河南省济源市重点中学2023-2024学年高一上学期11月月考数学试题（含解析）

2023-2024学年河南省济源市重点中学高一上学期11月月考
数学
时间：120分钟 满分：150分
一 选择题（每小题5分，共8小题40分）
1.已知全集，则（ ）
A. B. C. D.
2.命题“和至少有一个成立”的否定为（ ）
A.和至少有一个成立
B.和都不成立
C.和至少有一个成立
D.和都不成立
3.函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
4.已知函数若的最小值为，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
5.面对突如其来的新冠病毒疫情，中国人民在中国共产党的领导下，上下同心 众志成城抗击疫情的行动和成效，向世界展现了中国力量 中国精神.下面几个函数模型中，能比较近似地反映出图中时间与治愈率关系的是（ ）
A. B.
C. D.
6.某大型广场计划进行升级改造.改造的重点工程之一是新建一个矩形音乐喷泉综合体，该项目由矩形核心喷泉区（阴影部分）和四周的绿化带组成.规划核心喷泉区的面积为，绿化带的宽分别为和（如图所示）.当整个项目占地面积最小时，核心喷泉区的边的长度为（ ）
A. B. C. D.
7.已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8.若函数的图像关于直线对称，则的最大值是（ ）
A.-4 B.4 C.4或-4 D.不存在
二 多选题（每小题5分，共4小题20分）
9.下列说法正确的有（ ）
A.已知集合，全集，若，则实数的集合为
B.“”是“”的必要不充分条件
C.命题成立的充要条件是
D.“”是“”的充分必要条件
10.以下结论正确的是（ ）
A.函数的最小值是2；
B.若且，则；
C.的最小值是2；
D.函数的最大值为0.
11.若，则下列结论中一定正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.若，则的最小值为4
12.若，当时，，则下列说法错误的是（ ）
A.函数为奇函数
B.函数在上单调递增
C.
D.函数在上单调递减
三 填空题（每小题5分，共4小题20分）
13.已知，则__________.
14.已知，若不等式恒成立，则实数的取值范围是__________.（用区间表示）
15.设集合，则__________.
16.已知幂函数的图像关于轴对称，且在上是减函数，实数满足，则的取值范围是__________.
四 解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分）
17.（1）计算：；
（2）已知，求.
18.已知全集，集合，集合.
条件①；②；③，使得.
（1）当时，求
（2）定义且，当时，求.
（3）若集合满足条件__________.（三个条件任选一个作答），求实数的取值范围.
19.已知函数.
（1）若，有成立，求实数的取值范围；
（2）若对，有恒成立，求实数的取值范围.
20.已知幂函数是偶函数，且在上单调递增.
（1）求函数的解析式.
（2）若，求的取值范围.
21.第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行.本届进博会有400多项新产品 新技术 新服务.某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，生产千台空调，需另投入资金万元，且经测算，当生产10千台空调时需另投入的资金万元.现每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完.
（1）求2022年该企业年利润（万元）关于年产量（千台）的函数关系式；
（2）2022年产量为多少时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少？注：利润销售额-成本.
22.已知函数的定义域是，对定义域内的任意都有，且当时，.
（1）证明：当时，；
（2）判断的单调性并加以证明；
（3）如果对任意的恒成立，求实数的取值范围.
答案解析
第1题答案D
第1题解析
因为或，
所以，所以.故选D.
第2题答案D
第2题解析
“和至少有一个成立”的否定为：
和都不成立.故选：D.
第3题答案C
第3题解析
由题意得，解得，且，所以函数的定义域为，故选：C.
第4题答案A
第4题解析
当时，，当且仅当时，等号成立，
即当时，函数的最小值为；
当时，，
要使得函数的最小值为，
则满足解得.
故选：A.
第5题答案B
第5题解析
根据图象可知，治愈率先减后增，选项符合.
选项都是单调函数，不符合.
故选：B
第6题答案B
第6题解析
设，则，所以
，当且仅当，即时，等号成立，所以当的长度为时，整个项目占地面积最小.故选：B.
第7题答案D
第7题解析
幂函数在上单调递减，故，
解得.又，故，2.当时，的图象关于轴对称；
满足题意；当时，的图象不关于轴对称，舍去，故.
，函数在和上单调递减，
故或或，解得或.故选.
第8题答案B
第8题解析
由函数的图像关于直线对称，知是偶函数，
，即，
整理得总成立，得，
，
令，则，
当时，有最大值4，即的最大值是4.
故选：B.
第9题答案BD
第9题解析
对A，，若，则，当
时，，当时，由或或，故实数
的集合为，故不正确；
对“”不一定有“”，而“”一定有“”，“”是""的必要不充分条件，故B正确；
对C，成立，则化为：在区间有解，而在区间上的最小值为，故C不正确；
对D，且"是""的充分必要条件，故D正确.
故选：BD.
第10题答案BD
第10题解析
对于，当时，结论显然不成立，故错误；
对于，由知，根据均值不等式可得，故正确；对于，令，则单调递增，故最小值为，故C错误；
对于，由可知，，当且仅当时取等号，故正确.故选：
第11题答案ACD
第11题解析
对于A，由，
所以，所以成立；
对于，当时，，所以不正确；
对于，可得，
所以，所以，等号不成立，所以；
对于，由，得，
所以
.
当且仅当，即时，取得最小值4，
故选：ACD.
第12题答案ABD
第12题解析
由可知，
可知关于直线对称，当时，，
当时，，
所以，
作出的图象，
所以在上单调递增，在
上单调递减，
不是奇函数，故
错误，C正确；
故选：ABD
第13题答案
第13题解析
因为①，
把换成有：
②
联立①②式有：，
解得.
故答案为：.
第14题答案
第14题解析
，且
，当且仅当
时取等号，要使恒成立，，
所以，故实数的取值范围为.故答案为：.
第15题答案
第15题解析
，
所以.
故答案为：.
第16题答案
第16题解析
幂函数在上是减函数，
，解得或2.
当时，为偶函数满足条件，当时，为奇函数不满足条
件，
则不等式等价为，即，
在上为增函数，解得：.
故答案为：.
第17题答案见解析
（1）原式
.
（2）因为，所以，所以
.
第18题答案见解析
（1）解不等式，得，解得：，
即，有或，
当时，，所以.
（2）由（1）知，，
当时，，所以.
（3）选择①，由（1）知，，因，则，
于是得，解得，所以实数的取值范围是.
选择②，由（1）知，，因，则
于是得，解得，所以实数的取值范围是.
选择③，由（1）知，，因，使得，则，
于是得，解得，所以实数的取值范围是.
第19题答案见解析
（1）依题意在有解，
所以在上有解，
因为函数在上单调递减，所以，
所以，所以，即.
（2）依题意在恒成立，
所以在上恒成立，
因为函数在上单调递减，所以，
所以，所以，即.
第20题答案见解析；
（1）由是幂函数则，
解得，又是偶函数
是偶数，
又在上单调递增，则，可得
或2.代入后都有
综上，，2，即.
（2）由（1）偶函数在上递增，
.
的范围是.
第21题答案见解析
（1）由题意知，当时，，所以.
当时，；
当时，
.
所以.
（2）当时，，
所以当时，有最大值，最大值为8740；
当时，，当且仅当，即时，有最大值，最大值为8990.因为，所以当2022年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元.
第22题答案见解析
（1）；；
当时，当时，.
（2）单调递减，证明：，
且，
，
即单调递减
（3）函数的定义域是；
恒成立；
由（2），单调递减，恒成立，恒成立，
因为，当且仅当时等号成立
所以；又有意义，所以综上：.