课时分层作业(十一) 倾斜角与斜率
一、选择题
1．已知直线l的斜率的绝对值等于，则直线l的倾斜角为( )
A．60° B．30°
C．60°或120° D．30°或150°
2．若经过两点A(2，1)，B(1，m2)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是( )
A．(－∞，1)
B．(－1，＋∞)
C．(－1，1)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
3．(多选)在平面直角坐标系中，下列结论正确的是( )
A．倾斜角为钝角的直线，斜率为负数
B．直线l过点P(x0，y0)，如果x0＝0，则直线l的倾斜角为90°
C．若直线l的斜率k＝，则其倾斜角为60°
D．如果直线l与x轴平行，则它的倾斜角为180°
4．过A(4，y)，B(2，－3)两点的直线的一个方向向量为n＝(－1，－1)，则y的值为( )
A．－ B． C．－1 D．1
5．如果直线l过点(1，2)，且不经过第四象限，那么l的斜率的取值范围是( )
A．[0，1] B．[0，2]
C． D．(0，3]
二、填空题
6．若经过点A(1－t，1＋t)和点B(3，2t)的直线的倾斜角为钝角，则实数t的取值范围是________．
7．若直线l斜率的取值范围是，则直线l的倾斜角的取值范围是________．
8．已知点A(1，0)，B(2，)，C(m，2m)，若直线AC的倾斜角是直线AB的倾斜角的2倍，则实数m的值为________，直线AC的一个方向向量为________．
三、解答题
9．在平面直角坐标系中，A(－1，4)，B(－4，1)，点C在直线x＝1上．
(1)若A，B，C三点共线，求点C的坐标；
(2)若∠BAC＝90°，求点C的坐标．
10．已知直线l1的方向向量n＝(2，1)，直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍，则直线l2的斜率是( )
A． B．－1
C． D．
11．在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB边所在直线的斜率之和为( )
A．－2 B．0
C． D．2
12．某棵果树前n年的总产量f(n)与n之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m(m≤11)年的年平均产量最高时，m＝________．
13．已知A(，0)，B(2，1)，直线l过点P(0，－1)，若直线l与线段AB总有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________，倾斜角α的取值范围是________．
14．点M(x，y)在函数y＝－2x＋8的图象上，当x∈[2，5]时，求的取值范围．
15．如图所示，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，一边在x轴的正半轴上，已知∠BOD＝60°，
求菱形OBCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率．
课时分层作业(十一)
1．C 2．C
3．AC [结合斜率的概念，知A正确；对于选项B，只要直线l不与x轴垂直，直线的倾斜角就不是90°，选项B错误；由斜率k＝＝tan α，知α＝60°，C正确；直线l与x轴平行，则它的倾斜角为0°，D错误．故选AC．]
4．C 5．B 6．(－2，1) 7．∪
8．2－3 (1，－)(答案不唯一)
9．解：(1)设点C(1，y)，则＝(－3，－3)，＝(2，y－4)，
因为A，B，C三点共线，所以∥，
∴－3(y－4)＝－3×2，求得y＝6，可得C(1，6)．
(2)因为∠BAC＝90°，所以＝－3×2＋(－3)(y－4)＝0，解得y＝2，故点C的坐标为(1，2)．
10．C 11．B 12．9 13．
14．解：＝表示过M(x，y)，N(－1，－1)两点的直线的斜率．因为y＝－2x＋8的图象是一条直线，所以当x∈[2，5]时，其图象是直线y＝－2x＋8上的线段AB，其中A(2，4)，B(5，－2)．又因为kNA＝，kNB＝－，所以－≤≤，即的取值范围是．
15．解：在菱形OBCD中，OD∥BC，∠BOD＝60°，
所以直线OD，BC的倾斜角相等，都为60°，所以kOD＝kBC＝tan 60°＝；
∵CD∥OB，且OB在x轴上，所以直线OB，CD的倾斜角相等，都为0°，所以kOB＝kCD＝0；
由菱形的性质知，∠COB＝×60°＝30°，∠OBD＝60°，所以直线OC，BD的倾斜角分别为30°，120°，
所以两条对角线的斜率分别为：kOC＝tan 30°＝，kBD＝tan 120°＝－．课时分层作业(十二) 两条直线平行和垂直的判定
一、选择题
1．以A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)为顶点的三角形是( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．以A点为直角顶点的直角三角形
D．以B点为直角顶点的直角三角形
2．(多选)已知两条不重合的直线l1，l2，下列说法正确的是( )
A．l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，则“α1＝α2”是“l1∥l2”的充要条件
B．l1，l2的斜率分别为k1，k2，则“k1＝k2”是“l1∥l2”的充分不必要条件
C．若直线l1，l2的斜率都不存在，则l1∥l2
D．l1，l2是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则l1＝l2
3．(多选)已知两条直线l1，l2，有如下说法，其中正确的是( )
A．直线l1，l2的斜率都存在，分别为k1，k2，且k1·k2＝－1，则l1⊥l2
B．直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率存在且为0，则l1⊥l2
C．若直线l1与l2相交，则必有k1≠k2
D．直线l1，l2的斜率存在，分别为k1，k2，若k1≠k2，则l1与l2一定相交
4．已知两条直线l1，l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的两个根，则l1与l2的位置关系是( )
A．平行 B．垂直
C．可能重合 D．无法确定
5．如图所示，在平面直角坐标系中，以O(0，0)，A(1，1)，B(3，0)为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是( )
A．(－3，1) B．(4，1)
C．(－2，1) D．(2，－1)
二、填空题
