人教版2023年七年级上册第3章《一元一次方程》单元测试卷 含解析

人教版2023年七年级上册第3章《一元一次方程》单元测试卷
一、选择题（共30分）
1．下列方程属于一元一次方程的是( )
A．＝4 B．3x﹣2y＝1 C．1﹣x2＝0 D．3x＝4
2．x＝5是下列哪个方程的解（　　）
A．x+5＝0 B．3x﹣2＝12+x
C．x﹣x＝6 D．1700+150x＝2450
3．下列说法正确的是（ ）
A．等式两边都除以a，得
B．等式两边都除以，得
C．等式两边都除以a，得
D．等式两边都除以2，得
4．方程去分母后可得（　　）
A．3x-3=1+2x B．3x-9=1+2x
C．3x-3=2+2x D．3x-12=2+4x
5．若x=2是关于x的一元一次方程ax－2=b的解，则3b－6a+2的值是( ).
A．－8 B．－4 C．8 D．4
6．方程中小数化为整数，可变形为（ ）
A． B．
C． D．
7．《九章算术》中有一道“盈不足术”的问题：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元：每人出7元，还差4元，问共有几人？设共有x人，所列方程正确的是（ ）
A．8x﹣3＝7x＋4 B．8x＋3＝7x﹣4 C．8x﹣4＝7x＋3 D．3﹣8x＝4＋7x
8．一件商品提价后，发现销路不好，欲恢复原价，则应降价（ ）
A． B． C． D．
9．已知关于x的一元一次方程x+3＝2x+b的解为x＝﹣3，那么关于y的一元一次方程（y+1）+3＝2（y+1）+b的解为（　　）
A．y＝1 B．y＝﹣1 C．y＝﹣3 D．y＝﹣4
10．如图是某年的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置的9个数（如3，4，5，10，11，12，17，18，19）．若用这样的矩形圈圈这张日历表的9个数，则圈出的9个数的和不可能为下列数中的（　　）
A．81 B．90 C．108 D．216
二、填空题（共15分）
11．若是关于x的一元一次方程，则a的值为 ．
12．当 时，代数式与的值相反．
13．方程与关于x的方程的解相同，则m的值为 ．
14．一艘轮船往返于甲、乙两个港口，逆水航行需5小时，顺水航行需4小时，已知水流速度为，若设船在静水中的平均速度为，则可列方程为 ．
15．若关于x的方程无解，则a= ．
三、解答题（共55分）
16．（6分）解一元一次方程：
(1)；
(2)
17．（6分）若式子的值比式子的值大1，求x的值．
18．（6分）某工厂需要生产一批太空漫步器（如图），每套设备由一个支架和两套脚踏板组装而成；工厂现共有45名工人，每人每天平均生产60个支架或96套脚踏板，应如何分配工人才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套？每天生产多少套太空漫步器？
19．（6分）一项工作，如果由甲单独做，需小时完成；如果由乙单独做．需要5小时完成．如果让甲、乙两人一起做1小时，再由乙单独完成剩余部分，还需多长时间完成？
20．（6分）为了丰富学生的误余生活，39中学组织七年级学生成立了校园合唱队．其中七年一班有8名同学参加了合唱队，是七年二班参加合唱队人数的，是合唱队总人数的；七年三班参加合唱队的人数比七年二班参加合唱队的人数的还多3人．七年三班参加合唱队的女生人数占合唱队全体女生人数的，七年三班参加合唱队的男生人数比合唱队全体男生人数的少4人．
(1)合唱队的总人数是多少人？
(2)七年三班参加合唱队的人数比七年一班参加合唱队的人数少几分之几？
(3)在一次表演中，合唱队的全体同学每人手持一个花球，女生头上佩戴头饰．如果每个花球3.2元，每个头饰0.8元，那么花球和头饰一共要花费多少元？
21．（8分）你知道为什么任何无限循环小数都可以写成分数形式吗？下面的解答过程会告诉你原因和方法．
(1)阅读下列材料：
问题：利用一元一次方程将化成分数．
解：设．
方程两边都乘以10，可得．
由，可知，
即7＋x＝10x．（请你体会将方程两边都乘以10起到的作用）
可解得，即．
填空：将写成分数形式为______．
(2)请你仿照上述方法把下列两个小数化成分数，要求写出利用一元一次方程进行解答的过程：
① ②
