2023-2024学年苏科版九年级数学第十三周周末提优训练（二次函数应用专题）（含解析版）

2023-2024学年苏科版九年级数学第十三周周末提优训练（二次函数应用专题）
（时间：90分钟 满分：120分）
一．选择题(共30分)
1．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为(　　)
A．10 m B．15 m C．20 m D．22.5 m
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
2．为了使居住环境更加美观，某小区建造了一个小型喷泉，水流从地面上的点O喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线落到地面，某方向上抛物线的形状如图所示，落点A到点O的距离为4，水流喷出的高度与水平距离之间近似满足函数关系式，则水流喷出的最大高度为（　　）
A． B． C． D．
3．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示.下列结论：①小球抛出3秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是80m；③小球的高度h＝20时，t＝1s或5s.④小球抛出2秒后的高度是35m.其中正确的有（　　）
A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③
4.如图，二次函数的图象与x轴相交于点A，B，顶点M在矩形的边上移动.若，点B的横坐标的最大值为2.5，则点A的横坐标最小值为（　　）
A．-2 B． C． D．0
5、一位运动员在离篮筐水平距离4m处起跳投篮，球运行路线可看作抛物线，当球离开运动员的水平距离为1m时，它与篮筐同高，球运行中的最大高度为3.5m，最后准确落入篮筐，已知篮筐到地面的距离为3.05m，该运动员投篮出手点距离地面的高度为（　　）
A．1.5 m B．2m C．2.25 m D．2.5 m
第5题图 第6题图 第7题图
6．如图1，在中，，已知点P在直角边AB上，以的速度从点A向点B运动，点Q在直角边BC上，以的速度从点B向点C运动．若点P，Q同时出发，当点P到达点B时，点Q恰好到达点C处．图2是的面积与点P的运动时间之间的函数关系图像（点M为图像的最高点），根据相关信息，计算线段AC的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图1，在矩形ABCD中，点E，F，G分别是边AD，BC，AB的中点，连结EF，，点H是EF上一动点，设FH的长为x，GH与BH长度的和为y．图2是y关于x的函数图象，点P为图象上的最低点，则函数图象的右端点Q的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．如果△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形，他们的边BC，EF在同一条直线l上，点C，E重合，现将△ABC沿着直线l向右移动，直至点B与点F重合时停止移动，在此过程中，设点B移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图像大致为( )
A．B．C．D．
9．如图，四边形是菱形，边长为4，，垂直于的直线从点A出发，沿AD方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线EF与菱形的两边分别交于点E，F（点E在点F的上方），若的面积为y，直线的运动时间为x秒（），则能大致反映y与x的函数关系的图象是（ ）
A．B．C．D．
10、我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），下列结论错误的是（　D　）
A．图象具有对称性，对称轴是直线x＝1
B．当﹣1＜x＜1或x＞3时，函数值y随x值的增大而增大
C．当x＝﹣1或x＝3时，函数最小值是0
D．当x＝1时，函数的最大值是4
二．填空题(30分)
11. 小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，如图所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L是______m.
第11题图 第12题图 第13题图
12、如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即OB的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，水流喷射的最远水平距离OC是_____米．
13、如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y＝﹣x2+x+，则铅球推出的水平距离OA的长是 　 　m．
14、某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 _______ 元（利润＝总销售额﹣总成本）．
15、某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为 　 　元时，才能使每天所获销售利润最大．
16.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1 m宽的门．已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27 m，则能建成的饲养室总占地面积最大为_______m2.
第16题图 第17题图 第18题图
17、定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．如图，直线l：y＝x+b经过点M（0，），一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…Bn（n，yn） （n为正整数），依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0），…An+1（xn+1，0）（n为正整数）．若x1＝d（0＜d＜1），当d为___________时，这组抛物线中存在美丽抛物线．
18. 如图，点A1、A2、A3、…、An在抛物线y=x2图象上，点B1、B2、B3、…、Bn在y轴上，若△A1B0B1、△A2B1B2、…、△AnBn-1Bn都为等腰直角三角形（点B0是坐标原点），则△A2023B2022B2023的腰长=____
19.如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以2的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以4的速度移动（不与点重合）.如果、分别从、同时出发，那么经过_____秒，四边形的面积最小.
20、定义[a，b，c]为函数y＝ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函数的一些结论：①当m＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是（，）；②当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于；③当m＜0时，函数在时，y随x的增大而减小；④当m≠0时，函数图象经过x轴上一个定点．其中正确的结论有　 　．（只需填写序号）
三．解答题(共60分)
21.(8分)如图，排球运动员站在点M处练习发球，将球从M点正上方2 m的A处发出，把球看成点，其运行轨迹呈抛物线形．已知球与M点的水平距离EM为6 m时，高度为2.6 m.
