2023-2024学年黑龙江省佳木斯市四校联考高二上学期11月期中数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年黑龙江省佳木斯市四校联考高二上学期11月期中数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 377.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-01 23:15:16 | ||
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文档简介
2023-2024学年黑龙江省佳木斯市四校联考高二上学期11月期中数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.在空间中，下列结论正确的是
( )
A. B.
C. D.
2.在直三棱柱中，若，，，则( )
A. B. C. D.
3.过直线与的交点，与直线平行的直线方程为
( )
A. B. C. D.
4.圆上的点到直线距离的取值范围是
( )
A. B.
C. D.
5.已知，两点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围为
( )
A. B.
C. D.
6.圆与圆相交于两点，则等于
( )
A. B. C. D.
7.已知，分别是椭圆：的左、右焦点，是椭圆在第一象限内的一点，若，则( )
A. B. C. D.
8.已知单位向量，，满足：，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知圆的一般方程为，则下列说法正确的是
( )
A. 圆 的圆心为
B. 圆的直径为
C. 圆被轴截得的弦长为
D. 圆关于直线对称的圆的方程是
10.若，，与的夹角为，则的值为
( )
A. B. C. D.
11.已知直线：和直线：，下列说法正确的是( )
A. 始终过定点 B. 若，则或
C. 若，则或 D. 当时，始终不过第三象限
12.设椭圆的左、右焦点分别为，，是上的动点，则下列结论正确的是
．( )
A. B. 到最小的距离是
C. 面积的最大值为 D. 到最大的距离是
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知空间向量，且与垂直，则等于 ．
14.已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为若为正三角形，则该椭圆的离心率为 ．
15.在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的正弦值为 ．
16.过椭圆上一动点分别向圆：和圆：作切线，切点分别为，，则的取值范围为_____________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知为圆上一动点，为直线上一个动点．
求圆心的坐标和圆的半径；
求的最小值．
18.本小题分
如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段的中点．
求直线到平面的距离；
求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
19.本小题分
已知直线经过点，圆．
若直线与圆相切，求直线的方程；
若直线被圆截得的弦长为，求直线的方程．
20.本小题分
已知椭圆的两个焦点分别为，且椭圆过点．
求椭圆的标准方程；
过点作直线交椭圆于两点，是弦的中点，求直线的方程．
21.本小题分
已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到焦点的最小距离是．
求椭圆的方程；
倾斜角为的直线交椭圆于两点，已知，求直线的一般式方程．
22.本小题分
如图，在三棱锥中，底面，点，，分别为棱，，的 中点，是线段的中点，，．
求证：平面；
在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的值，若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量的线性运算，属于基础题．
利用向量的加减法法则逐个分析判断即可．
【解答】
解：对于，因为，所以A错误
对于，因为，所以B正确
对于，因为，所以C错误
对于，因为，所以D错误．
故选B．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量的线性运算，属于基础题．
根据空间向量的线性运算进行求解即可．
【解答】
解：因为在直三棱柱中，，
所以可得
，
故选C．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查两直线平行的应用，两条直线的交点坐标，属于基础题．