6．已知直线l1的斜率k1＝，直线l2经过点A(3a，－2)，B(0，a2＋1)，且l1⊥l2，则实数a＝________．
7．已知l1，l2不重合，过点A(－2，m)和点B(m，4)的直线l1与直线l2平行，直线l2的斜率为－2，直线l3的斜率为－，若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为________．
8．已知△ABC的顶点B(2，1)，C(－6，3)，其垂心为H(－3，2)，则其顶点A的坐标为________．
三、解答题
9．已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定四边形ABCD的形状．
10．将一张画了直角坐标系(两坐标轴单位长度相同)的纸折叠一次，使点(2，0)与点(－2，4)重合，点(2 021，2 022)与点(m，n)重合，则m＋n＝( )
A．1B．2 023 C．4 043D．4 046
11．已知两点A(2，0)，B(3，4)，直线l过点B，且交y轴于点C(0，y)，O是坐标原点，且O，A，B，C四点共圆，则y的值是( )
A．19B． C．5D．4
12．已知直线l的倾斜角为135°，直线l1经过点A(3，2)，B(a，－1)，且直线l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b＝________．
13．直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两根，若l1⊥l2，则m＝________；若l1∥l2，则m＝________．
14．已知M(1，－1)，N(2，2)，P(3，0)．
(1)求点Q的坐标，满足PQ⊥MN，PN∥MQ；
(2)若点Q在x轴上，且∠NQP＝∠NPQ，求直线MQ的倾斜角．
15．已知直线l的倾斜角为30°，点P(2，1)在直线l上，直线l绕点P(2，1)按逆时针方向旋转30°后到达l1的位置，此时直线l1与直线l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m，2)，则m＝________．
课时分层作业(十二)
1．C
2．ABC [由于两直线不重合，倾斜角相等，故两直线平行，反之亦成立，从而A正确；当k1＝k2时，两直线的倾斜角相等，故l1∥l2，而l1∥l2，也有可能l1与l2的斜率不存在，从而B正确；直线l1，l2的斜率不存在，则其倾斜角均为90°，从而l1∥l2，从而C正确；若l1∥l2，则两直线的方向向量l1，l2可能同向，也可能反向，从而D错误．故选ABC．]
3．ABD [l1，l2的斜率都存在，且斜率之积为－1，则l1⊥l2，A正确；直线l1的斜率不存在，直线l1与x轴垂直，直线l2的斜率存在且为0，直线l2与x轴平行或重合，B正确；直线l1与l2相交，但斜率不一定存在，C错误；直线l1，l2的斜率存在，若k1≠k2，则l1与l2一定相交，D正确．故选ABD．]
4．B 5．A 6．1或3 7．－10 8．(－19，－62)
9．解：A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图，
由斜率公式可得kAB＝＝，kCD＝＝，kAD＝＝－3，kBC＝＝－，
∴kAB＝kCD，
由图可知AB与CD不重合，
∴AB∥CD．
由kAD≠kBC，
∴AD与BC不平行．
又kAB·kAD＝×(－3)＝－1，
∴AB⊥AD．
故四边形ABCD为直角梯形．
10．C 11．B 12．－2 13．－2 2
14．解：(1)设Q(x，y)，
由已知得kMN＝3，
由PQ⊥MN，可得kPQ·kMN＝－1，
即×3＝－1．①
由已知得kPN＝－2，
由PN∥MQ，可得kPN＝kMQ，
即＝－2．②
联立①②求解得x＝0，y＝1，即Q(0，1)．
(2)设Q(x，0)，
∵∠NQP＝∠NPQ，
∴kNQ＝－kNP．
又∵kNQ＝，kNP＝－2，
∴＝2，即x＝1，
∴Q(1，0)．
又∵M(1，－1)，
∴MQ⊥x轴，
故直线MQ的倾斜角为90°．
15．4＋ 课时分层作业(十三) 直线的点斜式方程
一、选择题
1．过点(4，－2)，倾斜角为150°的直线的点斜式方程为( )
A．y－2＝－(x＋4)
B．y－(－2)＝－(x－4)
C．y－(－2)＝(x－4)
D．y－2＝(x＋4)
2．(2022·江苏句容高二期中)经过两点A(－3，2)，B(0，－3)的直线的方程为( )
A．y＋3＝x B．y－2＝－(x＋3)
C．y＋3＝x D．y－2＝－(x＋3)
3．过点P(1，12)且倾斜角为45°的直线在y轴上的截距是( )
A．－10B．10 C．－11D．11
4．已知等边三角形ABC的两个顶点A(0，0)，B(4，0)，且第三个顶点在第四象限，则BC边所在直线的方程是( )
A．y＝－x B．y＝－(x－4)
C．y＝(x－4) D．y＝(x＋4)
5．过点(1，0)且与直线y＝x－1平行的直线方程是( )
A．y＝x－ B．y＝x＋
C．y＝－2x＋2 D．y＝－x＋
二、填空题
6．直线l的方向向量为(1，3)，且在y轴上的截距为－2的斜截式方程为________．
7．已知直线l与直线l1：y＝2x＋6在y轴上有相同的截距，且l的斜率与l1的斜率互为相反数，则直线l的方程为________．
8．已知直线l与直线y＝x＋4互相垂直，直线l与直线y＝x＋6在y轴上的截距相等，则直线l的方程为________．
三、解答题
9．已知点A(3，3)和直线l：y＝x－．
(1)求过点A且与直线l平行的直线的斜截式方程；
(2)求过点A且与直线l垂直的直线的斜截式方程．
10．(2022·杭州市期中)已知k＋b＝0，k≠0，则直线y＝kx＋b的位置可能是( )
A B C D
11．(多选)经过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程为( )
A．x－y＋1＝0 B．x＋y－7＝0
C．2x－y－2＝0 D．2x＋y－10＝0
12．数学家欧拉提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(4，0)，B(0，2)，且|AC|＝|BC|，则△ABC的欧拉线方程为( )
A．x－2y＋3＝0 B．2x＋y－3＝0
C．x－2y－3＝0 D．2x－y－3＝0
13．将一张画有直角坐标系的图纸对折，使点A(0，2)与B(4，0)重合，若此时点C(0，4)恰与点D重合，则点D的坐标是________．
14．三角形的三个顶点是A(4，0)，B(6，7)，C(0，3)．
(1)求BC边上的高所在直线的方程；
(2)求BC边上的中线所在直线的方程．
15．如图，在两条互相垂直的道路l1，l2的一角，有一个电线杆，电线杆底部到道路l1的垂直距离为4米，到道路l2的垂直距离为3米，现在要过电线杆的底部靠近道路的一侧修建一条人行直道，使得人行道与两条垂直的道路围成的直角三角形的面积最小，则人行道的长度为________米．
