2023-2024学年浙江省浙东北联盟高二上学期期中考试数学试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年浙江省浙东北联盟高二上学期期中考试数学试卷（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 320.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-01 20:32:10 | ||
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文档简介
2023-2024学年浙江省浙东北联盟高二上学期期中考试数学试卷
一、选择题（本题共12小题，共60分）
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知点为椭圆上一点，，为该椭圆的两个焦点，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知，为圆上的两个动点，若，则的面积为( )
A. B. C. D.
4.几何体是平行六面体，底面为矩形，其中，，，且，则线段的长为( )
A. B. C. D.
5.过双曲线的右焦点作其渐近线的垂线，垂足为点，交双曲线的左支于点，若，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
6.已知，，点是直线和的交点，若存在点使，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.如图，长方体，以为坐标原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，点是棱的中点，点是与的交点，如果，那么三棱锥的体积为
( )
A. B. C. D.
8.瑞士数学家欧拉在年在其所著作的三角形的几何学一书中提出：三角形的外心中垂线的交点、重心中线的交点、垂心高的交点在同一条直线上，后来，人们把这条直线称为欧拉线已知的顶点，且，则的欧拉线被椭圆截得的弦长的最大值为( )
A. B. C. D.
9.已知向量，，则下列结论正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 的最大值 D. 的最小值
10.已知直线，圆，则下列结论正确的有( )
A. 若，则直线恒过定点
B. 若，则直线与圆相切
C. 若圆关于直线对称，则
D. 若直线与圆相交于两点，则
11.已知曲线的方程为，则下列说法正确的是( )
A. ，曲线都不表示圆
B. ，曲线表示焦点在轴上的椭圆
C. ，曲线都不表示焦点在轴上的双曲线
D. 当时，曲线的焦距为定值
12.如图，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，是与的交点，为线段上的动点包含线段的端点，则以下说法正确的是( )
A. 为线段的中点时，
B. 存在点，使得平面
C. 与平面所成的角可能为
D. 与所成角的正弦值为
二、填空题（本题共4小题，共20分）
13.若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为 ．
14.直线与，之间的距离相等，则直线的方程是 ．
15.与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的标准方程为 ．
16.已知椭圆的左右焦点分别为，，点是椭圆上任意一点长轴端点除外，的角平分线交椭圆长轴于点，则的取值范围是 ．
三、解答题（本题共6小题，共70分）
17.已知圆经过点，，．
求圆的方程
若直线经过原点，并且被圆截得的弦长为，求直线的方程．
18.已知直线，直线
若直线在两坐标轴上的截距相等，求实数的值
若，求直线的方程．
19.如图，在几何体中，底面为正方形，平面，为线段的中点，且，为线段上的动点．
证明：平面平面
若平面与平面所成的角为，求的值．
20.已知双曲线的渐近线斜率为，且经过点，直线与圆相切于点．
求双曲线的方程
若直线与双曲线相切于点，求的取值范围．
21.如图，在四面体中，平面，，，是的中点，是的中点，点满足．
证明：平面
若与平面所成的角大小为，求的长度．
