2023-2024学年苏科版八年级数学上《4.3实数》达标检测卷（含答案版试卷）

2023-2024学年苏科版八年级数学上《4.3实数》达标检测卷
（时间：90分钟 满分：120分）
一．选择题(30分）
1．有下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根； ④﹣是5的平方根．其中正确的有（　　）
A．①③ B．②④ C．②③ D．④
2．在，0，3.1415926，2.010010001…，﹣，，﹣这些数中，无理数的个数为（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3． +1在下列哪两个连续自然数之间（　　）
A．2和3 B．3 和4 C．4 和5 D．5 和6
4．已知+|b﹣1|=0，那么（a+b）2024的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．32023 D．﹣32023
5．下列三个命题：①两个无理数的和一定是 ( http: / / www.21cnjy.com )无理数；②两个无理数的差一定是无理数；③一个有理数与一个无理数的和一定是无理数．其中真命题是( )
A．①②③ 　　　B．①② 　　　　C．① 　　　 D．③
6．在实数范围内，下列各式一定不成立的有 ( )
①；②；③；④．
A．1个 　　　 B．2个　　　　　C．3个 　　 D．4个
7．若实数a满足，则 ( )
A．a>0 　　B．a<0 　　　 C．a≥0 　　 D．a<0
8.如图,若数轴上的点A,B分别与实数-1,1对应,用圆规在数轴上画点C,则与点C对应的实数是(　　)
A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.5
第8题图 第9题图
9．如图，四个实数m，n ( http: / / www.21cnjy.com )，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若n+q=0，则m，n，p，q四个实数中，绝对值最大的一个是（　　）
A．p B．q C．m D．n
10．观察下列算式：，，，…，它有一定的规律性，把第个算式的结果记为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题(30分)
11．计算：﹣|﹣2|+（2016﹣π）0=　　．
12．对于实数a，b，定义运算“*”：a*b=，例如：因为4＞2，所以4*2=42﹣4×2=8，则（﹣3）*（﹣2）=　　．
13．在如图所示的数轴上，点C与点B关于点A对称，C、A两点对应的实数分别是和1，则点B对应的实数为　 　．
第13题图 第14题图
14．如图所示，直角三角形中较长的直角边是较短的直角边长度的2倍，且两个顶点在数轴上对应的数分别为﹣1和1，以斜边为半径的弧交数轴于点A，点C所表示的数为2，点A与点B关于点C对称，则点B表示的数为　 ．
15．设a=﹣|﹣2|，b=﹣（﹣1），c=，则a、b、c中最大实数与最小实数的差是　4　．
16、若，则_ __________．
17．对于任意两个不相等的实数，定义一种新运算“”如下：，如：．那么________．
18．高斯函数，也称为取整函数，即表示不超过的最大整数，例如：，，则下列结论：①；②；③若，则的取值范围是；④当时，的值为、、其中正确的结论有__
___（写出所有正确结论的序号）
19．如图，用两个边长分别为1的小正方形，拼成一个大正方形，则该大正方形的边长为　 　．
20．若记表示任意实数的整数部分例如：， ，则（其中“”“”依次相间）的值为__________
三.解答题（60分）
21.（12分）计算：
（1）
（2） +（）﹣3+20240．
（3）
（4）（+1）（﹣1）+（﹣2）0﹣．
22．（8分）（1）已知，，是的算术平方根，求的值；
（2）已知，的平方根是，是的整数部分，求的平方根．
23.（8分）已知a、b为实数，且+（1﹣b）=0，求a2023﹣b2024的值；
（2）若x满足2（x2﹣2）3﹣16=0，求x的值．
24．（10分）阅读下面材料并解决有关问题：
我们知道：|x|＝，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1，x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在实数范围内，零点值x＝﹣1和x＝2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：①x＜﹣1；②﹣1≤x＜2；③x≥2．
从而化简代数式|x+1|+|x﹣2|可分以下3种情况：
①当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；
②当﹣1≤x＜2时，原式＝x+1﹣（x﹣2）＝3；
③当x≥2时，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1；
综上讨论，原式＝
通过以上阅读，请你解决以下问题：
（1）当x＜2时，|x﹣2|＝　 　；
（2）化简代数式|x+2|+|x﹣4|；（写出解答过程）
（3）直接写出|x﹣1|﹣4|x+1|的最大值 　 　．
25.(10分)在△ABC中，AB，BC，AC边的长分别为，，，求这个三角形的面积．晓辉同学在解这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长都为1)，再在网格中画出格点三角形ABC(即△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图①所示，这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
(1)△ABC的面积为________；
