2023-2024学年苏科版九年级数学《5.5用二次函数解决问题》提优训练1（运动轨迹问题）（含解析版）

2023-2024学年苏科版九年级数学《5.5用二次函数解决问题》提优训练1（运动轨迹问题）
（时间：90分钟 满分：120分）
一．选择题(30分）
1．苹果熟了，从树上落下所经过的路程s与下落的时间t满足s＝gt2(g为常数)，则s关于t的函数图象大致是图中的(　　)
第1题图 第2题图
2．如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小朱本次投掷实心球的成绩为（　　）
A．7m B．7.5m C．8m D．8.5m
3．一名学生投实心球，以他的脚为原点建立平面直角坐标系，球飞行的轨迹为抛物线y＝－x2＋4x＋1的一部分，则球在飞行过程中的最高点的坐标是(　　)
A．(2，3) B．(－2，3) C．(2，1) D．(2，5)
4．斜向上发射一枚炮弹，炮弹飞行x秒后的高度为y米，且飞行时间与高度的关系式为y＝ax2＋bx.若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则下列哪一个时间的高度是最高的(　　)
A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒
5．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为(　　)
A．10 m B．15 m C．20 m D．22.5 m
第5题图 第6题图 第7题图 第8题图
6．如图花坛水池中央有一喷泉，水管OP的高度为3 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面4 m，P距抛物线对称轴1 m，则为使水不落到池外，水池半径最小为(　　)
A．1 m B．1.5 m C．2 m D．3 m
7．为了使居住环境更加美观，某小区建造了一个小型喷泉，水流从地面上的点O喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线落到地面，某方向上抛物线的形状如图所示，落点A到点O的距离为4，水流喷出的高度与水平距离之间近似满足函数关系式，则水流喷出的最大高度为（　　）
A． B． C． D．
8．如图某运动员在10米跳台跳水比赛时估测身体(看成一点)在空中的运动路线是抛物线y＝－x2＋x(图中标出的数据为已知条件)的一部分，则运动员在空中运动的最大高度离水面的距离为(　　)
A．10 m B．10 m C．9 m D．10 m
9．如图，不考虑空气阻力，以一定的速度将小球沿斜上方击出时，小球飞行的高度是飞行时间的二次函数.现以相同的初速度沿相同的方向每隔t秒依次击出三个质地一样的小球，小球在各自击出后1秒到达相同的最大飞行高度，若整个过程中同时出现在空中的小球个数最大值为2（不考虑小球落地后再弹起），则t的取值范围是（　　）.
A． B． C． D．
第9题图 第10题图
10．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示.下列结论：①小球抛出3秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是80m；③小球的高度h＝20时，t＝1s或5s.④小球抛出2秒后的高度是35m.其中正确的有（　　）
A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③
二．填空题(30分)
11．一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s(m)与时间t(s)之间的部分数据如下表：
时间t(s) 1 2 3 4 …
距离s(m) 2 8 18 32 …
则s关于t的函数关系式为____________．(不要求写出自变量的取值范围)
12. 小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，如图所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L是______m.
第12题图 第13题图 第14题图
13、如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即OB的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，水流喷射的最远水平距离OC是_____米．
14、某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从点A向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣（x﹣5）2+6．雕塑高OA的值是 　 　m； 落水点C，D之间的距离是 　m．
15、如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y＝﹣x2+x+，则铅球推出的水平距离OA的长是 　 　m．
第15题图 第16题图 第19题图
16．一位运动员在离篮筐水平距离4m处起跳投篮，球运行路线可看作抛物线，当球离开运动员的水平距离为1m时，它与篮筐同高，球运行中的最大高度为3.5m，最后准确落入篮筐，已知篮筐到地面的距离为3.05m，该运动员投篮出手点距离地面的高度为______.
17．飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行时间t（单位：秒）的函数表达式为，当滑行时间为10秒时，滑行距离为450米；当滑行时间为20秒时，滑行距离为600米，则飞机的最大滑行距离为__________.
18．一个球从地面竖直向上弹起时的速度为8米/秒，经过秒时球的高度为米，和满足公式：表示球弹起时的速度，表示重力系数，取米/秒，则球不低于3米的持续时间是_________
19．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为，由此可知铅球推出的距离是______m．
20、定义[a，b，c]为函数y＝ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函数的一些结论：①当m＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是（，）；②当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于；③当m＜0时，函数在时，y随x的增大而减小；④当m≠0时，函数图象经过x轴上一个定点．其中正确的结论有 　（只需填写序号）
三.解答题（60分）
21．（8分）其杂技团在人民广场进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的运动路线是抛物线y＝－x2＋3x＋1的一部分，如图
(1)求演员弹跳离地面的最大高度；
(2)已知人梯高BC＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，则这次表演是否能够成功？请说明理由.
