课时分层作业(一) 空间向量及其线性运算
一、选择题
1．(2022·仓山区校级期末)已知三棱锥O-ABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，则等于( )
A．(b＋c－a) B．(a＋b＋c)
C．(a－b＋c) D．(c－a－b)
2．点O为空间中任意一点，对于点A、B、C，若＝m＋n(m，n∈R)，m＋n＝1，则( )
A．A、B、C三点一定在同一条直线上
B．A、B、C三点一定不在同一条直线上
C．A、B、C三点可能在同一条直线上，也可能不在同一条直线上
D．一定与的方向相反
3．O为空间中任意一点，满足＝＋＋，则A，B，C，P四点( )
A．一定不共面 B．一定共面
C．不一定共面 D．无法判断
4．(多选)在以下命题中，不正确的命题是( )
A．已知A，B，C，D是空间任意四点，则＝0
B．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件
C．若与共线，则AB与CD所在直线平行
D．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面
5．已知四边形ABCD，O为空间任意一点，且＝，则四边形ABCD是( )
A．空间四边形 B．平行四边形
C．等腰梯形 D．矩形
二、填空题
6．设e1，e2是空间中两个不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则k的值为________．
7．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，＝，若＝x＋y()，则x＝__________，y＝________．
8．已知a，b，c是空间三个不共面的向量，下列各组向量中不共面的是________．
①la，mb，nc(lmn≠0)；②a＋2b，2b＋3c，－9c＋3a；③a＋2b，b＋2c，c＋2a．
三、解答题
9．(源自北师大版教材)如图，点M，N分别是四面体ABCD的棱AB和CD的中点，求证：＝)．
10．(多选)下列命题正确的是( )
A．若p＝xa＋yb，则p与a，b共面
B．若p与a，b共面，则p＝xa＋yb
C．若＝x＋y，则M，N，A，B四点共面
D．若M，N，A，B四点共面，则＝x＋y
11．如图，在四面体ABCD中，点M是棱BC上的点，且BM＝2MC，点N是棱AD的中点．若＝x＋y＋z，其中x，y，z为实数，则xyz的值是( )
A．－ B．－ C． D．
12．设a，b，c是空间三个不共面的向量，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m，n共线，则x＝________，y＝________．
13．光岳楼，亦称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”，位于山东省聊城市，始建于公元1374年，在《中国名楼》站台票纪念册中，光岳楼与鹳雀楼、黄鹤楼、岳阳楼、太白楼、滕王阁、蓬莱阁、镇江楼、甲秀楼、大观楼共同组成中国十大名楼．其墩台为砖石砌成的正四棱台，直观图如图所示，其上边边长与底边边长之比约为，则＝________．
14．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1．证明：点C1在平面AEF内．
15．如图所示，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1．
(1)求证：A，E，C1，F四点共面；
(2)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值．
课时分层作业(一)
1．D 2．A 3．B
4．BCD [＝＝＝0，A正确；若a，b同向共线，则|a|－|b|<|a＋b|，故B不正确；由向量平行知C不正确；D中只有x＋y＋z＝1时，才有P，A，B，C四点共面，故D不正确．故选BCD．]
5．B 6．－8 7．1 8．①③
9．证明：由题意可得，
＝， ①
＝， ②
因为M，N分别为棱AB和CD的中点，
所以＝－＝－，
①＋②得2＝，
即＝)．
10．AC [在A中，若p＝xa＋yb，
则由平面向量基本定理得p与a，b一定在同一平面内，故A正确；
在B中，p与a，b共面，但如果a，b共线，p就不一定能用a，b来表示，故B错误；
在C中，若＝x＋y，则三向量在同一平面内，
所以M，N，A，B四点共面，故C正确；
在D中，若M，N，A，B四点共面，其中M，A，B共线，N与M，A，B不共线，则不存在x，y使＝x＋y一定成立，故D错误，故选AC．]
11．C 12．1 －1 13．
14．证明：连接C1F(图略)．
因为＝＝＝＝＝＝＝，
所以＝，所以EA綉C1F，所以点E，A，C1，F四点共面，即点C1在平面AEF内．
15．解：(1)证明：∵＝＝＋＋＝＋＋＝()＋()＝，
∴A，E，C1，F四点共面．
(2)∵＝＝－()＝＋－＝＋，
∴x＝－1，y＝1，z＝，
∴x＋y＋z＝.课时分层作业(二) 空间向量的数量积运算
一、选择题
1．(多选)已知a、b是空间中的两个向量，下列说法正确的是( )
A．空间中两个向量的夹角是唯一确定的，且〈a，b〉＝〈b，a〉
B．空间中两个向量的夹角〈a，b〉的取值范围是[0，π]
C．a⊥b 〈a，b〉＝
D．cos 〈a，b〉＝－cos 〈－a，－b〉
2．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB⊥BC，AB＝2BC＝2BB1＝2，则·的值为( )
A．1 B．2 C． D．4
3．如图所示，在四面体A-BCD中，△ABC为等边三角形，AB＝1，CD＝，∠ACD＝60°，AB⊥CD，则BD＝( )
A． B． C． D．
4．(多选)如图，已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积为零的是( )
A．与 B．与
C．与 D．与
5．如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝AB＝2，∠BAD＝60°，M是BB1的中点，则异面直线A1M与B1C所成角的余弦值为( )
A．－ B．－ C． D．
二、填空题
6．已知空间向量a，b，c，则下列结论中正确的是________(填序号)．
①a·b＝a·c(a≠0) b＝c；
②a·b＝0 a＝0或b＝0；
③(a·b)c＝(b·c)a；
④a·(λb)＝λ(a·b)；
⑤若a·b<0，则a，b的夹角为钝角．
7．已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则||＝________．
8．如图，边长为1的正方形ABCD所在的平面与正方形ABEF所在的平面互相垂直，则异面直线AC与BF所成的角为________．
三、解答题
9．如图，在空间四边形OABC中，2＝，点E为AD的中点，设＝a，＝b，＝c．
(1)试用向量a，b，c表示向量；
(2)若OA＝OC＝4，OB＝2，∠AOC＝∠AOB＝∠BOC＝60°，求||的值．
10．如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点C处，已知水库底与水坝斜面所成的二面角为120°，测得从D，C到水库底与水坝斜面的交线的距离分别为DA＝30 m，CB＝40 m，若AB＝20 m，则甲、乙两人相距( )
A．70 m B．70 m
C．90 m D．90 m
11．已知非零向量a，b，c，若p＝，那么|p|的取值范围为( )
A．[0，1] B．[1，2]
C．[0，3] D．[1，3]
12．如图所示，已知正三棱锥A-BCD的侧棱长和底面边长都是a，点E，F，G分别是AB，AD，DC上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝CG∶GD＝1∶2，则·＝__________，·＝________．
13．点P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点，则·的取值范围是________．
14．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长为．
(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；
(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长．
15．如图所示，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD(点P位于平面ABCD上方)，BC边上是否存在点Q，使⊥
课时分层作业(二)
1．ABC [A、B、C显然正确，对于选项D，〈a，b〉＝〈－a，－b〉，从而cos 〈a，b〉＝cos 〈－a，－b〉，D错误．故选ABC．]
2．A 3．D