利用直线系方程结合直线平行的条件可得参数，进而即得．
【解答】
解：由已知，可设所求直线的方程为：，
即 ，
又因为此直线与直线平行，
所以，
解得：，
所以所求直线的方程为：，即．
故选A．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆上的点到直线距离的最值问题，点到直线的距离公式，圆的方程，属于基础题．
将圆的一般方程化为标准方程，进而得出圆心和半径，利用点到直线的距离公式及圆上的点到直线距离的最值即可求解．
【解答】
解：圆的标准方程为，
所以圆心坐标为，半径，
圆心到直线的距离为
，
所以圆上的点到该直线的距离的取值范围是，即．
故选A．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线的斜率，属于基础题．
易求得和的斜率，数形结合可得直线的斜率的范围．
【解答】
解：如图所示，
直线的斜率满足且，
即且，
直线的斜率的取值范围为．
6.【答案】
【解析】【分析】先求出相交弦 所在直线的方程，然后根据圆的弦长的求法求解即可．
解：由圆 与圆 ，
将两圆方程相减整理得直线 的方程： ，
又 ，即 ，
圆心为 ，半径为 ，
所以 到直线 的距离为 ，
所以 ．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆的定义，椭圆的焦点三角形问题，是中档题．
由椭圆的方程可得 ， 的值，进而求出 的值，由椭圆的定义及勾股定理可得 ， 的值，再求出 的正切值．
【解答】
解：由椭圆的方程 可得 ， ，所以 ，
设 ，则 ，由 在第一象限可得 ，即 ，
因为 ，所以 ，
整理可得 ，
解得 或舍 ，
即 ， ，
所以在 中， ，
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用空间向量数量积求向量的模，属于基础题．
根据题意，由空间向量的模长公式，代入计算，即可得到结果．
【解答】
解：因为，，
且，，为单位向量，
则
．
故选D．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆的一般方程与标准方程的互化，考查曲线关于直线的对称方程的求法，属于一般题．
将圆的一般方程化为标准方程，可得圆心和半径，以及直径，判断、；根据圆的弦长的计算判断；求出圆关于直线 对称的圆的圆心坐标，确定半径，可得其方程，判断．
【解答】
解：由题意知圆的一般方程为 ，
故圆的标准方程为 ，
则圆心为 ，半径为，则直径为，A错误，B正确；
圆心 到轴的距离为，故圆被轴截得的弦长为 ，C正确；
设圆心 关于直线 对称的点的坐标为 ，
则 ，解得 ，
而圆关于直线 对称的圆的半径为，
故圆关于直线 对称的圆的方程为 ，
即 ，D错误，
故选：
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量数量积的坐标运算、空间向量夹角公式，属于基础题．
利用空间向量的数量积的坐标运算公式可求得，从而可求得的值．
【解答】
解：，
，
又的夹角为，
，
解得或．
故选AC．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线位置关系的判定及应用，考查运算求解能力，属于基础题．
由直线系方程求出直线所过定点判定；举例说明B错误；由两直线垂直与系数的关系列式求得值判断．
【解答】
解：直线：过点，故A正确；
当时，直线：，直线：，则，重合，故B错误；
若，由，得或，故C正确；
直线始终过，斜率为负，不会过第三象限，故D正确．
故本题选ACD．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆的几何性质，属于较易题．
根据椭圆的定义和性质逐项运算分析即可．
【解答】
解：由椭圆方程可得： ，则 ，
对：根据椭圆的定义可得 ，A正确；
对：根据椭圆性质可知当是椭圆的左顶点时，到 的距离最小，
最小值为 ，B错误；
对：根据椭圆性质可知当是椭圆的上顶点时， 的高最大，故面积最大，
最大值为 ，C错误；
对：根据椭圆性质可知当是椭圆的右顶点时，到 的距离最大，
最大值为 ，D正确．
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量的数量积及其坐标运算，是较易题．
根据空间向量垂直的坐标运算求解．
【解答】
解：因为 ，且 与 垂直，
所以 ，解得 ．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，是基础题．
利用椭圆的定义及其几何性质求得 ，进而求得椭圆的离心率
【解答】
解：由于 为正三角形，则 ，则椭圆的离心率 ．
故答案为：
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线与直线所成角的向量求法，是基础题．