22.已知椭圆与椭圆有相同的离心率，椭圆焦点在轴上且经过点
求椭圆的标准方程
设为椭圆的上顶点，经过原点的直线交椭圆于、，直线、与椭圆的另一个交点分别为点和，若与的面积分别为和，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】本题考查直线的倾斜角与斜率，属于基础题．
由直线方程，求出斜率，进而求出倾斜角．
【解答】解：直线 的斜率，
设直线 的倾斜角为，
则，所以．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆的定义，属于基础题．
由椭圆方程求得，再由椭圆定义即可求解．
【解答】
解：由椭圆方程可得，
又点为椭圆上一点，则．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆的一般方程和三角形的面积公式，属于基础题．
求出半径，由三角形的面积公式即可求解．
【解答】
解：圆，即，
故半径为，
则，
又，
故的面积为
故选B
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量数量积及其运用，属于中档题．
由 ，两边平方，利用勾股定理以及数量积的定义求出 的值，进而可得答案
【解答】
解：由 ，
得 ．
因为底面 是矩形，，， ，
所以 ， ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
，
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．，设的一条渐近线的方程为，求得过与的一条渐近线垂直的直线的方程，以及垂足的坐标，由中点坐标公式可得的坐标，代入双曲线的方程，结合离心率公式，解方程可得所求值．
【解答】
解：，设的一条渐近线的方程为，
过与的一条渐近线垂直的直线的方程为，
联立可得垂足，
若，则恰好为线段的中点，可得，
将的坐标代入双曲线的方程可得，，
由，可得，解得．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查与圆有关的轨迹问题，考查圆与圆的位置关系，属于一般题．
由直线与都过定点且，可得交点的轨迹是圆，又点满足，坐标化可得点在另一个圆上，存在点满足，即两圆有公共点即可，由此得解．
【解答】
解：因为直线过定点，直线过定点，且，
所以直线与的交点的轨迹是以，为直径端点的圆，除去，
所以点的轨迹方程为：
设其圆心为，半径，
若点满足，设，
可得，
化简整理得，，
设其圆心为，半径，
由题存在点满足，即圆与圆有公共点即可，
由于点的轨迹为圆除去点，
所以得，即，
所以．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量的坐标，考查利用向量求点到平面的距离，考查三棱锥的体积公式，属于中档题．
先利用点的坐标求出长方体的各棱长，再利用向量求点到平面的距离即可．
【解答】
解：在长方体中，
设，，，
所以，，故，
又因为，
所以，，，即，，，
则，，，，
，，，
所以，
设平面的法向量为，
则，令，则，
所以到平面的距离为，
的面积为，
所以三棱锥的体积为．
8.【答案】
【解析】【分析】本题考查直线被椭圆截得的弦长的最值问题，属于中档题．
先利用结论得出欧拉线过点，再把直线方程代入椭圆方程可求得．
【解答】解：由题意知欧拉线一定过点，
当过点的直线斜率不存在时，被椭圆解得弦长为；
当过点的直线斜率存在时，设欧拉线的方程为，代入椭圆方程消去得
，设与椭圆的交点，其坐标分别为，，
则，
所以，
所以，令，则，
，所以时最大，
此时，所以被椭圆截得的弦长最大是．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量平行、垂直和模，属于基础题．
利用空间向量平行、垂直和模的坐标表示逐个判断即可．
【解答】
解：对于、若，则，则，故A正确；
对于、若，则，且，则，故B正确；
对于、，故的最小值，没有最大值，故CD错误
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
利用点的坐标满足直线方程，判断的正误；利用圆心到直线的距离与半径的大小比较判断、；利用直线经过圆的圆心判断．
【解答】解：对于：当时，点恒在上，故A正确；
