山西省晋中市博雅培文实验学校2023-2024学年高一上学期第三次月考（11月）数学试卷（含解析）

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博雅培文实验学校2023-2024学年高一上学期第三次月考
数学试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第ⅠⅠ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名 准考证号填写在答题卡上.
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4.测试范围：人教必修2019第四章4.4节之前.
第Ⅰ卷
一 单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.设，则（ ）
A. B.
C. D.
3.下列说法正确的是（ ）
A.“”是“”成立的充分必要条件；
B.命题，则；
C.命题“若，则”的否定是假命题；
D.“”是“”成立的充分不必要条件.
4.某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数）.若该食品在的保鲜时间是，在的保鲜时间是，则该食品在的保鲜时间是（ ）
A. B. C. D.
5.在上定义运算：，若不等式对任意实数恒成立，则实数的最大值为（ ）
A. B. C. D.
6.若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7.已知是定义在上的减函数，那么的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.设函数，则对任意实数是的（ ）
A.充分必要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
二 多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.）
9.若集合，且，则实数的值为（ ）
A. B.0 C. D.1
10.对于给定实数，关于的一元二次不等式的解集可能是（ ）
A. B. C. D.
11.已知为奇函数，且为偶函数，若，则（ ）
A. B.
C. D.
12.函数的图像可能是（ ）
A. B.
C. D.
第II卷
三 填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.已知函数，则__________.
14.已知幂函数在上单调递减，则__________.
15.函数的定义域为__________.
16.已知函数的定义域为，它的图像是一条连续的曲线，且满足：，在区间上单调递增，则下列说法中，正确说法的序号是__________.
①；
②的一个周期为2；
③是奇函数；
④的图象的一条对称轴是；
⑤在区间上单调递增.
四 解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤）.
17.计算：
（1）；
（2）.
18.已知函数的定义域为集合，关于的不等式的解集为.
（1）求集合；
（2）若，求实数的取值范围.
19.已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）确定函数的解析式；
（2）用定义证明在上是增函数：
（3）解关于的不等式.
20.已知函数.
（1）若，写出的单调区间（不要求证明）；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
21.某工厂某种航空产品的年固定成本为250万元，每生产件，需另投入成本为，当年产量不足80件时，（万元）.当年产量不小于80件时，（万元）.每件商品售价为50万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.
（1）写出年利润（万元）关于年产量（件）的函数解析式；
（2）年产量为多少件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
22.函数的定义域为，且对一切都有，当时，有.
（1）求的值；
（2）判断的单调性并加以证明；
（3）若，求在上的值域.
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博雅培文实验学校2023-2024学年高一上学期第三次月考
数学试题答案
（考试时间：120分钟试卷 满分：150分）
注意事项：
1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名 准考证号填写在答题卡上.
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4.测试范围：人教必修2019第四章4.4节之前.
第Ⅰ卷
一 单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.
1.【答案】C
【分析】由集合运算法则计算.
【详解】由已知，所以.
故选：C.
2.【答案】B
【分析】
根据指数函数和对数函数的性质，利用中间量法求得各值的范围，即可得解.
【详解】
，
，
，
综上可得，
故选：B
3.【答案】C
【分析】
利用不等式性质可判断A；运用全称命题的否定为特称命题，即可判断B；由命题与其否定一真一假，即可判断C；特殊值代入即可判断D.
【详解】
对于选项A，时，易得，反之不成立，故A错误；
对于选项，全称命题的否定为特称命题，所以命题的否定为，故错误；
对于选项C，“若，则”为真命题，所以其否定为假命题，故C正确；
对于选项D，由“”并不能推出“”，如，故D错误；
故选：C.
4.【答案】A
【分析】
将代入函数关系可得，则可求出时的函数值.
【详解】
由题可知当时，；当时，，
，解得，
则当时，.
故选：A.
5.【答案】D
【分析】
根据新定义，整理可得恒成立，在上的最小值为，所以，即可得解.
【详解】
由，
则即，
所以恒成立，
在上的最小值为，
所以，
整理可得，
解得，
实数的最大值为，
故选：D
6.【答案】D
【分析】
分两种情况，当对恒成立，当时，需开口向下，判别式小于0，不等式恒成立.
【详解】
当时，原不等式可化为，对恒成立；
当时，原不等式恒成立，需，
解得，
综上.
故选：D
7.【答案】C
【分析】
分段函数在定义域内单调递减，不仅要求每一段解析式为减函数，还要注意端点处的函数值的大小关系.
【详解】
因为函数是定义在上的减函数，
所以，
解得.
所以实数的取值范围为.
故选：C.
8.【答案】A
【分析】
根据函数的奇偶性和单调性，由可得在上为奇函数，由时，为增函数，进行分析判断即可得解.
【详解】
根据题意可得，
所以为奇函数，
由时，为增函数，
由在上为奇函数，
所以在上为增函数，，
由，可得，
可得，所以，
由可得，
所以，可得，
故对任意实数是的充要条件.
故选：A
二 多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选.对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.）
9.【答案】ABC
【分析】
根据子集的定义求解，注意空集是任何集合的子集.