课时分层作业(十三)
1．B 2．D 3．D 4．C 5．A 6．y＝3x－2 7．y＝－2x＋6
8．y＝－2x＋6
9．解：(1)因为直线l的方程为y＝x－，所以该直线的斜率k＝，所以过点A(3，3)且与直线l平行的直线的点斜式方程为y－3＝(x－3)，其斜截式方程为y＝x＋．
(2)易知与直线l垂直的直线的斜率为－，所以过点A(3，3)且与直线l垂直的直线的点斜式方程为y－3＝－(x－3)．其斜截式方程为y＝－x＋7．
10．B
11．AB [由题意知，所求直线的斜率为±1，又过点(3，4)，
由点斜式得y－4＝±(x－3)．
所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.故选AB．]
12．D 13．
14．解：(1)BC边所在直线的斜率为
kBC＝＝，因为BC所在直线的斜率与BC边上的高所在直线的斜率乘积为－1，所以BC边上的高所在直线的斜率为－．
又因为BC边上的高所在的直线过A(4，0)，
所以BC边上的高所在的直线方程为
y－0＝－(x－4)，即3x＋2y－12＝0．
(2)设BC中点为M，则中点M(3，5)，又kAM＝－5，所以BC边上的中线AM所在的直线方程为y＝－5(x－3)＋5，即5x＋y－20＝0．
15．10 课时分层作业(十四) 直线的两点式方程
一、选择题
1．经过M(3，2)与N(6，2)两点的直线方程为( )
A．x＝2 B．y＝2
C．x＝3 D．x＝6
2．(多选)求过两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)的直线方程时，有下列说法，其中正确的是( )
A．当x1＝x2时，直线的方程为x＝x1
B．当y1＝y2时，直线的方程为y＝y1
C．直线的方程为＝
D．方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)可表示平面内过P(x1，y1)，Q(x2，y2)的所有直线
3．已知△ABC三顶点A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB中点，N为AC中点，则中位线MN所在直线方程为( )
A．2x＋y－8＝0 B．2x－y＋8＝0
C．2x＋y－12＝0 D．2x－y－12＝0
4．(多选)过点(2，3)，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为( )
A．y＝x B．x＋y＝5
C．y＝－x D．x＋y＋5＝0
5．某地汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y(单位：元)与行李重量x(单位：kg)的关系如图所示，则旅客最多可免费携带行李的重量为( )
A．20 kg B．25 kg C．30 kg D．80 kg
二、填空题
6．以点P(5，8)和Q(3，－4)为端点的线段的方程是________．
7．若直线l过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，则直线l的方程为________．
8．直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是________．
三、解答题
9．已知在△ABC中，A，B的坐标分别为(－1，2)，(4，3)，AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上．
(1)求点C的坐标；
(2)求直线MN的方程．
10．(多选)已知直线l过点(1，2)，且在横坐标与纵坐标上的截距的绝对值相等，则直线l的方程可以是( )
A．2x－y＝0 B．x＋y－3＝0
C．x－2y＝0 D．x－y＋1＝0
11．已知点A(4，0)，B(0，2)，若点C(a，b)在线段AB(不含端点)上，则－b的最小值为( )
A．－ B．－
C．－ D．－
12．直线＝1与＝1(m≠n)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A B C D
13．(2022·四川眉山高二期中)光线从点A(－3，4)射出，到x轴上的点B后被x轴反射到y轴的点C上，又被y轴反射，这时反射线恰好经过点D(－1，6)，则BC所在的直线方程为________．
14．已知A(－2，0)，P(1，3)，B(5，0)．
(1)求过点B且与直线AP垂直的直线方程；
(2)经过点P的直线l把△PAB的面积分割成3∶4两部分，求直线l的方程．
15．(2022·陕西师大附中高二月考)若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线l的方程．
课时分层作业(十四)
1．B
2．ABD [当x1＝x2时，直线PQ与x轴垂直，A正确；当y1＝y2时，直线PQ与y轴垂直，B正确；当x1≠x2且y1≠y2时，直线的方程为＝，C错误，D正确．故选ABD．]
3．A
4．AB [设直线在两坐标轴上的截距分别为a，b．
当a＝b≠0时，直线方程为＋＝1，
∴＋＝1，
∴a＝5，∴x＋y＝5；当a＝b＝0时，k＝，
∴y＝x.综上所述，y＝x或x＋y＝5．]
5．C 6．6x－y－22＝0(3≤x≤5) 7．x＋3y－9＝0或4x－y＋16＝0
8．(－∞，－1)∪
9．解：(1)设C(x，y)，∵A(－1，2)，B(4，3)，
∴AC的中点坐标为M，
BC的中点坐标为N，
又AC中点在y轴上且BC中点在x轴上，
∴x＝1，y＝－3，故C(1，－3)．
(2)由(1)可知M，N，
由截距式方程得＋＝1，
整理得MN的方程为2x－10y－5＝0．
10．ABD [由题意设所求直线的横截距为a．
①当a＝0时，由题意可设直线的方程为y＝kx，将(1，2)代入可得k＝2，∴直线的方程为2x－y＝0；
②当a≠0时，由截距式方程可得直线的方程为＋＝1(截距相等)或＋＝1(截距相反)，将(1，2)代入可得a＝3或a＝－1，
∴直线的方程为x＋y－3＝0或x－y＋1＝0.故选ABD．]
11．A 12．B 13．5x－2y＋7＝0
14．解：(1)∵A(－2，0)，P(1，3)，∴kAP＝＝1，
∴过点B(5，0)且与直线AP垂直的直线方程为y＝－(x－5)，即x＋y－5＝0．
(2)设直线l与x轴相交于点M(x，0)，
∵经过点P的直线l把△PAB的面积分割成3∶4两部分，
∴＝或．
∴＝或＝，
解得x＝1或x＝2.∴M(1，0)或M(2，0)，
∴直线l的方程为x＝1或3x＋y－6＝0．