(1)在图中建立恰当的平面直角坐标系，并求出此时抛物线的关系式；
(2)球网BC与点M的水平距离为9 m，高度为2.43 m．球场的边界距M点的水平距离为18 m．该球员判断此次发出的球能顺利过网并不会出界，你认为他的判断对吗？请说明理由．
22．（8分）某超市购进甲、乙两种商品，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元，甲商品箱数是乙商品箱数的倍．
（1）求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？
（2）甲、乙两种商品全部售完后，该超市又购进一批甲商品，在原来每箱盈利额不变的前提下，平均每天可售出100箱．若调整价格，每降价1元，平均每天可多售出20箱，那么当降价多少元时，该超市获得的利润最大？最大利润是多少元？
23、（8分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A、C分别在x轴和y轴上，A（3，0），C（0，）．D是BC的中点，M是线段OC上的点且OM＝OC，点P是线段OM上一个动点，经过P、D、B三点的抛物线交x轴的正半轴于点E，连接DE交AB于点F．
（1）当点P与原点重合时，此时的抛物线解析式是 　 　；
（2）以线段DF为边，在DF所在直线的右上方作等边△DFG，当动点P从点O运动到点M时，点G也随之运动，则点G的运动路径的长是 　 　．
24、（12分）如图，有一位同学在兴趣小组实验中，设计了一个模拟滑雪场地截面图，平台AB（水平）与x轴的距离为6，与y轴交于B点，与滑道AM：y＝交于A，且AB＝2，MN⊥x轴，且MN＝1；一号球从点B飞出沿抛物线L：y＝﹣x2+bx+6运动，落在滑道AM上一点P，测得P到x轴的距离为3．
（1）k的值为 　 　，点P的坐标是 　 　，b＝　 　；
（2）当一号球落到P点后立即弹起，弹起后沿另外一条抛物线G运动，若它的最高点Q的坐标为（8，5）．
①求G的解析式，并说明抛物线G与滑道AM是否还能相交；
②在x轴上有线段NC＝1，若一号球恰好能被NC接住，则NC向上平移距离d的最大值和最小值各是多少？
（3）一号球从点B飞出同时，二号球从点B的上方点H（0，m）飞出，它所运动的路线与抛物线L的形状相同，且二号球始终在一号球的正上方，当一号球与y轴的距离为3，且二号球位于一号球上方超过5的位置时，直接写出m的取值范围．
25．（12分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，平行于x的直线与抛物线交于点A，B，若△AMB为等腰直角三角形，则抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的“准碗形”，线段AB称为碗宽，点M到线段AB的距离称为碗高．
(1)抛物线y＝x2对应的碗宽为 ；
(2)抛物线y＝ax2（a＞0）对应的碗宽为 ；抛物线y＝a（x﹣2）2+3（a＞0）对应的碗高为 ；
(3)已知抛物线y＝ax2﹣4ax﹣（a＞0）对应的碗高为3．
①求碗顶M的坐标；
②如图2，将“准碗形AMB”绕点M顺时针旋转30°得到“准碗形”．过点作x轴的平行线交准碗形于点C，点P是线段上的动点，过点P作y轴的平行线交准碗形A'MB'于点Q．请直接写出线段PQ长度的最大值．
26.（12分）在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax﹣a为抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．
（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为　 　，点A的坐标为　 　，点B的坐标为　 　；
（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；
（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．
教师样卷
一．选择题(共30分)
1．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为(　B　)
A．10 m B．15 m C．20 m D．22.5 m
解: 根据题意知，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点(0，54.0)，(40，46.2)，(20，57.9)，则
解得所以x＝－＝－＝15.故选B.
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
2．为了使居住环境更加美观，某小区建造了一个小型喷泉，水流从地面上的点O喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线落到地面，某方向上抛物线的形状如图所示，落点A到点O的距离为4，水流喷出的高度与水平距离之间近似满足函数关系式，则水流喷出的最大高度为（　A　）
A． B． C． D．
解：由题意得A（4，0），把A（4，0）代入解得，∴，∴水流喷出的最大高度为，故答案为：A
3．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示.下列结论：①小球抛出3秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是80m；③小球的高度h＝20时，t＝1s或5s.④小球抛出2秒后的高度是35m.其中正确的有（　A　）
A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③
解：由图象可知，点（0，0），（6，0），（3，40）在抛物线上，顶点为（3，40），设函数解析式为h＝a（t﹣3）2+40，将（0，0）代入得：0＝a（0﹣3）2+40，解得：a＝ ，
∴h＝ （t﹣3）2+40.①∵顶点为（3，40），∴小球抛出3秒时达到最高点，故①正确；②小球从抛出到落地经过的路程应为该小球从上升到落下的长度，故为40×2＝80m，故②正确；③令h＝20，则20＝ （t﹣3）2+40，解得t＝3± ，故③错误；
④令t＝2，则h＝ （2﹣3）2+40＝ m，故④错误.综上，正确的有①②.故答案为：A.
