乌江新高考协作体2023-2024学年高二上学期期中学业质量联合调研抽测
数学答案
（分数：150分，时间：120分钟）
1．D 2．C 3．B 4．C
5．A【分析】设直线方程为，与抛物线方程联立，消去后得的方程，由韦达定理可求得，得到直线方程，根据方程特点可得答案.
6．C【分析】易知，设，根据，可得方程在区间上有解，，由，，可得，求解即可.
7．A【分析】先求出圆的方程，联立方程组，由得出的范围，从而得解.
8．C【分析】根据双纽线的定义求出曲线方程，利用曲线对称性的定义可判断A选项；根据三角形的面积公式可判断B选项；由题意得，从而可得点在轴上，可判断C选项；由向量的性质结合余弦定理分析判断D选项.
9．BC 10．BCD
11．BCD【分析】根据直线过定点、点到直线距离、圆与圆的位置关系，相交弦所在直线方程等知识对选项进行分析，由此确定正确选项.
12．ACD【分析】应用两点式求P的轨迹方程为，即可判断A，再由圆的性质求定弦与圆上点所成三角形的最大值判断B，根据，结合角平分线的性质判断C，由已知有，利用三点共线求最小值判断D.
13．/
14．
15．
16．/
17．(1)解：由题意得直线的斜率，
故直线的方程为，即；
(2)解：可设直线m的方程为，
由题意得，
解得或，
故直线m的方程为或.
18．（1）连接交于，连接，因为正三棱柱的侧面是平行四边形，所以是的中点，而D是的中点，
所以，而平面，平面．
所以平面；
（2）因为D是的中点，三角形是正三角形，
所以，设F是的中点，显然平面，
建立如图所示的空间直角坐标系，
，
设平面与平面的法向量分别为，
，，，
则有，
，
平面与平面夹角的余弦值为.
19．（1）取的中点,连接.
由题意知,为的平分线,且.
设点是点在平面上的射影，
由已知得,点在上,连接,则平面.
平面平面,平面平面,平面,
平面.同理可得平面.
又平面,
.
和平面所成的角为,即,
，又，
四边形为平行四边形.
.
平面.
（2）以方向为轴,轴,轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,
则.
.
设平面的一个法向量为,
则取,得.
设与平面所成的线面角为,
则.
与平面所成角的正弦值为.
20．（1）取中点，连接．
因为是等腰三角形，所以，．
因为平面平面，平面平面，所以平面，
又因为平面，所以，又，所以四边形是平行四边形，
所以，又平面，平面，所以平面．
（2）连接交于，取中点，连接，所以．
因为平面，所以平面，因为平面，
所以，，又因为四边形是菱形，
所以，所以两两垂直．
建立如图所示的空间直角坐标系，则， ，，，，，，，．
设平面的法向量为，
则令，得，
又平面的法向量为．
设二面角的大小为，则，．
所以二面角的正弦值为．
21．（1）的斜率为，的中点坐标为，即，
与垂直的直线斜率，
则直线的方程为，即．
（2）由得，即交点坐标为，
设平行于直线的直线的方程为，
直线过，则，
得，即直线的方程为．
22．（1）设抛物线与轴分别交于，交轴于点，令，则，即，令，则，则，
设圆的方程为，
将点的坐标代入可得，解得，
则，化为标准式为.
（2）（i）当直线的斜率不存在时，则方程为，
联立，可得或，
即，则，，则；
当当直线的斜率存在时，设方程为，设，
联立直线与圆的方程，消去可得，
由韦达定理可得，
且，
，
则
；
综上所述，是定值.
（ii）由（i）可知，当直线的斜率不存在时，，
且，则，，则；
当当直线的斜率存在时，设方程为，
则
.
当且仅当时，即时，等号成立，
所以.乌江新高考协作体2023-2024学年高二上学期期中学业质量联合调研抽测
数学试题
（分数：150分，时间：120分钟）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．无论实数t取何值，直线与圆恒有公共点，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
2．已知直线：，和直线：垂直，则（ ）．
A． B． C．或 D．
3．已知为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．设，，，且是空间的一个基底，给出下列向量组：①；②；③；④，则其中可以作为空间的基底的向量组有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知点在抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则直线一定过点（ ）
A． B． C． D．
6．已知椭圆的上顶点为A，离心率为e，若在C上存在点P，使得，则的最小值是（ ）
A． B．
C． D．
7．双曲线右焦点为，离心率为，，以为圆心，长为半径的圆与双曲线有公共点，则最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．伯努利双纽线最早于年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线.年卡塔尔世界杯会徽（如图）基于“大力神杯”的原型设计完成，正视图近似伯努利双纽线.在平面直角坐标系中，把到定点、距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.已知点是双纽线上一点，下列说法不正确的有（ ）
A．双纽线既关于轴对称，也关于轴对称
B．面积的最大值为
C．双纽线上满足的点有两个
D．的最大值为
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分。
9．直线与圆的公共点的个数可能为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．下列命题正确的是（ ）
A．经过定点的直线都可以用方程表示
B．经过两个不同的点的直线都可以用方程表示
C．过点且在两坐标轴上截距相等的直线有2条
D．方程不一定表示圆
11．以下四个命题表述正确的是（ ）
A．直线恒过点（-3，-3）
B．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1
C．圆与圆恰有三条公切线，则m=4
D．已知圆，过点P（3，4）向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB方程为
12．已知平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点P的轨迹是圆．在平面直角坐标系xOy中，已知，若，则下列关于动点P的结论正确的是（ ）
A．点P的轨迹所包围的图形的面积等于
B．当P、A、B不共线时，△PAB面积的最大值是6
C．当A、B、P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线
D．若点，则的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量为平面的法向量，点在内，点在外，则点P到平面的距离为 ．
14．已知椭圆的左 右焦点分别为，点为椭圆的上顶点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则 .
15．如图，已知斜率为—3的直线与双曲线的右支交于A，B两点，点A关于坐标原点O对称的点为C且，则该双曲线的离心率为 .
16．已知、为椭圆的左、右焦点，点为该椭圆上一点，且满足，若的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，则该椭圆的离心率为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在平面直角坐标系中，已知直线经过点和点.
(1)求直线的方程；
(2)若直线m与平行，且m与间的距离为3，求直线m的方程.
18．如图，正三棱柱中，D是的中点，．
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
19．在如图所示的空间几何体中，平面平面，与均是等边三角形，，和平面所成的角为，且点在平面上的射影落在的平分线上.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
20．如图，多面体中，四边形是边长为4的菱形，，平面平面平面．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的正弦值．
21．（1）已知点和点，求过直线的中点且与垂直的直线的方程；
（2）求过直线和的交点，且平行于直线的直线的方程．
22．设抛物线与两坐标轴的交点分别记为M，N，G，曲线C是经过这三点的圆.
(1)求圆C的方程.
(2)过作直线l与圆C相交于A，B两点，
（i）用坐标法证明：是定值.
（ii）设，求的最大值.
