苏科版八年级数学下册 9.4.2菱形的性质与判定 专练（含答案）

9.4.2菱形的性质与判定专练
一.解答题
1．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG，如图1所示．
（1）证明平行四边形ECFG是菱形；
（2）若∠ABC＝120°，连结BG、CG、DG，如图2所示，
①求证：△DGC≌△BGE；
②求∠BDG的度数；
（3）若∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝14，M是EF的中点，如图3所示，求DM的长．
2．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB∥DC，AB＝BC，BD平分∠ABC，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝2，BD＝4，求OE的长．
3．已知：如图，在 ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接G、E、H、F．
（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；
（2）当 ABCD满足　 　条件时，四边形GEHF是菱形；
（3）若BD＝2AB，
①探究四边形GEHF的形状，并说明理由；
②当AB＝2，∠ABD＝120°时，直接写出四边形GEHF的面积．
4．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AB＝6，BC＝8，求EF的长．
5．如图，在 ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝BF，AC⊥EF．
（1）求证：四边形AECF是菱形．
（2）若AB＝6，BC＝10，F为BC中点，求四边形AECF的面积．
6．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接 CE、OE，连接AE交OD于点F．
（1）求证：OE＝CD；
（2）若菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，求AE的长．
7．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°．
（1）如图①，若点E、F分别在边AB、AD上，且BE＝AF．求证：△CEF是等边三角形；
（2）小明发现若点E、F分别在边AB、AD上，且∠CEF＝60°时△CEF也是等边三角形，并通过画图验证了猜想；小丽通过探索，认为应该以CE＝EF为突破口构造两个三角形全等；小倩受到小丽的启发，尝试在BC上截取BM＝BE，连接ME，如图②，很快就证明了△CEF是等边三角形，请你根据小倩的方法，写出完整的证明过程．
8．如图，在 ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作 ECFG．
（1）证明 ECFG是菱形；
（2）若∠ABC＝120°，连结BD、CG，求∠BDG的度数；
（3）若∠ABC＝90°，AB＝6，AD＝8，M是EF的中点，求DM的长．
9．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DEAC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．
（1）求证：OE＝CD；
（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°．求AE的长．
10．已知：如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，D是AB边上一个动点，连接CD，作CE∥AB，作AE∥CD交CE于点E，连接DE与AC交于点O．
（1）求证：OD＝OE；
（2）若四边形ADCE是菱形，求菱形ADCE的面积．
11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，E为AB上一动点，过点E作EF∥BD交AD于点F，连接BF、DE．
（1）若∠ABD＝40°，求∠CAD的度数；
（2）求证：BF＝DE．
12．如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于点E，DF⊥BC交BC的延长线于点F．
（1）求证：DE＝DF；
（2）若BE＝8cm，DF＝4cm，求菱形ABCD的面积．
13．如图，菱形ABCD中，E，F分别为AD，AB上的点，且AE＝AF，连接EF并延长，交CB的延长线于点G，连接BD．
（1）求证：四边形EGBD是平行四边形；
（2）连接AG，若∠FGB＝30°，GB＝AE＝3，求AG的长．
14．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD．过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E连接OE．
（1）求证；四边形ABCD是菱形；
（2）若AB，BD＝4，求OE的长．
15．已知：如图，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，
（1）如图1，若CE＝CF；求证：AE＝AF；
（2）如图2，若∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝20°，求∠CEF的度数．
16．如图，菱形ABCD的边长是10厘米，对角线AC，BD相交于点O，且AC＝12厘米，点P，N分别在BD，AC上，点P从点D出发，以每秒2厘米的速度向终点B运动，点N从点C出发，以每秒1厘米的速度向点A运动，点P移动到点B后，点P，N停止运动．