4．为了使居住环境更加美观，某小区建造了一个小型喷泉，水流从地面上的点O喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线落到地面，某方向上抛物线的形状如图所示，落点A到点O的距离为4，水流喷出的高度与水平距离之间近似满足函数关系式，则水流喷出的最大高度为（　A　）
A． B． C． D．
解：由题意得A（4，0），把A（4，0）代入解得，∴，∴水流喷出的最大高度为，故答案为：A
4.如图，二次函数的图象与x轴相交于点A，B，顶点M在矩形的边上移动.若，点B的横坐标的最大值为2.5，则点A的横坐标最小值为（　C　）
A．-2 B． C． D．0
解：当运动到点上的时候，的横坐标的最大值为2.5，此时B点坐标为，此时点坐标为，，，故此时点坐标为：，当点运动到点时，的横坐标最小，此时的坐标为：，∴点坐标为故答案为：C.
5、一位运动员在离篮筐水平距离4m处起跳投篮，球运行路线可看作抛物线，当球离开运动员的水平距离为1m时，它与篮筐同高，球运行中的最大高度为3.5m，最后准确落入篮筐，已知篮筐到地面的距离为3.05m，该运动员投篮出手点距离地面的高度为（　C　）
A．1.5 m B．2m C．2.25 m D．2.5 m
解：以地面所在的直线为X轴，过抛物线的顶点C垂直于x轴的直线为y轴建立如图所示坐标系：∵抛物线的顶点坐标为（0，3.5），∴可设抛物线的函数关系式为y＝ax2+3.5．∵篮球中心（1.5，3.05）在抛物线上，将它的坐标代入上式，得 3.05＝a×1.52+3.5，∴a＝﹣，∴y＝﹣x2+3.5．当x＝﹣2.5时，y＝﹣×（﹣2.5）2+3.5＝﹣1.25+3.5＝2.25（m），该运动员投篮出手点距离地面的高度为2.25m．故选：C．
第5题图 第6题图 第7题图
6．如图1，在中，，已知点P在直角边AB上，以的速度从点A向点B运动，点Q在直角边BC上，以的速度从点B向点C运动．若点P，Q同时出发，当点P到达点B时，点Q恰好到达点C处．图2是的面积与点P的运动时间之间的函数关系图像（点M为图像的最高点），根据相关信息，计算线段AC的长为（B ）
A． B． C． D．
解：设运动时间，，则，，
在中，，，，则，当时，有最大值为，
解得，即， 根据三角形BPQ的面积与点P的运动时间之间的函数关系可知，抛物线与轴交于和两点，即运动时间是，，在中，，，根据勾股定理可得，故选：B．
7．如图1，在矩形ABCD中，点E，F，G分别是边AD，BC，AB的中点，连结EF，，点H是EF上一动点，设FH的长为x，GH与BH长度的和为y．图2是y关于x的函数图象，点P为图象上的最低点，则函数图象的右端点Q的坐标为（ D ）
A． B． C． D．
解：连接CG交EF于H′，当H运动到H′时y最小，由函数图象知， x=1，即FH=1时y最小，∵在矩形ABCD中，点E，F，G分别是边AD，BC，AB的中点，∴EF∥AB，EF=AB，BF=AE= BC=3，AG=BG，∴CH′=GH′，∴BG=2FH′=2，则AB=4，当H运动到E点时，y最大，此时FH=EF=4，即x=4，连接BE、GE，由勾股定理得：BE= ，GE= ，∴GH+BH=BE+GE=5+ ，即y=5+ ，∴Q点坐标为（4，5+ ），
故选：D．
8．如果△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形，他们的边BC，EF在同一条直线l上，点C，E重合，现将△ABC沿着直线l向右移动，直至点B与点F重合时停止移动，在此过程中，设点B移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图像大致为( A )
A．B．C．D．
解：如图1所示：当0＜x≤2时，过点G作GH⊥BF于H．∵△ABC和△DEF均为等边三角形，∴△GEJ为等边三角形．∴GE＝EJ＝GJ＝x，∠GEJ＝60°，∴GH＝CGsin60°＝EJ＝x，∴y＝EJ GH＝x2，当x＝2时，y＝，且抛物线的开口向上．如图2所示：2＜x≤4时，过点G作GH⊥BF于H．y＝FJ GH＝（4﹣x）2，函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上．故选：A．
9．如图，四边形是菱形，边长为4，，垂直于的直线从点A出发，沿AD方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线EF与菱形的两边分别交于点E，F（点E在点F的上方），若的面积为y，直线的运动时间为x秒（），则能大致反映y与x的函数关系的图象是（ C ）
A．B．C．D．
解：如图1，过点B作BH⊥AB点H， ∵四边形ABCD是菱形四边形，边长为4，∴AB＝AD＝4，∵ ∠A=60°，∴∠ABH＝90°－∠A＝30°，∴AH＝AB＝2，由勾股定理得
．∴．∵ EF⊥AB于点F，∴∠AFE＝90°，