22．（8分）甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图甲在点O正上方1 m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式y＝a(x－4)2＋h，已知点O与球网的水平距离为5 m，球网的高度为1.55 m.
(1)当a＝－时，①求h的值；②通过计算判断此球能否过网．
(2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7 m，离地面的高度为 m的Q 处时，乙扣球成功，求a的值．
23.(8分)如图，排球运动员站在点M处练习发球，将球从M点正上方2 m的A处发出，把球看成点，其运行轨迹呈抛物线形．已知球与M点的水平距离EM为6 m时，高度为2.6 m.
(1)在图中建立恰当的平面直角坐标系，并求出此时抛物线的关系式；
(2)球网BC与点M的水平距离为9 m，高度为2.43 m．球场的边界距M点的水平距离为18 m．该球员判断此次发出的球能顺利过网并不会出界，你认为他的判断对吗？请说明理由．
24．(12分)如图1，皮皮小朋友燃放一种手持烟花，这种烟花每隔2 s发射一发花弹，每一发花弹的飞行路径、爆炸时的高度均相同．皮皮发射出的第一发花弹的飞行高度h(m)与飞行时间t(s)之间的函数图象如图2所示．
(1)求皮皮发射出的第一发花弹的飞行高度h(m)与飞行时间t(s)之间的函数表达式．
(2)第一发花弹发射3 s后，第二发花弹达到的高度为多少米？
(3)为了安全，要求花弹爆炸时的高度不低于16 m．皮皮发现在第一发花弹爆炸的同时，第二发花弹与它处于同一高度，请通过计算说明花弹的爆炸高度是否符合安全要求．
25、（12分）2022北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影近似看作一条抛物线，跳台高度OA为4米，以起跳点正下方跳台底端O为原点，水平方向为横轴，竖直方向为纵轴，建立如图所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点B的坐标为（4，12），着陆坡顶端C与落地点D的距离为2.5米，若斜坡CD的坡度i＝3：4（即＝）．求：（1）点A的坐标；
（2）该抛物线的函数表达式；
（3）起跳点A与着陆坡顶端C之间的水平距离OC的长．（精确到0.1米）
（参考数据：≈1.73）
26、（12分）如图，有一位同学在兴趣小组实验中，设计了一个模拟滑雪场地截面图，平台AB（水平）与x轴的距离为6，与y轴交于B点，与滑道AM：y＝交于A，且AB＝2，MN⊥x轴，且MN＝1；一号球从点B飞出沿抛物线L：y＝﹣x2+bx+6运动，落在滑道AM上一点P，测得P到x轴的距离为3．
（1）k的值为 　 　，点P的坐标是 　 　，b＝　 　；
（2）当一号球落到P点后立即弹起，弹起后沿另外一条抛物线G运动，若它的最高点Q的坐标为（8，5）．
①求G的解析式，并说明抛物线G与滑道AM是否还能相交；
②在x轴上有线段NC＝1，若一号球恰好能被NC接住，则NC向上平移距离d的最大值和最小值各是多少？
（3）一号球从点B飞出同时，二号球从点B的上方点H（0，m）飞出，它所运动的路线与抛物线L的形状相同，且二号球始终在一号球的正上方，当一号球与y轴的距离为3，且二号球位于一号球上方超过5的位置时，直接写出m的取值范围．
教师样卷
一．选择题(30分）
1．苹果熟了，从树上落下所经过的路程s与下落的时间t满足s＝gt2(g为常数)，则s关于t的函数图象大致是图中的(　B　)
解： 函数的图象是由函数的关系式和自变量的取值范围所决定的，题中s＝gt2是二次函数，a＝g>0，故图象开口向上，而自变量t不能取负值．故选B.
第1题图 第2题图
2．如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小朱本次投掷实心球的成绩为（　C　）
A．7m B．7.5m C．8m D．8.5m
解：在中，令y＝0得：﹣x2+x+＝0，解得x＝﹣2（舍去）或x＝8，∴小朱本次投掷实心球的成绩为8米.故答案为：C.
