，b＝0，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
2．若反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象过点（3，－4），则下列各点在该图象上的是( )
A．（6，－8） B．(－6，8) C．（－3，4） D．(－3，－4)
【答案】C
【分析】先根据已知点求出函数表达式，再对照答案依次判断即可．
【详解】解：依题意知若反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象过点（3，－4），
则.
则在该图像上的点坐标x值y值相乘应等于，只有C选项满足条件；
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数性质，难度较低，求出k值为解题关键．
3．若抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的两个交点A（x1，0）、B（x2，0）之间的距离为6，且x1+x2＝8，则这个抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（3，9） B．（﹣3，﹣9） C．（﹣4，﹣9） D．（4，9）
【答案】D
【分析】由x1+x2 =8可得抛物线对称轴为直线，从而求出b的值，由A，B之间距离为6，可得抛物线经过(1，0)，从而求出c的值，将x = 4代入函数解析式求解．
【详解】解：∵x1+x2 =8，
∴抛物线对称轴为直线 ，
∴b= 8，
∵ AB之间距离是6，
∴A，B坐标为(1，0)， (7，0)，
将b=8，点A(1，0)代入y= -x2 +bx + c得0= -1+8+c，
解得c= -7，
∴y=-x2+ 8x – 7，
将x= 4代入y=-x2 + 8x- 7
解得y= 9，
∴顶点坐标为(4，9)，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，二次函数与方程的关系．
4．下列命题正确的是（ ）
A．相似三角形的面积比等于相似比
B．等边三角形是中心对称图形
C．若直线经过一、二、四象限，则
D．二次函数的最小值是
【答案】D
【分析】根据等边三角形的性质，相似三角形的性质，一次函数图像特点，二次函数的最值分别判断得出即可．
【详解】解：（1）相似三角形的面积比等于相似比的平方，此命题错误；
（2）等边三角形不是中心对称图形，此命题错误；
（3）若直线经过一、二、四象限，则，，故此选项错误；
（4）二次函数可化为，故二次函数的最小值是，此命题正确；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了命题与定理，熟练掌握相关的性质定理做出判断是解题关键．
5．如下图，D、E分别是△ABC边的AB、AC上的点，DE∥BC，且S△ADE︰S△ABC＝1︰9，那么AD∶BD的值为（ ）
A．1︰9 B．1︰3 C．1︰8 D．1︰2
【答案】D
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得出答案．
【详解】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
∴
∴
故选：D．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解相似三角形面积的比等于相似比的平方．
6．已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB．若AB＝2，则AP的长为（ ）
A． B．3﹣ C．﹣1 D．﹣3
【答案】C
【分析】根据黄金分割点的定义，知是较长线段；则，代入数据即可得出的长度．
【详解】解：由于为线段的黄金分割点，
且是较长线段；
则．
故选：C．
【点睛】本题考查了黄金分割点的概念，解题的关键是熟记黄金比的值进行计算．
7．如图，边长为4的等边中，D、E分别为AB，AC的中点，则的面积是
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知可得DE是△ABC的中位线，由此可得△ADE和△ABC相似，且相似比为1：2，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出△ABC的面积．
【详解】等边的边长为4，
，
点D，E分别是的边AB，AC的中点，
是的中位线，
，，，，
即，
∽，相似比为，
故：：4，
即，
故选A．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握等边三角形的面积公式、相似三角形的判定与性质及中位线定理．
8．如图一次函数与反比例函数y＝的图象相交于A，B 两点，若已知一个交点为A（2，1），则另一个交点B的坐标为（ ）
A．（2,－1） B．（－2,－1） C．（－1,－2） D．（1,2
【答案】C
【详解】解：把A（2，1）代入一次函数与反比例函数y＝解析式得，k=2，b=-1，所以y=x-1，y=，
联立方程组，解 得 或 ，即另一个交点B的坐标为（-1，-2）．
故选C．
点睛：把A（2，1）分别代入两函数的解析式，求出k、b的值，进而求出两函数的解析式，根据其解析式求出两函数交点坐标即可．