在Rt△AEF中，∠AEF＝90°－∠A＝30°，AF＝x，∴AE＝2AF＝2x，由勾股定理得， ∴， ∴ ，∴当时，
的面积为y＝AF×EF＝． ∵ ，抛物线y＝对称轴为y轴，∴抛物线y＝开口向上，当，y随着x的增大而增大．∴ 当时，此时点EF运动到BH的位置，y有最大值，最大值是y=；当时，如图2，作DG⊥BC于点G，∵ BCAD，∴DG＝EF＝BH＝．的面积为y＝AF×EF＝＝． ∵＝＞0，∴当时，y随着x的增大而增大，∴ 当时，此时EF运动到GD的位置，y有最大值，最大值是y=4，综上所述，y与x的函数关系式为． 根据y与x的函数关系可判断应该选C，故选：C．

10、我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），下列结论错误的是（　D　）
A．图象具有对称性，对称轴是直线x＝1
B．当﹣1＜x＜1或x＞3时，函数值y随x值的增大而增大
C．当x＝﹣1或x＝3时，函数最小值是0
D．当x＝1时，函数的最大值是4
解：观察图象可知，图象具有对称性，对称轴是直线x＝﹣＝﹣＝1，故A正确，不符合题意；令|x2﹣2x﹣3|＝0可得x2﹣2x﹣3＝0，∴（x+1）（x﹣3）＝0，∴x1＝﹣1，x2＝3，∴（﹣1，0）和（3，0）是函数图象与x轴的交点坐标，又对称轴是直线x＝1，∴当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，故B正确，不符合题意；由图象可知（﹣1，0）和（3，0）是函数图象的最低点，则当x＝﹣1或x＝3时，函数最小值是0，故C正确，不符合题意；由图象可知，当x＜﹣1时，函数值随x的减小而增大，当x＞3时，函数值随x的增大而增大，均存在大于顶点坐标的函数值，故当x＝1时的函数值4并非最大值，故D错误，符合题意，故选：D．
二．填空题(30分)
11. 小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，如图所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L是__4.5____m.
解:如图，把y=3.05代入函数，解得：x＝1.5或x＝﹣1.5（舍），则L＝3+1.5＝4.5m.
第11题图 第12题图 第13题图
12、如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即OB的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，水流喷射的最远水平距离OC是___20__米．
解：由题可知：抛物线的顶点为（8，1.8），设水流形成的抛物线为y＝a（x﹣8）2+1.8，将点（0，1）代入可得a＝﹣，∴抛物线为：y＝﹣（x﹣8）2+1.8，当y＝0时，0＝﹣（x﹣8）2+1.8，解得x＝﹣4（舍去）或x＝20，∴水流喷射的最远水平距离OC是20米，
13、如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y＝﹣x2+x+，则铅球推出的水平距离OA的长是 　 10 　m．
解：∵y＝﹣x2+x+，∴当y＝0时，0＝﹣x2+x+，解得x1＝﹣2，x2＝10，
∴OA＝10m，故答案为：10．
14、某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 121 元（利润＝总销售额﹣总成本）．
解：当10≤x≤20时，设y＝kx+b，把（10，20），（20，10）代入可得：
，解得，∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为y＝﹣x+30，设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，w＝（x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣x+30）＝﹣x2+38x﹣240＝﹣（x﹣19）2+121，∵﹣1＜0，∴当x＝19时，w有最大值为121，故答案为：121．
15、某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为 　 11 　元时，才能使每天所获销售利润最大．
解：设销售单价定为x元（x≥9），每天所获利润为y元，则y＝[20﹣4（x﹣9）] （x﹣8）
＝﹣4x2+88x﹣448＝﹣4（x﹣11）2+36，所以将销售定价定为11元时，才能使每天所获销售利润最大，故答案为11．
16.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1 m宽的门．已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27 m，则能建成的饲养室总占地面积最大为75m2.