（1）当运动多少秒时，△PON的面积是8平方厘米；
（2）如果△PON的面积为y，请你写出y关于时间t的函数表达式．
17．如图所示，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．
（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF；
（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF的面积和△CEF的周长是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最小值．
18．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，E是AD边上的动点，作∠BEF＝60°交CD于点F，在AB上取点G使AG＝AE，连结EG．
（1）求∠EGB的度数；
（2）求证：EF＝BE；
（3）若P是EF的中点，当AE为何值时，△EGP是等腰三角形．
19．如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）若∠E＝60°，AB＝6，求菱形ABCD的面积．
20．如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，DF＝BE，连接AF、CE．
（1）求证：∠AFD＝∠CEB；
（2）点H、G分别是AF、CE上的点，若AH＝CG，∠AEH+∠AFD＝90°，试判断四边形HEGF是什么图形，并证明你的结论．
21．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E、F分别在边AB、BC上，△DEF是等边三角形．
（1）求证：BE＝CF；
（2）若DG⊥AB，AD＝6，AE＝4，求EF的长．
22．如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连结CE．
（1）求证：BD＝EC；
（2）若∠E＝68°，求∠BAD的度数．
23．已知：在菱形ABCD中，点E是CD边上一点，过点E作EF⊥AC于点F，交BC边于点G，交AB延长线于点H．
（1）如图1，求证：BH＝DE；
（2）如图2，当点E是CD边中点时，连接对角线BD交对角线AC于点O，连接OG、OE，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图2中所有的平行四边形（菱形除外）．
24．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE：AC＝1：2，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．
（1）求证：OE＝CD；
（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，求AE的长．
25．已知：在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E和点F分别在BC边和CD边上，连接AE、AF、AC，∠EAF＝60°．
（1）如图1，求证：BE＝CF；
（2）如图2，当点E是BC边中点时，连接对角线BD分别交AE、AC、AF于点M、O、N，连接EF交对角线AC于点P，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图2中面积等于△PEC面积3倍的三角形或四边形．
26．菱形ABCD中，∠B＝60°，点E在边BC上，点F在边CD上．
（1）如图1，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：F是CD的中点．
（2）如图2，若∠EAF＝60°，∠BAE＝20°，求∠FEC的度数．
27．已知，四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF＝60°．
（1）如图1，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B，C重合），求证：BE＝CF；
（2）如图2，当点E在线段CB的延长线上，连接AC，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图2中三对相等的线段（菱形ABCD相等的边除外）．
28．【猜想】如图1，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，过点O的直线分别交AD．BC于点E．F．若平行四边形ABCD的面积是8，则四边形CDEF的面积是　 　．
【探究】如图2，在菱形ABCD中，对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F，若AC＝5，BD＝10，求四边形ABFE的面积．
【应用】如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，延长BC到点D，使DC＝BC，连结AD，若AC＝3，AD＝2，则△ABD的面积是　 　．
答案
一．解答题
1．（1）证明：
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
又∵四边形ECFG是平行四边形，
∴四边形ECFG为菱形；
（2）①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，
∵∠ABC＝120°，
∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°
由（1）知，四边形CEGF是菱形，
