2023-2024学年苏科版九年级数学《5.5用二次函数解决问题》提优训练3（几何图形问题）（含答案卷）

2023-2024学年苏科版九年级数学《5.5用二次函数解决问题》提优训练3（几何图形问题）
（时间：90分钟 满分：120分）
一．选择题(30分）
1．如图，△ABC为直角三角形，∠C=90°，BC=2cm，∠A=30°，四边形DEFG为矩形，DE=2 cm，EF=6cm，且点C、B、E、F在同一条直线上，点B与点E重合．Rt△ABC以每秒1cm的速度沿矩形DEFG的边EF向右平移，当点C与点F重合时停止．设Rt△ABC与矩形DEFG的重叠部分的面积为ycm2，运动时间xs．能反映ycm2与xs之间函数关系的大致图象是（　　）
A．B．C．D．
2．如图，正△ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点（不与点B、C重合），且∠APD=60°，PD交AB于点D．设BP=x，BD=y，则y关于x的函数图象大致是（　　）
A．B．C．D．
3．如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度大小不变，则以点A为圆心，线段AP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t之间的函数图象大致为（　　）
A．B．C．D．
4．抛物线y＝ax2+bx+1的顶点为D，与x轴正半轴交于A、B两点，A在B左，与y轴正半轴交于点C，当△ABD和△OBC均为等腰直角三角形（O为坐标原点）时，b的值为（　）
A．2 B．﹣2或﹣4 C．﹣2 D．﹣4
第4题图 第5题图 第6题图 第7题图
5.如图,在Rt△ABO中,AB⊥OB,且AB=OB=3,设直线x=t截此三角形所得的阴影部分的面积为S,则S与t之间的函数关系式为( )
A.S=t(06．如图1，在中，，已知点P在直角边AB上，以的速度从点A向点B运动，点Q在直角边BC上，以的速度从点B向点C运动．若点P，Q同时出发，当点P到达点B时，点Q恰好到达点C处．图2是的面积与点P的运动时间之间的函数关系图像（点M为图像的最高点），根据相关信息，计算线段AC的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图1，在矩形ABCD中，点E，F，G分别是边AD，BC，AB的中点，连结EF，，点H是EF上一动点，设FH的长为x，GH与BH长度的和为y．图2是y关于x的函数图象，点P为图象上的最低点，则函数图象的右端点Q的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．如果△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形，他们的边BC，EF在同一条直线l上，点C，E重合，现将△ABC沿着直线l向右移动，直至点B与点F重合时停止移动，在此过程中，设点B移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图像大致为( )
A．B．C．D．
9．如图，正方形ABCD的边长为8cm，动点E从点C出发沿边CB向终点B以2cm/s的速度运动，同时动点F从点C出发沿边CD向终点D以1cm/s的速度运动．设运动时间为，当时，以CE，CF为边作矩形CFHE，设正方形ABCD去掉矩形CFHE后剩余部分的面积为（cm2），则y与x之间的函数关系图象大致是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，四边形是菱形，边长为4，，垂直于的直线从点A出发，沿AD方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线EF与菱形的两边分别交于点E，F（点E在点F的上方），若的面积为y，直线的运动时间为x秒（），则能大致反映y与x的函数关系的图象是（ ）
A．B．C．D．
二．填空题(30分)
11．如图,正△ABC中,点P为BC边上的任意一点(不与点B，C重合),且∠APD= 60° ,PD交边AB于点D．设BP= x ,BD= y ,右图为y关于x的函数大致图象，下列判断中正确的是_____.
