四川省达州市万源市重点中学2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试题（含答案）

万源重点中学高2025届高二（上）期中考试
数学试题
本卷满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数m=( )
A. B. C. 4 D.
3.已知直线：3x-4y+5=0与圆O：交于A、B两点，则|AB|=( )
A. B. C.4 D.8
4.“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的门洞．如图，某园林中的圆弧形门洞高为2.5m，底部宽为1m，则该门洞的半径为( )
A. 1.2m B. 1.3m C. 1.4m D. 1.5m
5.若双曲线C：的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为( )
A.2 B. C. D.
6.已知直线：x-2y-8=0和点A(-2，0),点B（2,4），点P是直线上一动点，当|PA|+|PB|最小时，点P的坐标是( )
A. （-2，-5） B. （0，-4） C. （2，-3） D.（4，-2）
7.已知圆C: ,直线：（2m+1）x+(m+1)y-7m-4=0,直线被圆C截得的弦长最短时，实数m的值为( )
A. B. C. 1 D.
8.已知椭圆，直线，若椭圆上存在关于直线对称的两点，则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分。
9.已知椭圆C： 的左、右焦点分别是F1、F2，点P为椭圆C上一点，∠F1PF2=90 则下列关于椭圆C的结论正确的有( )
A. 长轴长为5 B.离心率为
C.△PF1F2 的周长为16 D. △PF1F2 的面积为16
10.如图，下列各正方体中，O为下底面的中心，M,N为顶点，P为所在棱的中点，则满足MN⊥OP的是( )
A. B. C. D.
11.以下四个命题表述正确的是( )
A. 圆与圆恰有三条公切线
B. 直线圆与圆一定相交
C. 直线y=k(x-2)+4与曲线有两个不同的交点,则k的取值范围是
D. 已知直线不经过第三象限，则ɑ的取值范围0≤ɑ<1
12.已知双曲线C：的左、右焦点分别是F1、F2，过右焦点F2的直线AB交双曲线右支于A、B两点，△AF1F2的内切圆圆心为M,半径为,△BF1F2的内切圆圆心为N,半径为，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线MN垂直于x轴 B.△ABF1周长为定值
C. 与之和为定值 D.与之积为定值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若直线与直线垂直，则实数m的值为___________.
14.已知双曲线C：的左、右焦点分别是F1、F2，点M为双曲线上一点，若M到原点的距离|MO|=5,则△MF1F2的面积是___________.
15.已知圆，直线若圆上有两个点到直线的距离等于1，则实数b的取值范围是___________.
16.已知椭圆C:的左、右焦点分别是F1、F2，点A是椭圆上一点，△AF1F2的内切圆的圆心为M，若，则椭圆C的离心率为___________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（10分）
有一辆公交车，依次设了A,B,C,D,E,F,G共7个站，甲乙二人都从A站上车，假设他们从后面每个站下车是等可能的。
(1)求这两个人在不同站点下车的概率；
(2)求这两个人都没有坐到终点站的概率.
18. （12分）
如图，在棱长为2的正方体中， E为的中点．
(1)求直线BC1到平面AD1E的距离；
(2)求直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值．
19.（12分）
在中，内角所对的边分别为且.
(1)求角A的大小；
(2)若，求的面积S的最大值．
20.（12分）
已知圆C过点A(4,2)和点B(0,6),并且圆心在直线y-2=0上.点P是直线：3x-4y-17=0上一动点，过点P引圆C的两条切线PM、PN,切点分别为M,N.
(1)求圆C的标准方程；
(2)当四边形PMCN的面积最小时，求点P的坐标及直线MN的方程.
21.（12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，AC与D交于点O，，M为线段PB上的一点．
(1)证明：
(2)当AM与平面PBD所成的角的正弦值最大时，求平面MAC与平面ABCD夹角的余弦值．
22.（12分）
已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1（-1,0），F2（1,0），点A是椭圆上不同于左右顶点的一动点，点A关于x轴的对称点为点B.当直线AB过左焦点F1时，|AB|=3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线BF2与椭圆交于另外一点P(点P和点A不重合)，证明直线AP过定点.
万源重点中学高2025届高二
数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1-5:ABBBA 6-8:CBD
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
9.BCD 10.AD 11.ABC 12.AD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 14.16 15. 16.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.解：甲乙下车方式有如下36种结果：
（B,B）,（B,C）,（B,D）,（B,E）,（B,F）,（B,G）
（C,B）,（C,C）,（C,D）,（C,E）,（C,F）,（C,G）
（D,B）,（D,C）,（D,D）,（D,E）,（D,F）,（D,G）
（E,B）,（E,C）,（E,D）,（E,E）,（E,F）,（E,G）
（F,B）,（F,C）,（F,D）,（F,E）,（F,F）,（F,G）
（G,B）,（G,C）,（G,D）,（G,E）,（G,F）,（G,G）
（1）甲乙两人在不同站点下车的结果有30个，所以所求的概率为；
（2）甲乙两个人都没有坐到终点站的结果数有25个，因此所求概率为．
18. 解：（1）易得，平面，平面，平面
的距离即为点B到平面的距离
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，B(0，2，0)
，,
设平面的法向量为，由，得，
令，则，，则.
B到平面的距离
则的距离为；
（2）∵,∴，
∴直线与平面所成角的正弦值为.
19. 解：（1）由已知及正弦定理得
，又
,
（2）根据余弦定理得
由基本不等式得
的面积S,当且仅当时等号成立
的面积S的最大值为．
20. 解：（1）AB中垂线方程为x-y+2=0,由得圆心C(0，2)
半径|BC|=4，∴圆的标准方程为①
(2)由于SPMCN=2S△PMC=4|PM|，故|PM|最小即|PC|最小时，四边形PMCN面积最小
此时，PC⊥，直线PC方程4x+3y-6=0,由得圆心P(3，-2)
以PC为直径的圆的方程为：②
①-②得到直线MN的方程为：3x-4y-8=0
解：(1)证明： 底面ABCD是菱形，，，且AC∩PA=A，BD平面PAC，又由于BD 平面PBD
(2)连结PO，过点A作PO的垂线，垂足为H,连结MH，知∠AMH为AM与平面PBD所成的角，AMH=，因为AH为定值，PA=AB且,所以当点M为PB的中点时AM取得最小值，此时AMH取得最大值。如图，建立空间直角坐标系，
则A（,0,0），B（0,1,0），C（,0,0），P（,0,2），M（,,1），，易知平面ABCD的法向量为，
设平面AMC的法向量为，
则，，，，
可取，设平面MAC与平面ABCD夹角为θ，,
即平面MAC与平面ABCD夹角的余弦值为．
22. 解：（1）由已知得：
所以椭圆C的方程为
解法一：
假设直线AP过定点T,令y=0
即直线AP过定点T（4,0）
（2）解法2：由题意得：直线AP的斜率一定存在
故设直线AP的方程为y=kx+m，A（x1,y1）,B(x1,-y1)，P(x2,y2)
∴ ∴（3+4）
∴ , ∵B、F、P三点共线，∴ ,
∴,
∴
∴m=-4k∴y=kx-4k，即直线AP恒过（4,0）