建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可．
【解答】
解：设正方体棱长为，以 点为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则 ，
则 ，
设异面直线 与 所成角为 ，
所以
，
所以异面直线 与 所成角的正弦值为： ．
故答案为： ．
16.【答案】
【解析】【分析】易知两圆的圆心为椭圆的两焦点，由勾股定理可得 ， ，由椭圆的定义可得 ，设 ，利用二次函数的基本性质可求得 的取值范围．
解： ， ， ，易知 、 为椭圆的两个焦点，
，
根据椭圆定义 ，
设 ，则 ，即 ，
则 ，
当 时， 取到最小值 ．
当 时， 取到最大值 ．
故 的取值范围为： ．
故答案为： ．
17.【答案】解：圆的方程可化为，
所以圆心的坐标为，圆的半径为．
由题意，圆心到直线的距离为，
所以，即的最小值为．
【解析】本题考查直线上一点到圆上一点距离的最小值问题，由圆的方程确定圆心和半径，属于基础题．
化简圆的方程为标准方程，进而求得圆的圆心坐标和半径；
求得圆心到直线的距离，结合圆的性质，即可求解．
18.【答案】解：以为原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，．
，，
，，．
，
，
平面，平面，
平面，
点到平面的距离即为直线到平面的距离，
设平面的法向量为，
则
取，则，，
，
又，
点到平面的距离为．
设平面的法向量为，
则
，得
取，则，
，
，
平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【解析】本题主要考查的是利用向量求空间中的距离、线面平行的判定以及二面角，属于中档题．
首先以为原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系写出各个点坐标．
先证得平面，得到点到平面的距离即为直线到平面的距离，再计算得到平面的法向量，利用向量法可求得点到平面的距离．
首先求出平面的法向量，由得到平面的法向量，利用向量法即可计算出平面与平面所成锐二面角的余弦值．
19.【答案】解：圆化为标准方程为 ，所以圆心坐标为 ，半径为．
当直线 的斜率不存在时，即直线 的方程为： ，此时是与圆 相切，满足题意；
当直线 的斜率存在时，设直线 为： ，即 ，
则圆 的圆心到直线 的距离 ，解得 ，
故直线 的方程为 ．
综上，直线 的方程为 或 ．
因为直线 被圆 所截得的弦长为 ，
所以圆心到直线 的距离为 ．
由可知，直线 的斜率一定存在，设直线 为：，即 ，则圆心到直线 的距离 ，解得 或 ．
故直线的方程为 或 ．
【解析】本题考查圆的切线方程，直线与圆的交点坐标、弦长，是中档题，
根据直线与圆相切， 进行求解；
先由勾股定理求出圆心到直线的距离，再由距离公式求解即可．
20.【答案】解：椭圆 的两个焦点分别为 ，
设椭圆 的标准方程为 ，且 ，
则 ，
又椭圆 过点 ，所以 ，联立解得 ，
所以椭圆 的标准方程为 ．
由题意可知直线 的斜率存在，且直线 过点 ，
设直线 的方程为 ，即 ，
设 ，
则 ，消去 得 ，
，
所以 ，
又 是弦 的中点，所以 ，解得 ，
故直线 的方程为 ．
【解析】本题考查椭圆的标准方程以及直线与椭圆的位置关系，属于一般题．
根据焦点坐标设椭圆方程为 ，将 代入椭圆方程，结合 即可求解．
设直线 的方程为 ，联立直线与椭圆方程，得出 ，再由中点坐标知 ，求出 值，即可得到直线方程．
21.【答案】解：由椭圆 的离心率为，即，可得，
由椭圆上的点到焦点的最小距离是，可得，
解得，，，
所以椭圆的方程．
因为直线的倾斜角为，可设的方程，
由方程组，整理得，
可得，
解得，
设，，
则，，
又由
，
解得，满足，
所以直线的一般式方程为或．
【解析】本题考查椭圆标准方程的求法，椭圆的弦长，属于中档题．
根据题意，得到且，求得的值，即可求解；
设的方程，联立方程组，结合根与系数的关系和弦长公式，根据题意列出方程，求得，即可求解．
22.【答案】解：因为 底面 ， ，
所以以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系如图所示，
则
，
所以 ，
设 为平面 的法向量，
则 ，即 ，
不妨设 ，可得 ，
又 ，
可得 ，因为 平面，
所以平面 ．
设 ， ，则 ，
设平面 的法向量为 ，
又 ，
则 ，令 ，则 ，
所以 ，
即 ，解得 或 舍去，
所以 ．
故存在点，此时 ．
【解析】本题考查线面平行的向量表示、直线与平面所成角的向量求法，属于中档题．
、均可建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算．
第2页，共18页
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.在空间中，下列结论正确的是
( )