15．解：由题意知直线l在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0.若l在两坐标轴上的截距相等，设为a(a≠0)，则直线方程为＋＝1，即x＋y－a＝0.因为|a|·|a|＝18，即a2＝36，所以a＝±6，所以直线方程为x＋y±6＝0.若l在两坐标轴上的截距互为相反数，设在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为－a(a≠0)，故直线方程为＋＝1，即x－y－a＝0.因为|－a|·|a|＝18，即a2＝36，所以a＝±6，所以直线方程为x－y±6＝0．
综上所述，直线l的方程为x＋y±6＝0或x－y±6＝0．课时分层作业(十五) 直线的一般式方程
一、选择题
1．直线3x－2y－4＝0的截距式方程是( )
A．＝1 B．＝1
C．＝4 D．x－＝1
2．(2022·北京牛栏山一中高二期中)已知直线l经过点(2，1)，且与直线2x－y＋1＝0垂直，则直线l的一般式方程为( )
A．x＋2y－4＝0 B．x＋2y＝0
C．2x－y－3＝0 D．2x－y＝0
3．过点M(－3，2)，且与直线x＋2y－9＝0平行的直线方程是( )
A．2x－y＋8＝0 B．x－2y＋7＝0
C．x＋2y＋4＝0 D．x＋2y－1＝0
4．已知直线Ax＋By＋C＝0的斜率为5，且A－2B＋3C＝0，则该直线方程为( )
A．15x－3y－7＝0 B．15x＋3y－7＝0
C．3x－15y－7＝0 D．3x＋15y－7＝0
5．(多选)(2022·泉州高二月考)已知直线l1：x＋my－1＝0，l2：(m－2)x＋3y＋3＝0，则下列说法正确的是( )
A．若l1∥l2，则m＝－1或m＝3
B．若l1∥l2，则m＝3
C．若l1⊥l2，则m＝－
D．若l1⊥l2，则m＝
二、填空题
6．已知直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，则该直线在y轴上的截距为________．
7．已知a，b为正数，且直线ax＋by－6＝0与直线2x＋(b－3)y＋5＝0平行，则2a＋3b的最小值为________．
8．已知点A(3，1)，点B在直线l：2x＋y－2＝0上运动，则当线段AB最短时，直线AB的一般式方程为________．
三、解答题
9．已知方程(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0(m∈R)．
(1)若方程表示一条直线，求实数m的取值范围；
(2)若方程表示的直线的斜率不存在，求实数m的值，并求出此时的直线方程；
(3)若方程表示的直线在x轴上的截距为－3，求实数m的值；
(4)若方程表示的直线的倾斜角是45°，求实数m的值．
10．直线2x－y－2＝0绕它与y轴的交点A按逆时针方向旋转90°所得的直线方程是( )
A．x－2y＋4＝0 B．x＋2y－4＝0
C．x－2y－4＝0 D．x＋2y＋4＝0
11．设A(－2，2)，B(1，1)，若直线l：ax＋y＋1＝0与线段AB有交点，则a的取值范围是( )
A．∪[2，＋∞) B．
C．(－∞，－2] D．
12．若直线mx＋4y－2＝0与直线2x－y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则实数n的值为( )
A．－2 B．－4
C．10 D．8
13．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2且|PA|＝|PB|，若直线PA的斜率为，那么直线PB的斜率为________；若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程为________．
14．已知直线l1：x＋3y－5＝0，l2：3kx－y＋1＝0．若l1，l2与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则k＝________．
15．已知在△ABC中，点A的坐标为(1，3)，AB，AC边上的中线所在直线的方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在直线的方程．
课时分层作业(十五)
1．B 2．A 3．D 4．A
5．BD [由l1∥l2，得3－m(m－2)＝0，解得m＝－1或m＝3，
当m＝－1时，l1与l2重合，故A错误，B正确．
由l1⊥l2，得(m－2)＋3m＝0，解得m＝，故C错误，D正确．故选BD．]
6．－ 7．25 8．x－2y－1＝0
9．解：(1)当x，y的系数不同时为零时，方程表示一条直线，令m2－2m－3＝0，解得m＝－1或m＝3；
令2m2＋m－1＝0，解得m＝－1或m＝．
所以若方程表示一条直线，则m≠－1，
即实数m的取值范围为{m|m≠－1}．
(2)由(1)，易知当m＝时，方程表示的直线的斜率不存在，且直线方程为x＝．
(3)依题意，得＝－3，
所以3m2－4m－15＝0，
又m2－2m－3≠0，所以m＝－．
(4)因为直线的倾斜角为45°，所以斜率为1，
所以－＝1，2m2＋m－1≠0，
解得m＝，
所以若方程表示的直线的倾斜角为45°，则m＝．
10．D 11．C 12．A 13．－ x＋y－5＝0 14．±1
15．解：设AB，AC边上的中线分别为CD，BE，其中D，E分别为AB，AC的中点，
∵点B在中线y－1＝0上，
∴设B点坐标为(x，1)．
又∵A点坐标为(1，3)，D为AB的中点，
∴由中点坐标公式得D点坐标为．
又∵点D在中线x－2y＋1＝0上，
∴－2×2＋1＝0，解得x＝5，
∴B点坐标为(5，1)．
同理可求出C点的坐标是(－3，－1)．
故可求出△ABC三边AB，BC，AC所在直线的方程分别为x＋2y－7＝0，x－4y－1＝0和x－y＋2＝0．课时分层作业(十六) 两条直线的交点坐标
一、选择题
1．直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点坐标为( )
A．(－4，－3) B．(4，3)
C．(－4，3) D．(3，4)
2．直线(x－2)＋m(x－y＋3)＝0(m∈R)一定过定点( )
A．(4，0) B．(0，4)
C．(2，5) D．(3，2)
3．已知点M(0，－1)，点N在直线x－y＋1＝0上，若直线MN垂直于直线x＋2y－3＝0，则N点的坐标是( )
A．(2，3) B．(－2，－1)
C．(－4，－3) D．(0，1)
4．直线l1：x＋my－6＝0与l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0只有一个公共点，则( )
A．m≠－1且m≠3
B．m≠－1且m≠－3
C．m≠1且m≠3
D．m≠1且m≠－1
5．(2022·北京西城区高二期中)已知直线kx－y＋2k＋1＝0与x＋2y－4＝0的交点在第四象限，则实数k的取值范围为( )
A．(－6，2) B．
C． D．
二、填空题
6．已知直线ax＋2y－1＝0与直线2x－5y＋c＝0垂直相交于点(1，m)，则m＝________．
