为什么y＝±x是双曲线－＝1的渐近线
1．双曲线的渐近线的定义
若存在一条直线l，使得曲线C趋向无穷远处时与直线l越来越近，则称直线l为曲线C的渐近线．
2．双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的探讨
当x>0，y>0时，由－＝1得y＝b＝x，
当x→＋∞时，→1，故猜测在第一象限内，x→＋∞时双曲线无限地接近于直线y＝x.
3．在第一象限内，如何证明直线l：y＝x是双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线？
如图所示，过M作MQ⊥l于Q，过M作PM⊥x轴交l于点P，
则|PM|≥|QM|.设M点的坐标为(xM，yM)，则yM＝，yP＝xM.
所以|PM|＝yP－yM＝(xM－)＝.
当xM→＋∞时，xM＋→＋∞，所以|PM|→0，
即点M到直线l的距离|QM|→0，
故在第一象限内，直线l为双曲线的渐近线．
根据双曲线的对称性，y＝±x是双曲线－＝1的渐近线．
4．共渐近线的双曲线方程的探索
(1)与双曲线－＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程是－＝λ(λ≠0)，当λ>0时，其焦点在x轴上；当λ<0时，其焦点在y轴上．
(2)方程－＝λ(λ≠0)中，令λ＝0得双曲线－＝λ(λ≠0)的渐近线方程是±＝0，即y＝±x.
【典例】 (1)如图所示，已知F1，F2为双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°，则双曲线的渐近线方程为________．
(2)(2022·全国甲卷)若双曲线y2－＝1(m＞0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝________．
(1)y＝±x (2) [(1)设F2(c，0)(c>0)，P(c，y0)，
则－＝1，解得y0＝±.
∴|PF2|＝.
在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30°，
则|PF1|＝2|PF2|. ①
由双曲线的定义，得
|PF1|－|PF2|＝2a. ②
由①②得|PF2|＝2a.
∵|PF2|＝，∴2a＝，即b2＝2a2.
∴＝.
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.
(2)双曲线y2－＝1(m＞0)的渐近线为y＝±，即x±my＝0，
不妨取x＋my＝0，圆x2＋y2－4y＋3＝0，即x2＋(y－2)2＝1，所以圆心为(0，2)，半径r＝1，
依题意圆心(0，2)到渐近线x＋my＝0的距离d＝＝1，
解得m＝或m＝－(舍去)．]
1．(2021·全国甲卷)点(3，0)到双曲线－＝1的一条渐近线的距离为( )
A． C．
A [由双曲线的方程知，a＝4，b＝3，焦点在x轴上，所以双曲线的一条渐近线方程为y＝x，即3x－4y＝0，由点到直线的距离公式得，点(3，0)到双曲线的一条渐近线的距离为＝.故选A．]
2．(2021·全国乙卷)已知双曲线C：－y2＝1(m＞0)的一条渐近线为x＋my＝0，则C的焦距为________．
4 [双曲线－y2＝1(m＞0)的渐近线为y＝±x，即x±y＝0，又双曲线的一条渐近线为x＋my＝0，即x＋y＝0，对比两式可得，m＝3.设双曲线的实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则有a2＝m＝3，b2＝1，所以双曲线的焦距2c＝2＝4．] 圆锥曲线的光学性质及其应用
1．抛物线的光学性质
(1)焦点：光线的聚集点．
(2)抛物面：由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面，叫做抛物面．
(3)抛物线的性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．
(4)抛物线性质的实际应用：
一束平行于抛物线的轴的光线，经过抛物面的反射集中于它的焦点．人们应用这个原理，设计了太阳灶等生活用具．
2．椭圆的光学性质
从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上．胶片放映机的聚光灯反射镜的形状是旋转椭圆面．
3．双曲线的光学性质
从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是散开的，它们好像是从另一个焦点射出的．
【典例】 (1)电影放映机上的聚光灯泡的反射镜轴截面是椭圆的一部分 (如图所示)，灯丝在焦点F2处，由椭圆的光学性质知当片门安放在另一焦点F1处时，电影片门才能获得最强光．现测定某一型号电影放映机聚光灯泡的反射镜轴截面所在椭圆方程为＋＝1，你能根据所给椭圆方程确定电影放映机的片门应安装在距灯丝多远的地方吗？
(2)如图是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形状的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑．已知镜口圆的直径为12 m，镜深2 m，若把盛水和食物的容器近似地看作点，求每根铁筋的长度．
[解] (1)由反射镜轴截面所在椭圆方程为＋＝1，知a2＝169，b2＝144，所以c2＝25，即椭圆的焦距2c＝10.故电影放映机的片门应安装在距灯丝10个单位长度的地方．
(2)如图，在反光镜的轴截面内建立平面直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x轴垂直于镜口圆的直径．
由已知，得A点坐标是(2，6)，
设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则36＝2p×2，解得p＝9.
