江苏省徐州市铜山区铜北中学2023-2024学年高一上学期第一次学情调查数学试题（PDF版含解析）

2023-2024 学年度上学期高一年级第一次学情调查
数学试题
考试时间 120 分钟 试卷满分 150 分
第 I卷（选择题）
一、单选题
1．已知集合 A -1,0,1, 2 ， B x | 0 x 3 ，则 A B等于（ ）
A． 1,0,1 B． 0,1
C． 1,1,2 D． 1,2
2．已知集合 A {x | x2 1 0}，下列式子错误的是（ ）
A．1 A B．{ 1} A C． A D． 1,1 A
3．集合 A x 1 x 2 ,B x x 1 ，则 A ( RB) （ ）
A． x x 1 B． x x 1
C． x 1 x 2 D． x 1 x 2
4．已知 p : 0 x 2， q : 1 x 3，则 p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．命题 p： x R，x2 4x 5 0，则 p为（ ）
A． x 2 20 R，x0 4x0 5 0 B． x0 R，x0 4x0 5 0
C． x R，x2 4x 5 0 D． x R，x2 4x 5 0
6．已知集合 A {x | ax x2}， B {0，1，2}，若 A B，则实数 a的值为（ ）
A．1或 2 B．0或 1 C．0或 2 D．0或 1或 2
7．若关于 x的不等式 x2 4x 2 a 0有解，则实数 a的取值范围是（ ）
A． a a 2 B． a a 2 C． a a 6 D． a a 6
2 1
8．已知 x 0， y 0， 1 2x y ，若 x 2y m 2m恒成立，则实数 m的取值范围是
（ ）
试卷第 1页，共 3页
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A．m 4或m 2 B．m 2或m 4
C． 2 m 4 D． 4 m 2
二、多选题
9．（多选题）已知集合M 1,2,3,4,5 ,N M 4,5 ，则 N可能为（ ）
A． 1,2,3,4,5 B． 4,5,6 C． 4,5 D． 3,4,5
10．下列“若 p，则q”形式的命题中， p是q的必要条件的是（ ）
A．若 x2 y2，则 x y B．若 x 5，则 x 10
C．若 ac bc，则 a b D．若 2x 1 2y 1，则 x y
11．若 a,b,c R且a b 0，则下列不等式一定正确的是（ ）
A． 1 1 2 a c b c 2 2a b B． ab b C． D．a(c 1) b(c 1)
12．下列命题中，真命题的是（ ）
2 4A． x R ，都有 x x x 1 B． x 1, ，使得 x 6 .x 1
b a x2 10
C．任意非零实数a,b，都有 2 D．函数 y 的最小值为 2
a b x2 9
第 II 卷（非选择题）
请点击修改第 II 卷的文字说明
三、填空题
x 0, y 0 1 113．若 ，且 xy 16，则 x y的最小值为 ．
1 1
14．若一元二次不等式 ax2 bx c 0的解集是{x | x }，那么不等式
5 4
2cx2 2bx a 0的解集是 .
15．A x | x2 x 6 0 ，B x |mx 1 0 ，且 A B A，则m的值是 ．
16．已知正数 a，b满足 a b ab 3 0，则 ab的最小值是 ．
四、解答题
20．已知集合 A x 4 x 2 ，集合 B {x | x 3 0}．
(1)求 A B, A B；
试卷第 2页，共 3页
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(2)求 R (A B) .
21．已知集合 A x | 3< x 4 ,B x | 2 k x 2k 1 ，且 A B A，试求 k的取值
范围．
22．已知集合 A x 1 x 3 ， B x ax 1 0，a 0 ：
(1)当a 2时，求 A B与 A B；
(2)若 A B，求实数 a的取值范围.
23．已知集合 A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}（a＞0），B＝{x|x2+3x﹣4≤0}.
（1）若 a＝3，求 A∪B；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数 a的取值范围.
2 x
24．已知集合 A x (x m)(x 2m 3) 0 ，其中m R，集合 B x 0 .
x 3
（1）当m 1时，求 A B；
（2）若 B A，求实数m的取值范围.