4．BCD [因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，故＝0；因为AD⊥AB，AD⊥PA，且PA∩AB＝A，所以AD⊥平面PAB，故AD⊥PB，则＝0；同理可得＝0；而PC与AD所成角为∠PCB，显然不垂直．]
5．D 6．④ 7． 8．60°
9．解：(1)因为2＝，所以＝＝)＝(c－b)，故＝＝b＋(c－b)＝b＋c，
因为E为AD的中点，
所以＝)＝a＋b＋c．
(2)由(1)知，＝＝a2＋b2＋c2＋2×a·b＋2×b·c＋2×a·c＝4＋＋＋＋＋＝8，所以||＝2．
10．A 11．C
12．－a2 a2 13．
14．解：(1)证明：＝＝．
因为BB1⊥平面ABC，所以＝0，＝0．
又△ABC为正三角形，
所以〈〉＝π－〈〉＝π－＝．
因为＝()·()
＝＋
＝||·||·cos 〈〉＋
＝－1＋1＝0，所以AB1⊥BC1．
(2)结合(1)知＝||·||·cos 〈，〉＋＝－1．
又||＝＝＝||，
所以cos 〈〉＝＝，
所以||＝2，即侧棱长为2．
15．解：假设存在点Q(Q点在边BC上)，使⊥，即PQ⊥QD，连接AQ(图略)．
因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥QD．
又＝，且⊥，
所以＝0，即＝0．
又因为＝0，所以＝0，
所以⊥，所以∠AQD＝90°，
即点Q在以AD为直径的圆上，圆的半径为.又因为AB＝1，由题图知，
当＝1，即a＝2时，该圆与边BC相切，存在1个点Q满足题意；当>1，即a>2时，该圆与边BC相交，存在2个点Q满足题意；当<1，即a<2时，该圆与边BC相离，不存在点Q满足题意．
综上所述，当a≥2时，存在点Q，使⊥；当0
一、选择题
1．已知{a，b，c}是空间的一个基底，则下列可以构成基底的一组向量是( )
A．a＋b，a，a－b B．a＋b，b，a－b
C．a＋b，c，a－b D．a＋b，2a－b，a－b
2．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M为A1C1的中点，若＝a，＝b，＝c，则下列向量与相等的是( )
A．－a－b＋c B．a＋b－c
C．－a＋b＋c D．a＋b＋c
3．若向量的起点M与终点A，B，C互不重合，且点M，A，B，C中无三点共线，满足下列关系(O是空间任一点)，则能使向量成为空间一个基底的关系是( )
A．＝
B．≠
C．＝
D．＝2
4．已知正方体ABCD-A1B1C1D1，点E为上底面A1B1C1D1的中心，若＝＋x＋y，则x，y的值分别为( )
A．1，1 B．1， C． D．，1
5．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为正三角形，侧棱垂直于底面，AB＝4，AA1＝6．若E是棱BB1的中点，则异面直线A1E与AC1所成角的余弦值为( )
A． B． C． D．
二、填空题
6．已知向量a，b，c构成空间的一个基底{a，b，c}，若d＝3a＋4b＋c，且d＝x(a＋2b)＋y(b＋3c)＋z(c＋a)，则x＝________．
7．如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝3，AA1＝7，∠BAD＝，∠BAA1＝∠DAA1＝，则AC1的长为________．
8．正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝2，AA1＝2，D为棱A1B1的中点，则异面直线AD与CB1所成角的大小为________．
三、解答题
9．如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点．
(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；
(2)求MN的长．
10．(多选)在三棱锥P-ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝3，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2，则下列说法正确的是( )
A．EG⊥PG B．EG⊥BC
C．FG∥BC D．FG⊥EF
11．(多选)如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是( )
A．AC1＝6
B．AC1⊥DB
C．向量与的夹角是60°
D．BD1与AC所成角的余弦值为
12．化学中，将构成粒子(原子、离子或分子)在空间按一定规律呈周期性重复排列构成的固体物质称为晶体．在结构化学中，可将晶体结构截分为一个个包含等同内容的基本单位，这个基本单位叫做晶胞．已知钙、钛、氧可以形成如图所示的立方体晶胞(其中Ti原子位于晶胞的中心，Ca原子均在顶点位置，O原子位于棱的中点)．则图中原子连线BF与B1E所成角的余弦值为________．
13．棱长为a的正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，则异面直线EF与AB所成角的大小是________，线段EF的长度为________．
14．如图所示，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．
(1)求证：DE∥平面ACF．
(2)求证：BD⊥AE．
(3)若AB＝CE，在线段EO上是否存在点G，使CG⊥平面BDE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
15．如图，在三棱锥O-ABC中，G是△ABC的重心(三条中线的交点)，P是空间任意一点．
(1)用向量表示向量，并证明你的结论；
(2)设＝x＋y＋z，x，y，z∈R，请写出点P在△ABC的内部(不包括边界)的充要条件(不必给出证明)．
课时分层作业(三)
1．C 2．D 3．C 4．C 5．A 6．2 7．
9．解：(1)证明：设＝p，＝q，＝r．
由题意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p，q，r三向量两两夹角均为60°.连接AN(图略)．
＝
＝)－
＝(q＋r－p)，
∴＝(q＋r－p)·p
＝(q·p＋r·p－p2)
＝(a2cos 60°＋a2cos 60°－a2)
＝0，
∴MN⊥AB，同理可证MN⊥CD．
(2)由(1)可知，＝(q＋r－p)．
∴||2＝(q＋r－p)2
＝[q2＋r2＋p2＋2(q·r－p·q－r·p)]
＝
＝×2a2＝．
∴||＝a，∴MN的长为a．
10．ABD [如图，设＝a，＝b，＝c，则{a，b，c}是空间的一个正交基底，
则a·b＝a·c＝b·c＝0，取AB的中点H，则＝＝×(a＋b)＝a＋b，
＝＝＋＝＋＝c＋b，
＝＝a＋b－b－c＝a－b－c，＝c－b，
＝＝a＋b－b＝a，
＝＝b－＝－c－b，
∴＝0，A正确；＝0，B正确；≠λ(λ∈R)，C不正确；＝0，D正确．故选ABD．]
11．AB [因为以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，
所以＝＝＝6×6×cos 60°＝18，
()2＝＋＋＋2＋2＋2
＝36＋36＋36＋3×2×18＝216，
则||＝||＝6，所以A正确；
＝()·()＝－＝0，所以B正确；
显然△AA1D为等边三角形，则∠AA1D＝60°．
因为＝，且向量与的夹角是120°，所以与的夹角是120°，所以C不正确；
＝＝，
所以||＝＝6，
||＝＝6，
又＝()·()＝36，
所以cos 〈〉＝＝＝，所以D不正确．故选AB．]
12． 12． 13．a
14．解：(1)证明：设＝a，＝b，＝c，则{a，b，c}构成空间的一个基底，且|a|＝|b|，a·b＝b·c＝c·a＝0．
依题意得＝＝c－b，＝＝a＋b，＝)＝a＋c．
设＝x＋y(x，y∈R)，则c－b＝x(a＋b)＋y＝a＋xb＋yc，
因此解得
又与不共线，
所以共面．又直线DE不在平面ACF内，所以DE∥平面ACF．
(2)证明：依题意得＝＝b－a，＝＝＝－a－b＋c＝c－a－b，则＝(b－a)·(c－a－b)＝－b2＋a2＝0，因此⊥，从而BD⊥AE．
(3)由AB＝CE，设|a|＝|b|＝2，则|c|＝，假设在线段EO上存在点G，使CG⊥平面BDE．由O，G，E三点共线，设＝(1－λ)＋λ＝λa＋λb＋(1－λ)c(0≤λ≤1)．
由CG⊥平面BDE，知CG⊥DE，而＝c－b，
所以＝·(c－b)＝(1－λ)c2－λb2＝2－4λ＝0，解得λ＝，即点G是线段EO的中点时，满足题意，此时＝．
15．解：(1)＝)．
证明如下：
＝＝＋
＝＋×)
＝＋[()＋()]
＝)．
(2)若＝x＋y＋z，x，y，z∈R，则点P在△ABC的内部(不包括边界)的充要条件是：
x＋y＋z＝1，且0一、选择题
1．已知＝8a＋6b＋4c，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，则点A的坐标为( )
A．(12，14，10) B．(10，12，14)
C．(14，10，12) D．(4，2，3)