对于：当时，圆心到直线的距离，直线与圆相切，故B正确；
对于：若圆关于直线对称，则直线恒过圆的圆心，所以，即，，故C正确；
对于：若直线与圆相交于两点，则圆心到直线的距离，解得 ，故D错误．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查曲线与方程，属于一般题．
对于由求解判断
对于由求解判断
对于由，求解判断
对于由当时，方程表示焦点在轴上的双曲线求解判断．
【解答】
解：若方程表示圆，
则，无解，
所以，曲线都不表示圆，故A正确
若方程表示焦点在轴上的椭圆，
则，无解，
所以不存在，使得曲线表示焦点在轴上的椭圆，故B错误
若方程表示焦点在轴上的双曲线，
则，，无解，
所以，曲线都不表示焦点在轴上的双曲线，故C正确
当时，方程表示焦点在轴上的双曲线，
则，，，则
故曲线的焦距为定值，故D正确，
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量的线性运算及利用空间向量证明线面平行、求线线所成的角及线面所成的角，属于较难题．
利用以 为原点，以 为坐标轴建立空间直角坐标系 ，利用空间向量结合选项证明、计算即可．
【解答】
解：对于 ，
，故 错误；
对于 ，以 为原点，以 为坐标轴建立空间直角坐标系 ，
设 ，
则 ，
所以
设平面 的法向量为
则 ，
令 ，可得 ，
设 ，
则 ，
所以 ，
当 时，可得 平面 ，
所以 ，即 ．
所以在线段 上存在点 ，且 ，故B正确；
对于 ，在 中， 为 的中点，所以 ，
又 平面 平面 ，
可得 ，而 ，平面
所以 平面 与平面 所成的角即为 ，
由题可得当 运动到点 时， 取得最大，且 ，
所以 与平面 所成的角可能为 ，此时 ，故C正确；
对于 ，
，，
所以 与 所成角的正弦值为 ，故D正确．
故选BCD．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用空间向量求直线与平面的夹角属于基础题．
设直线与平面所成的角为，根据定义，得出，即可求出结果．
【解答】
解：设直线与平面所成的角为，
根据线面角的定义，有，
即得直线与平面所成的角．
故答案为．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查两平行间距离公式，属于基础题．
设直线方程为，利用平行线间的距离公式列方程求解即可．
【解答】
解：根据题意设直线 的方程为 ，
因为直线与，之间的距离相等，
所以，解得，
所以直线方程为，
故答案为：．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查求双曲线的标准方程，属于基础题．
设所求的双曲线方程为，代入点求出即可．
【解答】
解：设所求的双曲线方程为，
因为双曲线过点，
所以，解得，
故所求双曲线方程为，即．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题是椭圆与直线的综合题，关键是利用椭圆的定义及性质进行求解，是中档题．
根据题意，不妨设，结合，分别写出直线、的方程；由角平分线的性质可知，点到两边的距离相等，结合点到直线的距离公式可得，结合点在椭圆上，对上式进行化简，进而用表示出，结合的范围即可求出的取值范围．
【解答】
解：设 又 ，
所以直线 的方程分别为
， ，
由题意知 ，
由于点 在椭圆上，所以 ， ，
所以 ，因为 ， ，
所以 ，所以 因此 ．
答案为．
17.【答案】解根据已知，，，三点构成直角三角形
则圆为其外接圆，圆心坐标为，半径为，
故，圆的方程为
因为直线经过原点，且圆与轴相离，
则设直线方程为
因为直线被圆截得的弦长为，
则圆心到的距离为
即，，得或
故直线的方程为或
【解析】【分析】
本题考查圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．
利用图像可得圆心和半径，求解即可；
设直线方程为，则圆心到的距离为，利用点到直线的距离公式求解即可；
18.【答案】解：直线，直线在两坐标轴上的截距相等，则，
当时，，当时，，则有，
即，解得，
故实数
因为，则，即或，
当时，直线，直线，不成立，
当时，直线，直线，成立，
故，直线．