25．如图为传统节日玩具之一走马灯，常见于除夕、元宵、中秋等节日灯内点上蜡烛，
蜡烛燃烧产生的热力造成气流，令轮轴转动．轮轴上有剪纸，烛光将剪纸的影投射在屏
上，图像便不断走动，因剪细图像为古代武将骑马的图画，在转动时看起来好像几个人
你追我赶一样，故名走马灯，现打算做一个体积为 96000 cm3的如图长方体状的走马灯
(题中不考虑木料的厚薄粗细)．
(1)若底面大矩形的周长为 160cm，当底面边长为多少时，底面面积最大？
(2)若灯笼高为 40cm，现只考虑灯笼的主要框架，当底面边长为多少时，框架用料最少？
试卷第 3页，共 3页
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参考答案
1．D
【分析】本题考查集合的交集运算，注意区别集合的元素．
【详解】 A B 1，2
故选：D．
2．B
【分析】求出集合 A，即可依次判断.
对 A：利用元素与集合关系判断；
对 B：“ ”表示元素与集合之间的关系；
对 C： 是任何集合的子集；
对 D：判断 1,1 与A是否为包含关系.
【详解】 A {x | x2 1 0} 1, 1 ，
1 A, 1 A, A, 1,1 A .
{ 1}与A是两个集合，不能用“ ”表示它们之间的关系，故 B错误.
故选：B
3．D
【分析】先求出集合 B的补集，再求出 A ( RB)
【详解】因为 B x x 1 ，所以 RB x x 1 ，
因为 A x 1 x 2 ，所以 A ( RB) x 1 x 2 ，
故选：D
4．A
【分析】将 p,q相互推导，根据能否推导的情况判断出充分、必要条件.
【详解】由 p : 0 x 2，可得出 q : 1 x 3，故 p q，
由 q : 1 x 3，得不出 p : 0 x 2，所以 p是q的充分而不必要条件，
故选：A.
5．B
【分析】根据命题的否定规则即可得到答案.
答案第 1页，共 9页
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【详解】根据命题的否定，任意变存在，范围不变，结论相反，
则 p 2为 x0 R，x0 4x0 5 0，
故选：B.
6．D
【解析】先求出集合A，再根据 A B，即可求解.
【详解】解：当 a 0时， A 0 ，满足 A B，
当a 0时， A 0,a ，
若 A B，
a 1或 a 2，
综上所述： a 0,1或 a 2．
故选：D．
7．C
【分析】直接利用判别式即可研究不等式的解的情况.
【详解】若关于 x的不等式 x2 4x 2 a 0有解,
则 16 4 2 a 0，解得 a 6 .
故选：C
.8．C
2 2 1
【分析】由题意可得m 2m x 2y x 2 y x 2 y min 恒成立，由 利用基本不等 x y
式求最值即可求解.
【详解】若 x 2y m2 2m 2恒成立，则m 2m x 2y min ，
2 1 x 2y x 2y 4 4y x 4y x因为 4 2 4 2 2 8 ，
x y x y x y
4y
当且仅当 =
x
，即 x 4, y 2时取等号．
x y
所以 x 2y 8min
所以m2 2m 8，即m2 2m 8 0，
答案第 2页，共 9页
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解得： 2 m 4．
故选：C
【点睛】方法点睛：求不等式恒成立问题常用分离参数法的方法
若不等式 f x, 0 x D （ 是实参数）恒成立，将 f x, 0转化为 g x 或
g x x D 恒成立，进而转化为 g x g x x D g xmax或 min ，求 的最值即可.
9．BC
【分析】由已知可知集合N必含有元素 4和 5，但不能含有1, 2,3，从而可得选项.
【详解】解：因为集合M 1,2,3,4,5 ,N M 4,5 ，
可得集合 N必含有元素 4和 5，但不能含有1, 2,3，
根据选项，可得集合N可能为 4,5,6 ， 4,5 ，
故选：BC
10．BCD
【分析】利用必要条件的定义、特殊值法判断可得出合适的选项.
【详解】对于 A选项，取 x 1， y 1，则 x y，但 x2 y2，即“ x2 y2 ”不是“ x y ”的
必要条件；
对于 B选项，若 x 10，则 x 5，即“ x 5”是“ x 10 ”的必要条件；
对于 C选项，若 a b，则 ac bc，即“ac bc ”是“ a b ”的必要条件；
对于 D选项，若 x y，则 2x 1 2y 1，即“ 2x 1 2y 1”是“ x y ”的必要条件.