2．在空间直角坐标系中，点P(4，3，－1)关于Oxz平面对称的点的坐标是( )
A．(4，－3，－1) B．(4，3，－1)
C．(3，－4，1) D．(－4，－3，1)
3．在如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，点D1(0，2，2)，B(3，0，0)，则点C1的坐标为( )
A．(3，3，2) B．(3，2，2)
C．(3，2，3) D．(2，2，3)
4．(多选)在空间直角坐标系中，下列结论正确的是( )
A．每一个点和向量都可用唯一的有序实数组(x，y，z)表示
B．点P(3，0，－1)位于Oxy平面上
C．过点P(1，3，－4)作Ozx平面的垂线PQ，则垂足为Q(1，0，－4)
D．点A(2，－1，4)关于原点的对称点的坐标为A′(－2，1，－4)
5．如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，B1E＝A1B1，则等于( )
A． B．
C． D．
二、填空题
6．在空间直角坐标系Oxyz中，点M(－1，0，2)，N(3，2，－4)，则MN的中点Q在平面Oxy内的射影的坐标是________．
7．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知DA＝DC＝4，DD1＝3，连接A1B，B1C，如图，建立空间直角坐标系．
则的坐标为________，的坐标为________．
8．三棱锥P-ABC中，∠ABC＝90°，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M，N分别是PC，AC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，则向量的坐标为________．
三、解答题
9．如图所示，AF，DE分别是⊙O，⊙O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8．BC是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE∥AD，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A，B，C，D，E，F的坐标．
10．下列说法：①在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定可记为(0，b，c)；②在空间直角坐标系中，在Oyz平面上的点的坐标一定可记为(0，b，c)；③在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标一定可记为(0，0，c)；④在空间直角坐标系中，在Ozx平面上的点的坐标一定可记为(a，0，c)．其中，正确的个数是( )
A．1B．2 C．3D．4
11．(多选)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是( )
A．点B1的坐标为(4，5，3)
B．点C1关于点B对称的点为(5，8，－3)
C．点A关于直线BD1对称的点为(0，5，3)
D．点C关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0)
12．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(2，1，－1)，则p在基底{2a，b，－c}下的坐标为________；在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为________．
13．如图所示，正四面体ABCD的棱长为1，G是△BCD的中心，建立如图所示的空间直角坐标系，则的坐标为________，的坐标为________．
14．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E，F分别在线段A1D，AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1分别作为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图所示)．
(1)试求向量的坐标；
(2)求证：EF∥BD1．
15．(多选)已知单位向量i，j，k两两的夹角均为θ，若空间向量a满足a＝xi＋yj＋zk(x，y，z∈R)，则有序实数组(x，y，z)称为向量a在“仿射”坐标系Oxyz(O为坐标原点)下的“仿射”坐标，记作a＝(x，y，z)θ，则下列命题是真命题的有( )
A．已知a＝(1，3，－2)θ，b＝(4，0，2)θ，则a·b＝0
B．已知a＝(x，y，0)，b＝(0，0，z)，其中x，y，z>0，则当且仅当x＝y时，向量a，b的夹角取得最小值
C．已知a＝(x1，y1，z1)θ，b＝(x2，y2，z2)θ，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)θ
D．已知＝(1，0，0)＝(0，1，0)＝(0，0，1)，则三棱锥O-ABC的表面积S＝
课时分层作业(四)
1．A 2．A 3．B
4．ACD [在空间直角坐标系中，每一个点和向量坐标都可用唯一的有序实数组(x，y，z)表示，从而A正确；点P(3，0，－1)位于空间直角坐标系中的Ozx平面上，从而B错误；点P(1，3，－4)在Ozx平面内的射影坐标为(1，0，－4)，从而C正确；点A(2，－1，4)关于原点的对称点的坐标为A′(－2，1，－4)，从而D正确．故选ACD．]
5．C 6．(1，1，0) 7．(0，4，－3) (－4，0，－3) 8．
9．解：因为AD与两圆所在的平面均垂直，OE∥AD，所以OE与两圆所在的平面也都垂直．
又因为AB＝AC＝6，BC是⊙O的直径，所以△BAC为等腰直角三角形，且AF⊥BC，BC＝6.所以以O为原点，OB，OF，OE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A，B，C，D，E，F各个点的坐标分别为A(0，－3，0)，B(3，0，0)，C(－3，0，0)，D(0，－3，8)，E(0，0，8)，F(0，3，0)．
10．C
11．ACD [依据空间中点的坐标的定义可知，点B1(4，5，3)，点C1(0，5，3)，点A(4，0，0)，点C(0，5，0)，故A正确．设点C1关于点B(4，5，0)的对称点为(x1，y1，z1)，由中点坐标公式得x1＝4×2－0＝8，y1＝5×2－5＝5，z1＝0×2－3＝－3，所以C1关于点B对称的点为(8，5，－3)，故B错误．由AB＝5，AD＝4，AA1＝3易知四边形ABC1D1是正方形，所以点A关于直线BD1对称的点为C1(0，5，3)，故C正确，点C关于平面ABB1A1的对称点就是点C关于点B的对称点，坐标为(8，5，0)，故D正确．]
12．(1，1，1) 13．
14．解：∵正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，根据题意知{}为单位正交基底，设＝i，＝j，＝k，∴向量可用单位正交基底{i，j，k}表示．
∵＝与共线，与共线，∴设＝λ＝μ，则＝λ＋μ＝λ()＋＋μ()＝(λ＋μ)＋(1－μ)＋λ＝(λ＋μ)i＋(1－μ)j＋λk，
∵EF⊥A1D，EF⊥AC，即⊥⊥，∴＝0，＝0，
又＝－i－k，＝－i＋j，
∴
整理得
即解得
∴＝i＋j－k，
∴的坐标是．
(2)证明：∵＝＝－i－j＋k，
又由(1)知＝i＋j－k，
∴＝－，即与共线，
又EF与BD1无公共点，∴EF∥BD1．
15．BC [a·b＝(1，3，－2)θ·(4，0，2)θ＝(i＋3j－2k)·(4i＋2k)＝4＋2i·k＋12i·j＋6j·k－8k·i－4＝12cos θ，
因为0<θ<π，且θ≠，
所以a·b≠0，故A错误；
如图所示，设＝b，＝a，则点A在平面Oxy上，点B在z轴上，由图易知当x＝y时，∠AOB取得最小值，即向量a与b的夹角取得最小值，故B正确；
根据“仿射”坐标的定义可得，a＋b＝(x1，y1，z1)θ＋(x2，y2，z2)θ＝(x1i＋y1j＋z1k)＋(x2i＋y2i＋z2k)＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j＋(z1＋z2)k＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)θ，故C正确；由已知可得三棱锥O ABC为正四面体，棱长为1，其表面积S＝4××12×＝，故D错误．故选BC．]课时分层作业(五) 空间向量运算的坐标表示
一、选择题
1．已知向量a＝(3，5，－1)，b＝(2，2，3)，c＝(1，－1，2)，则向量a－b＋4c的坐标为( )
A．(5，－1，4) B．(5，1，－4)
C．(－5，1，4) D．(－5，－1，4)
2．已知向量a＝(－2，x，2)，b＝(2，1，2)，c＝(4，－2，1)．若a⊥(b－c)，则x的值为( )
A．－2B．2 C．3D．－3