9．如图，与关于点O位似，已知，则与的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据位似图形的概念得到，，得出，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算得到答案．
【详解】解：∵与位似，
∴，，
∴，而，
∴ ，
∴与的面积之比是，
故选：C．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
10．二次函数的图象过，，，四个点，下列说法一定正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【分析】先由抛物线解析式求出抛物线对称轴，再由可判断，进而求解．
【详解】解：，
∴抛物线对称轴为直线，
，
∴抛物线开口向下，
，
，
若，则，，选项A错误，
若，则，，选项B错误，
若，则，
，选项C正确，
若，则，，选项D错误，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质．
二、填空题
11．抛物线的顶点坐标为 ．
【答案】
【分析】根据的抛物线的顶点式，可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．
【详解】解：抛物线，
该抛物线的顶点坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
12．在反比例函数的图象上有三点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），若x1＞x2＞0＞x3，则y1、y2、y3的大小关系是 ；（用“＜”连接）
【答案】y2＜y1＜y3
【分析】先由判断出反比例函数图象所经过的象限，然后根据每个象限的增减性判断函数值的大小即可得出答案．
【详解】∵反比例函数中，，
∴此函数图象的两个分支分别位于二四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大，
∵x1＞x2＞0＞x3，
∴点（x1，y1），（x2，y2）在第四象限，点（x3，y3）在第二象限，
∴y2＜y1＜y3，
故答案为：y2＜y1＜y3．
【点睛】本题考查反比例函数的图象性质，反比例函数中，当时，图象过一、三象限，在每一个象限内，随的增大而减小；当时，图象过二、四象限，在每一个象限内，随的增大而增大．
13．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，如果AE=4，EF=3，AF=5，那么正方形ABCD的面积等于 ．
【答案】
【分析】根据△ABE∽△ECF，可将AB与BE之间的关系式表示出来，在Rt△ABE中，根据勾股定理AB2+BE2=AC2，可将正方形ABCD的边长AB求出，进而可将正方形ABCD的面积求出．
【详解】设正方形的边长为x，BE的长为a
∵∠AEB+∠BAE=∠AEB+∠CEF=90°
∴∠BAE=∠CEF
∵∠B=∠C
∴△ABE∽△ECF
∴,即，
解得x=4a①
在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2
∴x2+a2=42②
将①代入②，可得：a=
∴正方形ABCD的面积为：x2=16a2=．
14．如图，是直角三角形斜边上的高．
（1）若，，则 ；
（2）已知，，则 ．
【答案】 cm 9cm
【分析】（1）根据题意易得，进而可得，然后根据相似三角形的性质可求解；
（2）由题意易证，然后根据相似三角形的性质可求解．
【详解】解：∵，
∴，
（1）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
∴BD=4cm；
故答案为4cm；
（2）∵，，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴；
故答案为9cm．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
三、解答题
15．如图，点和在平面直角坐标系中，点的坐标是，根据下列要求，解答相应的问题：
(1)作关于轴对称的，直接写出点的对应点的坐标；
(2)作关于点成位似中心的位似，与的相似比为，且这两个三角形在点同侧，直接写出点的对应点的坐标．
【答案】(1)作图见详解，
(2)作图见详解，
【分析】（1）根据轴对称的性质，即可解答；
（2）连接点并且延长一倍，即可得到点点的坐标，描点即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求，
结合图形，点的对应点的坐标为；
（2）解：如图，即为所求，
结合图形，点的对应点的坐标．
【点睛】本题主要考查了画位似图形、轴对称图形等知识，理解位似图形的性质是解答本题的关键．
16．如图所示，在中，与交于点，．求证：
【答案】证明见解析.
【分析】利用对顶角相等，加比例，证明，从而得到，继而平行线性质证明即可.
【详解】证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴.
【点睛】本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握三角形相似判定定理是解题的关键.