3．一名学生投实心球，以他的脚为原点建立平面直角坐标系，球飞行的轨迹为抛物线y＝－x2＋4x＋1的一部分，则球在飞行过程中的最高点的坐标是(　D　)
A．(2，3) B．(－2，3) C．(2，1) D．(2，5)
解:通过配方法或顶点坐标公式求得球的最高点的坐标．
4．斜向上发射一枚炮弹，炮弹飞行x秒后的高度为y米，且飞行时间与高度的关系式为y＝ax2＋bx.若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则下列哪一个时间的高度是最高的(　B　)
A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒
解: 对称轴为直线x＝(7＋14)÷2＝10.5，当x＝10.5时炮弹达到最高点．∵四个选项中，10秒最接近10.5秒，故四个选项中，在第10秒的高度是最高的．
5．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为(　B　)
A．10 m B．15 m C．20 m D．22.5 m
解: 根据题意知，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点(0，54.0)，(40，46.2)，(20，57.9)，则
解得所以x＝－＝－＝15.故选B.
第5题图 第6题图 第7题图 第8题图
6．如图花坛水池中央有一喷泉，水管OP的高度为3 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面4 m，P距抛物线对称轴1 m，则为使水不落到池外，水池半径最小为(　D　)
A．1 m B．1.5 m C．2 m D．3 m
解:建立如图所示的坐标系．抛物线的顶点坐标是(1，4)，设抛物线的关系式是y＝a(x－1)2＋4，把(0，3)代入，得a＋4＝3，解得a＝－1.则抛物线的关系式是y＝－(x－1)2＋4.
当y＝0时，－(x－1)2＋4＝0，解得x1＝3，x2＝－1(舍去)．则水池的最小半径是3 m．故选D.
7．为了使居住环境更加美观，某小区建造了一个小型喷泉，水流从地面上的点O喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线落到地面，某方向上抛物线的形状如图所示，落点A到点O的距离为4，水流喷出的高度与水平距离之间近似满足函数关系式，则水流喷出的最大高度为（　A　）
A． B． C． D．
解：由题意得A（4，0），把A（4，0）代入解得，∴，∴水流喷出的最大高度为，故答案为：A
8．如图某运动员在10米跳台跳水比赛时估测身体(看成一点)在空中的运动路线是抛物线y＝－x2＋x(图中标出的数据为已知条件)的一部分，则运动员在空中运动的最大高度离水面的距离为(　D　)
A．10 m B．10 m C．9 m D．10 m
解: ∵y＝－(x2-x)=－(X-)2＋∴抛物线的顶点坐标是(，),∴运动员在空中运动的最大高度离水面的距离为10＋＝10(m)．故选D.
9．如图，不考虑空气阻力，以一定的速度将小球沿斜上方击出时，小球飞行的高度是飞行时间的二次函数.现以相同的初速度沿相同的方向每隔t秒依次击出三个质地一样的小球，小球在各自击出后1秒到达相同的最大飞行高度，若整个过程中同时出现在空中的小球个数最大值为2（不考虑小球落地后再弹起），则t的取值范围是（　B　）.
A． B． C． D．
解：以球出发的地方为原点建立直角坐标系，由题意得，二次函数过原点且对称轴为直线，∴设二次函数解析式为，代入原点得，解得，∴，令得，解得∴一个球从出发到落地用时2秒，∵整个过程中同时出现在空中的小球个数最大值为2（不考虑小球落地后再弹起），∴，解得，故答案为：B.
第9题图 第10题图
10．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示.下列结论：①小球抛出3秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是80m；③小球的高度h＝20时，t＝1s或5s.④小球抛出2秒后的高度是35m.其中正确的有（　A　）
A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③
解：由图象可知，点（0，0），（6，0），（3，40）在抛物线上，顶点为（3，40），设函数解析式为h＝a（t﹣3）2+40，将（0，0）代入得：0＝a（0﹣3）2+40，解得：a＝ ，
∴h＝ （t﹣3）2+40.①∵顶点为（3，40），∴小球抛出3秒时达到最高点，故①正确；②小球从抛出到落地经过的路程应为该小球从上升到落下的长度，故为40×2＝80m，故②正确；③令h＝20，则20＝ （t﹣3）2+40，解得t＝3± ，故③错误；
④令t＝2，则h＝ （2﹣3）2+40＝ m，故④错误.综上，正确的有①②.故答案为：A.