3．在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是( )
A．垂直 B．平行
C．异面 D．相交但不垂直
4．若在△ABC中，∠C＝90°，A(1，2，－3k)，B(－2，1，0)，C(4，0，－2k)，则k的值为( )
A． B．－
C．2 D．±
5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为( )
A． B． C． D．
二、填空题
6．已知A(3，－2，4)，B(0，5，－1)，若＝(O为坐标原点)，则C的坐标是________．
7．已知a＋b＝(2，，2)，a－b＝(0，，0)，则cos 〈a，b〉＝________．
8．在空间直角坐标系中，已知点A(1，0，2)，B(1，－3，1)，点M在y轴上，且点M到点A与到点B的距离相等，则点M的坐标是________．
三、解答题
9．已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝，b＝．若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值．
10．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，F是棱A1B1上的点，且A1F∶FB1＝1∶3，则异面直线EF与BC1所成角的正弦值为( )
A． B． C． D．
11．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是底面ABCD(含边界)上一动点，满足A1P⊥AC1，则线段A1P长度的取值范围是( )
A． B．
C．[1，] D．[，]
12．如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC＝4，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为半圆弧的中点，若异面直线BD和AB1所成角的余弦值为，则该几何体的体积为( )
A．16＋8π B．32＋16π
C．32＋8π D．16＋16π
13．如图所示的正方体是一个三阶魔方(由27个全等的棱长为1的小正方体构成)，正方形ABCD是上底面正中间的一个正方形，正方形A1B1C1D1是下底面最大的正方形，已知点P是线段AC上的动点，点Q是线段B1D上的动点，则线段PQ长度的最小值为________．
14．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点．
(1)求AC与PB所成角的余弦值；
(2)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC，求N点的坐标．
15．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD．在四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＋AD＝4，CD＝，∠CDA＝45°．设AB＝AP，在线段AD上是否存在一点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？并说明理由．
课时分层作业(五)
1．A 2．A 3．B 4．D 5．D 6．
8．(0，－1，0)
9．解：由题意知a＝＝(1，1，0)，b＝＝(－1，0，2)，若ka＋b与ka－2b互相垂直，则(ka＋b)·(ka－2b)＝0，即k2(12＋12＋02)－k(－1＋0＋0)－2×[(－1)2＋02＋22]＝0，化简得2k2＋k－10＝0，解得k＝－或k＝2．
10．B 11．A 12．A 13．
14．解：(1)由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B(，0，0)，C(，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，2)，
E，从而＝(，1，0)，＝(，0，－2)．
设与的夹角为θ，则
cos θ＝＝＝．
∴AC与PB所成角的余弦值为．
(2)由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为(x，0，z)，则＝，由NE⊥平面PAC可得，
即
化简得∴
即N点的坐标为时，NE⊥平面PAC．
15．解：∵PA⊥平面ABCD，且AB 平面ABCD，AD 平面ABCD，
∴PA⊥AB，PA⊥AD．
∵AB⊥AD，∴AP，AB，AD两两垂直．
∴以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz．
在平面ABCD内，作CE∥AB交AD于点E，则CE⊥AD．
在Rt△CDE中，DE＝CE＝1．
设AB＝AP＝t，则B(t，0，0)，P(0，0，t)．
由AB＋AD＝4，得AD＝4－t，
∴E(0，3－t，0)，C(1，3－t，0)，D(0，4－t，0)．
假设在线段AD上存在一点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等．
设G(0，m，0)(其中0≤m≤4－t)，则＝(1，3－t－m，0)，＝(0，4－t－m，0)，＝(0，－m，t)，＝(t，－m，0)．
由||＝||得12＋(3－t－m)2＝(4－t－m)2，即t＝3－m．①
由||＝||，得(4－t－m)2＝m2＋t2．②
由①②消去t，化简得m2－3m＋4＝0．③
由于方程③没有实数根，所以在线段AD上不存在一点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等．课时分层作业(六) 空间中点、直线和平面的向量表示
一、选择题
1．已知点O(0，0，0)，A(0，1，2)，B(1，0，0)，点P(1，x，2)在平面OAB内，则x＝( )
A．－1B．1 C．2D．－2
2．已知平面α的一个法向量是(2，－1，－1)，α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是( )
A．(4，2，－2) B．(2，0，4)
C．(2，－1，－5) D．(4，－2，－2)
3．已知平面α内的两个向量a＝(1，1，1)，b＝(0，2，－1)，且c＝ma＋nb＋(4，－4，1)．若c为平面α的法向量，则m，n的值分别为( )
A．－1，2 B．1，－2
C．1，2 D．－1，－2
4．已知＝(2，2，1)，＝(4，5，3)，则平面ABC的一个单位法向量为( )
A． B．
C． D．
5．(多选)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体，下列结论正确的是( )
A．平面CDD1C1的一个法向量为(0，1，0)
B．平面A1BC的一个法向量为(1，1，1)
C．平面B1CD1的一个法向量为(1，1，1)
D．平面ABC1D1的一个法向量为(0，1，1)
二、填空题
6．已知直线l的一个方向向量v＝(1，2，4)，且l过A(0，y，3)和B(－1，－2，z)，则y＝________，z＝________．
7．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，分别以长方体的两个顶点为始点和终点的向量中：
(1)直线AB的方向向量有________个；
(2)平面AA1B1B的法向量有______个．
8．已知直线l∥平面ABC，且l的一个方向向量为a＝(2，m，1)，A(0，0，1)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，则实数m的值是________．
三、解答题
9．已知A(2，2，2)，B(2，0，0)，C(0，2，－2)．
(1)写出直线BC的一个方向向量；
(2)设平面α经过点A，且BC是α的法向量，M(x，y，z)是平面α内的任意一点，试写出x，y，z满足的关系式．
10．(多选)如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1为正方体，则( )
A．直线DD1的一个方向向量为(0，0，1)
B．直线BC1的一个方向向量为(0，1，1)
C．平面ABB1A1的一个法向量为(0，1，0)
D．平面B1CD的一个法向量为(1，1，1)
11．已知空间三点坐标分别为A(1，1，1)，B(0，3，0)，C(－2，－1，4)，点P(－3，x，3)在平面ABC内，则实数x的值为( )
A．1B．－2 C．0D．－1
12．已知直线l的方向向量为e＝(－1，1，2)，平面α的法向量为n＝(λ∈R)，若l⊥α，则实数λ的值为________．
13．已知点A(1，1，－4)，B(2，－4，2)，C为线段AB上的一点，且＝，则C点坐标为________．
14．如图所示，在四棱锥S-ABCD中，底面是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥底面ABCD，且SA＝AB＝BC＝1，AD＝，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD与平面SBA的一个法向量．