所以所求抛物线的标准方程是y2＝18x，
焦点坐标是F.因为盛水和食物的容器在焦点处，所以A，F两点间的距离即为每根铁筋长．
|AF|＝＝6.5，故每根铁筋的长度是6.5 m．
(1)已知椭圆＋＝1(a>b>0)，其焦点分别为F(c，0)，F′(－c，0)，则由一个焦点射向椭圆上任意一点的光波或声波，经该椭圆反射后必经过另一个焦点，椭圆的这一独特的光学性质在现实生活中有着广泛的应用．
(2)解决与抛物线有关的实际应用问题时，一般可根据题意(或图形)建立平面直角坐标系，设出抛物线的标准方程，依据题意得到抛物线上一点的坐标，从而可求出抛物线的标准方程，进而利用其几何性质进行推理、运算．
1．(2022·河南省开封市模拟)一种卫星接收天线如图1所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点F处，如图2所示．已知接收天线的口径AB为4.8 m，深度为1 m．若P为接收天线上一点，则点P与焦点F间的最短距离为( )
A．0.72 m B．1.44 m
C．2.44 m D．2.88 m
B [以线段AB的中垂线为x轴，抛物线与x轴的交点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则由题意可得A(1，2.4)．
设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，
将A点的坐标代入得2.42＝2p，即2p＝5.76，
所以p＝2.88，抛物线的方程为y2＝5.76x.
设P(x0，y0)，则点P到焦点F的距离等于点P到准线的距离，即|PF|＝x0＋＝x0＋1.44≥1.44.故选B．]
2．汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线为抛物线，灯口直径为197 mm，反光曲面的顶点到灯口的距离是69 mm.由抛物线的性质可知，当灯泡安装在抛物线的焦点处时，经反光曲面反射后的光线是平行光线．为了获得平行光线，应怎样安装灯泡？(精确到1 mm)
[解] 如图所示，在车灯的一个轴截面上建立平面直角坐标系，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，灯泡应安装在其焦点F处．在x轴上取一点C，使|OC|＝69 mm，过点C作x轴的垂线，交抛物线于A，B两点，线段AB就是灯口的直径，即|AB|＝197 mm，则点A的坐标为.
将点A的坐标代入方程y2＝2px(p>0)，解得p≈70，此时焦点F的坐标约为(35，0)．
因此，灯泡应安装在对称轴上距顶点约35 mm 处．微专题3 轨迹问题
求轨迹方程的常用方法
(1)直接法
设出曲线上动点的坐标为(x，y)后，可根据几何条件直接转换成x，y间的关系式．
(2)定义法
若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可用待定系数法求出轨迹方程．
(3)相关点法(代入法)
有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可求得动点的轨迹方程．
类型1 直接法求轨迹方程
【例1】 已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是(－5，0)，(5，0)，边AC，BC所在直线的斜率之积等于－，则顶点C的轨迹方程为________．
＋＝1(y≠0) [设点C(x，y)，则kAC·kBC＝×＝(y≠0)，
所以＝－(y≠0)，
化简得＋＝1(y≠0)．]
类型2 定义法求轨迹方程
【例2】 已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3，0)，圆P过点B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程．
[解] 如图，设圆P的半径为r，又因为圆P过点B，
所以|PB|＝r.又因为圆P与圆A内切，圆A的半径为10，所以两圆的圆心距|PA|＝10－r，
即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|＝6)，
所以圆心P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．
所以2a＝10，2c＝|AB|＝6，所以a＝5，c＝3，所以b2＝a2－c2＝25－9＝16.