7．已知直线Ax＋3y＋C＝0与直线2x－3y＋4＝0的交点在y轴上，则C的值为______．
8．若三条直线l1：3x＋my－1＝0，l2：3x－2y－5＝0，l3：6x＋y－5＝0不能围成三角形，则实数m的值为________．
三、解答题
9．如图，△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∠BAC的平分线所在直线的方程为y＝0，若点B的坐标为(1，2)，求点A和点C的坐标．
10．若直线l：y＝kx－与直线x＋y－3＝0相交，且交点在第一象限，则直线l的倾斜角θ的取值范围是( )
A．{θ|0<θ<60°}
B．{θ|30°<θ<60°}
C．{θ|30°<θ<90°}
D．{θ|60°<θ<90°}
11．已知直线l1：mx－y＋m－1＝0与射线l2：x－y－2＝0(x≥0)恒有公共点，则m的取值范围是( )
A．[－1，1] B．(－∞，－1]∪(1，＋∞)
C．[－1，1) D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
12．(多选)对于直线l：x＝my＋1，下列说法错误的是( )
A．直线l恒过定点(1，0)
B．直线l斜率必定存在
C．m＝时直线l的倾斜角为60°
D．m＝2时直线l与两坐标轴围成的三角形面积为
13．经过直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________．
14．(源自北师大版教材)已知A(1，4)，B(－2，－1)，C(4，1)是△ABC的三个顶点，求证：△ABC的三条中线交于一点．
15．已知直线l1：(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0．
(1)求证：无论m为何实数，直线l1恒过一定点M；
(2)若直线l2过点M，且与x轴负半轴、y轴负半轴围成的三角形面积最小，求直线l2的方程．
课时分层作业(十六)
1．C 2．C 3．A 4．A 5．C 6．－2 7．－4 8．2或－2或
9．解：由方程组
得顶点A(－1，0)，则边AB所在直线的斜率kAB＝＝1．
∵∠BAC的平分线所在直线的方程为y＝0，
∴直线AC的斜率为－1，AC所在直线的方程为y＝－(x＋1)．
∵BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，
∴kBC＝－2．
又点B的坐标为(1，2)，
∴BC所在直线的方程为y＝－2(x－1)＋2．
由得C(5，－6)．
综上，A(－1，0)，C(5，－6)．
10．C 11．C
12．BC [对于A，由直线方程知直线l恒过定点(1，0)，正确；
对于B，当m＝0时，直线斜率不存在，错误；
对于C，m＝时有y＝(x－1)，
即tan θ＝，则倾斜角为θ＝，错误；
对于D，m＝2时，直线l：x＝2y＋1，则与x轴、y轴交点分别为(1，0)，，所以直线l与两坐标轴围成的三角形面积为，正确．]
13．x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0
14．证明：根据已知条件将A，B，C三点画在平面直角坐标系中，如图所示．设点E，F，G分别为AB，BC，AC的中点，则易求得三边的中点坐标分别为E，F(1，0)，G．
所以中线AF所在直线的方程为x＝1，
中线BG所在直线的方程为＝，即y＋1＝(x＋2)，
中线CE所在直线的方程为＝，即y－1＝－(x－4)．
由解得
即交点P的坐标为．
因为－1＝－×(1－4)，所以点P满足中线CE所在直线的方程，
即点P在中线CE所在直线上．
所以△ABC的三条中线交于一点．
15．解：(1)证明：l1：(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0 m(x－2y－3)＋(2x＋y＋4)＝0．
令 则M(－1，－2)，
∴无论m为何实数，直线l1恒过一定点M(－1，－2)．
(2)由题意知直线l2的斜率k<0，
设直线l2：y＋2＝k(x＋1)，
令x＝0，得y＝k－2．令y＝0，得x＝－1．
∴三角形面积S＝|k－2|·＝＝，
∵k<0，∴－>0，－k>0，∴－－k≥2＝4，
当且仅当－＝－k，即k＝－2时取等号，
∴y＋2＝－2(x＋1)，即2x＋y＋4＝0．课时分层作业(十七) 两点间的距离公式
一、选择题
1．已知三角形的三个顶点A(2，4)，B(3，－6)，C(5，2)，则过点A的中线长为( )
A． B．2
C．11 D．3
2．在直线2x－3y＋5＝0上求一点P，使点P到点A(2，3)的距离为，则点P的坐标是( )
A．(5，5) B．(－1，1)
C．(5，5)或(－1，1) D．(5，5)或(1，－1)
3．(多选)对于，下列说法正确的是( )
A．可看作点(x，0)与点(1，2)的距离
B．可看作点(x，0)与点(－1，－2)的距离
C．可看作点(x，0)与点(－1，2)的距离
D．可看作点(x，－1)与点(－1，1)的距离
4．光线从点A(－4，－2)射出，到直线y＝x上的B点后被直线y＝x反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(－1，6)，则BC所在的直线方程为( )
A．3x－10y＋8＝0 B．10x－3y＋8＝0
C．3x＋10y－8＝0 D．10x＋3y－8＝0
5．已知△ABC的顶点A(2，3)，B(－1，0)，C(2，0)，则△ABC的周长是( )
A．2 B．3＋2
C．6＋3 D．6＋
二、填空题
6．点P在直线2x－y＝0上，若M(4，－2)且|PM|＝5，则点P的坐标为________．
7．点P在直线l：x－y＋4＝0上，且到点M(－2，－4)，N(4，6)的距离相等，则点P的坐标为________；经过点P且垂直于l的直线方程为________．
8．f(x)＝的最小值为________．
三、解答题
9．已知直线l：y＝3x＋3，求：
(1)点P(4，5)关于l的对称点坐标；
(2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程；
(3)直线l关于点A(3，2)的对称直线的方程．
10．一束光线从点A(1，0)处射到y轴上一点B(0，2)后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程是( )
A．x＋2y－2＝0 B．2x－y＋2＝0
C．x－2y＋2＝0 D．2x＋y－2＝0
11．(多选)直线x＋y－1＝0上与点P(－2，3)的距离等于的点的坐标是( )
A．(－4，5) B．(－3，4)
C．(－1，2) D．(0，1)
12．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离．结合上述观点，可得f(x)＝的最小值为( )
A．2B．5 C．4D．8