解：设垂直于墙的材料长为x(m)，则平行于墙的材料长为27＋3－3x＝(30－3x)m，故总面积S＝x(30－3x)＝－3x2＋30x＝－3(x－5)2＋75，故饲养室的最大面积为75 m2.
第16题图 第17题图 第18题图
17、定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．如图，直线l：y＝x+b经过点M（0，），一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…Bn（n，yn） （n为正整数），依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0），…An+1（xn+1，0）（n为正整数）．若x1＝d（0＜d＜1），当d为_____或________时，这组抛物线中存在美丽抛物线．
解：直线l：y＝x+b经过点M（0，），则b＝；∴直线l：y＝x+．由抛物线的对称性知：抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的直角三角形必为等腰直角三角形；∴该等腰三角形的高等于斜边的一半．∵0＜d＜1，∴该等腰直角三角形的斜边长小于2，斜边上的高小于1（即抛物线的顶点纵坐标小于1）；∵当x＝1时，y1＝×1+＝＜1，当x＝2时，y2＝×2+＝＜1，当x＝3时，y3＝×3+＝＞1，∴美丽抛物线的顶点只有B1、B2．①若B1为顶点，由B1（1，），则d＝1﹣＝；②若B2为顶点，由B2（2，），则d＝1﹣[（2﹣）﹣1]＝，综上d的值为或时，存在美丽抛物线．
18. 如图，点A1、A2、A3、…、An在抛物线y=x2图象上，点B1、B2、B3、…、Bn在y轴上，若△A1B0B1、△A2B1B2、…、△AnBn-1Bn都为等腰直角三角形（点B0是坐标原点），则△A2023B2022B2023的腰长=_2023___
解：作A1C⊥y轴，A2E⊥y轴，垂足分别为C、E．∵△A1BOB1、△A2B1B2都是等腰直角三角形∴B1C=B0C=DB0=A1D，B2E=B1E=A2E∴设A1（a，a）将其代入解析式y=x2得：∴a=a2解得：a=0（不符合题意）或a=1，由勾股定理得：A1B0=同理可以求得：A2B1=2A3B2=3A4B3=4∴A2023B2022=2023∴△A2023B2022B2023的腰长为：2023故答案为2023
19.如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以2的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以4的速度移动（不与点重合）.如果、分别从、同时出发，那么经过__3____秒，四边形的面积最小.
解：设P、Q同时出发后经过的时间为ts，四边形APQC的面积为Scm2，则有：
S=S△ABC-S△PBQ=×12×6-（6-t）×2t=t2-6t+36=（t-3）2+27．∴当t=3s时，S取得最小值．故填：3．
20、定义[a，b，c]为函数y＝ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函数的一些结论：①当m＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是（，）；②当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于；③当m＜0时，函数在时，y随x的增大而减小；④当m≠0时，函数图象经过x轴上一个定点．其中正确的结论有　①②④ 　．（只需填写序号）
解：因为函数y＝ax2+bx+c的特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]； ①当m＝﹣3时，y＝﹣6x2+4x+2＝﹣6（x﹣）2+，顶点坐标是（，）；此结论正确；②当m＞0时，令y＝0，有2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）＝0，解得x＝，x1＝1，x2＝﹣﹣，
|x2﹣x1|＝+＞，所以当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于，此结论正确；③当m＜0时，y＝2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m） 是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：，在对称轴的右边y随x的增大而减小．因为当m＜0时，＝﹣＞，即对称轴在x＝右边，因此函数在x＝右边先递增到对称轴位置，再递减，此结论错误；
④当x＝1时，y＝2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）＝2m+（1﹣m）+（﹣1﹣m）＝0 即对任意m，函数图象都经过点（1，0）那么同样的：当m＝0时，函数图象都经过同一个点（1，0），当m≠0时，函数图象经过同一个点（1，0），故当m≠0时，函数图象经过x轴上一个定点此结论正确．根据上面的分析，①②④都是正确的，③是错误的．
故答案为：①②④．
三．解答题(共60分)
21.(8分)如图，排球运动员站在点M处练习发球，将球从M点正上方2 m的A处发出，把球看成点，其运行轨迹呈抛物线形．已知球与M点的水平距离EM为6 m时，高度为2.6 m.