【解析】本题考查直线方程的求法，考查直线与直线平行、直线的截距等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
由条件可得，当时，，当时，，则有，求解即可；
由可得，即或，再代入验证能求出直线．
19.【答案】证明：因为，为的中点，则
又平面，平面，
所以，
由，，、平面，
则平面，
又平面，则，
又，、平面，
则平面，
又平面，
故平面平面；
以为原点，分别以、、所在的直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
设，则，，，，设
，，设为平面的法向量，
则有，得，，则
，，设为平面的法向量，
则有，得，，则，
，，
得，得，
故若平面与平面所成的角为，．
【解析】本题考查了面面垂直的判定和平面与平面所成角的向量求法，是中档题．
先证明平面，由面面垂直的判定即可得证；
建立空间直角坐标系，得出平面的法向量和平面的法向量，利用空间向量求解即可．
20.【答案】解：，，
双曲线经过点，则，解得，
故双曲线的方程为
根据题意，直线斜率存在，设直线方程为
由联立得
令，则，
由与圆相切于点，则
即有
因为，则
另解：
因为，则
【解析】本题考查双曲线标准方程的求法，以及直线与双曲线的位置关系，属于中档题．
首先根据离心率可以得到与的关系是，应用此关系将双曲线方程化简，接下来将点的坐标代入方程，整理后即可得到曲线的方程；
把用表示，根据的取值范围求出的取值范围；
另法，根据的取值范围求出的取值范围；
21.【答案】解：证明：取的中点，在线段上取点，使得，连接，，．
因为，所以，且．
因为，分别为，的中点，
所以是的中位线，所以，且．
又点是的中点，所以，且．
从而，且．
所以四边形是平行四边形，故EF．
又平面，平面，
所以平面．
如图建立空间直角坐标系，设，，则，，，，，
所以，，．
设为平面的一个法向量，
则，解得，，则，
设与平面所在的角为，
则，，
因为，则，，
故当与平面所成的角大小为时，的长度为．
【解析】本题考查了线面平行的判定和直线与平面所成角的向量求法，是中档题．
取的中点，在线段上取点，使得，连接，，，先证明四边形是平行四边形，故EF，由线面平行的判定即可得证；
如图建立空间直角坐标系，设，，得出平面的法向量，利用空间向量求解即可．
22.【答案】解：由已知，设椭圆方程为，且经过点，则，
故椭圆的标准方程为
根据题意，直线、的斜率存在且不为，，
设直线的斜率为，直线的斜率为，则，
，联立得，
解得，同理可得，
，联立得，
解得，同理可得，
，
因为，
故的取值范围为．
【解析】本题考查了椭圆的方程和性质以及直线与椭圆的位置关系，三角形面积的最值问题，属于难题．
设椭圆方程为，代入点，即可得解；
设直线的斜率为，直线的斜率为，则，设的方程为，分别与两椭圆方程联立，求得点，的横坐标，同理可得点，的横坐标，由面积公式可得，整理即可得出答案．
第4页，共20页
一、选择题（本题共12小题，共60分）
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知点为椭圆上一点，，为该椭圆的两个焦点，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知，为圆上的两个动点，若，则的面积为( )
A. B. C. D.
4.几何体是平行六面体，底面为矩形，其中，，，且，则线段的长为( )
A. B. C. D.
5.过双曲线的右焦点作其渐近线的垂线，垂足为点，交双曲线的左支于点，若，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
6.已知，，点是直线和的交点，若存在点使，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.如图，长方体，以为坐标原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，点是棱的中点，点是与的交点，如果，那么三棱锥的体积为
( )
A. B. C. D.
8.瑞士数学家欧拉在年在其所著作的三角形的几何学一书中提出：三角形的外心中垂线的交点、重心中线的交点、垂心高的交点在同一条直线上，后来，人们把这条直线称为欧拉线已知的顶点，且，则的欧拉线被椭圆截得的弦长的最大值为( )