13．若函数y＝的图象上存在两点P，Q关于点(1，0)对称，则直线PQ的方程是________．
14．如图所示，已知BD是△ABC边AC上的中线，建立适当的平面直角坐标系，证明：＝2|BD|2．
15．(2022·江苏连云港期中)若不等式＋≥m对任意的实数x，y恒成立，则m的最大值是________，此时x＋y＝________．
课时分层作业(十七)
1．B 2．C
3．BCD [由题意，可得＝＝＝，可看作点(x，0)与点(－1，－2)的距离，可看作点(x，0)与点(－1，2)的距离，可看作点(x，－1)与点(－1，1)的距离，故选项A不正确，故选BCD．]
4．B 5．C 6．(1，2)或(－1，－2) 7． x＋y－1＝0 8．3
9．解：(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，
即
解得∴P′点坐标为(－2，7)．
(2)解方程组
得
则点在所求直线上．
在直线y＝x－2上任取一点M(2，0)，
设点M关于直线l的对称点为M′(x0，y0)，
则解得
点M′也在所求直线上．
由两点式得直线方程为＝，
化简得7x＋y＋22＝0，
即为所求直线方程．
(3)在直线l上取两点E(0，3)，F(－1，0)，
则E，F关于点A(3，2)的对称点分别为E′(6，1)，F′(7，4)．
因为点E′，F′在所求直线上，
所以由两点式得所求直线方程为＝，即3x－y－17＝0．
10．B
11．BC [设所求点的坐标为(x0，y0)，有x0＋y0－1＝0，
且＝，
两式联立解得或]
12．B 13．x－4y－1＝0
14．证明：如图所示，以AC所在的直线为x轴，点D为坐标原点，建立平面直角坐标系．
设B(b，c)，C(a，0)，依题意得A(－a，0)．
|AB|2＋|BC|2－|AC|2
＝(a＋b)2＋c2＋(a－b)2＋c2－(2a)2
＝2a2＋2b2＋2c2－2a2＝2b2＋2c2，
2|BD|2＝2(b2＋c2)＝2b2＋2c2，
所以|AB|2＋|BC|2－|AC|2
＝2|BD|2．
15．18 7课时分层作业(十八) 点到直线的距离公式 两条平行直线间的距离
一、选择题
1．已知点P是x轴上的点，且点P到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为( )
A．(－6，0) B．(－12，0)
C．(－12，0)或(8，0) D．(－6，0)或(6，0)
2．已知直线5x＋12y－3＝0与直线10x＋my＋20＝0平行，则它们之间的距离是( )
A．1B．2 C．D．4
3．(2022·山东邹城高二期中)若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与直线6x＋8y＋1＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为( )
A． B． C． D．
4．(多选)已知A(1＋t，1＋3t)到直线l：y＝2x－1的距离为，则点A的坐标可以是( )
A．(0，－2) B．(2，4)
C．(0，2) D．(1，1)
5．已知A(－2，－4)，B(1，5)两点到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为( )
A．－3 B．3 C．－1 D．－3或3
二、填空题
6．分别过点A(－2，1)和点B(3，－5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离d是________．
7．(2022·河南省洛阳市期末)若点(2，1)到直线l：ax＋by＝0的距离为2，则直线l的方程为________．
8．(2022·上海市虹口区段考)已知直线l：kx＋y＋2－k＝0过定点M，点P(x，y)在直线2x－y＋1＝0上，则|MP|的最小值是________．
三、解答题
9．求过点P(0，2)且与点A(1，1)，B(－3，1)等距离的直线l的方程．
10．(2020·全国Ⅲ卷)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为( )
A．1 B． C． D．2
11．(多选)已知平面上一点M(5，0)，若一条直线上存在点P使|PM|＝4，则称该直线为“切割型直线”．下列直线中是“切割型直线”的是( )
A．y＝x＋1 B．y＝2
C．y＝x D．y＝2x＋1
12．(多选)已知平面上一点M(5，0)，若直线l上存在点P使|PM|＝4，则称该直线为点M的“相关直线”，下列直线是点M的“相关直线”的是( )
A．y＝x＋1 B．y＝2
C．4x－3y＝0 D．2x－y＋1＝0
13．已知直线l1：2x－y＋a＝0，l2：4x－2y－1＝0，若直线l1，l2的距离等于，且直线l1不经过第四象限，则a＝________．
14．如图，射线OA所在直线的方向向量为d1＝(1，k)(k>0)，点P在∠AOx内，PM⊥OA于点M．
(1)若k＝1，P，求|OM|的值；
(2)若P(2，1)，△OMP的面积是，求k的值．
15．已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a>0)，直线l2：4x－2y－1＝0和直线l3：x＋y－1＝0，且l1和l2间的距离是．
(1)求a的值；
(2)能否找到一点P，使得点P同时满足下列三个条件：①点P是第一象限内的点；②点P到l1的距离是点P到l2的距离的一半；③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
课时分层作业(十八)
1．C 2．A 3．D
4．AB [直线l：y＝2x－1可化为2x－y－1＝0，依题意得＝，整理得|t|＝1，所以t＝1或t＝－1.当t＝1时，点A的坐标为(2，4)；当t＝－1时，点A的坐标为(0，－2)．
综上，点A的坐标为(0，－2)或(2，4)，故选AB．]
5．D 6．5 7．x＝0或3x＋4y＝0 8．
9．解：法一 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，不合题意，因此直线l的斜率存在，设为k．
又直线l在y轴上的截距为2，则直线l的方程为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0．
由点A(1，1)与B(－3，1)到直线l的距离相等，
得＝，
解得k＝0或k＝1．
∴直线l的方程是y＝2或x－y＋2＝0．
法二 当直线l过线段AB的中点时，
直线l与点A，B的距离相等．
∵AB的中点是(－1，1)，又直线l过点P(0，2)，
∴直线l的方程是x－y＋2＝0；
当直线l∥AB时，直线l与点A，B的距离相等．
∵直线AB的斜率为0，∴直线l的斜率为0，
∴直线l的方程为y＝2．
综上所述，满足条件的直线l的方程是x－y＋2＝0或y＝2．
10．B