所以圆心P的轨迹方程为＋＝1.
类型3 相关点法(代入法)求轨迹方程
【例3】 已知在平面直角坐标系中，动点M到定点(－，0)的距离与它到定直线l：x＝－的距离之比为常数.
(1)求动点M的轨迹Γ的方程；
(2)设点A，若P是(1)中轨迹Γ上的动点，求线段PA的中点B的轨迹方程．
[解] (1)设动点M(x，y)，由已知可得＝，
即x2＋2x＋3＋y2＝，化简得＋y2＝1，
即所求动点M的轨迹Γ的方程为＋y2＝1.
(2)设点B(x，y)，点P(x0，y0)，
由得
由点P在轨迹Γ上，得＋＝1，
整理得＋4＝1，
∴线段PA的中点B的轨迹方程是
＋4＝1.微专题4 破解圆锥曲线的离心率问题
离心率是椭圆与双曲线的重要几何性质，求离心率的方法主要有：
(1)通过已知条件列出方程组，解出a，c的值；
(2)由a，b的关系求离心率e＝(椭圆)或e＝(双曲线)；
(3)由已知条件得关于a，b的齐次式，再转化为关于e的一元二次方程；
(4)通过特殊值或特殊位置求离心率；
(5)在焦点三角形内求离心率．
类型1 定义法
【例1】 (1)(2022·山东省聊城市模拟)椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点为F，该椭圆上有一点A，满足△OAF是等边三角形(O为坐标原点)，则椭圆的离心率是________．
(2)设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为________．
(1)－1 (2) [(1)设椭圆左、右焦点分别为F1，F，点A在第一象限，如图所示．
由题意知，|OA|＝|F1F|，所以△F1AF是直角三角形，|AF|＝c，
所以|AF1|＝c，2a＝c＋c，所以＝＝－1.
(2)由双曲线的定义可得||PF1|－|PF2||＝2a，
由|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，
则有(|PF1|＋|PF2|)2－4|PF1|·|PF2|＝9b2－9ab＝4a2，
即有(3b－4a)(3b＋a)＝0.所以3b＝4a，
所以＝，
则e＝＝＝＝．]
类型2 几何法
【例2】 设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，若线段PF1的中点在y轴上，∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
A [如图，设PF1的中点为M，连接PF2.
因为O为F1F2的中点，
所以OM为△PF1F2的中位线．
所以OM∥PF2，
所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°.
因为∠PF1F2＝30°，
所以|PF1|＝2|PF2|，|F1F2|＝|PF2|.
由椭圆定义得2a＝|PF1|＋|PF2|＝3|PF2|，
即a＝，2c＝|F1F2|＝|PF2|，
即c＝，
则e＝＝＝．]
类型3 寻求齐次方程求离心率
【例3】 (1)(2022·江西省上饶市模拟)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，右顶点为A，虚轴的一个端点为B，若△ABF为等腰三角形，则双曲线C的离心率是( )
A． B．
C．或 D．1＋
(2)已知椭圆＋＝1(a>b>0)，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且AB⊥BF，则椭圆的离心率为________．
(1)D (2) [(1)由题意易知F(－c，0)，A(a，0)，设B(0，b)，
则|AF|2＝(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac，|AB|2＝a2＋b2，|BF|2＝b2＋c2.
由△ABF为等腰三角形，分析可得|AF|＝|BF|，
即a2＋c2＋2ac＝b2＋c2，变形可得c2－2a2－2ac＝0，
又e＝，则有e2－2e－2＝0，解得e＝1±，
又双曲线中e>1，所以e＝1＋.
(2)在△ABF中，|AB|＝，|BF|＝a，|AF|＝a＋c.
