华实高级中学2023-2024学年高三上学期11月月考
数学试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知集合，，则．( )
A. B. C. D.
2.已知，则“”是“为纯虚数”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知一个正四棱台的上下底面边长为、，侧棱长为，则棱台的体积为( )
A. B. C. D.
4.若，则( )
A. B. C. D.
5.已知函数在处的切线与直线垂直，则的值为( )
A. B. C. D.
6.同时抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，用表示红色骰子的点数，表示绿色骰子的点数，设事件“”，事件“为奇数”，事件“”，则下列结论正确的是( )
A. 与对立 B. C. 与相互独立 D. 与相互独立
7.“家在花园里，城在山水间．半城山色半城湖，美丽惠州和谐家园”一首婉转动听的美丽惠州唱出了惠州的山姿水色和秀美可人的城市环境．下图是惠州市风景优美的金山湖片区地图，其形状如一颗爱心．图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为( )
A. B.
C. D.
8.已知函数满足：对任意的，，，且是上的偶函数，若，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.设等差数列的公差为，其前项和为，且，，则( )
A. B. ，，为等差数列
C. 数列是等比数列 D. 是的最小值
10.函数其中，，的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 函数的周期是
B.
C. 为了得到的图象，只需将的图象向左平移个单位长度
D. 为了得到的图象，只需将的图象向左平移个单位长度
11.在长方体中，、、分别为棱、、的中点，，，则正确的选项是( )
A. 与所成角的大小为 B. 与所成角的大小为
C. 点到平面的距离为 D. 点到平面的距离为
12.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆．”后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系中，，，点满足，点的轨迹为曲线，下列结论正确的是( )
A. 曲线的方程为 B. 直线与曲线有公共点
C. 曲线被轴截得的弦长为 D. 面积的最大值为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.在的展开式中，含项的系数为 ．
14.已知向量，的夹角为，，，则______．
15.一次函数的图象经过函数的定点，则的最小值为 ．
16.已知双曲线的右顶点到其一条渐近线的距离等于，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上的动点到直线和距离之和的最小值为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
设是公比不为的等比数列，为，的等差中项．
求的公比； 若，求数列的前项和．
18.本小题分
如图，已知四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，，是的中点．
证明：平面；
求二面角的余弦值．
19.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，且．
若，，求角；
设的角平分线交于点，若面积为，求长的最大值．
20.本小题分
年是某市大力推进居民生活垃圾分类的关键一年，有关部门为宣传垃圾分类知识，面向该市市民进行了一次“垃圾分类知识”的网络问卷调查，每位市民仅有一次参与机会，通过抽样，得到参与问卷调查中的人的得分数据，其频率分布直方图如图所示：
估计该组数据的中位数、众数；
由频率分布直方图可以认为，此次问卷调查的得分服从正态分布，近似为这人得分的平均值同一组数据用该区间的中点值作代表，利用该正态分布，求；
在的条件下，有关部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
(ⅰ)得分不低于可获赠次随机话费，得分低于则只有次；
(ⅱ)每次赠送的随机话费和对应概率如下：
赠送话费单位：元
概率
现有一位市民要参加此次问卷调查，记单位：元为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列和数学期望．附：，若，则，．
21.本小题分
已知函数
讨论函数的单调性；
当时，若函数在上的最小值是，求的值．
22.本小题分
已知双曲线：的左焦点为，右顶点为，渐近线方程为，到渐近线的距离为．
Ⅰ求的方程；