11．BC [点M(5，0)到直线y＝x＋1的距离d＝＝3>4，故A不符合题意；点M(5，0)到直线y＝2的距离d＝2<4，故B符合题意；点M(5，0)到直线y＝x的距离d＝＝4，故C符合题意；点M(5，0)到直线y＝2x＋1的距离d＝＝>4，故D不符合题意．]
12．BC [点M到直线y＝x＋1的距离d＝＝3>4，即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4，所以该直线上不存在点P，使|PM|＝4，故A中的直线不是点M的“相关直线”；点M到直线y＝2的距离d＝|0－2|＝2<4，即点M与该直线上的点的距离的最小值小于4，所以该直线上存在点P，使|PM|＝4，故B中的直线是点M的“相关直线”；点M到直线4x－3y＝0的距离d＝＝4，所以直线上存在点P，使|PM|＝4，故C中的直线是点M的“相关直线”；点M到直线2x－y＋1＝0的距离d＝＝>4，故D中的直线不是点M的“相关直线”．故选BC．]
13．3
14．解：(1)∵P，∴|OP|＝.若k＝1，则d1＝(1，1)，∴OA的方程为y＝x，即x－y＝0，则点P到直线OA的距离为＝，
∴|OM|＝＝．
(2)∵直线OA的方程为kx－y＝0，
∴点P(2，1)到直线OA的距离d＝，
∴|OM|＝，
∴△OMP的面积为××＝，解得k＝或k＝2．
15．解：(1)l2的方程可化为2x－y－＝0，
所以l1和l2间的距离d＝＝，
所以＝，因为a>0，所以a＝3．
(2)设点P(x0，y0)，若点P满足条件②，则点P在与l1和l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上，且＝×，得c＝或c＝．
所以2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0．
若点P满足条件③，则＝，所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0．
若点P也满足条件①，则3x0＋2＝0不合题意．
由解得
此时点P不满足条件①，应舍去．
由解得此时点P也满足条件①．
所以P为同时满足三个条件的点．课时分层作业(十九) 圆的标准方程
一、选择题
1．以两点A(－3，－1)和B(5，5)为直径端点的圆的标准方程是( )
A．(x－1)2＋(y－2)2＝10
B．(x－1)2＋(y－2)2＝100
C．(x－1)2＋(y－2)2＝5
D．(x－1)2＋(y－2)2＝25
2．两条直线y＝x＋2a，y＝2x＋a的交点P在圆(x－1)2＋(y－1)2＝4的内部，则实数a的取值范围是( )
A．
B．∪(1，＋∞)
C．
D．∪[1，＋∞)
3．(多选)已知圆C的标准方程是(x－3)2＋(y＋2)2＝13，则下列说法正确的是( )
A．圆C的圆心坐标为(3，－2)
B．圆C的半径为
C．圆C的周长是2π
D．如果圆D的周长是圆C的周长的2倍，则圆D的面积是26π
4．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0，0)对称的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋y2＝5
B．x2＋(y－2)2＝5
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5
D．x2＋(y＋2)2＝5
5．已知某圆的圆心C在x轴上，半径为5，且在y轴上截得线段AB的长为8，则圆的标准方程为( )
A．(x＋3)2＋y2＝25
B．x2＋(y±3)2＝25
C．(x±3)2＋y2＝5
D．(x±3)2＋y2＝25
二、填空题
6．(2022·云南师大附中高三月考)已知半径为1的圆C关于直线2x－y－4＝0对称，写出一个满足题意的圆C的标准方程：__________．
7．若一圆的圆心坐标为(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则此圆的标准方程是________．
8．过点M(2，2)的直线l与坐标轴的正方向分别交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积为8，则△OAB外接圆的标准方程是________．
三、解答题
9．已知M(2，0)，N(10，0)，P(11，3)，Q(6，1)四点，试判断它们是否共圆，并说明理由．
10．(2022·山东潍坊高二期中)过点A(0，0)，B(2，2)，且圆心在直线y＝2x－4上的圆的标准方程为( )
A．(x－2)2＋y2＝4
B．(x＋2)2＋y2＝4
C．(x－4)2＋(y－4)2＝8
D．(x＋4)2＋(y－4)2＝8
11．(多选)以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，且过另一个交点的圆的方程可能为( )
A．x2＋(y－4)2＝20
B．(x－4)2＋y2＝20
C．x2＋(y－2)2＝20
D．(x－2)2＋y2＝20
12．已知直线(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0恒过定点P，则与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为( )
A．(x－2)2＋(y＋3)2＝36
B．(x－2)2＋(y＋3)2＝25
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝18
D．(x－2)2＋(y＋3)2＝9
13．已知点A(－4，2)，B(－4，－2)，C(－2，2)，则△ABC外接圆的标准方程是____________．
14．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0，1)，设P是圆C上的动点，令d＝，求d的最大值及最小值．
15．设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段弧，其弧长比为3∶1．在满足上述条件的圆中，求圆心到直线l：x－2y＝0的距离最小时的圆的标准方程．
课时分层作业(十九)
1．D 2．A
3．ABC [由圆的标准方程(x－3)2＋(y＋2)2＝13可知，圆C的圆心坐标为(3，－2)，半径为r＝，周长为2πr＝2π，从而ABC正确；设圆D的半径为r1，则r1＝2，从而圆D的面积是π＝52π，所以D错误．故选ABC．]
4．A 5．D 6．(x－2)2＋y2＝1(答案不唯一)7．(x－2)2＋(y＋3)2＝13
8．(x－2)2＋(y－2)2＝8
9．解：设M，N，P三点确定的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
∴
解得
∴过点M，N，P的圆的方程为(x－6)2＋(y－3)2＝25.