①正△ABC中边长为4；②图象的函数表达式是 ，其中 0＜x＜4；③ m=1
第11题图 第12题图 第13题图
12．如图，在Rt△ABO中，∠AOB＝90°，AO＋BO＝5，延长AO到C，使OC＝3，延长BO到D，使OD＝4，连接BC、CD、DA，则四边形ABCD面积的最大值为 ．
13．矩形ABCD中，点P从点A出发，沿AB边以每秒1个单位的速度向B点运动，至B点停止；同时点Q也从A点出发，以同样的速度沿A-D-C-B的路径运动，至B点停止，在此过程中△APQ的面积y与运动时间t的函数关系图象如图所示，则m的值为
14．如图，△ABC是直角三角形，∠A＝90°，AB＝8 cm，AC＝6 cm，点P从点A出发，沿AB方向以2 cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1 cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达终点，另一个动点也停止运动，则△APQ的最大面积是_______cm2．
第14题图 第15题图 第16题图 第17题图
15．如图，二次函数y=－x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A(3，0)，另一个交点为B，且与y轴交于点C．若该二次函数图象上有一点D(x，y)，使S△ABD=S△ABC，则D点的坐标为____________________．
16．如图，在平面直角坐标系中，P是抛物线y＝－x2＋3x上一点，且在x轴上方，过点P分别向x轴、y轴作垂线，得到矩形PMON.若矩形PMON的周长随点P的横坐标m增大而增大，则m的取值范围是_________.
17．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B的坐标分别为(0，2)、(1，0)，顶点C在函数y＝x2＋bx－1的图象上，将正方形ABCD沿x轴正方向平移后得到正方形A′B′C′D′，点D的对应点D′落在抛物线上，则点D与其对应点D′之间的距离为 ______．
18. 如图，点A1、A2、A3、…、An在抛物线y=x2图象上，点B1、B2、B3、…、Bn在y轴上，若△A1B0B1、△A2B1B2、…、△AnBn-1Bn都为等腰直角三角形（点B0是坐标原点），则△A2023B2022B2023的腰长=___
第18题图 第19题图 第20题图
19.如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以2的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以4的速度移动（不与点重合）.如果、分别从、同时出发，那么经过______秒，四边形的面积最小.
20．如图，正方形 的一个顶点与原点 重合， 与 轴的正半轴的夹角为15°，点 在抛物线 的图象上，则 的长为　 　．
三．解答题（60分）
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12cm，OB=6cm，点P从O点开始沿OA边向点A以1cm/s的速度移动：点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间（0≤t≤6），那么：
（1）设△POQ的面积为y，求y关于t的函数解析式。
（2）当△POQ的面积最大时，△POQ沿直线PQ翻折后得到△PCQ，试判断点C是否落在直线AB上，并说明理由。
22．（8分）已知，如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过直线y=﹣x+3与坐标轴的两个交点A，B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点M为抛物线上一动点，是否存在点M，使△ACM与△ABC的面积相等？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
23、（8分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A、C分别在x轴和y轴上，A（3，0），C（0，）．D是BC的中点，M是线段OC上的点且OM＝OC，点P是线段OM上一个动点，经过P、D、B三点的抛物线交x轴的正半轴于点E，连接DE交AB于点F．
（1）当点P与原点重合时，此时的抛物线解析式是 　 　；
（2）以线段DF为边，在DF所在直线的右上方作等边△DFG，当动点P从点O运动到点M时，点G也随之运动，则点G的运动路径的长是 　 　．
24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（在的左侧)，与轴交于点，顶点为．
(1)请直接写出点的坐标．
(2)如图（1），在轴上找一点，使得的周长最小，求点的坐标；