∴CE＝GE，∠BCG∠BCF＝60°，
∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，
∵EG∥DF，
∴∠BEG＝120°＝∠DCG，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∴BE＝CD，
∴△DGC≌△BGE（SAS）；
②∵△DGC≌△BGE，
∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，
∴∠BGD＝∠CGE，
∵CG＝GE＝CE，
∴△CEG是等边三角形，
∴∠CGE＝60°，
∴∠BGD＝60°，
∵BG＝DG，
∴△BDG是等边三角形，
∴∠BDG＝60°；
（3）方法一：如图3中，连接BM，MC，
∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，
∠ECF＝90°，
∴四边形ECFG为正方形．
∵∠BAF＝∠DAF，
∴BE＝AB＝DC，
∵M为EF中点，
∴∠CEM＝∠ECM＝45°，
∴∠BEM＝∠DCM＝135°，
在△BME和△DMC中，
∵，
∴△BME≌△DMC（SAS），
∴MB＝MD，
∠DMC＝∠BME．
∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，
∴△BMD是等腰直角三角形．
∵AB＝8，AD＝14，
∴BD＝2，
∴DMBD．
方法二：过M作MH⊥DF于H，
∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，
∠ECF＝90°，
∴四边形ECFG为正方形，
∴∠CEF＝45°，
∴∠AEB＝∠CEF＝45°，
∴BE＝AB＝8，
∴CE＝CF＝14﹣8＝6，
∵MH∥CE，EM＝FM，
∴CH＝FHCF＝3，
∴MHCE＝3，
∴DH＝11，
∴DM．
2．（1）∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD
∴∠CDB＝∠CBD，
∴BC＝CD，且AB＝BC
∴CD＝AB，且AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC
∴四边形ABCD是菱形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，BO＝DO＝2
∵AO4
∵CE⊥AB，AO＝CO
∴EO＝AO＝CO＝4
3．（1）证明：连接AC，如图1所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴BD的中点在AC上，
∵E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，
∴E、F分别为OB、OD的中点，
∵G是AD的中点，
∴GF为△AOD的中位线，
∴GF∥OA，GFOA，
同理：EH∥OC，EHOC，
∴EH＝GF，EH∥GF，
∴四边形GEHF是平行四边形；
（2）解：当 ABCD满足AB⊥BD条件时，四边形GEHF是菱形；理由如下：
连接GH，如图2所示：
则AG＝BH，AG∥BH，
∴四边形ABHG是平行四边形，
∴AB∥GH，
∵AB⊥BD，
∴GH⊥BD，
∴GH⊥EF，
∴四边形GEHF是菱形；
故答案为：AB⊥BD；
（3）解：①四边形GEHF是矩形；理由如下：
由（2）得：四边形GEHF是平行四边形，
∴GH＝AB，
∵BD＝2AB，
∴ABBD＝EF，
∴GH＝EF，
∴四边形GEHF是矩形；
②作AM⊥BD于M，GN⊥BD于N，如图3所示：
则AM∥GN，
∵G是AD的中点，
∴GN是△ADM的中位线，
∴GNAM，
∵∠ABD＝120°，
∴∠ABM＝60°，
∴∠BAM＝30°，
∴BMAB＝1，AMBM，
∴GN，
∵BD＝2AB＝4，
∴EFBD＝2，
∴△EFG的面积EF×GN2，
∴四边形GEHF的面积＝2△EFG的面积．
4．证明：（1）∵EF是对角线AC的垂直平分线，
∴AO＝CO，AC⊥EF，
∵AD∥BC，
∴∠AEO＝∠CFO，
在△AEO和△CFO中，
，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴AE＝CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
又∵AC⊥EF，
∴四边形AFCE是菱形；
（2）∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC，
∵四边形AFCE是菱形，
∴AF＝FC，
在Rt△ABF中，设AF＝FC＝x，则BF＝8﹣x
∴AB2+BF2＝AF2，
∴62+（8﹣x）2＝x2，
∴x，
∴OF，
∴EF＝2OF．
5．证明：（1）如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝BC，且AD∥BC，DE＝BF，
∴AE＝CF，且AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF为菱形；
（2）∵四边形AECF是菱形，
∴AO＝CO，
∵F为BC中点，
∴FO∥AB，FOAB＝3，
∴∠BAC＝∠FOC＝90°，EF＝6，
∵AB＝6，BC＝10，
∴AC＝8，
∴S菱形AECF＝24．
6．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，DEAC，
∴AC⊥BD，DE＝OC．
∵DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵AC⊥BD，四边形OCED是平行四边形，
∴四边形OCED是矩形，
∴OE＝CD．