Ⅱ若直线过，且与交于，两点异于的两个顶点，直线与直线，的交点分别为，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．华实高级中学2023-2024学年高三上学期11月月考
答案和解析
1.【答案】 解：因为所以．故选：．
2.【答案】 【解析】解：若为纯虚数，则，且，解得，
则“”是“为纯虚数”的充要条件，故选：
3.【答案】 如图所示，由正四棱台可知，四边形为等腰梯形，
且，，，所以，所以，故选：．
4.【答案】 解：，．故选D．
5.【答案】 解：函数，求导得：，因为在处的切线与直线垂直，所以在处的切线斜率为，解得．故选B．
6.【答案】 【解答】解：由题意可知事件，事件为奇数，事件“”，
则由题可知，事件和事件是互斥事件，不同时发生，但可以同时不发生，故A错误；样本空间共个样本点，，，，，，，共个样本点，所以，
，，，，，，，，，共个样本点，，，，且，，，，，，共个样本点，，，故B错误，
，所以与不相互独立，故D错误，，，，与相互独立，故C正确．故选C．
7.【答案】 解：由图可知，“心形”关于轴对称，所以上部分的函数为偶函数，
则函数和都不满足，故排除、；的图象过点，，，且时，，当且仅当时，等号成立，
即函数的最大值为，又“心形”函数的最大值为，故排除；
由的图象过点，，，且时，，当时，等号成立，即函数的最大值为，满足题意，故C满足．故选：．
8.【答案】 解：根据题意，是上的偶函数，则函数的图象关于直线对称，
又由函数满足对任意的，，，则函数在上是增函数，又由函数的图象关于直线对称，则函数在上是减函数，
若，则有，即，解得：或，所以的取值范围是．故选D．
9.【答案】 解：由题意，下面对各选项进行分析：
对，由，所以，所以，故A正确；
对，由等差数列性质，，因为，所以，，不是等差数列，故B错误；对，根据等差数列通项公式有，所以，所以数列是等比数列，故C正确；对，当时，有，即数列中，，，均为负数，当时，，所以是的最小值，故D正确．故选：．
10.【答案】 解：由图可知，，，所以，故A错误；
则，即，将代入可得，，得，
又，所以，故B正确；由上述结论可知，为了得到，应将函数向左平移个单位长度，故C错误，D正确．故选BD．
11.【答案】 解：如图建立空间直角坐标系，连接，
则，，，，，
所以，，所以，所以，所以异面直线与所成角的大小为，故A错误，B正确又，，设平面的一个法向量，则，令，则，则点到平面的距离为，故C正确，D错误．故选BC．
12.【答案】 【解答】解：设，由，，因为，
所以，整理得，即
点到直线的距离为，所以直线与曲线没有公共点
因为曲线的圆心在轴上，半径为．所以曲线被轴截得的弦长为，
所以面积的最大值为．故选ACD．
13.【答案】 解：的展开式的通项为，
令，得，则的系数为．故答案为：．
14.【答案】 解：向量，的夹角为，且，，，．故答案为：．
15.【答案】 解：因为函数令，即，则，即定点为，
代入得，，，所以，当且仅当时取等号．故的最小值为．
16.【答案】 解：双曲线：的渐近线方程为，
右顶点到其一条渐近线的距离等于，可得，解得，
即有，由题意可得，解得，即有抛物线的方程为，如图，过点作于点，作准线：于点，连接，根据抛物线的定义得，
根据平面几何知识，可得当、、三点共线时，有最小值．
到直线：的距离为．
的最小值是，由此可得所求距离和的最小值为．
17.【答案】解：设等比数列的公比为，
由题意知：，即，
所以，解得舍去．
若，则，
所以数列的前项和为，
则，
两式相减得
，
所以．
18.【答案】解法一：连接，设与交于点，连接．
底面是正方形，为的中点，又为的中点，
，
平面，平面，
平面．
解法二：以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
设，则，，，．
，
设是平面的一个法向量，
则由，得，．
，，
又平面，平面．
由知是平面的一个法向量，
又是平面的一个法向量．
设二面角的平面角为，由图可知为锐角，
．
19.【答案】解：，正弦定理可得：，
，，又，，
，，在中，由正弦定理得：，
，；
，是的角平分线，
而，，
即，，，，，且，当且仅当取等，
，当且仅当取等，最大值为．
20.【答案】解：由，得，设中位数为，由，
解得，由频率分布直方图可知众数为．
从这人问卷调查得到的平均值为
因为由于得分服从正态分布，
所以．
设得分不低于分的概率为，则，
的取值为，，，，，，
，，所以的分布列为：
所以．
21.【答案】解：函数的定义域为，且
当时，由，得，所以在上单调递增；
令，得，所以在上单调递减．
当时，，故在上单调递増．
当，即时，由知在上单调递增，所以，解得，符合题意；当，即时，由知在上单调递减，
在上单调递增，所以，解得舍去；
当，即时，由知在上单调递减，所以，解得舍去综上，可知．
22.【答案】解：Ⅰ由题意可知，又焦点到的距离为，所以，
所以，解得，，所以的方程为．
Ⅱ假设存在实数满足题意．
由题意知直线斜率不为，可设直线的方程为，
设，，
联立方程，得，
可得
直线，直线，
当时，可得，，
若，则，
可得，
即，
因为，
所以，可得，
所以存在实数满足题意．