二．填空题(30分)
11．一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s(m)与时间t(s)之间的部分数据如下表：
时间t(s) 1 2 3 4 …
距离s(m) 2 8 18 32 …
则s关于t的函数关系式为_____s＝2t2________．(不要求写出自变量的取值范围)
12. 小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，如图所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L是__4.5____m.
解:如图，把y=3.05代入函数，解得：x＝1.5或x＝﹣1.5（舍），则L＝3+1.5＝4.5m.
第12题图 第13题图 第14题图
13、如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即OB的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，水流喷射的最远水平距离OC是___20__米．
解：由题可知：抛物线的顶点为（8，1.8），设水流形成的抛物线为y＝a（x﹣8）2+1.8，将点（0，1）代入可得a＝﹣，∴抛物线为：y＝﹣（x﹣8）2+1.8，当y＝0时，0＝﹣（x﹣8）2+1.8，解得x＝﹣4（舍去）或x＝20，∴水流喷射的最远水平距离OC是20米，
14、某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从点A向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣（x﹣5）2+6．雕塑高OA的值是 　 　m； 落水点C，D之间的距离是 22 　m．
解：（1）当x＝0时，y＝﹣×（0﹣5）2+6＝，∴点A的坐标为（0，），∴雕塑高m．故答案为：．（2）当y＝0时，﹣（x﹣5）2+6＝0，解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝11，∴点D的坐标为（11，0），∴OD＝11m．∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，∴OC＝OD＝11m，∴CD＝OC+OD＝22m．故答案为：22．
15、如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y＝﹣x2+x+，则铅球推出的水平距离OA的长是 　 10 　m．
解：∵y＝﹣x2+x+，∴当y＝0时，0＝﹣x2+x+，解得x1＝﹣2，x2＝10，
∴OA＝10m，故答案为：10．
第15题图 第16题图 第19题图
16．一位运动员在离篮筐水平距离4m处起跳投篮，球运行路线可看作抛物线，当球离开运动员的水平距离为1m时，它与篮筐同高，球运行中的最大高度为3.5m，最后准确落入篮筐，已知篮筐到地面的距离为3.05m，该运动员投篮出手点距离地面的高度为___2.25m____.
解：如图，以地面为横轴，距离运动员右侧2.5米处的点O画纵轴，建立平面直角坐标系由题意可知，点C的坐标为（0，3.5），点B的坐标为（1.5，3.05），设函数解析式为y=ax2+3.5，代入B（1.5，3.05）得，2.25a+3.5=3.05解得，a=-0.2，因此函数解析式为：y=-0.2x2+3.5，当x=-2.5时，y==2.25；所以，球出手时离地面2.25米时才能投中．
17．飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行时间t（单位：秒）的函数表达式为，当滑行时间为10秒时，滑行距离为450米；当滑行时间为20秒时，滑行距离为600米，则飞机的最大滑行距离为____600米______.
解：∵时，；时，，∴，解得：，
∴，∵，∴当时，S最大，且最大值为600，即飞机的最大滑行距离为600米，故A正确．
18．一个球从地面竖直向上弹起时的速度为8米/秒，经过秒时球的高度为米，和满足公式：表示球弹起时的速度，表示重力系数，取米/秒，则球不低于3米的持续时间是___秒_______
解：由题意得，当h=3时，，解得，∴球不低于3米的持续时间是1-0.6=0.4（秒），
19．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为，由此可知铅球推出的距离是__10____m．
解:要求铅球推出的距离，实际上是求铅球的落脚点与坐标原点的距离，故可直接令，求出x的值，x的正值即为所求．在函数式中，令，得，解得，（舍去），∴铅球推出的距离是10m．故答案为10．
20、定义[a，b，c]为函数y＝ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函数的一些结论：①当m＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是（，）；②当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于；③当m＜0时，函数在时，y随x的增大而减小；④当m≠0时，函数图象经过x轴上一个定点．其中正确的结论有　①②④ 　．（只需填写序号）
解：因为函数y＝ax2+bx+c的特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]； ①当m＝﹣3时，y＝﹣6x2+4x+2＝﹣6（x﹣）2+，顶点坐标是（，）；此结论正确；②当m＞0时，令y＝0，有2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）＝0，解得x＝，x1＝1，x2＝﹣﹣，
|x2﹣x1|＝+＞，所以当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于，此结论正确；③当m＜0时，y＝2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m） 是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：，在对称轴的右边y随x的增大而减小．因为当m＜0时，＝﹣＞，即对称轴在x＝右边，因此函数在x＝右边先递增到对称轴位置，再递减，此结论错误；
④当x＝1时，y＝2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）＝2m+（1﹣m）+（﹣1﹣m）＝0 即对任意m，函数图象都经过点（1，0）那么同样的：当m＝0时，函数图象都经过同一个点（1，0），当m≠0时，函数图象经过同一个点（1，0），故当m≠0时，函数图象经过x轴上一个定点此结论正确．根据上面的分析，①②④都是正确的，③是错误的．
故答案为：①②④．
三.解答题（60分）
21．（8分）其杂技团在人民广场进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的运动路线是抛物线y＝－x2＋3x＋1的一部分，如图
(1)求演员弹跳离地面的最大高度；
(2)已知人梯高BC＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，则这次表演是否能够成功？请说明理由.