(1)在图中建立恰当的平面直角坐标系，并求出此时抛物线的关系式；
(2)球网BC与点M的水平距离为9 m，高度为2.43 m．球场的边界距M点的水平距离为18 m．该球员判断此次发出的球能顺利过网并不会出界，你认为他的判断对吗？请说明理由．
解：(1)如图，以点M为坐标原点，建立平面直角坐标系，则点A，E，D的坐标分别为(0，2)，(6，0)，(6，2.6)．
由题意知抛物线的顶点为(6，2.6)，∴设抛物线的关系式为y＝a(x－6)2＋2.6.将点A(0，2)的坐标代入，得2＝36a＋2.6，∴a＝－，故此时抛物线的关系式为y＝－(x－6)2＋2.6.
(2)该球员的判断不对．理由如下：当x＝9时，y＝-(9－6)2＋2.6＝2.45＞2.43，∴球能过网；当y＝0时，－(x－6)2＋2.6＝0，解得x1＝6＋2，x2＝6－2(舍)．∵6＋2≈18.5>18，故球会出界．
22．（8分）某超市购进甲、乙两种商品，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元，甲商品箱数是乙商品箱数的倍．
（1）求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？
（2）甲、乙两种商品全部售完后，该超市又购进一批甲商品，在原来每箱盈利额不变的前提下，平均每天可售出100箱．若调整价格，每降价1元，平均每天可多售出20箱，那么当降价多少元时，该超市获得的利润最大？最大利润是多少元？
解：（1）设甲种商品每箱盈利x元，则乙种商品每箱盈利（x 5）元，根据题意得：，解得：x＝15，经检验，x＝15是原分式方程的解，符合实际，∴x 5＝15 5＝10（元）答：甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元；
（2）设甲种商品降价a元，则每天可多卖出20a箱，利润为w元，由题意得：w＝（15 a）（100＋20a）＝ 20a2＋200a＋1500＝ 20（a 5）2＋2000，∵ 20＜0，∴当a＝5时，函数有最大值，最大值是2000元，答：当降价5元时，该商场利润最大，最大利润是2000元．
23、（8分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A、C分别在x轴和y轴上，A（3，0），C（0，）．D是BC的中点，M是线段OC上的点且OM＝OC，点P是线段OM上一个动点，经过P、D、B三点的抛物线交x轴的正半轴于点E，连接DE交AB于点F．
（1）当点P与原点重合时，此时的抛物线解析式是 　 　；
（2）以线段DF为边，在DF所在直线的右上方作等边△DFG，当动点P从点O运动到点M时，点G也随之运动，则点G的运动路径的长是 　 　．
解：（1）∵A（3，0），C（0，），四边形OABC是矩形，∴B（3，），∵D是BC的中点，∴D（，），∵点P与原点重合，设抛物线的解析式为y＝ax2+bx，
将B（3，），D（，）代入y＝ax2+bx，∴，解得，
∴y＝﹣x2+x，故答案为：y＝﹣x2+x；
（2）∵OM＝OC，∴OM＝，∴M（0，），如图：当P点在O点时，△DFG是等边三角形，当P点在M点时，△DF'G'是等边三角形，∴DF＝DG，DG'＝DF'，∠FDG＝∠G'DF'＝60°，∴∠GDG'＝∠FDF'，∴△DFF'≌△DGG'（SAS），∴FF'＝GG'，当P点与O点重合时，y＝﹣x2+x，令y＝0，则x＝0或x＝，∴E（，0），设直线DE的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x+，∴F（3，）；当P点与M点重合时，设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，将点B（3，），D（，），P（0，）代入，得，解得，∴y＝﹣x2+x+，令y＝0，则﹣x2+x+＝0，解得x＝6或x＝﹣，
∴E（6，0），设直线ED的解析式为y＝k'x+b'，∴，解得，
∴y＝﹣x+，∴F'（3，）；∴FF'＝﹣＝，∴GG'＝，
∴点G的运动路径的长是，故答案为：．
24、（12分）如图，有一位同学在兴趣小组实验中，设计了一个模拟滑雪场地截面图，平台AB（水平）与x轴的距离为6，与y轴交于B点，与滑道AM：y＝交于A，且AB＝2，MN⊥x轴，且MN＝1；一号球从点B飞出沿抛物线L：y＝﹣x2+bx+6运动，落在滑道AM上一点P，测得P到x轴的距离为3．