A. B. C. D.
9.已知向量，，则下列结论正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 的最大值 D. 的最小值
10.已知直线，圆，则下列结论正确的有( )
A. 若，则直线恒过定点
B. 若，则直线与圆相切
C. 若圆关于直线对称，则
D. 若直线与圆相交于两点，则
11.已知曲线的方程为，则下列说法正确的是( )
A. ，曲线都不表示圆
B. ，曲线表示焦点在轴上的椭圆
C. ，曲线都不表示焦点在轴上的双曲线
D. 当时，曲线的焦距为定值
12.如图，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，是与的交点，为线段上的动点包含线段的端点，则以下说法正确的是( )
A. 为线段的中点时，
B. 存在点，使得平面
C. 与平面所成的角可能为
D. 与所成角的正弦值为
二、填空题（本题共4小题，共20分）
13.若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为 ．
14.直线与，之间的距离相等，则直线的方程是 ．
15.与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的标准方程为 ．
16.已知椭圆的左右焦点分别为，，点是椭圆上任意一点长轴端点除外，的角平分线交椭圆长轴于点，则的取值范围是 ．
三、解答题（本题共6小题，共70分）
17.已知圆经过点，，．
求圆的方程
若直线经过原点，并且被圆截得的弦长为，求直线的方程．
18.已知直线，直线
若直线在两坐标轴上的截距相等，求实数的值
若，求直线的方程．
19.如图，在几何体中，底面为正方形，平面，为线段的中点，且，为线段上的动点．
证明：平面平面
若平面与平面所成的角为，求的值．
20.已知双曲线的渐近线斜率为，且经过点，直线与圆相切于点．
求双曲线的方程
若直线与双曲线相切于点，求的取值范围．
21.如图，在四面体中，平面，，，是的中点，是的中点，点满足．
证明：平面
若与平面所成的角大小为，求的长度．
22.已知椭圆与椭圆有相同的离心率，椭圆焦点在轴上且经过点
求椭圆的标准方程
设为椭圆的上顶点，经过原点的直线交椭圆于、，直线、与椭圆的另一个交点分别为点和，若与的面积分别为和，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】本题考查直线的倾斜角与斜率，属于基础题．
由直线方程，求出斜率，进而求出倾斜角．
【解答】解：直线 的斜率，
设直线 的倾斜角为，
则，所以．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆的定义，属于基础题．
由椭圆方程求得，再由椭圆定义即可求解．
【解答】
解：由椭圆方程可得，
又点为椭圆上一点，则．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆的一般方程和三角形的面积公式，属于基础题．
求出半径，由三角形的面积公式即可求解．
【解答】
解：圆，即，
故半径为，
则，
又，
故的面积为
故选B
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量数量积及其运用，属于中档题．
由 ，两边平方，利用勾股定理以及数量积的定义求出 的值，进而可得答案
【解答】
解：由 ，
得 ．
因为底面 是矩形，，， ，
所以 ， ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
，
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．，设的一条渐近线的方程为，求得过与的一条渐近线垂直的直线的方程，以及垂足的坐标，由中点坐标公式可得的坐标，代入双曲线的方程，结合离心率公式，解方程可得所求值．
【解答】
解：，设的一条渐近线的方程为，
过与的一条渐近线垂直的直线的方程为，
联立可得垂足，
若，则恰好为线段的中点，可得，
将的坐标代入双曲线的方程可得，，
由，可得，解得．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查与圆有关的轨迹问题，考查圆与圆的位置关系，属于一般题．
由直线与都过定点且，可得交点的轨迹是圆，又点满足，坐标化可得点在另一个圆上，存在点满足，即两圆有公共点即可，由此得解．
【解答】
解：因为直线过定点，直线过定点，且，
所以直线与的交点的轨迹是以，为直径端点的圆，除去，