故选：BCD.
11．BD
【分析】取特值可判断 A，C；由不等式的性质可判断 B，D.
1 1 1
【详解】对于 A， a 2,b 1，则 1，故 A错误；
a 2 b
对于 B，由 a b 0，两边同时乘以b， ab b2，故 B正确.
对于 C，若 c = 0，则 a c b c ，故 C错误；
对于 D，因为a b 0， c2 1 0，则a(c2 1) b(c2 1)，故 D正确.
故选：BD.
答案第 3页，共 9页
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12．AB
【分析】对于选项 A，作差比较可知 A正确；对于选项 B，当 x 2时，可知 B正确；对于
选项 C，当 a,b异号时，可知 C错误；对于选项 D，根据基本不等式取等的条件不成立可知
D错误.
A 2 2【详解】对于选项 ， x x x 1 x 2x 1 0，所以对 x R ，都有 x2 x x 1，
故选项 A正确；
x 4 2 4对于选项 B，当 x 2时， 6，故选项 B正确；
x 1 2 1
b a
对于选项 C，若 a,b异号，则 0，故选项 C错误；
a b
2 2 1
对于选项 D， y
x 10 x 9 1 1
x 2 9 2 2，当且仅当 x 9 ，
x2 9 x2 9 x2 9 x2 9
x2 10
此时 x2 9 1，此式无解，所以函数 y 的最小值不为 2，故选项 D错误.
x2 9
故选：AB
【点睛】此题考查了集合的交集运算，属于基础题.
1
13． /0.5
2
【分析】运用基本不等式进行求解即可.
【详解】因为 x 0, y 0，且 xy 16，
1 1 1 1 1 1
所以 2 2 ，
x y x y 16 2
1 1
当且仅当 x y 时取等号，即当
x y 4时取等号，
1
故答案为： 2
14．{x | x 10或 x 1}
1 1 9
【分析】由题意可得方程 ax2 bx c 0的解是 和 ，由根与系数的关系可得b a，
5 4 20
c 1 a，代入不等式 2cx2 2bx a 0，解不等式即可求出答案.
20
2 1 1 1 1【详解】 ax bx c 0的解集是{x | x }，所以方程 ax2 bx c 0的解是 和 ，
5 4 5 4
b 9 c 1
且 a<0，由根与系数的关系可得： ， ，
a 20 a 20
答案第 4页，共 9页
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解得b
9
a， c
1
a，
20 20
1 9
所以不等式 2cx2 2bx a 0 2变形为 ax ax a 0，
10 10
即 x2 9x 10 0，其解集是{x | x 10或 x 1}．
故答案为：{x | x 10或 x 1}
15 0 1 1． 、 、
2 3
【分析】先求出集合 A，再由 A B A，可得 B A，然后分 B 和B 两种情况求
解即可
【详解】解：由 x2 x 6 0，得 x 2或 x 3，
2
所以 A x | x x 6 0 3, 2 ，
因为 A B A，所以 B A，
当B 时， B A成立，此时方程mx 1 0无解，得m 0；
1
当B 时，得m 0，则集合 B x | mx 1 0 m ，
因为 B A
1 1 1 1
，所以 3或 2，解得m 或m ，
m m 3 2
综上，m 0
1
，m 或m
1
.
3 2
1 1
故答案为： 0、 、
2 3
16．9
【分析】由已知结合基本不等式 a b 2 ab ，即可直接求解．
【详解】Q a b ab 3 0， a b ab 3
a,b为正实数， a b 2 ab，当且仅当 a b时取等号，
ab 3 2 ab ， ab 2 ab 3 0 ，即 ab 3 ab 1 0
解得： ab 3或 ab 1（舍去），
ab 9，当且仅当 a b 3时取等号，即 ab的最小值是 9．
故答案为：9
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了利用基本不等式求最值，解题的关键是利用基本不等
式将已知条件转换成关于 ab的一元二次不等式，进而解不等式得解，考查学生的转化思
答案第 5页，共 9页
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想与运算能力，属于基础题．
17．(1) A B {x | 3 x 2}； A B {x | x 4}；
(2){x | x 3或 x 2} .