(3)如图（2），点为抛物线对称轴上的动点，使得为以为底角的等腰三角形 若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
25．（12分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，平行于x的直线与抛物线交于点A，B，若△AMB为等腰直角三角形，则抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的“准碗形”，线段AB称为碗宽，点M到线段AB的距离称为碗高．
(1)抛物线y＝x2对应的碗宽为 ；
(2)抛物线y＝ax2（a＞0）对应的碗宽为 ；抛物线y＝a（x﹣2）2+3（a＞0）对应的碗高为 ；
(3)已知抛物线y＝ax2﹣4ax﹣（a＞0）对应的碗高为3．
①求碗顶M的坐标；
②如图2，将“准碗形AMB”绕点M顺时针旋转30°得到“准碗形”．过点作x轴的平行线交准碗形于点C，点P是线段上的动点，过点P作y轴的平行线交准碗形A'MB'于点Q．请直接写出线段PQ长度的最大值．
26.（12分）如图，抛物线y＝ax2＋bx﹣3与x轴交于A(﹣1，0)、B两点，交直线l于点A、C(2，﹣3)．(1)求该抛物线的解析式；
(2)在y轴上是否存在点D，使S△ABD＝S△ABC？若存在，请求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)P是线段AC上的一个动点，过点P做PE∥y轴交抛物线于点E，求线段PE长度的最大值；
(4)点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点G，使得以点A，C，G，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点G的坐标；如果不存在，请说明理由．
教师样卷
一．选择题(30分）
1．如图，△ABC为直角三角形，∠C=90°，BC=2cm，∠A=30°，四边形DEFG为矩形，DE=2 cm，EF=6cm，且点C、B、E、F在同一条直线上，点B与点E重合．Rt△ABC以每秒1cm的速度沿矩形DEFG的边EF向右平移，当点C与点F重合时停止．设Rt△ABC与矩形DEFG的重叠部分的面积为ycm2，运动时间xs．能反映ycm2与xs之间函数关系的大致图象是（　A　）
A．B．C．D．
2．如图，正△ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点（不与点B、C重合），且∠APD=60°，PD交AB于点D．设BP=x，BD=y，则y关于x的函数图象大致是（　C　）
A．B．C．D．
3．如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度大小不变，则以点A为圆心，线段AP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t之间的函数图象大致为（　A　）
A．B．C．D．
4．抛物线y＝ax2+bx+1的顶点为D，与x轴正半轴交于A、B两点，A在B左，与y轴正半轴交于点C，当△ABD和△OBC均为等腰直角三角形（O为坐标原点）时，b的值为（　D　）
A．2 B．﹣2或﹣4 C．﹣2 D．﹣4
第4题图 第5题图 第6题图 第7题图
5.如图,在Rt△ABO中,AB⊥OB,且AB=OB=3,设直线x=t截此三角形所得的阴影部分的面积为S,则S与t之间的函数关系式为(B)
A.S=t(06．如图1，在中，，已知点P在直角边AB上，以的速度从点A向点B运动，点Q在直角边BC上，以的速度从点B向点C运动．若点P，Q同时出发，当点P到达点B时，点Q恰好到达点C处．图2是的面积与点P的运动时间之间的函数关系图像（点M为图像的最高点），根据相关信息，计算线段AC的长为（B ）
A． B． C． D．
解：设运动时间，，则，，
在中，，，，则，当时，有最大值为，
解得，即， 根据三角形BPQ的面积与点P的运动时间之间的函数关系可知，抛物线与轴交于和两点，即运动时间是，，在中，，，根据勾股定理可得，故选：B．
7．如图1，在矩形ABCD中，点E，F，G分别是边AD，BC，AB的中点，连结EF，，点H是EF上一动点，设FH的长为x，GH与BH长度的和为y．图2是y关于x的函数图象，点P为图象上的最低点，则函数图象的右端点Q的坐标为（ D ）
A． B． C． D．
解：连接CG交EF于H′，当H运动到H′时y最小，由函数图象知， x=1，即FH=1时y最小，∵在矩形ABCD中，点E，F，G分别是边AD，BC，AB的中点，∴EF∥AB，EF=AB，BF=AE= BC=3，AG=BG，∴CH′=GH′，∴BG=2FH′=2，则AB=4，当H运动到E点时，y最大，此时FH=EF=4，即x=4，连接BE、GE，由勾股定理得：BE= ，GE= ，∴GH+BH=BE+GE=5+ ，即y=5+ ，∴Q点坐标为（4，5+ ），
故选：D．