所以点的轨迹方程为：
设其圆心为，半径，
若点满足，设，
可得，
化简整理得，，
设其圆心为，半径，
由题存在点满足，即圆与圆有公共点即可，
由于点的轨迹为圆除去点，
所以得，即，
所以．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量的坐标，考查利用向量求点到平面的距离，考查三棱锥的体积公式，属于中档题．
先利用点的坐标求出长方体的各棱长，再利用向量求点到平面的距离即可．
【解答】
解：在长方体中，
设，，，
所以，，故，
又因为，
所以，，，即，，，
则，，，，
，，，
所以，
设平面的法向量为，
则，令，则，
所以到平面的距离为，
的面积为，
所以三棱锥的体积为．
8.【答案】
【解析】【分析】本题考查直线被椭圆截得的弦长的最值问题，属于中档题．
先利用结论得出欧拉线过点，再把直线方程代入椭圆方程可求得．
【解答】解：由题意知欧拉线一定过点，
当过点的直线斜率不存在时，被椭圆解得弦长为；
当过点的直线斜率存在时，设欧拉线的方程为，代入椭圆方程消去得
，设与椭圆的交点，其坐标分别为，，
则，
所以，
所以，令，则，
，所以时最大，
此时，所以被椭圆截得的弦长最大是．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量平行、垂直和模，属于基础题．
利用空间向量平行、垂直和模的坐标表示逐个判断即可．
【解答】
解：对于、若，则，则，故A正确；
对于、若，则，且，则，故B正确；
对于、，故的最小值，没有最大值，故CD错误
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
利用点的坐标满足直线方程，判断的正误；利用圆心到直线的距离与半径的大小比较判断、；利用直线经过圆的圆心判断．
【解答】解：对于：当时，点恒在上，故A正确；
对于：当时，圆心到直线的距离，直线与圆相切，故B正确；
对于：若圆关于直线对称，则直线恒过圆的圆心，所以，即，，故C正确；
对于：若直线与圆相交于两点，则圆心到直线的距离，解得 ，故D错误．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查曲线与方程，属于一般题．
对于由求解判断
对于由求解判断
对于由，求解判断
对于由当时，方程表示焦点在轴上的双曲线求解判断．
【解答】
解：若方程表示圆，
则，无解，
所以，曲线都不表示圆，故A正确
若方程表示焦点在轴上的椭圆，
则，无解，
所以不存在，使得曲线表示焦点在轴上的椭圆，故B错误
若方程表示焦点在轴上的双曲线，
则，，无解，
所以，曲线都不表示焦点在轴上的双曲线，故C正确
当时，方程表示焦点在轴上的双曲线，
则，，，则
故曲线的焦距为定值，故D正确，
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量的线性运算及利用空间向量证明线面平行、求线线所成的角及线面所成的角，属于较难题．
利用以 为原点，以 为坐标轴建立空间直角坐标系 ，利用空间向量结合选项证明、计算即可．
【解答】
解：对于 ，
，故 错误；
对于 ，以 为原点，以 为坐标轴建立空间直角坐标系 ，
设 ，
则 ，
所以
设平面 的法向量为
则 ，
令 ，可得 ，
设 ，
则 ，
所以 ，
当 时，可得 平面 ，
所以 ，即 ．
所以在线段 上存在点 ，且 ，故B正确；
对于 ，在 中， 为 的中点，所以 ，
又 平面 平面 ，
可得 ，而 ，平面
所以 平面 与平面 所成的角即为 ，
由题可得当 运动到点 时， 取得最大，且 ，
所以 与平面 所成的角可能为 ，此时 ，故C正确；
对于 ，
，，
所以 与 所成角的正弦值为 ，故D正确．
故选BCD．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用空间向量求直线与平面的夹角属于基础题．
设直线与平面所成的角为，根据定义，得出，即可求出结果．
【解答】
解：设直线与平面所成的角为，
根据线面角的定义，有，
即得直线与平面所成的角．
故答案为．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查两平行间距离公式，属于基础题．
设直线方程为，利用平行线间的距离公式列方程求解即可．
【解答】
解：根据题意设直线 的方程为 ，
因为直线与，之间的距离相等，
所以，解得，
所以直线方程为，
故答案为：．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查求双曲线的标准方程，属于基础题．