【分析】（1）化简集合 B，再利用交集、并集的定义求解作答.
（2）利用（1）的结论，再利用补集的定义求解作答.
【详解】（1）集合 B {x | x 3 0} {x | x 3}，而 A x 4 x 2 ，
所以 A B {x | 3 x 2}， A B {x | x 4} .
（2）由（1）知， A B {x | 3 x 2}，所以 R (A B) {x | x 3或 x 2} .
5
18． k
2
【分析】根据题意可知 B A，对集合 B是否为空集进行分类讨论即可求得 k的取值范围.
【详解】由 A B A可得 B A，
若B 时， 2 k>2k 1，解得 k 1；
2 k 2k 1
B
5
若 时，则 2 k 3 ，解得1 k ；
2
2k 1 4
5
综上所述， k
2
19．(1) A B x |1 x 3 ， A B 1 x | x
2
(2) 1,
【分析】（1）直接代入 a值，根据交并集含义即可得到答案；
（2）分 a 0和 a<0讨论即可.
1
【详解】（1）当 a 2时， B x | 2x 1 0 x | x ，
2
则 A B x |1 x 3 1 ， A B x | x .
2


1 1
（2）若 a 0，则 B x | x a ，因为 A B，所以 1，解得 a 1， a
1a 1若 0，则 B x | x 0a ，因为 不满足 A B， a
答案第 6页，共 9页
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综上所述，实数 a的取值范围 1, .
20．（1）[﹣4，5]；（2）a≥6.
【解析】（1）当 a＝3时，化简集合 A，利用并集定义求解即可；
（2）由“x∈A”是“x∈B”的必要条件，列出不等式解出实数 a的取值范围．
【详解】（1）当 a＝3时，A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}＝[﹣1，5]，
B＝{x|x2+3x﹣4≤0}＝[﹣4，1]，
所以，A∪B＝[﹣4，5]
（2）A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}（a＞0），B＝{x|x2+3x﹣4≤0}＝[﹣4，1]，
因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件，
2 a 4
所以 2 ， a 1
a 6
所以 a ，所以 a≥6. 1
所以，当 a≥6时，“x∈A”是“x∈B”的必要条件.
21．（1） x 5 x 2 ；（2） ( , 2] [3, )
【分析】（1）先分别求出集合 A,B，再根据集合间的运算即可求解；
（2）由 B A知： A ，对m进行讨论即可求解.
2 x
【详解】解：（1）由 0，
x 3
解得： 3 x 2，
B x 2 x故 0

x∣ 3 x 2 ，
x 3
当m 1时， (x m)(x 2m 3) 0可化为： (x 5)(x 1) 0，
解得： 5 x 1，
集合 A x 5 x 1 ，
故 A B x 5 x 2 ；
（2）显然 A ，即m 1，
当 m 2m 3，
即m 1时， A x m x 2m 3 ，
答案第 7页，共 9页
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又 B A，
m 1
m 3 ，

2m 3 2
解得：m 3；
当 m 2m 3，
即m 1时， A x 2m 3 x m ，
又 B A，
m 1
2m 3 3，

m 2
解得：m 2，
综上所述：实数m的取值范围为 ( , 2] [3, ) .
22．(1)当长、宽皆为 20cm时，底面矩形面积最大
(2)当长为 60cm、宽为 40cm时，用料最少
【分析】(1) 设大矩形的长为 x，宽为 y，则有 x y 80，借助基本不等式计算面积的最大
值；
(2)易得底面面积 S xy 2400，借助基本不等式计算底面周长的最小值.
【详解】（1）设大矩形的长为 x，宽为 y
2
依题有： 2 x y 160 x y ，即 x y 80，则 S xy≤ 1600
4
当且仅当 x y 40时，底面矩形面积最大
S xy 9600（2）依题有 2400，
4
答案第 8页，共 9页
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框架用料最少等价于底面用料为 2x 3y最小即可，
2x 3y≥ 2 6xy 240，当 2x 3y，即 y 40, x 60取等
故当长为 60cm、宽为 40cm时，用料最少
答案第 9页，共 9页
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