8．如果△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形，他们的边BC，EF在同一条直线l上，点C，E重合，现将△ABC沿着直线l向右移动，直至点B与点F重合时停止移动，在此过程中，设点B移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图像大致为( A )
A．B．C．D．
解：如图1所示：当0＜x≤2时，过点G作GH⊥BF于H．∵△ABC和△DEF均为等边三角形，∴△GEJ为等边三角形．∴GE＝EJ＝GJ＝x，∠GEJ＝60°，∴GH＝CGsin60°＝EJ＝x，∴y＝EJ GH＝x2，当x＝2时，y＝，且抛物线的开口向上．如图2所示：2＜x≤4时，过点G作GH⊥BF于H．y＝FJ GH＝（4﹣x）2，函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上．故选：A．
9．如图，正方形ABCD的边长为8cm，动点E从点C出发沿边CB向终点B以2cm/s的速度运动，同时动点F从点C出发沿边CD向终点D以1cm/s的速度运动．设运动时间为，当时，以CE，CF为边作矩形CFHE，设正方形ABCD去掉矩形CFHE后剩余部分的面积为（cm2），则y与x之间的函数关系图象大致是（ D ）
A．B．C．D．
解：由题意，CE=2xcm，CF=xcm ∴DF=（8-x）cm． 当0≤x≤2时，
∴ 当2＜x≤4时，则
；所以符合题意的图象为D，故选D
10．如图，四边形是菱形，边长为4，，垂直于的直线从点A出发，沿AD方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线EF与菱形的两边分别交于点E，F（点E在点F的上方），若的面积为y，直线的运动时间为x秒（），则能大致反映y与x的函数关系的图象是（ C ）
A．B．C．D．
解：如图1，过点B作BH⊥AB点H， ∵四边形ABCD是菱形四边形，边长为4，∴AB＝AD＝4，∵ ∠A=60°，∴∠ABH＝90°－∠A＝30°，∴AH＝AB＝2，由勾股定理得
．∴．∵ EF⊥AB于点F，∴∠AFE＝90°，
在Rt△AEF中，∠AEF＝90°－∠A＝30°，AF＝x，∴AE＝2AF＝2x，由勾股定理得， ∴， ∴ ，∴当时，
的面积为y＝AF×EF＝． ∵ ，抛物线y＝对称轴为y轴，∴抛物线y＝开口向上，当，y随着x的增大而增大．∴ 当时，此时点EF运动到BH的位置，y有最大值，最大值是y=；当时，如图2，作DG⊥BC于点G，∵ BCAD，∴DG＝EF＝BH＝．的面积为y＝AF×EF＝＝． ∵＝＞0，∴当时，y随着x的增大而增大，∴ 当时，此时EF运动到GD的位置，y有最大值，最大值是y=4，综上所述，y与x的函数关系式为． 根据y与x的函数关系可判断应该选C，故选：C．

二．填空题(30分)
11．如图,正△ABC中,点P为BC边上的任意一点(不与点B，C重合),且∠APD= 60° ,PD交边AB于点D．设BP= x ,BD= y ,右图为y关于x的函数大致图象，下列判断中正确的是__①③___.
①正△ABC中边长为4；②图象的函数表达式是 ， 其中 0＜x＜4；③ m=1
第11题图 第12题图 第13题图
12．如图，在Rt△ABO中，∠AOB＝90°，AO＋BO＝5，延长AO到C，使OC＝3，延长BO到D，使OD＝4，连接BC、CD、DA，则四边形ABCD面积的最大值为 18 ．
13．矩形ABCD中，点P从点A出发，沿AB边以每秒1个单位的速度向B点运动，至B点停止；同时点Q也从A点出发，以同样的速度沿A-D-C-B的路径运动，至B点停止，在此过程中△APQ的面积y与运动时间t的函数关系图象如图所示，则m的值为 24
14．如图，△ABC是直角三角形，∠A＝90°，AB＝8 cm，AC＝6 cm，点P从点A出发，沿AB方向以2 cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1 cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达终点，另一个动点也停止运动，则△APQ的最大面积是___16_____cm2．
【答案】16 cm2
第14题图 第15题图 第16题图 第17题图
15．如图，二次函数y=－x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A(3，0)，另一个交点为B，且与y轴交于点C．若该二次函数图象上有一点D(x，y)，使S△ABD=S△ABC，则D点的坐标为___（1，﹣4）和（﹣2，5）_________________．
16．如图，在平面直角坐标系中，P是抛物线y＝－x2＋3x上一点，且在x轴上方，过点P分别向x轴、y轴作垂线，得到矩形PMON.若矩形PMON的周长随点P的横坐标m增大而增大，则m的取值范围是___0＜m≤2______.