由AB⊥BF得|AB|2＋|BF|2＝|AF|2，
即a2＋b2＋a2＝(a＋c)2，整理得a2＋b2＝c2＋2ac，
将b2＝a2－c2代入，得a2－ac－c2＝0，
即e2＋e－1＝0，解得e＝.
因为0类型4 求离心率的取值范围
【例4】 若椭圆＋＝1(a>b>0)上存在一点M，使得∠F1MF2＝90°(F1，F2分别为椭圆的左、右焦点)，则椭圆的离心率e的取值范围为________．
[法一：设点M的坐标是(x0，y0)，则|x0|≤a，
由F1(－c，0)，F2(c，0)知＝(－c－x0，－y0)，＝(c－x0，－y0)，
∵∠F1MF2＝90°，∴＝＝0，即＝c2.
又点M在椭圆上，即＝b2－＝b2＋∈[b2，a2)，即c2∈[b2，a2)，∴c2≥b2＝a2－c2，即≥，又0故椭圆的离心率e的取值范围是.
法二：设椭圆与y轴的一个交点为P，
∵椭圆上存在一点M，使∠F1MF2＝90°，
∴∠F1PF2≥90°，则c≥b，
∴c2≥b2＝a2－c2，即≥，又0故椭圆的离心率e的取值范围是．]微专题5 圆锥曲线中的综合问题
圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点、热点和难点，涉及的知识面广，题目综合性强，对思维能力要求比较高．解决的基本思路是利用代数法，从分析问题的数量关系入手，利用直线系或曲线系方程或函数方程思想，通过联想与类比，使问题获解．解答过程中主要注意以下三点：
(1)根据条件设出合适的直线方程，当不知道直线是否有斜率时，需要分两种情况讨论；
(2)具体求解时，常用到“根与系数的关系”及“设而不求，整体代入”的方法；
(3)不要忽视判别式的作用，在解题过程中，判别式起到了限制参数范围的作用．
类型1 范围与最值问题
【例1】 (2021·全国乙卷)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F到准线的距离为2.
(1)求C的方程；
(2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足＝9，求直线OQ斜率的最大值．
[解] (1)由抛物线的定义可知，焦点F到准线的距离为p，故p＝2，所以C的方程为y2＝4x.
(2)由(1)知F(1，0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则＝(x2－x1，y2－y1)，＝(1－x2，－y2)，
因为＝9，
所以可得
又点P在抛物线C上，所以＝4x1，即(10y2)2＝4(10x2－9)，化简得＝x2－，则点Q的轨迹方程为y2＝x－.
设直线OQ的方程为y＝kx，易知当直线OQ与曲线y2＝x－相切时，斜率可以取最大，
联立y＝kx与y2＝x－并化简，
得k2x2－x＋＝0，令Δ＝－4k2·＝0，解得k＝±，
所以直线OQ斜率的最大值为.
类型2 定点与定值问题
【例2】 设抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为点F，过点F作直线l交抛物线E于A，B两点．当l与x轴垂直时，△AOB的面积为8，其中O为坐标原点．
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)若l的斜率存在且为k1，点P(3，0)，直线AP与抛物线E的另一交点为C，直线BP与抛物线E的另一交点为D，设直线CD的斜率为k2，证明：为定值．
[解] (1)由题意当l与x轴垂直时，不妨设A，B，∴·2p·＝8，解得p＝4.
则抛物线E的标准方程为y2＝8x.
(2)[证明] 设A．(x1，y1)，B．(x2，y2)，C．(x3，y3)，D．(x4，y4)，
则k1＝＝＝，
同理k2＝，
∴直线l的方程为y－y1＝(x－x1)．
即(y1＋y2)y－y1y2＝8x.
∵抛物线E的焦点F(2，0)在直线l上，
∴－y1y2＝16.
设直线BD的方程为x＝ty＋3.
联立得方程组
消去x并整理得y2－8ty－24＝0，
∴y2y4＝－24.
同理可得y1y3＝－24.