15．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)．
(1)求证：是平面ABCD的法向量；
(2)求平行四边形ABCD的面积．
课时分层作业(六)
1．B 2．D 3．A 4．B
5．AC [对于A，由AD⊥平面CDD1C1知＝(0，1，0)是平面CDD1C1的一个法向量，故A正确．
对于B，由AB1⊥平面A1BC知＝(1，0，1)是平面A1BC的一个法向量，故B错误．
对于C，由AC1⊥平面B1CD1知＝(1，1，1)是平面B1CD1的一个法向量，故C正确．
对于D，由DA1⊥平面ABC1D1知＝(0，－1，1)是平面ABC1D1的一个法向量，故D错误．综上，选AC．]
6．0 －1 7．(1)8 (2)8 8．－3
9．解：(1)∵B(2，0，0)，C(0，2，－2)，
∴＝(－2，2，－2)，即(－2，2，－2)为直线BC的一个方向向量．
(2)由题意＝(x－2，y－2，z－2)，
∵BC⊥平面α，AM α，
∴⊥，
∴(－2，2，－2)·(x－2，y－2，z－2)＝0．
∴－2(x－2)＋2(y－2)－2(z－2)＝0．
∴x－y＋z＝2．
10．ABC [设正方体的棱长为1，因为AA1∥DD1，且＝(0，0，1)，所以A正确；
因为AD1∥BC1，＝(0，1，1)，所以B正确；
因为AD⊥平面ABB1A1，＝(0，1，0)，所以C正确；
因为＝(1，1，1)，但AC1与平面B1CD不垂直，所以D错误．]
11．A 12．－
14．解：以点A为坐标原点，AD，AB，AS所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，D，C(1，1，0)，S(0，0，1)，因此＝，
＝．
显然向量＝是平面SAB的一个法向量．
设n＝(x，y，z)为平面SDC的一个法向量，
则即
取x＝2，则y＝－1，z＝1，故平面SDC的一个法向量为(2，－1，1)．
15．解：(1)证明：＝(－1，2，－1)·(2，－1，－4)＝0，
＝(－1，2，－1)·(4，2，0)＝0，
所以AP⊥AB，AP⊥AD．
又AB∩AD＝A，所以AP⊥平面ABCD．
所以是平面ABCD的法向量．
(2)因为||＝＝，
||＝＝2，
＝(2，－1，－4)·(4，2，0)＝6，
所以cos 〈〉＝＝，
故sin 〈〉＝，
S ABCD＝||·||sin 〈〉＝8．课时分层作业(七) 空间中直线、平面的平行
一、选择题
1．(多选)设a，b分别是不重合直线l1，l2的方向向量，则根据下列条件能判断l1∥l2的是( )
A．a＝，b＝(－2，－4，0)
B．a＝(4，6，－2)，b＝(－2，－3，1)
C．a＝(5，0，2)，b＝(0，1，0)
D．a＝(－2，－1，1)，b＝(4，－2，－8)
2．若＝λ＋μ，则直线AB与平面CDE的位置关系是( )
A．相交
B．平行
C．直线在平面内
D．平行或直线在平面内
3．在空间直角坐标系中，A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是( )
A．垂直 B．平行
C．异面 D．是同一条直线
4．如图所示，在棱长为a的正方体A1B1C1D1-ABCD中，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝a，则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )
A．相交但不垂直 B．平行
C．垂直 D．不能确定
5．(2022·上海十二校联考)如图所示，已知正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，则M点的坐标为( )
A．(1，1，1) B．
C． D．
二、填空题
6．若a＝是平面α的一个法向量，且b＝(－1，2，1)，c＝均与平面α平行，则向量a＝________．
7．已知两个不重合的平面α与平面ABC，若平面α的法向量为n1＝(2，－3，1)，＝(1，0，－2)，＝(1，1，1)，则平面α与平面ABC的位置关系是________．
三、解答题
8．(2022·吉林四平高二上期中)如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，且∠BAD＝60°，AA1＝AB＝2，E为BB1的延长线上一点，D1E⊥平面D1AC．
(1)求平面EAC的一个法向量；
(2)在线段D1E上取一点P，满足＝，证明：A1P∥平面EAC．
9．如图，在正方体AC1中，PQ与直线A1D和AC都垂直，则直线PQ与BD1的关系是( )
A．异面直线 B．平行直线
C．相交但不垂直 D．垂直
10．(2022·山东烟台高二检测)如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则①A1M∥D1P；②A1M∥B1Q；③A1M∥平面DCC1D1；④A1M∥平面D1PQB1．
以上结论中正确的是________．(填写正确的序号)
11．如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：平面EFG∥平面PBC．
12．如图，在多面体ABCDEF中，平面ADEF⊥平面ABCD，四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且AD∥BC，△ABD是边长为1的等边三角形，BC＝3．问：线段BD上是否存在点N(不包括端点)，使得直线CE∥平面AFN？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
课时分层作业(七)
1．AB [对于A，易知a＝－b，所以l1∥l2，A正确；对于B，a＝－2b，所以l1∥l2，B正确；对于选项C、D，由于a与b不共线，所以不能判断l1∥l2.故选AB．]
2．D 3．B 4．B 5．C 6． 7．平行
8．解：(1)连接BD，交AC于点O，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(，0，0)，C(－，0，0)，D1(0，－1，2)，设E(0，1，2＋h)，则＝(0，2，h)，＝(2，0，0)，＝(，1，－2)．
因为D1E⊥平面D1AC，所以D1E⊥D1A，
所以＝2－2h＝0，
所以h＝1，即E(0，1，3)，所以＝(－，1，3)．
设平面EAC的法向量为m＝(x，y，z)，
由，得，故x＝0，
令z＝－1，则y＝3，
所以平面EAC的一个法向量为m＝(0，3，－1)．(答案不唯一)
(2)证明：易知＝＝．
因为A1(，0，2)，D1(0，－1，2)，
所以＝(－，－1，0)，
所以＝＝，
所以·m＝－×0＋3×＋(－1)×＝0，
又A1P不在平面EAC内，所以A1P∥平面EAC．
9．B 10．①③④
11．证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD，
所以AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)．
所以＝(2，0，－2)，＝(0，－1，0)，＝(1，1，－1)，＝(0，2，0)，
设n1＝(x1，y1，z1)是平面GEF的法向量，则n1⊥，n1⊥，
即得
令z1＝1，则x1＝1，y1＝0，所以n1＝(1，0，1)．
设n2＝(x2，y2，z2)是平面PBC的一个法向量．
由n2⊥，n2⊥，得
得
令z2＝1，得x2＝1，y2＝0，
所以n2＝(1，0，1)．
所以n1＝n2，所以平面EFG∥平面PBC．
12．解：存在．理由如下：
∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，四边形ADEF为正方形，AF 平面ADEF，∴AF⊥平面ABCD，
∴DE⊥平面ABCD.过点D作DG⊥BC于点G．
如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，
则A(1，0，0)，B，C，D(0，0，0)，E(0，0，1)，F(1，0，1)，
∴＝(0，0，1)，＝＝，＝．
设＝λ，0<λ<1，
则＝λ＝，
则＝＝．
设n＝(x，y，z)是平面AFN的法向量，
则
即
∴
取x＝，则y＝，
∴n＝是平面AFN的一个法向量．
由n·＝－×＝0，得λ＝，符合题意，即存在点N，使得直线CE∥平面AFN，此时＝.课时分层作业(八) 空间中直线、平面的垂直
一、选择题
1．已知三条直线l1，l2，l3的一个方向向量分别为a＝(4，－1，0)，b＝(1，4，5)，c＝(－3，12，－9)，则( )
A．l1⊥l2，但l1与l3不垂直
B．l1⊥l3，但l1与l2不垂直
C．l2⊥l3，但l2与l1不垂直
D．l1，l2，l3两两互相垂直
2．已知点A(0，1，0)，B(－1，0，－1)，C(2，1，1)，P(x，0，z)．若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为( )