【详解】
，
当时，，可取，
当时，，令，可取，
令，可取，
综上或
故选：ABC.
10.【答案】AB
【分析】
讨论参数，得到一元二次不等式的解集，进而判断选项的正误.
【详解】
由，分类讨论如下：
当时，；
当时，；
当时，或；
当时，；
当时，或.
故选：AB.
11.【答案】ABC
【分析】
综合已知，利用奇偶性的定义和性质判定的周期为4，进而可求得，然后即可判定；根据周期性可判定；根据已得数据可以判定时中的方程不成立，从而判定不正确.
【详解】
因为函数为偶函数，所以，
又因为是上的奇函数，所以，
所以，所以的周期为4，
又，
故A，B正确；
正确；
，同时根据奇函数的性质得既相等又互为相反数，故，所以，即对于不成立，故D不正确.
故选：.
【点睛】
本题考查抽象函数的奇偶性和周期性，关键难点在于结合奇偶性得到周期性，同时注意，定义域为的周期为奇函数，必有这一结论值得记忆.
12.【答案】ABC
【分析】
通过对取值，判断函数的图象，推出结果即可.
【详解】
由题可知，函数，
若时，则，定义域为：，选项C可能；
若，取时，则函数定义域为，且是奇函数；时函数可化为选项可能；
若时，如取，定义域为：且是奇函数，选项可能，
故不可能是选项D，
故选：
【点睛】
本题主要考查了由函数解析式判断函数图象，属于高考高频考点，涉及函数的定义域 奇偶性，单调性，特殊值代入，等属于中档题.
第II卷
三 填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.【答案】
【分析】
利用函数的解析式可求得的值.
【详解】
因为，所以，.
故答案为：.
14.【答案】-1
【分析】
由系数为1解出的值，再由单调性确定结论.
【详解】
由题意，解得或，
若，则函数为，在上递增，不合题意.
若，则函数为，满足题意.
故答案为：-1.
15.【答案】
【分析】
根据函数解析式，列出不等式组求解即可.
【详解】
因为函数，
所以解得，
所以函数定义域为，
故答案为：
16.【答案】①③④
四 解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤）.
17.【答案】（1）-6
（2）3
【分析】（1）根据分数指数幂运算法则分别化简求值即可.
（2）根据对数运算法则分别化简求值即可.
【详解】（1）
（2）
.
18.【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用对数的真数大于零可求得集合；
（2）对实数的取值进行分类讨论，求出集合，根据可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围.
（1）对于函数，可得，解得，
因此，；
（2）由，可得.
①当时，则有，解得，即，此时成立；
②当时，因为，解不等式可得，即，
因为，则，即，解得；
③当时，，解不等式可得或，
即或，此时成立；
④当时，则有，解得，即，此时成立；
⑤当时，，解不等式可得或，
即或，此时成立.
综上所述，实数的取值范围是.
19.【答案】（1）；（2）证明见详解；（3）
【分析】
（1）由已知条件得到关于的方程组，解方程组即可求出解析式；
（2）设；作差法判断，然后根据定义即可判断；
（3）利用函数的奇偶性与单调性将不等式转化为一元一次不等式，解不等式即可.
【详解】
（1）函数是定义在上的奇函数
，即
又，即
函数的解析式为
（2）由（1）知
令，则
而
，即
在上是增函数
（3）在上是奇函数
等价于，即
又由（2）知在上是增函数
，即
不等式的解集为.
【点睛】
对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“”，转化为解不等式（组）的问题，若为偶函数，则.
20.【答案】（1）单调递减区间为：，单调递增区间为：；（2）.
【解析】
解：（1）当时，，函数图象如下所示，
所以的单调递减区间为：；单调递增区间为：
（2）记，则
由题意得对任意，即
对任意恒成立
由（1）得对任意恒成立
由（2）得对任意恒成立
综上所述，即的取值范围为
21.【答案】（1）；（2）年产量为100件时，利润最大为1000万元.
【详解】
试题分析：（1）实际应用题首先要根据题意，建立数学模型，即建立函数关系式，这里，要用分类讨论的思想，建立分段函数表达式；（2）根据建立的函数关系解模，即运用数学知识求函数的最值，这里第一段，运用的是二次函数求最值，而第二段，则可运用基本不等式求最值，然后再作比较，确定最终的结果，最后要回到实际问题作答.
试题解析：解：（1）当时，；
当时，，
所以.
（2）当时，
此时，当时，取得最大值万元.
当时，
此时，当时，
即时，取得最大值万元，
所以年产量为100件时，利润最大为1000万元.
考点：函数 不等式的实际应用.
22.【答案】（1）；（2）在上是增函数，证明见解析；（3）.
【分析】
（1），根据函数性质即可求出；
（2）根据单调性的定义及可证明函数为增函数；
（3）根据函数的单调性及函数满足的性质可求出函数值域.
【详解】
（1）当时，，
令，则
（2）设，且，
则，
，
，
，
，即在上是增函数
（3）由（2）知在上是增函数，
，
，
由，知，
，
在上的值域为.