A. B.
C. D.
2.在直三棱柱中，若，，，则( )
A. B. C. D.
3.过直线与的交点，与直线平行的直线方程为
( )
A. B. C. D.
4.圆上的点到直线距离的取值范围是
( )
A. B.
C. D.
5.已知，两点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围为
( )
A. B.
C. D.
6.圆与圆相交于两点，则等于
( )
A. B. C. D.
7.已知，分别是椭圆：的左、右焦点，是椭圆在第一象限内的一点，若，则( )
A. B. C. D.
8.已知单位向量，，满足：，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知圆的一般方程为，则下列说法正确的是
( )
A. 圆 的圆心为
B. 圆的直径为
C. 圆被轴截得的弦长为
D. 圆关于直线对称的圆的方程是
10.若，，与的夹角为，则的值为
( )
A. B. C. D.
11.已知直线：和直线：，下列说法正确的是( )
A. 始终过定点 B. 若，则或
C. 若，则或 D. 当时，始终不过第三象限
12.设椭圆的左、右焦点分别为，，是上的动点，则下列结论正确的是
．( )
A. B. 到最小的距离是
C. 面积的最大值为 D. 到最大的距离是
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知空间向量，且与垂直，则等于 ．
14.已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为若为正三角形，则该椭圆的离心率为 ．
15.在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的正弦值为 ．
16.过椭圆上一动点分别向圆：和圆：作切线，切点分别为，，则的取值范围为_____________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知为圆上一动点，为直线上一个动点．
求圆心的坐标和圆的半径；
求的最小值．
18.本小题分
如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段的中点．
求直线到平面的距离；
求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
19.本小题分
已知直线经过点，圆．
若直线与圆相切，求直线的方程；
若直线被圆截得的弦长为，求直线的方程．
20.本小题分
已知椭圆的两个焦点分别为，且椭圆过点．
求椭圆的标准方程；
过点作直线交椭圆于两点，是弦的中点，求直线的方程．
21.本小题分
已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到焦点的最小距离是．
求椭圆的方程；
倾斜角为的直线交椭圆于两点，已知，求直线的一般式方程．
22.本小题分
如图，在三棱锥中，底面，点，，分别为棱，，的 中点，是线段的中点，，．
求证：平面；
在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的值，若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量的线性运算，属于基础题．
利用向量的加减法法则逐个分析判断即可．
【解答】
解：对于，因为，所以A错误
对于，因为，所以B正确
对于，因为，所以C错误
对于，因为，所以D错误．
故选B．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量的线性运算，属于基础题．
根据空间向量的线性运算进行求解即可．
【解答】
解：因为在直三棱柱中，，
所以可得
，
故选C．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查两直线平行的应用，两条直线的交点坐标，属于基础题．
利用直线系方程结合直线平行的条件可得参数，进而即得．
【解答】
解：由已知，可设所求直线的方程为：，
即 ，
又因为此直线与直线平行，
所以，
解得：，
所以所求直线的方程为：，即．
故选A．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆上的点到直线距离的最值问题，点到直线的距离公式，圆的方程，属于基础题．
将圆的一般方程化为标准方程，进而得出圆心和半径，利用点到直线的距离公式及圆上的点到直线距离的最值即可求解．
【解答】
解：圆的标准方程为，