A．(1，0，－2) B．(1，0，2)
C．(－1，0，2) D．(2，0，－1)
3．(多选)下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是( )
A．两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是a＝(2，3，－1)，b＝(－2，－3，1)，则l1∥l2
B．直线l的方向向量a＝(1，－1，2)，平面α的法向量是u＝(6，4，－1)，则l⊥α
C．平面α，β的法向量分别是u＝(2，2，－1)，v＝(－3，4，2)，则α⊥β
D．直线l的方向向量a＝(0，3，0)，平面α的法向量是u＝(0，－5，0)，则l∥α
4．已知平面α，β的法向量分别为a＝(3λ＋1，0，2λ)，b＝(1，λ－1，λ)，若α⊥β，则λ的值为( )
A．1或－ B．1或
C．－1或 D．－1或－
5．(多选)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则直线OM( )
A．和AC垂直
B．和AA1垂直
C．和MN垂直
D．与AC，MN都不垂直
二、填空题
6．已知a＝(0，1，1)，b＝(1，1，0)，c＝(1，0，1)分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有________对．
7．已知u＝(a＋b，a－b，2)是直线l的一个方向向量，n＝(2，3，1)是平面α的一个法向量，若l⊥α，则a，b的值分别为________．
8．在△ABC中，A(1，－2，－1)，B(0，－3，1)，C(2，－2，1)．若向量n是与共线的单位向量，则向量n的坐标为________；若向量n与平面ABC垂直，且|n|＝，则n的坐标为________．
三、解答题
9．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1．
求证：AB1⊥MN．
10．如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，若点Q在线段B1P上，则下列结论正确的是( )
A．当点Q为线段B1P的中点时，DQ⊥平面A1BD
B．当点Q为线段B1P的三等分点时，DQ⊥平面A1BD
C．在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BD
D．不存在DQ与平面A1BD垂直
11．(多选)下列说法正确的是( )
A．如果平面α，β的法向量分别为n1，n2，那么α⊥β n1·n2＝0
B．如果l⊥平面α，l＝(3，－1，－2)为直线l的一个方向向量，n＝(2，2，2)为平面β的一个法向量，那么α⊥β
C．若直线l的方向向量为(4，2，m)，平面α的法向量为(2，1，－1)，且l⊥α，则m＝2
D．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是A1D1，C1D1的中点，则B1D⊥平面CEF
12．(2022·辽宁沈阳同泽高中高二上月考)如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，且AB＝BC＝2AD＝4，E，F分别为AB，CD的中点，沿EF把AEFD折起，使平面AEFD⊥平面EBCF，得到如图2所示的立体图形，且以E为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系．若在线段EC上存在点G，使得AG∥平面CDF，则平面CDF的一个法向量n＝________，EG＝________．
13．如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥平面B1DE，则AE＝________．
14．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．
(1)求证：EF⊥CD；
(2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论．
15．如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面
互相垂直，已知BC＝4，AB＝AD＝2．
(1)求证：AC⊥BF；
(2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面PAC⊥平面BCEF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
课时分层作业(八)
1．A 2．C
3．AC [对于A，两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是a＝(2，3，－1)，b＝(－2，－3，1)，且b＝－a，所以l1∥l2，故A正确；
对于B，直线l的方向向量a＝(1，－1，2)，平面α的法向量是u＝(6，4，－1)且a·u＝1×6－1×4＋2×(－1)＝0，所以l∥α或l α，故B错误；
对于C，平面α，β的法向量分别是u＝(2，2，－1)，v＝(－3，4，2)，且u·v＝2×(－3)＋2×4－1×2＝0.所以α⊥β，故C正确；
对于D，直线l的方向向量a＝(0，3，0)，平面α的法向量是u＝(0，－5，0)，且u＝－a，所以l⊥α，故D错误．故选AC．]
4．D
5．AC [以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
设正方体的棱长为2，则D(0，0，0)，D1(0，0，2)，M(0，0，1)，A(2，0，0)，
C(0，2，0)，O(1，1，0)，N(0，1，2)，∴＝(－1，－1，1)，＝(0，1，1)，＝(－2，2，0)，＝＝(0，0，2)，
∴＝0，＝0，＝2，
∴OM⊥AC，OM⊥MN，故选AC．]
6．0 7．5，－1
8．或 (－2，4，1)或(2，－4，－1)
9．证明：设AB的中点为O，作OO1∥AA1．
以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OO1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz．
由已知得
A，B，C，N，B1，
∵M为BC的中点，∴M．
∴＝＝(1，0，1)，
∴＝－＋0＋＝0．
∴⊥，∴AB1⊥MN．
10．D
11．AB [对于A，由n1·n2＝0，得n1⊥n2，进而得α⊥β，反之亦成立，从而A正确；对于B，l·n＝3×2＋(－1)×2＋(－2)×2＝0，从而l⊥n，进而得α⊥β，从而B正确；对于C，因为l⊥α，直线l的方向向量为(4，2，m)，平面α的法向量为(2，1，－1)，所以直线l的方向向量与平面α的法向量平行．则存在实数λ，使(4，2，m)＝λ(2，1，－1)，即∴m＝－2．从而C错误；
对于D，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝2，平面CEF的法向量为n＝(x，y，z)．
C(0，2，0)，E(1，0，2)，F(0，1，2)，B1(2，2，2)，D(0，0，0)．
＝(2，2，2)，＝(－1，1，0)，＝(0，－1，2)，
所以则
令x＝2，得y＝2，z＝1，所以n＝(2，2，1)．
因为＝(2，2，2)，所以与n不平行，所以B1D不垂直于平面CEF，从而选项D错误．故选AB．]
12．(－1，2，1)(答案不唯一)
13．a或2a
14．解：(1)以DA，DC，DP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(如图)，
设AD＝a，则
D(0，0，0)，
B(a，a，0)，C(0，a，0)，E，P(0，0，a)，F，
所以＝＝(0，a，0)，
＝·(0，a，0)＝0，所以EF⊥DC．
(2)因为G∈平面PAD，设G(x，0，z)，
所以＝．
由(1)知，＝(a，0，0)，＝(0，－a，a)．
由题意，要使GF⊥平面PCB，只需＝·(a，0，0)＝a＝0，
＝·(0，－a，a)＝＋a＝0，
所以x＝，z＝0．
所以点G的坐标为，即点G为AD的中点．
15．解：(1)证明：∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AF⊥AD，AF 平面ADEF，∴AF⊥平面ABCD．
∵AC 平面ABCD，∴AF⊥AC．
过A作AH⊥BC于H(图略)，则BH＝1，AH＝，CH＝3，
∴AC＝2，∴AB2＋AC2＝BC2，
∴AC⊥AB．
∵AB∩AF＝A，AB，AF 平面FAB，
∴AC⊥平面FAB．
∵BF 平面FAB，∴AC⊥BF．
(2)存在．理由：由(1)知，AF，AB，AC两两垂直．以A为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，E(－1，，2)．
假设在线段BE上存在一点P满足题意，则易知点P不与点B，E重合，设＝λ，则λ>0，P.