（2）解：∵菱形ABCD的边长为6，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，BD⊥AC，AO＝COAC．
∵∠ABC＝60°，AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝6，
∵△AOD中BD⊥AC，AD＝6，AO＝3，
∴OD3，
∵四边形OCED是矩形，
∴CE＝OD＝3，
∵在Rt△ACE中，AC＝6，CE＝3，
∴AE3．
7．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵∠B＝60°，
∴△ABC，△ADC都是等边三角形，
∴∠B＝∠CAF＝∠ACB＝60°，
∵BC＝AC，BE＝AF，
∴△BEC≌△AFC（SAS），
∴CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，
∴∠ECF＝∠BCA＝60°，
∴△ECF是等边三角形．
（2）证明：∵BE＝BM，∠B＝60°，
∴△BEM是等边三角形，
∴∠EMB＝∠BEM＝60°，∠EMC＝∠AEM＝120°，
∵AB＝BC，∠EAF＝120°，
∴AE＝CM，∠EAF＝∠EMC，
∵∠FEC＝60°，
∴∠AEF+∠CEM＝60°，
∵∠CEM+∠ECM＝60°，
∴∠AEF＝∠ECM，
∴△ECM≌△FEA（ASA），
∴EF＝EC，∵∠FEC＝60°，
∴△EFC是等边三角形．
8．解：（1）证明：
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
又∵四边形ECFG是平行四边形，
∴四边形ECFG为菱形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，
∵∠ABC＝120°，
∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°
由（1）知，四边形CEGF是菱形，
∴CE＝GE，∠BCG∠BCF＝60°，
∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，
∵EG∥DF，
∴∠BEG＝120°＝∠DCG，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∴BE＝CD，
∴△BEG≌△DCG（SAS），
∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，
∴∠BGD＝∠CGE，
∵CG＝GE＝CE，
∴△CEG是等边三角形，
∴∠CGE＝60°，
∴∠BGD＝60°，
∵BG＝DG，
∴△BDG是等边三角形，
∴∠BDG＝60°；
（3）如图2中，连接BM，MC，
∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，
∠ECF＝90°，
∴四边形ECFG为正方形．
∵∠BAF＝∠DAF，
∴BE＝AB＝DC，
∵M为EF中点，
∴∠CEM＝∠ECM＝45°，
∴∠BEM＝∠DCM＝135°，
在△BME和△DMC中，
∵，
∴△BME≌△DMC（SAS），
∴MB＝MD，
∠DMC＝∠BME．
∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，
∴△BMD是等腰直角三角形．
∵AB＝6，AD＝8，
∴BD＝10，
∴DMBD＝5．
9．（1）证明：在菱形ABCD中，OCAC．
∴DE＝OC．
∵DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵AC⊥BD，
∴平行四边形OCED是矩形．
∴OE＝CD．
（2）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴AC＝AB＝2．
∴在矩形OCED中，
CE＝OD．
在Rt△ACE中，
AE．
10.（1）证明：∵CE∥AB，AE∥CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴OD＝OE；
（2）解：∵四边形ADCE是菱形，
∴AC⊥DE，AD＝CD，
设AD＝CD＝x，则BD＝8﹣x，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：62+（8﹣x）2＝x2，
解得：x，
∴AD，
∴菱形ADCE的面积＝AD×BC6．
11．（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABC＝2∠ABD＝80°，∠CAD∠BAD，AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∴∠BAD＝180°﹣80°＝100°，
∴∠CAD∠BAD＝50°；
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵EF∥BD，
∴∠AEF＝∠ABD，∠AFE＝∠ADB，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF，
∴BE＝DF，
在△BDF和△DBE中，
，
∴△BDF≌△DBE（SAS），
∴BF＝DE．
12．（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴BD是∠ABC的平分线，
又∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE＝DF．
（2）设AB＝AD＝xcm，则AE＝（8﹣x）cm，
∵∠E＝90°，DE＝DF＝4，
∴Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，