∴＝＝＝＝＝.
故为定值．
类型3 探索性问题
【例3】 如图，在平面直角坐标系中，点F(－1，0)，过直线l：x＝－2右侧的动点P作PA⊥l于点A，∠APF的平分线交x轴于点B，|PA|＝|BF|.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点F的直线q交曲线C于M，N两点，x轴正半轴上是否存在点E，直线EM，EN分别交直线l于R，S两点，使∠RFS为直角？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
[解] (1)设P(x，y)，x>－2.由PA⊥l，PB为∠APF的平分线可知|PF|＝|BF|，
故＝＝，
即＝，化简得＋y2＝1，
所以动点P的轨迹C的方程为＋y2＝1(x≠±)．
(2)假设满足条件的点E(n，0)(n>0)存在．
设直线q的方程为x＝my－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，R(－2，y3)，S(－2，y4)．
由消去x，
得(m2＋2)y2－2my－1＝0，Δ>0，
根据一元二次方程根与系数的关系有y1＋y2＝，y1y2＝－，
所以x1x2＝(my1－1)(my2－1)＝m2y1y2－m(y1＋y2)＋1＝－－＋1＝，
x1＋x2＝m(y1＋y2)－2＝－2＝－.
由kME＝kRE，知＝，
则y3＝－.同理y4＝－.
kRF＝＝－y3，kSF＝＝－y4.
因为∠RFS为直角，
所以kRF·kSF＝y3y4＝－1，
所以(2＋n)2y1y2＝－[x1x2－n(x1＋x2)＋n2]，
即(2＋n)2＝＋＋n2，
所以(n2－2)(m2＋1)＝0，
解得n＝或－(舍)，
故满足条件的点E存在，其坐标为(，0)．第3章 圆锥曲线的方程 章末综合提升
类型1 圆锥曲线的定义及标准方程
1．圆锥曲线的定义是相应标准方程和几何性质的“源”，对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．
2．求圆锥曲线标准方程的常用方法
(1)直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系，只需把这种关系“翻译”成含x，y的等式就得到动点的轨迹方程．
(2)待定系数法：根据条件能确定曲线的类型，可设出方程形式，再根据条件确定待定的系数．
3．圆锥曲线定义的应用及标准方程的求解体现了逻辑推理、数学运算、直观想象的数学学科素养．
【例1】 (1)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
(2)双曲线16x2－9y2＝144的左、右两焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝64，则∠F1PF2＝________．
(1)C (2)60° [(1)法一：因为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，所以
解得所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.依题意，不妨设A，B到直线y＝x的距离分别为d1，d2，
因为d1＋d2＝6，
所以＋＝6，
所以＋＝6，
解得a＝，所以b＝3，
所以双曲线的方程为－＝1，故选C．
法二：因为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，所以
解得如图所示，由d1＋d2＝6，即|AD|＋|BE|＝6，可得|CF|＝3，故b＝3，所以a＝，所以双曲线的方程为－＝1.
(2)双曲线方程16x2－9y2＝144，
化简为－＝1，
即a2＝9，b2＝16，
所以c2＝25，
解得a＝3，c＝5，
所以F1(－5，0)，F2(5，0)．
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
由双曲线的定义知|m－n|＝2a＝6，
又已知m·n＝64，
在△PF1F2中，由余弦定理知
cos ∠F1PF2＝
＝
＝
＝＝.
所以∠F1PF2＝60°．]
类型2 圆锥曲线的性质及应用
1．本类问题主要有两种考查类型：
(1)已知圆锥曲线的方程研究其几何性质，其中以求椭圆、双曲线的离心率为考查重点．
(2)已知圆锥曲线的性质求其方程，基本方法是待定系数法，其步骤可以概括为“先定位、后定量”．
2．圆锥曲线的性质的讨论和应用充分体现了直观想象和逻辑推理的数学素养．
【例2】 (1)(2022·江苏省南通市模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为12，则C的方程为( )
A．＋y2＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
(2)已知双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，过右焦点F作双曲线在第一、三象限的渐近线的垂线l，垂足为P，l与双曲线C的左、右支的交点分别为点A，B．
①求证：P在直线x＝上；
②求双曲线C的离心率e的取值范围；
③若|AP|＝3|PB|，求离心率e.