设平面PAC的法向量为m＝(x，y，z)．
由＝＝(0，2，0)，
得
即
令x＝1，则z＝，所以m＝为平面PAC的一个法向量．
同理，可求得n＝为平面BCEF的一个法向量．
当m·n＝1＋＝0，即λ＝时，平面PAC⊥平面BCEF，故存在满足题意的点P，此时＝.课时分层作业(九) 用空间向量研究距离问题
一、选择题
1．已知直线l的一个方向向量n＝(－2，－2，1)，直线l过点A(－1，3，0)，则点P(－2，1，4)到直线l的距离为( )
A．10 B．3 C． D．
2．Rt△ABC的两条直角边BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝，则点P到斜边AB的距离是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，点P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，Q为线段AP的中点，AB＝3，BC＝4，PA＝2，则点P到平面BQD的距离为( )
A． B． C． D．
4．(多选)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为对角线BD1上靠近B点的三等分点，则P到各顶点的距离的取值有( )
A． B．
C．2 D．2
5．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是线段BB1，B1C1的中点，则直线MN与平面ACD1间的距离是( )
A． B． C． D．
二、填空题
6．棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BC，CD的中点，则点D到A1C1的距离为________．点D到平面EFD1B1的距离为________．
7．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为________．
8．棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，C1C的中点，G为线段DD1上的点，且DG＝DD1，过E，F，G的平面交AA1于点H，则A1D1到平面EFGH的距离为________．
三、解答题
9．如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1．
(1)求||．
(2)求点C到平面AEC1F的距离．
10．如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD．若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，则点P到直线BD的距离为( )
A． B． C． D．
11．(多选)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E，O分别是A1B1，A1C1的中点，点P在该正方体内部且满足＝，则下列说法正确的是( )
A．点A到直线BE的距离是
B．点O到平面ABC1D1的距离为
C．平面A1BD与平面B1CD1之间的距离为
D．点P到直线AB的距离为
12．在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为________．
13．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为________．
14．如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．
(1)求证：B1D⊥平面ABD；
(2)求证：平面EGF∥平面ABD；
(3)求平面EGF与平面ABD的距离．
15．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，问：线段AD上是否存在一点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
课时分层作业(九)
1．D 2．C 3．B
4．ABD [建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为3，
则
A(3，0，0)，B(3，3，0)，C(0，3，0)，D(0，0，0)，A1(3，0，3)，B1(3，3，3)，C1(0，3，3)，D1(0，0，3)，
所以＝(－3，－3，3)，
因为＝＝(－1，－1，1)，
所以＝＝(2，2，1)．
所以|PA|＝|PC|＝|PB1|＝＝．
|PD|＝|PA1|＝|PC1|＝＝3，
|PB|＝，|PD1|＝＝2．
故P到各顶点的距离的不同取值有，3，，2．]
5．D 6．
9．解：如图，以D为原点，DA，DC，DF所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
D(0，0，0)，B(2，4，0)，A(2，0，0)，C(0，4，0)，E(2，4，1)，C1(0，4，3)，
＝(0，4，1)，
(1)设F(0，0，a)，由＝，得(－2，0，a)＝(－2，0，2)，
所以a＝2，所以F(0，0，2)，＝(－2，－4，2)，所以||＝2．
(2)设n＝(x，y，z)为平面AEC1F的法向量，＝(－2，0，2)
由得
取z＝1，则n＝，又＝(0，0，3)，
所以C到平面AEC1F的距离d＝＝．
10．A
11．BC [如图，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，C1(1，1，1)，D1(0，1，1)，
E，O，
所以＝(1，0，0)，＝，
所以点A到直线BE的距离d1＝
＝＝，故A中说法错误；
易知＝，平面ABC1D1的一个法向量为＝(0，－1，1)，
则点O到平面ABC1D1的距离d2＝＝＝，故B中说法正确；
易知＝(1，0，－1)，＝(0，1，－1)，＝(0，1，0)，
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令z＝1，得y＝1，x＝1，所以n＝(1，1，1)，
所以点D1到平面A1BD的距离d3＝＝＝，
因为平面A1BD∥平面B1CD1，
所以平面A1BD与平面B1CD1之间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，
所以平面A1BD与平面B1CD1之间的距离为，故C中说法正确；
易知＝(0，1，0)，＝(0，0，1)，
且＝＋＋．
所以＝，
所以点P到直线AB的距离d4＝＝＝，故D中说法错误．]
12．
14．解：(1)证明：如图所示，由条件知，BA，BC，BB1两两互相垂直，以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Bxyz．
则B(0，0，0)，D(0，2，2)，B1(0，0，4)，设BA＝a，则A(a，0，0)．
∴＝(a，0，0)，＝(0，2，2)，＝(0，2，－2)，
∴＝0，
＝0＋4－4＝0．
∴B1D⊥BA，B1D⊥BD，
又∵BD∩BA＝B，BD，BA 平面ABD，
∴B1D⊥平面ABD．
(2)证明：由题意知E(0，0，3)，G，F(0，1，4)．
∴＝＝(0，1，1)，
∴＝0＋2－2＝0，＝0＋2－2＝0．
∴B1D⊥EG，B1D⊥EF，又EG∩EF＝E，EG，EF 平面EFG，
∴B1D⊥平面EFG，
结合(1)可知，平面EGF∥平面ABD．
(3)由(1)，(2)知，＝(0，1，4)，＝(0，2，－2)是平面ABD的法向量，
∴点F到平面ABD的距离为d＝＝＝．
由(2)知，平面EGF与平面ABD的距离等于点F到平面ABD的距离，∴两平面间的距离为．
15．解：取AD的中点O，在△PAD中，
∵PA＝PD，
∴PO⊥AD．
又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO 平面PAD，
∴PO⊥平面ABCD．
建立如图所示的空间直角坐标系，易得A(0，－1，0)，B(1，－1，0)，C(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，则＝(－1，0，1)，＝(－1，1，0)．
假设存在点Q，使它到平面PCD的距离为，
设Q(0，y，0)(－1≤y≤1)，
则＝(－1，y，0)．
设平面PCD的法向量为n＝(x0，y0，z0)，
则
∴
即x0＝y0＝z0，取x0＝1，
则平面PCD的一个法向量为n＝(1，1，1)．
∴点Q到平面PCD的距离d＝＝＝，
∴y＝－或y＝(舍去)．
此时＝＝，
则||＝，||＝．
∴存在点Q满足题意，
此时＝．课时分层作业(十) 用空间向量研究夹角问题
一、选择题
1．已知向量m，n分别是平面α和平面β的法向量，若cos 〈m，n〉＝－，则α与β的夹角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
2．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段A1C1的中点，则直线DE与B1C所成角的大小为( )
A．15° B．30° C．45° D．60°
3．已知A(0，1，1)，B(2，－1，0)，C(3，5，7)，D(1，2，4)，则直线AB和直线CD所成角的余弦值为( )
A． B．－
C． D．－
4．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为CC1的中点，则直线BA1与平面BDE所成角的正弦值为( )
A． B． C． D．