（1）k的值为 　 　，点P的坐标是 　 　，b＝　 　；
（2）当一号球落到P点后立即弹起，弹起后沿另外一条抛物线G运动，若它的最高点Q的坐标为（8，5）．
①求G的解析式，并说明抛物线G与滑道AM是否还能相交；
②在x轴上有线段NC＝1，若一号球恰好能被NC接住，则NC向上平移距离d的最大值和最小值各是多少？
（3）一号球从点B飞出同时，二号球从点B的上方点H（0，m）飞出，它所运动的路线与抛物线L的形状相同，且二号球始终在一号球的正上方，当一号球与y轴的距离为3，且二号球位于一号球上方超过5的位置时，直接写出m的取值范围．
解：（1）∵平台AB（水平）与x轴的距离为6，AB＝2，∴A（2，6）．∴6＝．∴k＝12．
∴y＝．当y＝3时，x＝＝4．∴P（4，3）．将P（4，3）代入y＝﹣x2+bx+6得：﹣16+4b+6＝3．解得：b＝．故答案为：12；（4，3）；；
（2）①抛物线G与滑道AM不能再相交．理由：设抛物线G的解析式为y＝a（x﹣8）2+5，∵点P（4，3）在抛物线G上，∴a（4﹣8）2+5＝3．解得：a＝﹣．∴抛物线G的解析式为y＝﹣+5＝+2x﹣3．∵MN＝1，∴当y＝1时，1＝．∴x＝12．∴M（12，1），N（12，0）．∵当x＝12时，y＝﹣×144+2×12﹣3＝3＞1，∴抛物线G与滑道AM之间除点P外再无交点．∴抛物线G与滑道AM不能再相交．
②∵NC＝1，∴C（13，0）．当x＝13时，y＝﹣+2×13﹣3＝．若一号球恰好能被点N接住，∵抛物线G上有点（12，3），∴则NC向上平移距离d＝3；若一号球恰好能被点C接住，∵抛物线G上有点（13，），∴则NC向上平移距离d＝；∴NC向上平移距离d的最大值为3，最小值为；
（3）∵二号球从点B的上方点H（0，m）飞出，它所运动的路线与抛物线L的形状相同，
∴二号球运动的路线的抛物线解析式为y＝＝﹣x2+x+m．∵一号球与y轴的距离为3，
∴一号球经过点（3，）．∵当一号球与y轴的距离为3，且二号球位于一号球上方超过5的位置，∴﹣32+3×+m﹣＞5．∴m＞11．
25、（12分）若抛物线M：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与直线m：y＝ax+b满足（a+b）2＝4ac，则称抛物线M与直线m具有“至青”关系．此时，直线m叫做抛物线M的“至善线”，抛物线M叫做直线m的“青一线”．
（1）下列各组抛物线与直线中，不具有“至青”关系的是 　 　（只填序号）；
①y＝3x2+2x+2与y＝3x+2； ②y＝x2﹣x与y＝x﹣1； ③y＝x2+1与y＝x+1
（2）若抛物线y＝ax2+x+c的“至善线”与反比例函数的图象只有一个交点，求c的值；
（3）已知“青一线”y＝ax2+bx+c（a＞0）与它的“至善线”交于点P，与直线y＝ax+2a+b交于A、B两点，记△ABP的面积为S，试问：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
解：（1）①中a＝3，b＝2，c＝2，∴（a+b）2＝25，4ac＝24，∵25≠24，∴①符合题意；
②中a＝1，b＝﹣1，c＝0，∴（a+b）2＝0，4ac＝0，∵0＝0，∴②不符合题意；
③中a＝1，b＝0，c＝1，∴（a+b）2＝1，4ac＝0，∵0≠1，∴③符合题意；答案为：①③；
（2）∵抛物线y＝ax2+x+c的“至善线”为直线y＝ax+1，∴（1+a）2＝4ac，即c＝．
∵直线y＝ax+1与反比例函数的图象只有一个交点，∴联立直线y＝ax+1与反比例函数的方程只有一个解，令ax+1＝﹣，整理得ax2+x+4c＝0，把c＝代入得，ax2+x+＝0，∴12﹣4a ＝0，解得a＝﹣或a＝﹣．∴c＝﹣或c＝﹣．
（3）是定值，理由如下：根据题意画出如下图象，过点P作x轴的垂线交直线AB于点Q，
∵“青一线”y＝ax2+bx+c（a＞0）与直线y＝ax+2a+b交于A、B两点，∴令ax2+bx+c＝ax+2a+b，
整理得ax2+（b﹣a）x+（c﹣2a﹣b）＝0，∴xA﹣xB＝﹣，xA xB＝．
∴|xA﹣xB|＝＝．∵（a+b）2＝4ac，∴|xA﹣xB|＝2，∵y＝ax+2a+b可以看作由y＝ax+b向上移动2a个单位得到，∴PQ＝2a，
∴S＝PQ |xA﹣xB|＝2a，∴＝2，∴的值是定值，该定值为2．