(2)我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC的三边长分别为a，2 a，a(a>0)，请利用图②中的正方形网格(每个小正方形的边长都为a)画出相应的△ABC，并求出它的面积；
(3)若△ABC的三边长分别为，，2 (m>0，n>0，且m≠n)，试运用构图法(自己重新设计一个符合结构特征的网格)求出这个三角形的面积．
26．（12分）定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2=﹣1，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为a+bi（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：（2+i）+（3﹣4i）=（2+3）+（i﹣4i）=5﹣3i
（1）填空：i3=　 　，i4=　 　．
（2）填空：①（2+i）（2﹣i）=　 　； ②（2+i）2=　 　．
（3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知，（x+y）+3i=1﹣（x﹣y）i，（x，y为实数），求x，y的值．
（4）试一试：请利用以前学习的有关知识将化简成a+bi的形式．
（5）解方程：x2﹣2x+4=0．
教师样卷
一．选择题(30分）
1．有下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根； ④﹣是5的平方根．其中正确的有（　D　）
A．①③ B．②④ C．②③ D．④
2．在，0，3.1415926，2.010010001…，﹣，，﹣这些数中，无理数的个数为（　B　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3． +1在下列哪两个连续自然数之间（　B　）
A．2和3 B．3 和4 C．4 和5 D．5 和6
4．已知+|b﹣1|=0，那么（a+b）2024的值为（　B　）
A．﹣1 B．1 C．32023 D．﹣32023
5．下列三个命题：①两个无理数的和一定是 ( http: / / www.21cnjy.com )无理数；②两个无理数的差一定是无理数；③一个有理数与一个无理数的和一定是无理数．其中真命题是( D )
A．①②③ 　　　B．①② 　　　　C．① 　　　 D．③
6．在实数范围内，下列各式一定不成立的有 ( C )
①；②；③；④．
A．1个 　　　 B．2个　　　　　C．3个 　　 D．4个
7．若实数a满足，则 ( B )
A．a>0 　　B．a<0 　　　 C．a≥0 　　 D．a<0
8.如图,若数轴上的点A,B分别与实数-1,1对应,用圆规在数轴上画点C,则与点C对应的实数是(　B　)
A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.5
第8题图 第9题图
9．如图，四个实数m，n ( http: / / www.21cnjy.com )，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若n+q=0，则m，n，p，q四个实数中，绝对值最大的一个是（　A　）
A．p B．q C．m D．n
解：∵n+q=0，∴n和q互为相反数，0在线段NQ的中点处，∴绝对值最大的点P表示的数p，故选A．
10．观察下列算式：，，，…，它有一定的规律性，把第个算式的结果记为，则的值是（C ）
A． B． C． D．
二．填空题(30分)
11．计算：﹣|﹣2|+（2016﹣π）0=　2　．
12．对于实数a，b，定义运算“*”：a*b=，例如：因为4＞2，所以4*2=42﹣4×2=8，则（﹣3）*（﹣2）=　﹣1　．
13．在如图所示的数轴上，点C与点B关于点A对称，C、A两点对应的实数分别是和1，则点B对应的实数为　2﹣　．
第13题图 第14题图
14．如图所示，直角三角形中较长的直角边是较短的直角边长度的2倍，且两个顶点在数轴上对应的数分别为﹣1和1，以斜边为半径的弧交数轴于点A，点C所表示的数为2，点A与点B关于点C对称，则点B表示的数为　5﹣　．
15．设a=﹣|﹣2|，b=﹣（﹣1），c=，则a、b、c中最大实数与最小实数的差是　4　．
16、若，则_或或 __________．
解：由，得，或或， 或 或，经检验：或 或 符合题意．故答案为：或或．
17．对于任意两个不相等的实数，定义一种新运算“”如下：，如：．那么________．
解：∵，∴，故答案为：．
18．高斯函数，也称为取整函数，即表示不超过的最大整数，例如：，，则下列结论：①；②；③若，则的取值范围是；④当时，的值为、、其中正确的结论有__①③
___（写出所有正确结论的序号）
解：由题意可知[-2.1]=-3,[1]=1,-3+1=-2，故①正确；②中，当x取小数时，显然不成立，例如x取2.6，[x]+[-x]=2-3=-1,故②错误；③中，若[x+1]=3,则x+1要满足x+1≥3,且x+1<4,解得x≥2,且x<3,故③正确；④中，当-1≤x<1时，在取值范围内验证此式的值为1,2.故④错误；所以正确的结论是①③
19．如图，用两个边长分别为1的小正方形，拼成一个大正方形，则该大正方形的边长为　 　．
解：∵两个正方形的边长都是1，∴两个小正方形的面积都为1，∴剪拼成一个大正方形后面积等于两个小正方形的面积和即为2，∴此大正方形的边长为，故答案为：．
20．若记表示任意实数的整数部分例如：， ，则（其中“”“”依次相间）的值为___-22________
解：∵即时，，此时n=1，2，3，∴；∵即时，，此时n=4，5，6，7，8，∴；∵即时，，此时n=9，10，11，12，13，14，15，
∴=；由此发现如下规律，整数部分是1的算术平方根的整数和是1，且奇数为正整数，偶数位为负整数；整数部分是2的算术平方根的整数和是-2，整数部分是3的算术平方根的整数和是3，