解：(1)将二次函数y＝－x2＋3x＋1化成y＝－(x－)2＋，∴当x＝时，y有最大值，y最大值＝＝4.75，因此演员弹跳离地面的最大高度是4.75米．
(2)这次表演能够成功．理由：当x＝4时，y＝－×42＋3×4＋1＝3.4.即点B(4，3.4)在抛物线y＝－x2＋3x＋1上，因此这次表演能够成功．
22．（8分）甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图甲在点O正上方1 m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式y＝a(x－4)2＋h，已知点O与球网的水平距离为5 m，球网的高度为1.55 m.
(1)当a＝－时，①求h的值；②通过计算判断此球能否过网．
(2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7 m，离地面的高度为 m的Q 处时，乙扣球成功，求a的值．
解：(1)①当a＝－时，y＝－(x－4)2＋h.由题意易知点P的坐标为(0，1)．
将(0，1)代入上式，得－×16＋h＝1，解得h＝.②把x＝5代入y＝－(x－4)2＋，得y＝－×(5－4)2＋＝1.625.∵1.625>1.55，∴此球能过网．
(2)把(0，1)，(7,)代入y＝a(x－4)2＋h，得解得∴a＝－.
23.(8分)如图，排球运动员站在点M处练习发球，将球从M点正上方2 m的A处发出，把球看成点，其运行轨迹呈抛物线形．已知球与M点的水平距离EM为6 m时，高度为2.6 m.
(1)在图中建立恰当的平面直角坐标系，并求出此时抛物线的关系式；
(2)球网BC与点M的水平距离为9 m，高度为2.43 m．球场的边界距M点的水平距离为18 m．该球员判断此次发出的球能顺利过网并不会出界，你认为他的判断对吗？请说明理由．
解：(1)如图，以点M为坐标原点，建立平面直角坐标系，则点A，E，D的坐标分别为(0，2)，(6，0)，(6，2.6)．
由题意知抛物线的顶点为(6，2.6)，∴设抛物线的关系式为y＝a(x－6)2＋2.6.将点A(0，2)的坐标代入，得2＝36a＋2.6，∴a＝－，故此时抛物线的关系式为y＝－(x－6)2＋2.6.
(2)该球员的判断不对．理由如下：当x＝9时，y＝-(9－6)2＋2.6＝2.45＞2.43，∴球能过网；当y＝0时，－(x－6)2＋2.6＝0，解得x1＝6＋2，x2＝6－2(舍)．∵6＋2≈18.5>18，故球会出界．
24．(12分)如图1，皮皮小朋友燃放一种手持烟花，这种烟花每隔2 s发射一发花弹，每一发花弹的飞行路径、爆炸时的高度均相同．皮皮发射出的第一发花弹的飞行高度h(m)与飞行时间t(s)之间的函数图象如图2所示．
(1)求皮皮发射出的第一发花弹的飞行高度h(m)与飞行时间t(s)之间的函数表达式．
(2)第一发花弹发射3 s后，第二发花弹达到的高度为多少米？
(3)为了安全，要求花弹爆炸时的高度不低于16 m．皮皮发现在第一发花弹爆炸的同时，第二发花弹与它处于同一高度，请通过计算说明花弹的爆炸高度是否符合安全要求．
解：(1)h＝－2(t－3)2＋19.8.