22．（8分）高山服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价400元，领带每条定价80元．厂家在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：①买一套西装送一条领带；②西装和领带定价打九折付款．现有某客户要到该服装厂购买西装60套，领带x条（x＞60）．
(1)若该客户分别按两种优惠方案购买，需付款各多少元（用含x的式子表示）；
(2)若该客户购买领带70条，请通过计算说明按哪种方案购买较为合算；
(3)请通过计算说明什么情况下客户分别选择方案①和方案②购买较为合算．
23．（9分）如图，在数轴上点表示的数是3，点位于点的左侧，与点的距离是8个单位长度．

(1)求点表示的数，并在数轴上将点表示出来；
(2)若点到点的距离是到点距离的2倍，求点对应的数；
(3)动点从点出发，沿着数轴以每秒4个单位长度的速度向点运动，同时，点从点出发，沿着数轴以每秒2个单位长度的速度向点运动，当其中一点先到达终点时，另一点继续运动．求点与点到原点的距离相等时，点在数轴上对应的数．
参考答案
1．D
【分析】定义：在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的整式方程叫一元一次方程.注：主要用于判断一个等式是不是一元一次方程.
【详解】A、等式左边不是整式，故不是一元一次方程；
B、含有两个未知数，故不是一元一次方程；
C、未知项的最高次数为2，不是一元一次方程；
D、符合一元一次方程的定义；
故选D．
【点睛】熟记一元一次方程的定义是解题关键.
2．D
【分析】依次解各个选项中的方程，找出解为x=5的选项即可．
【详解】A．解方程x+5=0得：x=-5，A项错误，
B．解方程3x-2=12+x得：x=7，B项错误，
C．解方程x-x=6得：x=，C项错误，
D．解方程1700+150x=2450得：x=5，D项正确，
故选D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，正确掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
3．B
【分析】A和B选项可根据等式两边同时除以一个不为0的数，等式依然成立来进行判断；
C和D选项可根据等式两边同时除以一个不为0的数时，等式两边的每一项都要除以这个数来进行计算判断.
【详解】A项a可能为0，故错误；
B项，等式a=b两边除以，可得，故正确；
C项，在等式两边都除以a，可得，故错误；
D项，在等式2x=2a-b两边都除以2，可得x=a-b，故错误.
故选B.
【点睛】此题考查等式的基本性质，解题关键在于掌握运算法则.
4．B
【分析】根据等式性质2，方程两边乘以6去分母得到结果，即可做出判断．
【详解】解: 方程两边同时乘以6，得3x-9=1+2x，所以B选项正确.
故选B.
【点睛】本题考查解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．
5．B
【分析】根据已知条件与两个方程的关系，可知2a- 2= b，即可求出3b-6a的值，整体代入求值即可．
【详解】把x=2代入ax－2=b，得2a- 2= b．
所以3b-6a=-6．
所以，3b－6a+2=-6+2=-4.
故选B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
6．D
【分析】根据分数的基本性质，给分子、分母同乘以10化简即可.
【详解】∵，
∴,
即，
故选D
【点睛】本题考查了解一元一次方程，根据分数的基本性质给分子、分母同乘以10将方程化简是解答本题的关键.
7．A
【分析】设共有x人，根据该物品的价格不变，即可得出关于x的一元一次方程．
【详解】解：设共有x人，
根据题意得：8x-3=7x+4，
故选：A．
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是理解题意，确定相等关系，并据此列出方程．
8．B
【分析】设应降价率为x，不妨把原价看做单位“1”．则提价25%后为1+25%，再降价率为x后价格为（1+25%）（1-x）．欲恢复原价，可得关于x的方程式，求解可得答案．
【详解】设应降价率为x，不妨把原价看做单位“1”.