所以圆心坐标为，半径，
圆心到直线的距离为
，
所以圆上的点到该直线的距离的取值范围是，即．
故选A．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线的斜率，属于基础题．
易求得和的斜率，数形结合可得直线的斜率的范围．
【解答】
解：如图所示，
直线的斜率满足且，
即且，
直线的斜率的取值范围为．
6.【答案】
【解析】【分析】先求出相交弦 所在直线的方程，然后根据圆的弦长的求法求解即可．
解：由圆 与圆 ，
将两圆方程相减整理得直线 的方程： ，
又 ，即 ，
圆心为 ，半径为 ，
所以 到直线 的距离为 ，
所以 ．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆的定义，椭圆的焦点三角形问题，是中档题．
由椭圆的方程可得 ， 的值，进而求出 的值，由椭圆的定义及勾股定理可得 ， 的值，再求出 的正切值．
【解答】
解：由椭圆的方程 可得 ， ，所以 ，
设 ，则 ，由 在第一象限可得 ，即 ，
因为 ，所以 ，
整理可得 ，
解得 或舍 ，
即 ， ，
所以在 中， ，
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用空间向量数量积求向量的模，属于基础题．
根据题意，由空间向量的模长公式，代入计算，即可得到结果．
【解答】
解：因为，，
且，，为单位向量，
则
．
故选D．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆的一般方程与标准方程的互化，考查曲线关于直线的对称方程的求法，属于一般题．
将圆的一般方程化为标准方程，可得圆心和半径，以及直径，判断、；根据圆的弦长的计算判断；求出圆关于直线 对称的圆的圆心坐标，确定半径，可得其方程，判断．
【解答】
解：由题意知圆的一般方程为 ，
故圆的标准方程为 ，
则圆心为 ，半径为，则直径为，A错误，B正确；
圆心 到轴的距离为，故圆被轴截得的弦长为 ，C正确；
设圆心 关于直线 对称的点的坐标为 ，
则 ，解得 ，
而圆关于直线 对称的圆的半径为，
故圆关于直线 对称的圆的方程为 ，
即 ，D错误，
故选：
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量数量积的坐标运算、空间向量夹角公式，属于基础题．
利用空间向量的数量积的坐标运算公式可求得，从而可求得的值．
【解答】
解：，
，
又的夹角为，
，
解得或．
故选AC．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线位置关系的判定及应用，考查运算求解能力，属于基础题．
由直线系方程求出直线所过定点判定；举例说明B错误；由两直线垂直与系数的关系列式求得值判断．
【解答】
解：直线：过点，故A正确；
当时，直线：，直线：，则，重合，故B错误；
若，由，得或，故C正确；
直线始终过，斜率为负，不会过第三象限，故D正确．
故本题选ACD．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆的几何性质，属于较易题．
根据椭圆的定义和性质逐项运算分析即可．
【解答】
解：由椭圆方程可得： ，则 ，
对：根据椭圆的定义可得 ，A正确；
对：根据椭圆性质可知当是椭圆的左顶点时，到 的距离最小，
最小值为 ，B错误；
对：根据椭圆性质可知当是椭圆的上顶点时， 的高最大，故面积最大，
最大值为 ，C错误；
对：根据椭圆性质可知当是椭圆的右顶点时，到 的距离最大，
最大值为 ，D正确．
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量的数量积及其坐标运算，是较易题．
根据空间向量垂直的坐标运算求解．
【解答】
解：因为 ，且 与 垂直，
所以 ，解得 ．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，是基础题．
利用椭圆的定义及其几何性质求得 ，进而求得椭圆的离心率
【解答】
解：由于 为正三角形，则 ，则椭圆的离心率 ．
故答案为：
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线与直线所成角的向量求法，是基础题．
建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可．
【解答】
解：设正方体棱长为，以 点为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则 ，