17．如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与反比例函数y=（m为常数，m≠0）的图象在第二象限交于点A（﹣4，3），与y轴负半轴交于点B，且OA=OB
(1)求反比例函数和一次函数的解析式．
(2)根据图象直接写出当x<0时，不等式kx+b≤的解集．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把代入可求出从而求出反比例函数解析式；根据勾股定理求出可得点坐标，再运用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）根据一次函数的图象在反比例函数图象下方可得结论．
【详解】（1）把代入得，
∴反比例函数解析式为：
∵
∴
∵
∴
∴
∵直线的解析式为
把代入得，，
解得，
∴设直线的解析式为
（2）由图象知，当时，kx+b≤ ，
∴不等式kx+b≤的解集为．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是学会利用待定系数法确定函数解析式，学会利用图象确定自变量取值范围．
18．如图，在中，，正方形的边长是6，且四个顶点都在的各边上，．
(1)求证：；
(2)求的值．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）根据正方形的性质得，，根据直角三角形两个锐角互余得到，即可证明；
（2）由（1）知，根据三角形相似的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（2）解：，，，
，
∴．
【点睛】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，熟记三角形相似的判定方法是解题关键．
19．已知二次函数，函数值与自变量之间的部分对应值如表：
… 0 1 …
… 1 …
（1）写出二次函数图象的对称轴．
（2）求二次函数的表达式．
（3）当时，写出函数值的取值范围．
【答案】（1）x=2；（2）；（3）
【分析】（1）二次函数是轴对称图形，而（-4，-2），（0，-2）关于对称轴对此，利用中点坐标公式可求，
（2）求二次函数解析式，可知b,c待定，但（-4，-2），（0，-2）只能取一点，取两点坐标（-1，1），（0，-2）代入解之即可，
（3）由于对称轴与x轴交点横坐标，在，说明x=-4与x=-1取值不是最大值，为此x=-4与x=-1对应的函数值的最小值与x=-2时函数值即可．
【详解】解：（1）∵二次函数是轴对称图形，、时的函数值相等，都是，对称轴是（-4，-2），（0，-2）两点连结的中垂线，
∴此函数图象的对称轴为直线；
（2）由点（-1，1），（0，-2）在抛物线上
将，代入，
得：，
解得：，
∴二次函数的表达式为：；
（3）∵，
∴当时，取得最大值2，
由表可知当时，当时，
∴当时，．
【点睛】本题考查利用列表求对称轴表示式，二次函数解析式，函数值范围，关键利用数形结合思想，掌握二次函数的性质，函数值的求法，抛物线最值．
20．如图所示，有矩形和矩形，，，，．
（1）求和；
（2）线段，，，是成比例线段吗？
【答案】（1）；（2）线段 是成比例线段
【分析】（1）根据比例性质运算即可；
（2）根据线段成比例的定义进行判断．
【详解】解：（1）由已知可得：
；
（2）由（1）知，
，
∴是成比例线段 ．
【点睛】本题考查线段成比例的应用，熟练掌握比值的计算及线段成比例的定义是解题关键．
21．随着国内疫情基本得到控制，旅游业也慢慢复苏，经市场调研发现旅游景点未来天内，旅游人数与时间的关系如下表；每张门票与时间之间存在如下图所示的一次函数关系．（，且为整数）
时间（天）
人数（人）
请结合上述信息解决下列问题：
（1）直接写出：关于的函数关系式是 ．与时间函数关系式是 ．
（2）请预测未来天中哪一天的门票收入最多，最多是多少？
（3）为支援武汉抗疫，该旅游景点决定从每天获得的门票收入中拿出元捐赠给武汉红十字会，求捐款后共有几天每天剩余门票收入不低于元？
【答案】（1）；；（2）第10天；16000元；（3）5天
【分析】（1）观察表格可得：旅游人数=时间的10倍+300，由此得到关于的函数关系式；观察图象可知：每张门票与时间的图象是一条直线的一部分，因此z与x是一次函数，利用待定系数法求z与x的函数关系式即可；
（2）根据等量关系：门票收入=旅游人数×每张门票价钱，列出函数解析式，根据二次函数的图象和性质求最值即可；
（3）在第（2）问的基础上，从每天获得的门票收入中拿出元，即可得到新的解析式为：，再根据二次函数的性质求解即可.
【详解】（1）；
.
（2）设第天的门票收入元，
，
故第天门票收入最高，最高元．
（3）由（2）知，
当时，或，
，故捐款后共有天门票收入不低于元.
【点睛】本题考查一次函数与二次函数的综合应用，根据题意准确找到等量关系并且熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.