将点Q的坐标(6，1)代入方程左端，得(6－6)2＋(1－3)2＝4＜25，
∴点Q不在圆(x－6)2＋(y－3)2＝25上，
∴M，N，P，Q四点不共圆．
10．A
11．AD [令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝2.所以设直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的交点分别为A(0，4)，B(2，0)．
因为|AB|＝＝2，所以，以A为圆心，过B点的圆的方程为x2＋(y－4)2＝20；以B为圆心，过A点的圆的方程为(x－2)2＋y2＝20.故选AD．]
12．B
13．(x＋3)2＋y2＝5
14．解：设P(x，y)，
则d＝|PA|2＋|PB|2＝2(x2＋y2)＋2．
圆心坐标为C(3，4)，O为坐标原点，
∴|CO|2＝32＋42＝25，即|CO|＝5，
∴(5－1)2≤x2＋y2≤(5＋1)2，
即16≤x2＋y2≤36．
∴d的最小值为2×16＋2＝34，
最大值为2×36＋2＝74．
15．解：设圆心为(a，b)，半径长为r，
依题意，得消去r，得2b2－a2＝1，①
圆心到直线l的距离d＝．
设a－2b＝k，
则a＝2b＋k，代入①式，
整理得2b2＋4bk＋k2＋1＝0．
判别式Δ＝8(k2－1)≥0，
解得|k|≥1，
当|k|＝1时，dmin＝．
当k＝1时，a＝b＝－1，圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝2；
当k＝－1时，a＝b＝1，圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2．课时分层作业(二十) 圆的一般方程
一、选择题
1．方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形为( )
A．以(a，b)为圆心的圆
B．以(－a，－b)为圆心的圆
C．点(a，b)
D．点(－a，－b)
2．已知圆C的圆心坐标为(2，－3)，且点(－1，－1)在圆上，则圆C的一般方程为( )
A．x2＋y2－4x＋6y＋8＝0
B．x2＋y2－4x＋6y－8＝0
C．x2＋y2－4x－6y＝0
D．x2＋y2－4x＋6y＝0
3．(2022·广东实验中学月考)方程|x－1|＝表示的曲线是( )
A．一个圆 B．两个半圆
C．两个圆 D．半圆
4．若点(2，3)在圆C：x2＋y2＋2x－2my＋4m＝0(m∈R)的外部，则实数m的取值范围是( )
A．
B．
C．(－∞，2－
D．(2＋，＋∞)
5．已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )
A．π B．4π C．8π D．9π
二、填空题
6．若直线x＋y＋a＝0平分圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0的面积，则实数a＝________．
7．已知点A(1，2)在圆x2＋y2＋2x＋3y＋m＝0外部，则实数m的取值范围是________．
8．设圆x2＋y2－4x＋2y－11＝0的圆心为A，点P在圆上，则线段PA的中点M的轨迹方程是________．
三、解答题
9．(2022·湖南娄底高二期中)已知曲线C：(1＋a)x2＋(1＋a)y2－4x＋8ay＝0．
(1)当a取何值时，方程表示圆？
(2)求证：不论a为何值，曲线C必过两定点．
(3)当曲线C表示圆时，求圆面积最小时a的值．
10．圆x2＋y2－ax－2y＋1＝0关于直线x－y－1＝0对称的圆的方程是x2＋y2－4x＋3＝0，则a的值为( )
A．0B．1 C．2D．3
11．若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为( )
A．(－∞，－2) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)
12．已知圆C经过点(4，2)，(1，3)和(5，1)，则圆C与两坐标轴的四个截距之和为________．
13．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆．后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆．已知直角坐标系中A(－2，0)，B(2，0)，则满足|PA|＝2|PB|的点P的轨迹的圆心为________，面积为________．
14．如图，已知正方形ABCD的四个顶点坐标分别为A(0，－2)，B(4，－2)，C(4，2)，D(0，2)．
(1)求对角线AC所在直线的方程；
(2)求正方形ABCD外接圆的方程；
(3)若动点P为外接圆上一点，点N(－2，0)为定点，问线段PN中点的轨迹是什么？并求出该轨迹方程．
15．在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆．
最小覆盖圆满足以下性质：
①线段AB的最小覆盖圆就是以AB为直径的圆．
②锐角△ABC的最小覆盖圆就是其外接圆．
已知曲线W：x2＋y4＝16，A(0，t)，B(4，0)，C(0，2)，D(－4，0)为曲线W上不同的四点．
(1)求实数t的值及△ABC的最小覆盖圆的方程；
(2)求四边形ABCD的最小覆盖圆的方程；
(3)求曲线W的最小覆盖圆的方程．
课时分层作业(二十)
1．D 2．D 3．A 4．C 5．B 6．1 7．
8．x2＋y2－4x＋2y＋1＝0
9．解：(1)当a＝－1时，方程为x＋2y＝0，表示一条直线．
当a≠－1时，方程化为＋＝表示圆．
(2)证明：方程变形为x2＋y2－4x＋a(x2＋y2＋8y)＝0．
由于a取任何值，上式都成立，
则有
解得或
所以曲线C过定点A(0，0)，B．
(3)由(2)知曲线C过定点A，B，在这些圆中，以AB为直径的圆的面积最小(其余不以AB为直径的圆的直径大于AB的长，圆的面积也大)，
从而以AB为直径的圆的方程为＋＝，
所以＝，＝，＝，解得a＝．
10．C 11．D 12．－2 13． π
14．解：(1)由两点式可知，对角线AC所在直线的方程为＝，整理得x－y－2＝0．
(2)设G为外接圆的圆心，则G为AC的中点，
∴G，即(2，0)，
设r为外接圆的半径，则r＝|AC|，
则|AC|＝＝4，
∴r＝2．
∴外接圆方程为(x－2)2＋y2＝8．
(3)设点P坐标为(x0，y0)，线段PN的中点M坐标为(x，y)，则x＝，y＝，
∴x0＝2x＋2，y0＝2y，①
∵点P为外接圆上一点＝8，
将①代入并整理，得x2＋y2＝2，
∴该轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，轨迹方程为x2＋y2＝2．
15．解：(1)由题意，得t＝－2，
由于△ABC为锐角三角形，其外接圆就是△ABC的最小覆盖圆．
设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则解得
所以△ABC的最小覆盖圆的方程为x2＋y2－3x－4＝0．
(2)因为线段DB的最小覆盖圆就是以DB为直径的圆，
所以线段DB的最小覆盖圆的方程为x2＋y2＝16．
又因为|OA|＝|OC|＝2<4(O为坐标原点)，所以点A，C都在圆内．
所以四边形ABCD的最小覆盖圆的方程为x2＋y2＝16．
(3)由题意知曲线W为中心对称图形．
设P(x0，y0)，
则＝16．
所以|OP|2＝(O为坐标原点)，且－2≤y0≤2．
故|OP|2＝＝＝－＋，
所以当＝时，|OP|max＝，
所以曲线W的最小覆盖圆的方程为x2＋y2＝．