则提价25%后为1+25%,再降价率为x后价格为(1+25%)(1 x).
欲恢复原价,则可列方程为(1+25%)(1 x)=1，
解得x=20%.
故选B.
【点睛】此题考查一元一次方程的应用，解题关键在于列出方程.
9．D
【分析】根据换元法得出，进而解答即可．
【详解】解：∵关于x的一元一次方程x+3＝2x+b的解为x＝﹣3，
∴关于的方程（y+1）+3＝2（y+1）+b的解为，
解得：，
故选D．
【点睛】此题考查一元一次方程的解，熟练掌握换元法是解题的关键．
10．D
【分析】设中间的数为x, 表示出其他8个数, 根据圈出的9个数的和为9x, 根据题意分别列出方程, 进而求解即可.
【详解】解：设中间的数为x,则左右两边数为x-1,x+1,上行邻数为(x-7),下行邻数为(x+7),左右上角邻数为(x-8),(x-6),左右下角邻数为(x+6),(x+8),根据题意得
x+x-1+x+1+x-7+x+7+x-8+x-6+x+6+x+8=9x
如果9x=81, 那么x=9, 不符合题意;
如果9x=90,那么x=10,不符合题意;
如果9x=108, 那么=12, 不符合题意;
如果9x=216, 那么x=24, 此时最大数x+8=32, 不是日历表上的数, 符合题意;
故选:D.
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，根据已知条件列出方程是解题的关键.
11．1
【分析】本题考查了一元一次方程的定义，能根据一元一次方程的定义得出是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1的整式方程叫一元一次方程．
根据一元一次方程的定义得出，再求出a即可．
【详解】解：是关于x的一元一次方程，
，
．
故答案为：1．
12．4
【分析】根据相反数的概念求解即可．相反数定义：只有符号不同的两个数互为相反数。
【详解】解：∵与的值相反，
∴，
，
．
故答案为：4．
【点睛】此题考查了相反数的概念，解题的关键是熟练掌握相反数的概念．相反数定义：只有符号不同的两个数互为相反数。
13．
【分析】先解方程得，根据同解方程的定义把代入得到关于的一元一次方程，求解即可．
【详解】解：∵，
解得：，
∵方程与关于x的方程的解相同，
把代入得：，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查同解方程：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程．掌握同解方程的定义是解题的关键．也考查了解一元一次方程．
14．
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设轮船在静水中的航行速度为，则轮船顺水航行的速度为，轮船逆水航行的速度为，由路程速度时间结合甲、乙两个港口之间距离不变，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：设轮船在静水中的航行速度为，则轮船顺水航行的速度为，轮船逆水航行的速度为，
依题意，得：．
故答案为：．
15．-2
【分析】方程整理成ax=b的形式，当a=0时，b≠0，一次方程无解．
【详解】解：-2（x-a）=ax+3，
去括号得：-2x+2a-ax=3，
移项合并得：-（2+a）x=3-2a，
因为方程无解，
所以2+a=0且3-2a≠0，
解得a=-2，
故答案为：-2．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，掌握一元一次方程无解的条件是解答本题的关键．
16．(1)
(2)
【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键．
（1）利用移项，合并同类项解方程即可．
（2）利用去分母法解方程即可．
【详解】（1）
移项，得，
合并，得
系数化为1，得．
（2）
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并，得，
系数化为1，得．
17．
【分析】本题主要考查了解一元一次方程；解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法，准确计算．
【详解】解：由题意，得：，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