17．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B的坐标分别为(0，2)、(1，0)，顶点C在函数y＝x2＋bx－1的图象上，将正方形ABCD沿x轴正方向平移后得到正方形A′B′C′D′，点D的对应点D′落在抛物线上，则点D与其对应点D′之间的距离为 ___2___．
18. 如图，点A1、A2、A3、…、An在抛物线y=x2图象上，点B1、B2、B3、…、Bn在y轴上，若△A1B0B1、△A2B1B2、…、△AnBn-1Bn都为等腰直角三角形（点B0是坐标原点），则△A2023B2022B2023的腰长=_2023___
解：作A1C⊥y轴，A2E⊥y轴，垂足分别为C、E．∵△A1BOB1、△A2B1B2都是等腰直角三角形∴B1C=B0C=DB0=A1D，B2E=B1E=A2E∴设A1（a，a）将其代入解析式y=x2得：∴a=a2解得：a=0（不符合题意）或a=1，由勾股定理得：A1B0=同理可以求得：A2B1=2A3B2=3A4B3=4∴A2023B2022=2023∴△A2023B2022B2023的腰长为：2023故答案为2023
第18题图 第19题图 第20题图
19.如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以2的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以4的速度移动（不与点重合）.如果、分别从、同时出发，那么经过__3____秒，四边形的面积最小.
解：设P、Q同时出发后经过的时间为ts，四边形APQC的面积为Scm2，则有：
S=S△ABC-S△PBQ=×12×6-（6-t）×2t=t2-6t+36=（t-3）2+27．∴当t=3s时，S取得最小值．故填：3．
20．如图，正方形 的一个顶点与原点 重合， 与 轴的正半轴的夹角为15°，点 在抛物线 的图象上，则 的长为　 　．
解：如图，连接OB，∵四边形OABC是正方形，∴∠BOC＝45°，过点B作BD⊥y轴于D，∵OC与y轴正半轴的夹角为15°，∴∠BOD＝45°+15°＝60°，∴∠OBD＝30°，∴OD＝ OB，设OD=x，∴ ，∴点B的坐标为（ ，x），∵点B在抛物线y＝ x2的图象上，∴ （ ）2＝x，解得x＝1．∴OB=2,设AO=AB=a，2a2=4，∵a>0，解得a= ，故为： ．
三．解答题（60分）
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12cm，OB=6cm，点P从O点开始沿OA边向点A以1cm/s的速度移动：点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间（0≤t≤6），那么：
（1）设△POQ的面积为y，求y关于t的函数解析式。
（2）当△POQ的面积最大时，△POQ沿直线PQ翻折后得到△PCQ，试判断点C是否落在直线AB上，并说明理由。
解：（1）∵OA=12，OB=6由题意，得BQ=1·t=t，OP=1·t=t∴OQ=6－t∴y=×OP×OQ=·t（6－t）=-t2＋3t（0≤t≤6）（2）∵∴当有最大值时，∴OQ=3 OP=3即△POQ是等腰直角三角形。把△POQ沿翻折后，可得四边形是正方形∴点C的坐标是（3，3）∵∴直线的解析式为当时，，∴点C不落在直线AB上