则 ，
设异面直线 与 所成角为 ，
所以
，
所以异面直线 与 所成角的正弦值为： ．
故答案为： ．
16.【答案】
【解析】【分析】易知两圆的圆心为椭圆的两焦点，由勾股定理可得 ， ，由椭圆的定义可得 ，设 ，利用二次函数的基本性质可求得 的取值范围．
解： ， ， ，易知 、 为椭圆的两个焦点，
，
根据椭圆定义 ，
设 ，则 ，即 ，
则 ，
当 时， 取到最小值 ．
当 时， 取到最大值 ．
故 的取值范围为： ．
故答案为： ．
17.【答案】解：圆的方程可化为，
所以圆心的坐标为，圆的半径为．
由题意，圆心到直线的距离为，
所以，即的最小值为．
【解析】本题考查直线上一点到圆上一点距离的最小值问题，由圆的方程确定圆心和半径，属于基础题．
化简圆的方程为标准方程，进而求得圆的圆心坐标和半径；
求得圆心到直线的距离，结合圆的性质，即可求解．
18.【答案】解：以为原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，．
，，
，，．
，
，
平面，平面，
平面，
点到平面的距离即为直线到平面的距离，
设平面的法向量为，
则
取，则，，
，
又，
点到平面的距离为．
设平面的法向量为，
则
，得
取，则，
，
，
平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【解析】本题主要考查的是利用向量求空间中的距离、线面平行的判定以及二面角，属于中档题．
首先以为原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系写出各个点坐标．
先证得平面，得到点到平面的距离即为直线到平面的距离，再计算得到平面的法向量，利用向量法可求得点到平面的距离．
首先求出平面的法向量，由得到平面的法向量，利用向量法即可计算出平面与平面所成锐二面角的余弦值．
19.【答案】解：圆化为标准方程为 ，所以圆心坐标为 ，半径为．
当直线 的斜率不存在时，即直线 的方程为： ，此时是与圆 相切，满足题意；
当直线 的斜率存在时，设直线 为： ，即 ，
则圆 的圆心到直线 的距离 ，解得 ，
故直线 的方程为 ．
综上，直线 的方程为 或 ．
因为直线 被圆 所截得的弦长为 ，
所以圆心到直线 的距离为 ．
由可知，直线 的斜率一定存在，设直线 为：，即 ，则圆心到直线 的距离 ，解得 或 ．
故直线的方程为 或 ．
【解析】本题考查圆的切线方程，直线与圆的交点坐标、弦长，是中档题，
根据直线与圆相切， 进行求解；
先由勾股定理求出圆心到直线的距离，再由距离公式求解即可．
20.【答案】解：椭圆 的两个焦点分别为 ，
设椭圆 的标准方程为 ，且 ，
则 ，
又椭圆 过点 ，所以 ，联立解得 ，
所以椭圆 的标准方程为 ．
由题意可知直线 的斜率存在，且直线 过点 ，
设直线 的方程为 ，即 ，
设 ，
则 ，消去 得 ，
，
所以 ，
又 是弦 的中点，所以 ，解得 ，
故直线 的方程为 ．
【解析】本题考查椭圆的标准方程以及直线与椭圆的位置关系，属于一般题．
根据焦点坐标设椭圆方程为 ，将 代入椭圆方程，结合 即可求解．
设直线 的方程为 ，联立直线与椭圆方程，得出 ，再由中点坐标知 ，求出 值，即可得到直线方程．
21.【答案】解：由椭圆 的离心率为，即，可得，
由椭圆上的点到焦点的最小距离是，可得，
解得，，，
所以椭圆的方程．
因为直线的倾斜角为，可设的方程，
由方程组，整理得，
可得，
解得，
设，，
则，，
又由
，
解得，满足，
所以直线的一般式方程为或．
【解析】本题考查椭圆标准方程的求法，椭圆的弦长，属于中档题．
根据题意，得到且，求得的值，即可求解；
设的方程，联立方程组，结合根与系数的关系和弦长公式，根据题意列出方程，求得，即可求解．
22.【答案】解：因为 底面 ， ，
所以以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系如图所示，
则
，
所以 ，
设 为平面 的法向量，
则 ，即 ，
不妨设 ，可得 ，
又 ，
可得 ，因为 平面，
所以平面 ．
设 ， ，则 ，
设平面 的法向量为 ，
又 ，
则 ，令 ，则 ，
所以 ，
即 ，解得 或 舍去，
所以 ．
故存在点，此时 ．
【解析】本题考查线面平行的向量表示、直线与平面所成角的向量求法，属于中档题．
、均可建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算．
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