22．如图1，已知抛物线y=﹣x2﹣4x+5交x轴于点A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，连接AD．
（1）求直线AD的解析式．
（2）点E（m，0）、F（m+1，0）为x轴上两点，其中（﹣5＜m＜﹣3.5）EE′、FF′分别平行于y轴，交抛物线于点E′和F′，交AD于点M、N，当ME′+NF′的值最大时，在y轴上找一点R，使得|RE′﹣RF′|值最大，请求出点R的坐标及|RE′﹣RF′|的最大值．
（3）如图2，在抛物线上是否存在点P，使得△PAC是以AC为底边的等腰三角形，若存在，请出点P的坐标及△PAC的面积，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=3x+15；（2）点R的坐标是（0，17），最大值为；（3）存在，P（ ），P′（），面积为
【分析】(1)根据抛物线的解析式求得点A、D的坐标，然后利用待定系数法来求直线AD的解析式即可;
(2)根据平行线的性质和函数图象上点的坐标特征易得
ME'＋ NF'＝－m2－7m－10－m2－9m－18＝2m2－16m－28;结合二次函数最值的求法和两点间线段最短得到:要使|RE′－ RF′|值最大，则点E'、F′、R三点在一条直线上,只需求得点E'、F'的坐标，利用待定系数法推知直线E'F'关系式，由该关系式来求点R的坐标即可;
(3)当PA ＝ PC时,点P在线段AC的垂直平分线上,结合三角形的面积公式进行解答.
【详解】（1）如图1，∵y=﹣x2﹣4x+5=﹣（x+5）（x﹣1）或y=﹣（x+2）2+9，
∴A（﹣5，0），B（1，0），D（﹣2，9）．
设直线AD的解析式为：y=kx+b（k≠0），把A、D的坐标代入，得
，
解得．
故直线AD的解析式为：y=3x+15；
（2）如图1，∵EE′∥y轴，FF′∥y轴，E（m，0）、F（m+1，0），
∴E（m，﹣m2﹣4m+5）、F（m+1，﹣（m+1）2﹣4（m+1）+5），M（m，3m+15），N（m+1，3（m+1）+15），
∴ME′=﹣m2﹣4m+5﹣（3m+15）=﹣m2﹣7m﹣10，NF′=﹣m2﹣9m﹣18，
∴ME′+NF′=﹣m2﹣7m﹣10﹣m2﹣9m﹣18=2m2﹣16m﹣28．
∵﹣2＜0，
∴m=﹣=﹣4，
∴ME′+NF′有最大值，此时E′（﹣4，5），F′（﹣3，8），
要使|RE′﹣RF′|值最大，则点E′、F′、R三点在一条直线上，
∴设直线E′F′：y=kx+b（k≠0），则
，
解得，
∴直线E′F′：y=3x+17（k≠0）．
当x=0时，y=17，则点R的坐标是（0，17）．
此时，|RE′﹣RF′|的最大值为=；
（3）如图2，设点P（x，﹣x2﹣4x+5）．
当PA=PC时，点P在线段AC的垂直平分线上，
∵OC=OA，
∴点O在线段AC的垂直平分线上，
∴点P在∠AOC的角平分线上，
∴﹣x=﹣x2﹣4x+5，
解得x1=，x2=，
∴P（，），P′（，）．
∴PH=OP﹣OH=，P′H=OP′+OH=，
∴S△PAC=AC PH=×5×=或S△PAC=AC P′H=×5×=．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求解，平行线的性质，以及三角形的面积公式，解本题的要点在于学生数形结合的能力，结合图象解答问题，从而得到答案.
23．矩形中，，，将绕点旋转到的位置，设交直线于点，所在直线交边于点．
(1)如图，当点恰好落在边上时，求的长；
(2)在（）的条件下，求此时与矩形重叠部分的面积；
(3)如图，当点、、恰好在一直线上时，求的长度．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（）由旋转性质可知：，通过勾股定理可求得，再证明，即可求解；
（）先作于，证明，根据相似三角形的性质得到，又，则有，设，
则，，通过线段和差求出的值，最后由面积公式即可求解；
（）先作于，通过等面积求出的值，设，通过相似三角形的性质即可求出的值．
【详解】（1）由旋转性质可知：，
在中，，，，
由勾股定理得：，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故，
∴，
（2）如图，作于，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
设，
则，，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
（3）∵，，，共线，，
∴，
如图，作于，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，
则，
（舍），，
∴．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质与判定、等腰三角形“三线合一”和旋转的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质与判定和旋转的性质及其应用．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页2023-2024学年沪科版九年级数学上册期中提升卷一
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1．对称轴为y轴的二次函数是（ ）
A．y=(x+1)2 B．y=2(x-1)2 C．y=2x2+1 D．y=-(x-1)2