即（8﹣x）2+42＝x2，
解得x＝5，
∴AB＝5cm，
∴菱形ABCD的面积＝AB×DE＝5×4＝20（cm2）．
13．（1）证明：连接AC，如图1：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠DAB，且AC⊥BD，
∵AF＝AE，
∴AC⊥EF，
∴EG∥BD．
又∵菱形ABCD中，ED∥BG，
∴四边形EGBD是平行四边形．
（2）解：过点A作AH⊥BC于H．
∵∠FGB＝30°，
∴∠DBC＝30°，
∴∠ABH＝2∠DBC＝60°，
∵GB＝AE＝3，
∴AB＝AD＝6，
在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，
∴AH＝3，BH＝3．
∴GH＝6，
在Rt△AGH中，
根据勾股定理得，AG3．
14．（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD＝AB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴ ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE＝OA＝OC，
∵BD＝4，
∴OBBD＝2，
在Rt△AOB中，AB，OB＝2，
∴OA3，
∴AC＝2OA＝6，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴OEAC＝3．
15．（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴∠B＝∠D，AB＝BC＝CD＝DA，
又∵CE＝CF，
∴BE＝DF，
在△ABE和△ADF中，，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF．
（2）解：连接AC，如图2所示：
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠B＝∠D＝60°，AB＝BC＝CD＝DA．
∴△ABC与△CDA为等边三角形，
∴AB＝AC，∠B＝∠ACD＝∠BAC＝60°，
∵∠EAF＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF，
在△ABE和△ACF中，，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴AE＝AF，
∵∠EAF＝60°，
∴△EAF为等边三角形，
∴∠AEF＝60°，
∵∠AEC＝∠B+∠BAE＝∠AEF+∠CEF，
∴60°+20°＝60°+∠CEF，
∴∠CEF＝20°．
16．（1）∵菱形ABCD的边长是10厘米，AC＝12厘米，
∴OC＝6厘米，OD＝8厘米，
设运动t秒时，△PON的面积是8平方厘米，根据题意，得
DP＝2t，CN＝t，
∴OP＝8﹣2t，ON＝6﹣t，
∴S△PONOP ON，
∴（8﹣2t）（6﹣t）＝8，
解方程得，t1＝2，t2＝8，均符合题意，
答：当运动2秒或8秒时，△PON的面积是8平方厘米；
（2）根据题意，得
①当0＜t≤4时，y（8﹣2t）（6﹣t）；
②当4＜t＜6时，y（2t﹣8）（6﹣t）；
③当6＜t≤8时，y（2t﹣8）（t﹣6）．
17．（1）如图，连接AC，
∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°，
∴∠BAC＝60°，
∵△AEF是等边三角形，
∴∠EAF＝60°，
∴∠1+∠EAC＝60°，∠3+∠EAC＝60°，
∴∠1＝∠3，
∵∠BAD＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∴△ABC和△ACD为等边三角形，
∴∠4＝60°，AC＝AB，
∴在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（ASA）．
∴BE＝CF；
（2）四边形AECF的面积不变，△CEF的周长发生变化．理由如下：
由（1）得△ABE≌△ACF，
则S△ABE＝S△ACF，
故S四边形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△AEC+S△ABE＝S△ABC，是定值，
作AH⊥BC于H点，则BH＝2，
S四边形AECF＝S△ABC．
△CEF的周长＝CE+CF+EF＝CE+BE+EF＝BC+EF＝BC+AE
由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．
故△AEF的周长会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，△CEF的周长会最小＝4．
18．（1）解：∵∠A＝60°，AG＝AE，
∴△AGE是等边三角形，
∴∠AGE＝60°，
∴∠EGB＝120°；
（2）证明：由（1）知，∠EGB＝120°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB∥CD，AB＝AD，
∴∠A+∠D＝180°，
∵∠A＝60°，
∴∠D＝120°，
∴∠DEF+∠DFE＝60°，
∴∠D＝∠EGB，
∵△AGE是等边三角形，
∴AE＝AG，∠AEG＝60°，
∴DE＝GB，
∵∠BEF＝60°，
∴∠DEF+∠GEB＝60°，
∴∠DFE＝∠GEB，
∴△DFE≌△GEB（ASA），
∴EF＝BE；
（3）解：∵△DFE≌△GEB，
∴DF＝GE，
当EG＝EP时，过E作EM⊥AB 垂足为M，
设AE＝x，
∵△AGE是等边三角形，
∴AMx，EMx，
∴BM＝4x，
∵P为EF的中点，
∴EF＝2EP，
由（2）知EF＝BE，