(2)h＝－2(1－3)2＋19.8＝11.8(m)．
(3)符合安全要求．理由如下：∵这种烟花每隔2 s发射一发花弹，每一发花弹的飞行路径、爆炸时的高度均相同，皮皮小朋友发射出的第一发花弹的函数表达式为h＝－2(t－3)2＋19.8，∴第二发花弹的函数表达式为h′＝－2(t－5)2＋19.8，令h＝h′得－2(t－3)2＋19.8＝－2(t－5)2＋19.8，解得t＝4，此时h＝h′＝17.8＞16.∴花弹的爆炸高度符合安全要求．
25、（12分）2022北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影近似看作一条抛物线，跳台高度OA为4米，以起跳点正下方跳台底端O为原点，水平方向为横轴，竖直方向为纵轴，建立如图所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点B的坐标为（4，12），着陆坡顶端C与落地点D的距离为2.5米，若斜坡CD的坡度i＝3：4（即＝）．求：（1）点A的坐标；
（2）该抛物线的函数表达式；
（3）起跳点A与着陆坡顶端C之间的水平距离OC的长．（精确到0.1米）
（参考数据：≈1.73）
解：（1）∵OA＝4，且点A在y轴正半轴，∴A（0，4）．
（2）∵抛物线最高点B的坐标为（4，12），∴设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣4）2+12，∵A（0，4），∴a（0﹣4）2+12＝4，解得a＝﹣．∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣4）2+12．
（3）在Rt△CDE中，＝，CD＝2.5，∴CE＝1.5，DE＝2．∴点D的纵坐标为﹣1.5，
令﹣（x﹣4）2+12＝﹣1.5，解得，x＝4+3≈9.19或x＝4﹣3≈﹣1.19（不合题意，舍去），∴D（9.19，﹣1.5）．∴OC＝9.19﹣2＝7.19≈7.2（m）．∴OC的长约为7.2米．
26、（12分）如图，有一位同学在兴趣小组实验中，设计了一个模拟滑雪场地截面图，平台AB（水平）与x轴的距离为6，与y轴交于B点，与滑道AM：y＝交于A，且AB＝2，MN⊥x轴，且MN＝1；一号球从点B飞出沿抛物线L：y＝﹣x2+bx+6运动，落在滑道AM上一点P，测得P到x轴的距离为3．
（1）k的值为 　 　，点P的坐标是 　 　，b＝　 　；
（2）当一号球落到P点后立即弹起，弹起后沿另外一条抛物线G运动，若它的最高点Q的坐标为（8，5）．
①求G的解析式，并说明抛物线G与滑道AM是否还能相交；
②在x轴上有线段NC＝1，若一号球恰好能被NC接住，则NC向上平移距离d的最大值和最小值各是多少？
（3）一号球从点B飞出同时，二号球从点B的上方点H（0，m）飞出，它所运动的路线与抛物线L的形状相同，且二号球始终在一号球的正上方，当一号球与y轴的距离为3，且二号球位于一号球上方超过5的位置时，直接写出m的取值范围．
解：（1）∵平台AB（水平）与x轴的距离为6，AB＝2，∴A（2，6）．∴6＝．∴k＝12．
∴y＝．当y＝3时，x＝＝4．∴P（4，3）．将P（4，3）代入y＝﹣x2+bx+6得：﹣16+4b+6＝3．解得：b＝．故答案为：12；（4，3）；；
（2）①抛物线G与滑道AM不能再相交．理由：设抛物线G的解析式为y＝a（x﹣8）2+5，∵点P（4，3）在抛物线G上，∴a（4﹣8）2+5＝3．解得：a＝﹣．∴抛物线G的解析式为y＝﹣+5＝+2x﹣3．∵MN＝1，∴当y＝1时，1＝．∴x＝12．∴M（12，1），N（12，0）．∵当x＝12时，y＝﹣×144+2×12﹣3＝3＞1，∴抛物线G与滑道AM之间除点P外再无交点．∴抛物线G与滑道AM不能再相交．
②∵NC＝1，∴C（13，0）．当x＝13时，y＝﹣+2×13﹣3＝．若一号球恰好能被点N接住，∵抛物线G上有点（12，3），∴则NC向上平移距离d＝3；若一号球恰好能被点C接住，∵抛物线G上有点（13，），∴则NC向上平移距离d＝；∴NC向上平移距离d的最大值为3，最小值为；
（3）∵二号球从点B的上方点H（0，m）飞出，它所运动的路线与抛物线L的形状相同，
∴二号球运动的路线的抛物线解析式为y＝＝﹣x2+x+m．∵一号球与y轴的距离为3，
∴一号球经过点（3，）．∵当一号球与y轴的距离为3，且二号球位于一号球上方超过5的位置，∴﹣32+3×+m﹣＞5．∴m＞11．