设所求的双曲线方程为，代入点求出即可．
【解答】
解：设所求的双曲线方程为，
因为双曲线过点，
所以，解得，
故所求双曲线方程为，即．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题是椭圆与直线的综合题，关键是利用椭圆的定义及性质进行求解，是中档题．
根据题意，不妨设，结合，分别写出直线、的方程；由角平分线的性质可知，点到两边的距离相等，结合点到直线的距离公式可得，结合点在椭圆上，对上式进行化简，进而用表示出，结合的范围即可求出的取值范围．
【解答】
解：设 又 ，
所以直线 的方程分别为
， ，
由题意知 ，
由于点 在椭圆上，所以 ， ，
所以 ，因为 ， ，
所以 ，所以 因此 ．
答案为．
17.【答案】解根据已知，，，三点构成直角三角形
则圆为其外接圆，圆心坐标为，半径为，
故，圆的方程为
因为直线经过原点，且圆与轴相离，
则设直线方程为
因为直线被圆截得的弦长为，
则圆心到的距离为
即，，得或
故直线的方程为或
【解析】【分析】
本题考查圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．
利用图像可得圆心和半径，求解即可；
设直线方程为，则圆心到的距离为，利用点到直线的距离公式求解即可；
18.【答案】解：直线，直线在两坐标轴上的截距相等，则，
当时，，当时，，则有，
即，解得，
故实数
因为，则，即或，
当时，直线，直线，不成立，
当时，直线，直线，成立，
故，直线．
【解析】本题考查直线方程的求法，考查直线与直线平行、直线的截距等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
由条件可得，当时，，当时，，则有，求解即可；
由可得，即或，再代入验证能求出直线．
19.【答案】证明：因为，为的中点，则
又平面，平面，
所以，
由，，、平面，
则平面，
又平面，则，
又，、平面，
则平面，
又平面，
故平面平面；
以为原点，分别以、、所在的直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
设，则，，，，设
，，设为平面的法向量，
则有，得，，则
，，设为平面的法向量，
则有，得，，则，
，，
得，得，
故若平面与平面所成的角为，．
【解析】本题考查了面面垂直的判定和平面与平面所成角的向量求法，是中档题．
先证明平面，由面面垂直的判定即可得证；
建立空间直角坐标系，得出平面的法向量和平面的法向量，利用空间向量求解即可．
20.【答案】解：，，
双曲线经过点，则，解得，
故双曲线的方程为
根据题意，直线斜率存在，设直线方程为
由联立得
令，则，
由与圆相切于点，则
即有
因为，则
另解：
因为，则
【解析】本题考查双曲线标准方程的求法，以及直线与双曲线的位置关系，属于中档题．
首先根据离心率可以得到与的关系是，应用此关系将双曲线方程化简，接下来将点的坐标代入方程，整理后即可得到曲线的方程；
把用表示，根据的取值范围求出的取值范围；
另法，根据的取值范围求出的取值范围；
21.【答案】解：证明：取的中点，在线段上取点，使得，连接，，．
因为，所以，且．
因为，分别为，的中点，
所以是的中位线，所以，且．
又点是的中点，所以，且．
从而，且．
所以四边形是平行四边形，故EF．
又平面，平面，
所以平面．
如图建立空间直角坐标系，设，，则，，，，，
所以，，．
设为平面的一个法向量，
则，解得，，则，
设与平面所在的角为，
则，，
因为，则，，
故当与平面所成的角大小为时，的长度为．
【解析】本题考查了线面平行的判定和直线与平面所成角的向量求法，是中档题．
取的中点，在线段上取点，使得，连接，，，先证明四边形是平行四边形，故EF，由线面平行的判定即可得证；
如图建立空间直角坐标系，设，，得出平面的法向量，利用空间向量求解即可．
22.【答案】解：由已知，设椭圆方程为，且经过点，则，
故椭圆的标准方程为
根据题意，直线、的斜率存在且不为，，
设直线的斜率为，直线的斜率为，则，
，联立得，
解得，同理可得，
，联立得，
解得，同理可得，
，
因为，
故的取值范围为．
【解析】本题考查了椭圆的方程和性质以及直线与椭圆的位置关系，三角形面积的最值问题，属于难题．
设椭圆方程为，代入点，即可得解；
设直线的斜率为，直线的斜率为，则，设的方程为，分别与两椭圆方程联立，求得点，的横坐标，同理可得点，的横坐标，由面积公式可得，整理即可得出答案．
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