∵，，∴即时，，
∴=-44，∴=1-2+3-4+5-6+…+43-44
=(1-2)+(3-4)+…+(43-44)==-22，故答案为：-22．
三.解答题（60分）
21.（12分）计算：
（1）
（2） +（）﹣3+20240．
（3）
（4）（+1）（﹣1）+（﹣2）0﹣．
解：（1）原式=．
（2）原式=3+8+1﹣=9+
（3）原式=+3×2﹣2×﹣1=+6﹣﹣1=5．
（4）原式=（+1）（﹣1）+（﹣2）0﹣=5﹣1+1﹣3=2．
22．（8分）（1）已知，，是的算术平方根，求的值；
（2）已知，的平方根是，是的整数部分，求的平方根．
解：（1），，，．
（2），∴，；又∵的平方根是，∴ ，
；又是的整数部分，，∴，∴的平方根为．
23.（8分）已知a、b为实数，且+（1﹣b）=0，求a2023﹣b2024的值；
（2）若x满足2（x2﹣2）3﹣16=0，求x的值．
解：（1）∵a，b为实数，且+（1﹣b）=0，∴1+a=0，1﹣b=0，
解得a=﹣1，b=1，∴a2023﹣b2024=（﹣1）2023﹣12024
=（﹣1）﹣1=﹣2；
（2）2（x2﹣2）3﹣16=0，2（x2﹣2）3=16，（x2﹣2）3=8，x2﹣2=2，x2=4，x=±2．
24．（10分）阅读下面材料并解决有关问题：
我们知道：|x|＝，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1，x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在实数范围内，零点值x＝﹣1和x＝2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：①x＜﹣1；②﹣1≤x＜2；③x≥2．
从而化简代数式|x+1|+|x﹣2|可分以下3种情况：
①当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；
②当﹣1≤x＜2时，原式＝x+1﹣（x﹣2）＝3；
③当x≥2时，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1；
综上讨论，原式＝
通过以上阅读，请你解决以下问题：
（1）当x＜2时，|x﹣2|＝　 　；
（2）化简代数式|x+2|+|x﹣4|；（写出解答过程）
（3）直接写出|x﹣1|﹣4|x+1|的最大值 　 　．
解：（1）当x＜2时，|x﹣2|＝2﹣x，故答案为：2﹣x；
（2）分以下3种情况：①当x＜﹣2时，原式＝﹣（x+2）﹣（x﹣4）＝﹣2x+2；②当﹣2≤x＜4时，原式＝x+2﹣（x﹣4）＝6；③当x≥4时，原式＝x+2+x﹣4＝2x﹣2；
综上讨论，原式＝；
（3）当x＜﹣1时，原式＝3x+5＜2，当﹣1≤x≤1时，原式＝﹣5x﹣3，﹣8≤﹣5x﹣3≤2，当x＞1时，原式＝﹣3x﹣5＜﹣8，则|x﹣1|﹣4|x+1|的最大值为2．故答案为：2．
25.(10分)在△ABC中，AB，BC，AC边的长分别为，，，求这个三角形的面积．晓辉同学在解这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长都为1)，再在网格中画出格点三角形ABC(即△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图①所示，这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
(1)△ABC的面积为________；
(2)我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC的三边长分别为a，2 a，a(a>0)，请利用图②中的正方形网格(每个小正方形的边长都为a)画出相应的△ABC，并求出它的面积；
(3)若△ABC的三边长分别为，，2 (m>0，n>0，且m≠n)，试运用构图法(自己重新设计一个符合结构特征的网格)求出这个三角形的面积．
解：(1) (2)△ABC如图①所示(字母位置不唯一)．S△ABC＝2a×4a－×a×2a－×2a×2a－×a×4a＝3a2.(3)构造△ABC如图②所示(构造方法与字母位置均不唯一)．
S△ABC＝3m×4n－×m×4n－×3m×2n－×2m×2n＝12mn－2mn－3mn－2mn＝5mn.
26．（12分）定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2=﹣1，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为a+bi（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：（2+i）+（3﹣4i）=（2+3）+（i﹣4i）=5﹣3i
（1）填空：i3=　 　，i4=　 　．
（2）填空：①（2+i）（2﹣i）=　 　； ②（2+i）2=　 　．
（3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知，（x+y）+3i=1﹣（x﹣y）i，（x，y为实数），求x，y的值．
（4）试一试：请利用以前学习的有关知识将化简成a+bi的形式．
（5）解方程：x2﹣2x+4=0．
解：（1）i3=i2 i=﹣1 i=﹣i，i4=i2 i2=﹣1×（﹣1）=1，故答案为：﹣i，1；
（2）①（2+i）（2﹣i）=4﹣i2=4+1=5，②（2+i）2=4+4i+i2=4+4i﹣1=3+4i，
故答案为：5、3+4i；
（3）由题意知，解得：；
（4）=====i；
（5）∵x2﹣2x=﹣4，∴x2﹣2x+1=﹣4+1，即（x﹣1）2=﹣3，则（x﹣1）2=3i2，
∴x﹣1=i或x﹣1=﹣i，∴x=1+i或x=1﹣i．