5．已知正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的夹角为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
二、填空题
6．如图所示，已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2，AB＝4，则异面直线AQ与PB所成角的余弦值为________．
7．在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则直线CD与平面BDC1所成角的正弦值等于________．
8．在空间中，已知平面α过A(3，0，0)和B(0，4，0)及z轴上一点P(0，0，a)(a>0)，如果平面α与平面xOy的夹角为45°，则a＝________．
三、解答题
9．中国是风筝的故乡，南方称“鹞”，北方称“鸢”，如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥P-ABCD，其中AC⊥BD于O，OA＝OB＝OD＝4，OC＝8，PO⊥平面ABCD．
(1)求证：PD⊥AC；
(2)试验表明，当PO＝OA时，风筝表现最好，求此时直线PD与平面PBC所成角的正弦值．
10．(多选)(2022·山东威海高二月考)在长方体ABCD-A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝3，AA′＝1，以D为原点，以分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是( )
A．＝(－3，－2，1)
B．异面直线A′D与BD′所成角的余弦值为
C．平面A′C′D的一个法向量为(－2，－3，6)
D．平面A′C′D与平面A′DD′的夹角的余弦值为
11．(多选)(2022·山东青州第一中学高二月考)如图所示，设E，F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CD上的两点，且AB＝2，EF＝1，下列说法正确的是( )
A．三棱锥D1-B1EF的体积为定值
B．异面直线B1D1与EF所成角的大小为45°
C．B1D1⊥平面B1EF
D．直线B1D1与平面B1EF所成角的大小为40°
12．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在鳖臑A-BCD中，AB⊥平面BCD，BD⊥CD，且AB＝BD＝CD，M为AD的中点，则平面MBC与平面BCD夹角的正弦值为( )
A． B． C． D．1
13．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，则AB与CD所成角的大小为________，AB与平面BCD所成角的大小为________．
14．(2021·新高考Ⅰ卷改编)如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点．
(1)证明：OA⊥CD；
(2)若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，且平面EBC与平面DBC的夹角为45°，求三棱锥A-BCD的体积．
15．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝，BC＝2，PA＝2．
(1)取PC的中点N，求证：DN∥平面PAB；
(2)求直线AC与PD所成角的余弦值；
(3)在线段PD上，是否存在一点M，使得平面MAC与平面ACD的夹角为45°？如果存在，求出BM与平面MAC所成角的大小；如果不存在，请说明理由．
课时分层作业(十)
1．B 2．B 3．A 4．D 5．B 6．
9．解：(1)证明：∵PO⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
∴PO⊥AC，又AC⊥BD，
PO∩BD＝O，PO 平面PBD，BD 平面PBD，
∴AC⊥平面PBD，
又PD 平面PBD．
∴PD⊥AC．
(2)如图，以O为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，
则B(4，0，0)，C(0，8，0)，D(－4，0，0)，P(0，0，2)，
∴＝(4，0，－2)，＝(0，8，－2)，＝(－4，0，－2)，
设m＝(a，b，c)为平面PBC的法向量，
则即
令c＝4，则m＝(2，1，4)，
设直线PD与平面PBC所成角为θ，
则sin θ＝＝＝．
10．ACD [由题意可得A(3，0，0)，B(3，2，0)，C(0，2，0)，D′(0，0，1)，A′(3，0，1)，C′(0，2，1)，B′(3，2，1)．
对于选项A，＝(－3，－2，1)，故A正确．
对于选项B，＝(3，0，1)，＝(－3，－2，1)，所以cos 〈〉＝＝＝，
所以异面直线A′D与BD′所成角的余弦值为，故B错误．
对于选项C，设平面A′C′D的一个法向量为n＝(x，y，z)，
由＝(3，0，1)，＝(0，2，1)，则
所以取z＝6，得n＝(－2，－3，6)，故C正确．
对于选项D，由选项C可得平面A′C′D的一个法向量为n＝(－2，－3，6)，
又平面A′DD′的一个法向量为m＝(0，1，0)，
所以cos 〈n，m〉＝＝＝－．
又因为平面A′C′D与平面A′DD′的夹角为锐角，
所以平面A′C′D与平面A′DD′的夹角的余弦值为，故D正确．故选ACD．]
11．AB [对于A选项，＝＝··B1C1＝××2×1×2＝，为定值，故正确；
对于B选项，异面直线B1D1与EF所成的角与直线B1D1与C1D1所成的角为同一个角，
即异面直线B1D1与EF所成的角为∠B1D1C1＝45°，故正确；
如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系Dxyz，
设E(0，t，0)，则F(0，t＋1，0)，
对于D选项，＝(－2，－2，0)，平面B1EF即为平面A1B1CD，＝(0，2，0)，＝(2，2，2)，
设平面A1B1CD的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
取x＝1，则n＝(1，0，－1)，
所以平面B1EF的一个法向量为n＝(1，0，－1)．
设直线B1D1与平面B1EF所成的角为θ，
则sin θ＝|cos 〈，n〉|＝＝，所以θ＝30°，故错误；
对于C选项，由D选项可知直线B1D1与平面B1EF所成的角为30°，故错误．故选AB．]
12．C 13．60° 45°
14．解：(1)证明：因为AB＝AD，O为BD的中点，所以OA⊥BD，
又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，AO 平面ABD，所以AO⊥平面BCD，
又CD 平面BCD，所以AO⊥CD．
(2)法一 因为△OCD是边长为1的正三角形，且O为BD的中点，所以OC＝OB＝OD＝1，
所以△BCD是直角三角形，且∠BCD＝90°，BC＝，所以S△BCD＝．
如图，过点E作EF∥AO，交BD于F，过点F作FG⊥BC，垂足为G，连接EG．
因为AO⊥平面BCD，
所以EF⊥平面BCD，
又BC 平面BCD，所以EF⊥BC，
又FG⊥BC，且EF∩FG＝F，EF，FG 平面EFG，
所以BC⊥平面EFG，所以EG⊥BC，
则∠EGF为平面EBC与平面DBC的夹角，
所以∠EGF＝45°，则GF＝EF．
因为DE＝2EA，所以EF＝OA，DF＝2OF，所以＝2．
因为FG⊥BC，CD⊥BC，所以GF∥CD，
则＝，所以GF＝．
所以EF＝GF＝，所以OA＝1，
所以VA BCD＝S△BCD·AO＝××1＝．
法二 如图所示，以O为坐标原点，OB，OA所在直线分别为x，z轴，在平面BCD内，以过点O且与BD垂直的直线为y轴建立空间直角坐标系．
因为△OCD是边长为1的正三角形，
且O为BD的中点，
所以OC＝OB＝OD＝1，
所以B(1，0，0)，D(－1，0，0)，C．
设A(0，0，a)，a＞0，
因为DE＝2EA，所以E．
由题意可知平面BCD的一个法向量为n＝(0，0，1)．
设平面BCE的法向量为m＝(x，y，z)，
因为＝，＝，
所以
即
令x＝1，则y＝，z＝，
所以m＝．
因为平面EBC与平面DBC的夹角为45°，
所以cos 45°＝＝＝，
得a＝1，即OA＝1．
因为S△BCD＝BD·CD sin 60°＝×2×1×＝，
所以VA BCD＝S△BCD·OA＝××1＝．
15．解：(1)证明：取BC的中点E，连接DE，交AC于点O，连接ON，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，－1，0)，B(2，－1，0)，C(0，1，0)，D(－1，0，0)，P(0，－1，2)．
∵点N为PC的中点，
∴N(0，0，1)，∴＝(1，0，1)．
设平面PAB的一个法向量为n＝(x，y，z)，
由＝(0，0，2)，＝(2，0，0)，可得n＝(0，1，0)，∴·n＝0．
又∵DN 平面PAB，∴DN∥平面PAB．
(2)由(1)知＝(0，2，0)，＝(－1，1，－2)．
设直线AC与PD所成的角为θ，
则cos θ＝＝．
(3)存在．
设M(x，y，z)，且＝λ，0<λ<1，
∴∴M(－λ，λ－1，2－2λ)．
设平面ACM的一个法向量为m＝(x，y，z)，
由＝(0，2，0)，＝(－λ，λ，2－2λ)，可得m＝(2－2λ，0，λ)，
由图知平面ACD的一个法向量为p＝(0，0，1)，
∴|cos 〈m，p〉|＝＝，
解得λ＝或λ＝2(舍去)．
∴M，
∴＝，
m＝．
设BM与平面MAC所成的角为φ，
则sin φ＝|cos 〈，m〉|＝＝，
∵0°≤φ≤90°，
∴φ＝30°．
故存在点M，使得平面MAC与平面ACD的夹角为45°，此时BM与平面MAC所成的角为30°．