22．（8分）已知，如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过直线y=﹣x+3与坐标轴的两个交点A，B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点M为抛物线上一动点，是否存在点M，使△ACM与△ABC的面积相等？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）将x=0代入AB的解析式得：y=3，∴B（0，3）．将y=0代入AB的解析式得：﹣x+3=0，解得x=3，A（3，0）．将点A和点B的坐标代入得： ，解得：b=2，c=3．∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3。 （2）设M的坐标为（x，y）．∵△ACM与△ABC的面积相等，∴ AC |y|= AC OB．∴|y|=OB=3．当y=3时，﹣x2+2x+3=3，解得x=0或x=2，∴M（2，3）、（0、3）．当y=﹣3时，﹣x2+2x+3=3，解得：x=1+ 或x=1﹣ ．∴M（1+ ，﹣3）或（1﹣ ，﹣3）．综上所述点M的坐标为（0、3）或2，3）或（1+ ，﹣3）或（1﹣ ，﹣3）。
23、（8分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A、C分别在x轴和y轴上，A（3，0），C（0，）．D是BC的中点，M是线段OC上的点且OM＝OC，点P是线段OM上一个动点，经过P、D、B三点的抛物线交x轴的正半轴于点E，连接DE交AB于点F．
（1）当点P与原点重合时，此时的抛物线解析式是 　 　；
（2）以线段DF为边，在DF所在直线的右上方作等边△DFG，当动点P从点O运动到点M时，点G也随之运动，则点G的运动路径的长是 　 　．
解：（1）∵A（3，0），C（0，），四边形OABC是矩形，∴B（3，），∵D是BC的中点，∴D（，），∵点P与原点重合，设抛物线的解析式为y＝ax2+bx，
将B（3，），D（，）代入y＝ax2+bx，∴，解得，
∴y＝﹣x2+x，故答案为：y＝﹣x2+x；
（2）∵OM＝OC，∴OM＝，∴M（0，），如图：当P点在O点时，△DFG是等边三角形，当P点在M点时，△DF'G'是等边三角形，∴DF＝DG，DG'＝DF'，∠FDG＝∠G'DF'＝60°，∴∠GDG'＝∠FDF'，∴△DFF'≌△DGG'（SAS），∴FF'＝GG'，当P点与O点重合时，y＝﹣x2+x，令y＝0，则x＝0或x＝，∴E（，0），设直线DE的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x+，∴F（3，）；当P点与M点重合时，设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，将点B（3，），D（，），P（0，）代入，得，解得，∴y＝﹣x2+x+，令y＝0，则﹣x2+x+＝0，解得x＝6或x＝﹣，
∴E（6，0），设直线ED的解析式为y＝k'x+b'，∴，解得，
∴y＝﹣x+，∴F'（3，）；∴FF'＝﹣＝，∴GG'＝，
∴点G的运动路径的长是，故答案为：．
24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（在的左侧)，与轴交于点，顶点为．
(1)请直接写出点的坐标．
(2)如图（1），在轴上找一点，使得的周长最小，求点的坐标；
(3)如图（2），点为抛物线对称轴上的动点，使得为以为底角的等腰三角形 若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
解：（1）在中，令有解得：，，∵在的左侧，∴，，在中，令时，则，∴，∵，∴顶点：；（2）作点关于轴对称的点，连接交轴于点，此时的周长最小，如图：∵，∴．设直线的解析式为，则有，解得：，∴直线的解析式为，
在中，令时，解得，，∴，∴当的周长最小，点的坐标为，（3）存在，设，∵
∴，①当时，如图：∴，解或，∴或②当时．如图：∴，解得，∴综上所述，的坐标为：或或．