(1)D [由椭圆的定义，知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，所以△AF1B的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝12.
所以a＝3.因为椭圆的离心率e＝＝，所以c＝2.
所以b2＝a2－c2＝5.所以椭圆C的方程为＋＝1．]
(2)[解] ①证明：由题意知，l：y＝－(x－c)，由y＝x及y＝－(x－c)，联立解得点P的坐标为，所以点P在直线x＝上．
②由
消去y并整理得(b4－a4)x2＋2a4cx－a2(a2c2＋b4)＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1·x2＝.
由于点A，B分别在两支上，
所以x1·x2＝<0，所以b2>a2，即c2>2a2，所以e>.
③由题意知：P分AB所成的比λ＝3，
所以＝，即x1＋3x2＝.
又由x1＋x2＝，
解得x1＝，x2＝，
从而·＝，
化简得4a2＝b2，
所以e＝＝＝.
类型3 直线与圆锥曲线的位置关系
1．直线与圆锥曲线的位置关系，主要涉及判定直线与圆锥曲线的交点个数、求弦长、求最值等问题，它是圆锥曲线的定义、性质与直线的基础知识的综合应用，涉及数形结合、函数与方程、分类讨论等数学思想方法．直线与圆锥曲线的位置关系主要有：(1)有关直线与圆锥曲线公共点的个数问题，应注意数形结合．(2)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系．(3)有关垂直问题，要注意运用斜率关系及根与系数的关系，设而不求，简化运算．
2．借用直线与圆锥曲线的位置关系问题培养直观想象和数学运算的学科素养．
【例3】 已知椭圆＋＝1(a>b>0)经过点(0，)，离心率为，左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线l：y＝－x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足＝，求直线l的方程．
[解] (1)由题设知解得a＝2，b＝，c＝1，
∴椭圆的方程为＋＝1.
(2)由(1)知，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，
∴圆心到直线l的距离d＝，
由d<1得|m|<.①
∴|CD|＝2＝2＝.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得x2－mx＋m2－3＝0，
Δ＝m2－4(m2－3)＝12－3m2>0.②
由根与系数的关系可得x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3.
∴|AB|＝
＝.
由＝，得＝1，
解得m＝±，经检验满足①②.
∴直线l的方程为y＝－x＋或y＝－x－.
类型4 圆锥曲线的综合问题
1．圆锥曲线的综合问题包括位置关系证明及定值、最值问题，解决的基本思路是利用代数法，通过直线与圆锥曲线的方程求解．
2．圆锥曲线的综合问题的解决培养逻辑推理和数学运算素养．
【例4】 已知点F为抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于D，E两点，当直线l与x轴垂直时，|DE|＝4.
(1)求抛物线C的方程；
(2)如图所示，设点R(x0，2)在抛物线C上，过点Q(1，1)作直线交抛物线C于不同于R的两点A，B，若直线AR，BR分别交直线y＝2x＋2于M，N两点，求|MN|最小时直线AB的方程．
[解] (1)∵点F为抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，∴F，又∵当l与x轴垂直时，|DE|＝4，∴D.
又∵点D在抛物线上，∴4＝2p×＝p2，∴p＝2，∴抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)∵点R(x0，2)在抛物线C上，∴x0＝1，∴R(1，2)．
设直线AB的方程为x＝m(y－1)＋1(m≠0)，
A，B.
由得y2－4my＋4m－4＝0，
∴y1＋y2＝4m，y1y2＝4m－4.
又直线AR的方程为y－2＝(x－1)＝(x－1)．
由
得xM＝－，同理可得xN＝－，
∴|MN|＝|xM－xN|＝2
＝2＝2
＝2≥2×
＝，当且仅当m＝－1时，等号成立，
∴|MN|min＝，此时直线AB的方程为x＋y－2＝0.