∴EB＝2EG＝2AE＝2x，
在Rt△EBM中，EM2+BM2＝EB2，
即（x）2+（4x）2＝（2x）2，
解得，（舍去），
即AE；
当EG＝GP时，过G作GQ⊥EF，垂足为Q，过B作BH⊥CD垂足为H，连接BF，设AE＝x，
∵△AGE是等边三角形，
∴EG＝x，
∵EF＝EB，∠BEF＝60°，
∴△BEF为等边三角形，
∴∠EFB＝∠BEF＝60°，EF＝BF，
∵△BEG≌△EFD，
∴∠BEG＝∠EFD，DF＝EG，
∴∠GEQ＝∠BFH，CF＝4﹣x，
∵∠EQG＝∠FHB＝90°，
∴△EGQ∽△FBH，
∴EG：BF＝EQ：FH，
设△BEF的边长为a，
则BF＝EF＝a，
∵P为EF的中点，
∴EPa，
∵EG＝GP＝x，
∴EQEPa，
在Rt△BCH中，BC＝AB＝4，∠C＝∠A＝60°，
∴CH＝2，
∴BH，
∴HF＝2﹣（4﹣x）＝x﹣2，
∵BF2＝BH2+HF2，
∴a2＝（）2+（x﹣2）2，
∵EG：BF＝EQ：FH，
∴，
即a2＝4x2﹣8x，
∴
解得，（舍去），
即AE；
当EP＝GP时，点P在EG的中垂线上，即P点AC上，
而运动期间P不可能位于线段AC上，
∴P在AC上不存在，
综上，AE或；
即当AE为或时，△EGP是等腰三角形．
19．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形
∴AB＝CD＝BC，AB∥CD，
又∵BE＝AB，
∴BE＝CD，BE∥CD，
∴四边形BECD是平行四边形；
（2）解：∵四边形BECD是平行四边形，
∴BD∥CE，BE＝CD，BD＝CE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB＝CD＝6，
∴CE⊥AC，BE＝AB＝BC＝CD＝6，
∴AE＝AB+BE＝12，
∵AC⊥CE，
∴∠ACE＝90°，
∵∠E＝60°，
∴△BCE是等边三角形，∠CAE＝30°，
∴BD＝CE＝BC＝6，ACCE＝6，
∴菱形ABCD的面积AC BD66＝18．
20．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠D＝∠B，AD＝BC，
在△ADF和△CBE中
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴∠AFD＝∠CEB；
（2）四边形HEGF是矩形，
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴DC∥AB，
∴∠DCE＝∠CEB，
∵∠AFD＝∠CEB，
∴∠AFD＝∠DCE，
∴AF∥CE，
∵△ADF≌△CBE，
∴AF＝CE，
∵AH＝CG，
∴AF﹣AH＝CE﹣CG，
即HF＝GE，
∴四边形HEGF是平行四边形，
∵∠AEH+∠AFD＝90°，∠AFD＝∠CEB，
∴∠AEH+∠CEB＝90°，
∴∠HEG＝180°﹣（∠AEH+∠CEB）＝90°，
∴四边形HEGF是矩形．
21．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝BC＝DC，∠C＝∠A＝60°，
∴△ABD和△BCD是等边三角形，
∴∠BDC＝60°，DC＝DB，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠EDF＝60°，DF＝DE，
∴∠CDF＝∠BDE，
∴△CDF≌△BDE（SAS），
∴BE＝CF；
（2）∴△ABD是等边三角形，DG⊥AB，
∴AG＝BGABAD＝3，
∴DGAG＝3，
∴EG＝AE﹣AG＝1，
在Rt△DGE中，根据勾股定理，得
DE2，
∴EF＝DE＝2．
22．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴DC∥AB，DC＝AB．
∵BE＝AB，
∴DC∥BE，DC＝BE．
∴四边形BDCE为平行四边形．
∴BD＝EC．
（2）∵四边形BDCE为平行四边形，
∴BD∥CE．
∴∠DBA＝∠E＝68°．
∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，AC平分∠BAD，
∴∠BAO＝90°﹣∠DBA＝22°．
∴∠BAD＝2∠BAO＝44°．
23．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD，AB∥CD，AC平分∠BCD，
∴∠GCF＝∠ECF，
∵EF⊥AC，
∴∠GFC＝∠EFC＝90°，
在△GFC和△EFC中，，
∴△GFC≌△EFC（ASA），
∴CG＝CE，∠CGF＝∠CEF，
∵AB∥CD，
∴∠H＝∠CEF，
∵∠BGH＝∠CGF，
∴∠H＝∠BGH，
∴BH＝BG，
∵BC＝CD，CG＝CE，
∴BC﹣CG＝CD﹣CE，
即BG＝DE；
（2）解：所有的平行四边形（菱形除外）为平行四边形BHED、平行四边形BHGO、平行四边形OGED、平行四边形OBGE；理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
由（1）得：CG＝CE，BH＝BG＝DE，
∴四边形BHED为平行四边形，
∵点E是CD边中点，BC＝CD，
∴CE＝DE＝BG＝CG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，OB＝OD，
∴OE、O都G是△BCD的中位线，
∴OE∥BG，OG∥CD∥AB，OGCD＝DE＝BH，
∴四边形OBGE、四边形BHGO、四边形OGED都是平行四边形．
24．（1）证明：在菱形ABCD中，OCAC．
∵DE：AC＝1：2，
∴DE＝OC，
∵DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵AC⊥BD，
∴平行四边形OCED是矩形．
∴OE＝CD．
（2）解：在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴AC＝AB＝2．
∴在矩形OCED中，
CE＝OD．
在Rt△ACE中，
AE．
25．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD，AC⊥BD，AB∥CD，AC平分∠BCD，
∴∠BCD+∠B＝180°，
∵∠B＝60°，
∴∠ACD＝120°﹣60°＝60°＝∠B，△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠BCA＝60°，
∵∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝60°，∠EAF＝∠CAF+∠EAC＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF，
在△ABE和△ACF中，，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴BE＝CF；
（2）解：图2中面积等于△PEC面积3倍的三角形为△AEP和△AFP，四边形为四边形BOPE和四边形△DOPF；理由如下：
由（1）得：△ABE≌△ACF，
∴BE＝CF，AE＝AF，
∵∠EAF＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
∵点E是BC边中点，
∴AE⊥BC，CE＝BEBCCD＝CF，
∴F是CD的中点，
∴EF是△BCD的中位线，
∴EF∥BD，
∴EP是△BOC的中位线，
∴PEOB，
∵AC⊥BD，∠BCD＝120°，
∴EF⊥AC，∠CEF＝∠CFE＝30°，
∴PCCE，
设PC＝x，则CE＝2x，PEx，AECE＝2x，
∵△PEC的面积PC×PExxx2，△AEC的面积CE×AE2x×2x＝2x2，
∴△AEC的面积＝4△PEC的面积，
∴△AEP的面积＝3△PEC的面积，
同理：△AFP的面积＝3△PEC的面积；
∵PE∥OB，PEOB，
∴△PEC∽△OBC，
∴△OBC的面积＝4△PEC的面积，
∴四边形BOPE的面积＝4△PEC的面积，
同理：四边形DOPF的面积＝4△PEC的面积．
26．证明：（1）如图1所示：连接AC．
∵在菱形ABCD中，∠B＝60°，
∴AB＝BC＝CD，∠C＝180°﹣∠B＝120°．
∴△ABC等边三角形．
∴E是BC的中点，
∴AE⊥BC．
∵∠AEF＝60°，
∴∠FEC＝90°﹣∠AEF＝30°．
∴∠CFE＝180°﹣∠FEC﹣∠ECF＝180°﹣30°﹣120°＝30°．
∴∠FEC＝∠CFE．
∴EC＝CF．
∵，
∴，
∴F是CD的中点；
（2）如图2所示：连接AC．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ACB＝60°．
∴∠B＝∠ACF＝60°．
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EAD＝∠EAF+∠FAD＝60°+∠FAD，∠AFC＝∠D+∠FAD＝60°+∠FAD．
∴∠AEB＝∠AFC．
在△ABE和△ACF中，，
∴△ABE≌△ACF（AAS）．
∴AE＝AF．
∵∠EAF＝60°，
∴△AEF是等边三角形．
∴∠AEF═60°，
∵∠AEF+∠FEC＝∠B+∠BAE，
∴∠FEC＝20°．
27．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D＝60°，
∴△ABC，△ADC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠DAC＝60°，
∵∠BAC＝∠EAF＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF，
在△BAE和△CAF中，
，
∴△BAE≌△CAF（ASA），
∴BE＝CF．
（2）解：AE＝AF，BE＝CF，CE＝DF．
由（1）知△ABC，△ADC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠DAC＝∠ACD＝60°，
∵∠BAC＝∠EAF＝60°，∠ABE＝∠ACF，
∴∠BAE＝∠CAF，
∵AB＝AC，
∴△BAE≌△CAF（ASA），
∴AE＝AF，BE＝CF，
∴BE+BC＝CF+CD，
即CE＝DF．
28．猜想：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA＝OC．
∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，
在△AOE与△COF中，
，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴四边形CDEF的面积＝S△ACD ABCD的面积＝4；
故答案为：4；
探究：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AO＝CO．
∴∠OAE＝∠OCF，∠AEO＝∠CFO，
∴在△AOE与△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∵由菱形的对称性，得S△ABCS菱形ABCD，
∴S四边形ABFE＝S△ABCAC BO5×10．
应用：延长AC到E使CE＝AC＝3，
在△ABC与△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（SAS），
∴∠E＝∠BAC＝90°，
∴DE，
∴S△ABD＝S△ADEAE DE6×2＝6．
故答案为：6