25．（12分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，平行于x的直线与抛物线交于点A，B，若△AMB为等腰直角三角形，则抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的“准碗形”，线段AB称为碗宽，点M到线段AB的距离称为碗高．
(1)抛物线y＝x2对应的碗宽为 ；
(2)抛物线y＝ax2（a＞0）对应的碗宽为 ；抛物线y＝a（x﹣2）2+3（a＞0）对应的碗高为 ；
(3)已知抛物线y＝ax2﹣4ax﹣（a＞0）对应的碗高为3．
①求碗顶M的坐标；
②如图2，将“准碗形AMB”绕点M顺时针旋转30°得到“准碗形”．过点作x轴的平行线交准碗形于点C，点P是线段上的动点，过点P作y轴的平行线交准碗形A'MB'于点Q．请直接写出线段PQ长度的最大值．
解：（1）根据碗宽的定义以及等腰直角三角形的性质可以假设B（m，m）．把B（m，m）代入y＝x2，得，解得，m＝2或0（舍去），∴A（﹣2，2），B（2，2），∴AB＝4，即碗宽为4；故答案为：4．（2）类似（1）设B（n，n）,代入y＝a x2，得，解得，n＝或0（舍去），AB＝，即碗宽为；抛物线y＝a（x﹣2）2+3是由抛物线y＝ax2平移得到的，所以，它们的碗宽一样为，根据等腰直角三角形的性质，可知可知碗高是碗宽的一半，即；故答案为：，．（3）①抛物线y＝ax2﹣4ax﹣（a＞0）对应的碗高为3．由（2）可知，解得，，抛物线解析式为，化成顶点式为；则M的坐标为（2，-3）；②如图，作QS⊥BP于S，由旋转可知∠PBO=30°，因为过点P作y轴的平行线交准碗形A'MB'于点Q，∴PQ⊥OB，∴∠QPB=60°，∠PQS=30°，
∴PQ=2PS，，当QS等于碗高时，QS最大，此时PQ长度的最大，
由（2）可知QS最大为3，则，；PQ长度的最大值为．
26.（12分）如图，抛物线y＝ax2＋bx﹣3与x轴交于A(﹣1，0)、B两点，交直线l于点A、C(2，﹣3)．(1)求该抛物线的解析式；
(2)在y轴上是否存在点D，使S△ABD＝S△ABC？若存在，请求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)P是线段AC上的一个动点，过点P做PE∥y轴交抛物线于点E，求线段PE长度的最大值；
(4)点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点G，使得以点A，C，G，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点G的坐标；如果不存在，请说明理由．
解：(1)把A(﹣1，0)、C(2，﹣3)分别代入y＝ax2＋bx﹣3，得．解得．
故该抛物线解析式是y＝x2﹣2x﹣3；
(2)存在，理由如下：∵S△ABD＝S△ABC，C(2，﹣3)，∴AB |yC|＝AB |yD|，即|yC|＝|yD|，∴|yD|＝3，∴yD＝3或yD＝﹣3．∴D(0，3)或(0，﹣3)；
(3)由A(﹣1，0)、C(2，﹣3)得到直线AC解析式为y＝﹣x﹣1．设点P的坐标为(m，﹣m﹣1)(﹣1≤m≤2)，则点E的坐标为(m，m2﹣2m﹣3)，∴PE＝﹣m﹣1﹣(m2﹣2m﹣3)＝﹣m2＋m＋2＝﹣(m﹣)2＋，∵﹣1＜0，∴当m＝时，PE取最大值，最大值为；
(4)存在．理由：如图，设抛物线与y的交点为K，由题意K(0，﹣3)，∵C(2，﹣3)，∴CK∥x轴，CK＝2，当AC是平行四边形ACF1G1的边时，可得G1(﹣3，0)．当AC是平行四边形AF1CG2的对角线时，AG2＝CK，可得G2(1，0)，当点F在x轴的上方时，令y＝3，3＝x2﹣2x﹣3，解得x＝1±，∴F3(1﹣，3)，F4(1＋，3)，由平移的性质可知G3(4﹣，0)，G4(4＋，0)．综上所述，满足条件的点G的坐标为(﹣3，0)或(1，0)或(4﹣，0)或(4＋，0)．