26．（12分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，平行于x的直线与抛物线交于点A，B，若△AMB为等腰直角三角形，则抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的“准碗形”，线段AB称为碗宽，点M到线段AB的距离称为碗高．
(1)抛物线y＝x2对应的碗宽为 ；
(2)抛物线y＝ax2（a＞0）对应的碗宽为 ；抛物线y＝a（x﹣2）2+3（a＞0）对应的碗高为 ；
(3)已知抛物线y＝ax2﹣4ax﹣（a＞0）对应的碗高为3．
①求碗顶M的坐标；
②如图2，将“准碗形AMB”绕点M顺时针旋转30°得到“准碗形”．过点作x轴的平行线交准碗形于点C，点P是线段上的动点，过点P作y轴的平行线交准碗形A'MB'于点Q．请直接写出线段PQ长度的最大值．
解：（1）根据碗宽的定义以及等腰直角三角形的性质可以假设B（m，m）．把B（m，m）代入y＝x2，得，解得，m＝2或0（舍去），∴A（﹣2，2），B（2，2），∴AB＝4，即碗宽为4；故答案为：4．（2）类似（1）设B（n，n）,代入y＝a x2，得，解得，n＝或0（舍去），AB＝，即碗宽为；抛物线y＝a（x﹣2）2+3是由抛物线y＝ax2平移得到的，所以，它们的碗宽一样为，根据等腰直角三角形的性质，可知可知碗高是碗宽的一半，即；故答案为：，．（3）①抛物线y＝ax2﹣4ax﹣（a＞0）对应的碗高为3．由（2）可知，解得，，抛物线解析式为，化成顶点式为；则M的坐标为（2，-3）；②如图，作QS⊥BP于S，由旋转可知∠PBO=30°，因为过点P作y轴的平行线交准碗形A'MB'于点Q，∴PQ⊥OB，∴∠QPB=60°，∠PQS=30°，
∴PQ=2PS，，当QS等于碗高时，QS最大，此时PQ长度的最大，
由（2）可知QS最大为3，则，；PQ长度的最大值为．
26.（12分）在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax﹣a为抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．
（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为　 　，点A的坐标为　 　，点B的坐标为　 　；
（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；
（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵抛物线y=﹣x2﹣x+2，∴其梦想直线的解析式为y=﹣x+，
联立梦想直线与抛物线解析式可得，解得或，
∴A（﹣2，2），B（1，0），故答案为：y=﹣x+；（﹣2，2）；（1，0）；
（2）如图1，过A作AD⊥y轴于点D在y=﹣x2﹣x+2中，令y=0可求得x=﹣3或x=1，∴C（﹣3，0），且A（﹣2，2），∴AC==，由翻折的性质可知AN=AC=，∵△AMN为梦想三角形，∴N点在y轴上，且AD=2，
在Rt△AND中，由勾股定理可得DN===3，∵OD=2，∴ON=2﹣3或ON=2+3，∴N点坐标为（0，2﹣3）或（0，2+3）；
（3）①当AC为平行四边形的边时，如图2，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，则有AC∥EF且AC=EF，∴∠ACK=∠EFH，在△ACK和△EFH中
∴△ACK≌△EFH（AAS），∴FH=CK=1，HE=AK=2，∵抛物线对称轴为x=﹣1，∴F点的横坐标为0或﹣2，∵点F在直线AB上，∴当F点横坐标为0时，则F（0，），此时点E在直线AB下方，∴E到y轴的距离为EH﹣OF=2﹣=，即E点纵坐标为﹣，
∴E（﹣1，﹣）；当F点的横坐标为﹣2时，则F与A重合，不合题意，舍去；②当AC为平行四边形的对角线时，∵C（﹣3，0），且A（﹣2，2），∴线段AC的中点坐标为（﹣2.5，），设E（﹣1，t），F（x，y），则x﹣1=2×（﹣2.5），y+t=2，
∴x=﹣4，y=2﹣t，代入直线AB解析式可得2﹣t=﹣×（﹣4）+，解得t=﹣，∴E（﹣1，﹣），F（﹣4，）；综上可知存在满足条件的点F，此时E（﹣1，﹣）、F（0，）或E（﹣1，﹣）、F（﹣4，）．