2．若反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象过点（3，－4），则下列各点在该图象上的是( )
A．（6，－8） B．(－6，8) C．（－3，4） D．(－3，－4)
3．若抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的两个交点A（x1，0）、B（x2，0）之间的距离为6，且x1+x2＝8，则这个抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（3，9） B．（﹣3，﹣9） C．（﹣4，﹣9） D．（4，9）
4．下列命题正确的是（ ）
A．相似三角形的面积比等于相似比
B．等边三角形是中心对称图形
C．若直线经过一、二、四象限，则
D．二次函数的最小值是
5．如下图，D、E分别是△ABC边的AB、AC上的点，DE∥BC，且S△ADE︰S△ABC＝1︰9，那么AD∶BD的值为（ ）
A．1︰9 B．1︰3 C．1︰8 D．1︰2
6．已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB．若AB＝2，则AP的长为（ ）
A． B．3﹣ C．﹣1 D．﹣3
7．如图，边长为4的等边中，D、E分别为AB，AC的中点，则的面积是
A． B． C． D．
8．如图一次函数与反比例函数y＝的图象相交于A，B 两点，若已知一个交点为A（2，1），则另一个交点B的坐标为（ ）
A．（2,－1） B．（－2,－1） C．（－1,－2） D．（1,2
9．如图，与关于点O位似，已知，则与的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
10．二次函数的图象过，，，四个点，下列说法一定正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．抛物线的顶点坐标为 ．
12．在反比例函数的图象上有三点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），若x1＞x2＞0＞x3，则y1、y2、y3的大小关系是 ；（用“＜”连接）
13．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，如果AE=4，EF=3，AF=5，那么正方形ABCD的面积等于 ．
14．如图，是直角三角形斜边上的高．
（1）若，，则 ；
（2）已知，，则 ．
解答题（共9小题，15-18每题8分，19-20每题10分，21,22每题12分，23题14分，共计90分）
15．如图，点和在平面直角坐标系中，点的坐标是，根据下列要求，解答相应的问题：
(1)作关于轴对称的，直接写出点的对应点的坐标；
(2)作关于点成位似中心的位似，与的相似比为，且这两个三角形在点同侧，直接写出点的对应点的坐标．
16．如图所示，在中，与交于点，．求证：
17．如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与反比例函数y=（m为常数，m≠0）的图象在第二象限交于点A（﹣4，3），与y轴负半轴交于点B，且OA=OB
(1)求反比例函数和一次函数的解析式．
(2)根据图象直接写出当x<0时，不等式kx+b≤的解集．
18．如图，在中，，正方形的边长是6，且四个顶点都在的各边上，．
(1)求证：；
(2)求的值．
19．已知二次函数，函数值与自变量之间的部分对应值如表：
… 0 1 …
… 1 …
（1）写出二次函数图象的对称轴．
（2）求二次函数的表达式．
（3）当时，写出函数值的取值范围．
20．如图所示，有矩形和矩形，，，，．
（1）求和；
（2）线段，，，是成比例线段吗？
21．随着国内疫情基本得到控制，旅游业也慢慢复苏，经市场调研发现旅游景点未来天内，旅游人数与时间的关系如下表；每张门票与时间之间存在如下图所示的一次函数关系．（，且为整数）
时间（天）
人数（人）
请结合上述信息解决下列问题：
（1）直接写出：关于的函数关系式是 ．与时间函数关系式是 ．
（2）请预测未来天中哪一天的门票收入最多，最多是多少？
（3）为支援武汉抗疫，该旅游景点决定从每天获得的门票收入中拿出元捐赠给武汉红十字会，求捐款后共有几天每天剩余门票收入不低于元？
22．如图1，已知抛物线y=﹣x2﹣4x+5交x轴于点A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，连接AD．
（1）求直线AD的解析式．
（2）点E（m，0）、F（m+1，0）为x轴上两点，其中（﹣5＜m＜﹣3.5）EE′、FF′分别平行于y轴，交抛物线于点E′和F′，交AD于点M、N，当ME′+NF′的值最大时，在y轴上找一点R，使得|RE′﹣RF′|值最大，请求出点R的坐标及|RE′﹣RF′|的最大值．
（3）如图2，在抛物线上是否存在点P，使得△PAC是以AC为底边的等腰三角形，若存在，请出点P的坐标及△PAC的面积，若不存在，请说明理由．
23．矩形中，，，将绕点旋转到的位置，设交直线于点，所在直线交边于点．
(1)如图，当点恰好落在边上时，求的长；
(2)在（）的条件下，求此时与矩形重叠部分的面积；
(3)如图，当点、、恰好在一直线上时，求的长度．
试卷第1页，共3页
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