解得：．
18．安排20人生产支架，25人生产脚踏板正好配套，每天生产1200套太空漫步器
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．设安排x人生产支架，则安排人生产脚踏板，根据“每人每天平均生产60个支架或96套脚踏板”，即可求解．
【详解】解：设安排x人生产支架，则安排人生产脚踏板，由题意，得
，
解得，
（套），（人）．
答：安排20人生产支架，25人生产脚踏板正好配套，每天生产1200套太空漫步器．
19．让甲、乙两人一起做1小时，再由乙单独完成剩余部分，还需小时完成
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，根据工作效率工作总量工作时间列出方程求解是解题的关键．
【详解】解：设让甲、乙两人一起做1小时，再由乙单独完成剩余部分，还需x小时完成，
由题意得，，
解得，
答：让甲、乙两人一起做1小时，再由乙单独完成剩余部分，还需小时完成．
20．(1)128人
(2)少
(3)元
【分析】本题考查了分数的四则混合运算的应用、方程的应用，正确列出算式和建立方程是解题关键．
（1）利用七年一班参加合唱队人数除以即可得；
（2）先求出七年二班参加合唱队的人数，再求出七年三班参加合唱队的人数，由此即可得；
（3）设合唱队全体女生人数为人，则合唱队全体男生人数为人，建立方程可求出的值，再根据花球和头饰的价格列式计算即可得．
【详解】（1）解：（人），
答：合唱队的总人数是128人．
（2）解：七年二班参加合唱队的人数为（人），
则七年三班参加合唱队的人数为（人），
所以，
答：七年三班参加合唱队的人数比七年一班参加合唱队的人数少．
（3）解：设合唱队全体女生人数为人，则合唱队全体男生人数为人，
由题意得：，
解得，
则合唱队全体女生人数为80人，
所以（元），
答：花球和头饰一共要花费元．
21．(1)
(2)①②
【分析】本题考查了无限循环小数转化为分数的运用，运用一元一次方程解实际问题的运用．
（1）根据阅读材料设，方程两边都乘以10，转化为，求出其解即可；
（2）①设，程两边都乘以100，转化为，求出其解即可．②设，就可以得到，就有，就有，求出其解即可．
【详解】（1）设，
方程两边都乘以10得：，
∴．
故答案为：；
（2）①设，方程两边都乘以100，可得.
由，可知，
即7，
解得，
即．
②设，则，
∴，
∴，
解得，
22．(1)第一种方案：．第二种方案：；
(2)按方案一购买较合算，理由见详解．
(3)当领带条数时，选择方案一更合适；当领带条数时，选择方案一和方案二一样；当领带条数时，选择方案二更合适．理由见详解．
【分析】本题考查列代数式、代数式求值；
（1）根据题意可以分别用含的代数式表示出两种付款的金额；
（2）将分别代入（1）中的代数式，然后比较大小，即可解答本题；
（3）由题意得：，，求得，然后分类讨论即可．
【详解】（1）第一种方案：．
第二种方案：；
（2）当时，方案一：（元
方案二：（元
因为，
所以，按方案一购买较合算．
（3）由题意得：，
解得：
当领带条数时，选择方案一更合适；
当领带条数时，选择方案一和方案二一样；
当领带条数时，选择方案二更合适．
23．(1)点表示的数是，数轴表示见解析
(2)或
(3)1或或
【分析】此题重点考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题、数轴上的动点问题的求解等知识与方法，正确地用代数式表示点和点所对应的数是解题的关键；
（1）由算式求得点表示的数是 ，在数轴上表示出点即可；
（2）设点对应的数为，根据点到点的距离是到点距离的2倍，列方程计算即可；
（3）分为当点与点未相遇之前，当点与点相遇时，当点停止运动后，三种情况根据点与点到原点的距离相等求解即可；
【详解】（1）点表示的数是3，点位于点的左侧，与点的距离是8个单位长度，
点表示的数是；

（2）设点对应的数为，
点到点的距离是到点距离的2倍，
，
或，
或；
（3）根据题意，设运动时间为秒，则点表示的数是，点表示的数是，
，点从点出发到点需要时间为：秒，
当点与点未相遇之前，
则，
解得秒，
点在数轴上对应的数为：；
当点与点相遇时，
则，
解得秒，
点在数轴上对应的数为：；
当点停止运动后，点与点到原点的距离相等时，
点在数轴上对应的数为：；
∴点在数轴上对应的数为1或或．