重庆市重点学校2023-20324学年高二上学期期中考试数学试题（含答案）

2023年重庆重点中学高2025届高二上期半期考试
数学测试试题卷
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试题卷上作答无效。
3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试用时120分钟。
一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
2．已知椭圆的离心率为，则（ ）
A． B．1 C．3 D．4
3．已知是等差数列的前n项和，且，则的公差（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，在等边中，点O为底边AC的中点，将沿BO折起到的位置，使二面角的大小为，则异面直线DO与BC所成的角的大小为（ ）
A． B． C． D．
5．已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与该双曲线的右支交于M，N两点，若，则周长为（ ）
A．16 B．24 C．36 D．40
6．已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．数列，满足：，则数列的最大项是第（ ）项．
A．6 B．7 C．8 D．9
8．抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上一点的反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴．己知抛物线，在抛物线内平行于x轴的光线射向抛物线C，交抛物线C于点P（不为原点），生点P作C的切线l，过坐标原点O作，垂足为Q，反射光线与直线OQ交于点T，点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．设数列的前n项和为，，则下列说法正确的是（ ）
A．是等差数列 B．成等差数列，公差为
C．当或时，取得最大值 D．时，n的最大值为33
10．已知圆，下列说法正确的是（ ）
A．过点作直线与圆O交于A，B两点，则范围为
B．过直线上任意一点Q作圆O的切线，切点分别为C，D，则直线CD必过定点
C．圆O与圆有且仅有两条公切线，则实数r的取值范围为
D．圆O上有2个点到直线的距离等于1
11．已知椭圆，长轴长为8，短半轴长为，分别为椭圆左右焦点，点，P为椭圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若直线l交椭圆于A，B两点，且2为AB中点，则直线l的方程为
C．内切圆面积的最大值为
D．的最小值为7
12．在数学中，．已知数列满足，则下列说法正确的是（ ）
A．数列是递增数列 B．
C． D．
三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分。把答案填写在答题卡相应位置上）
13．已知抛物线的焦点为F，为抛物线C上一点，则_________．
14．己知数列满足，则_________．
15．己知数列是公差不为0的等差数列，数列为等比数列，数列的前三项分别为1，2，6，则数列的通项公式为___________．
16．我们把形如的函数称为类双勾函数，这类函数有两条渐近线和，它的函数图像是对称轴不在坐标轴上双曲线．现将函数的图像绕原点逆时针旋转一定的角度得到焦点位于x轴上的双曲线C，则该双曲线C的离心率是___________．
四、解答题（本题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题10分）
已知数列中，，为等差数列，它的前n项和为，满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前n项和为，证明：．
18．（本小题满分12分）
如图所示，在三棱锥中，．
（1）求三棱锥的体积；
（2）求二面角的正弦值．
19．（本小题满分12分）
已知点，动点P满足，设P的轨迹为C．
（1）求C的轨迹方程；
（2）若过点A的直线与C交于M，N两点，求取值范围．
20．（本小题满分12分）
设数列的前n项之和为，满足（为常数）．
（1）若，求；
（2）是否存在实数，使得数列为等差数列：若存在，求出的值，若不存在，试说明理由．
21．（本小题满分12分）
已知双曲线的左顶点为A，右焦点为F，P是直线上一点，且P不在x轴上，以点P为圆心，线段PF的长为半径的圆弧AF交C的右支于点N．
（1）证明：；
（2）取，若直线PF与C的左、右两支分别交于E，D两点，过E作l的垂线，垂足为R，试判断直线DR是否过定点若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．
22．（本小题满分12分）
我们把直线叫做椭圆的上准线．已知一列椭圆的上、下焦点分别是，若椭圆上有一点，使得到上准线的距离是与的等差中项，
（1）当取最大值时，求椭圆的离心率；
（2）取，并用表示的面积，请探索数列的单调性．
2023年重庆重点中学高2025届高二上期半期考试
数学参考答案
一、单项选择题
1-4 BCAD 4-8 CBAB
8，由抛物线的光学性质可知，反射光线必经过抛物线的焦点F，设P处的切线与x轴交于N点，则，，，而，，即，，的轨迹为以F为圆心，以1为半径的圆，故．
二、多项选择题
9．ACD 10．AB 11．BCD 12．ABC
12．对A：，当且仅当时，等号成立，即，而，故，可知对，即，即，故数列是递增数列，A正确；
对B：，
由A知：对，
当且仅当时，等号成立，故，B正确；
对C：，则，而，即，
，即，
故，
可得，C正确；
对D：，而，则，
故，可得，则，
当时，则
，
当时，，故．则，D错误；
三、填空题
13．3 14． 15． 16．
16．由题意可知，以y轴和为渐近线，其夹角为，故旋转后双曲线的一条渐近线倾斜角为，故双曲线离心率．
四、解答题
17．解：（1）由条件知，数列是公比为2的等比数列，
又
由题有， 联立解得
5分
（2）由（1）知
则
10分
18解：（1）由题有，则，
同理，有，则平面PAC
，是AC的中点．又，则，
又，
则，则
6分
（2）由（1）知，
故以P为原点PB为x轴，PA为y轴，PC为z轴建立如图所示空间直角坐标系，
则．
易知，平面PBC，故平面PBC的一个法向量为．
，设平面ABC的法向量为
则，取
设所求二面角的平面角为，则
12分
19．解：（1）设P点坐标为，由可得，；化简得，即C的轨迹方程为；
（2）法一：设W的中点为Q，
后面用点差法来处理，比法二简洁很多．
法二：由题意知直线MN的斜率不存在时，不妨取，
此时；直线MN的斜率存在时，设直线MW的方程为，
联立，整理得，
由于直线过内一点，必有，
设，则，
则
，
由于，故，，综合以上可知． 12分
20．解：
3分
（1），则
6分
（2）；
若存在，使得为等差 9分
，则，
故数列的奇数项之间成等差，偶数项之间也成等差，其公差均为2．
当n为偶数时，；当n为奇数时，；
综上，适合题意． 12分
21解：（1）证明：过N作l的垂线，垂足为H，且与圆弧AF交于点M，则，
连接AM，PM，NF．因为在圆P中，，所以．
由题易知右焦点，设点，则，整理得．
因为，
所以，所以．
【这里若学生用双曲线的第二定义来说明，也可以．见下：
因为直线为双曲线的准线，根据双曲线的第二定义，可知，即，即得．】
在圆P中，由相等弦长所对的圆心角相等，得，
所以． 5分
（2）由题知直线PF的斜率不为0，设直线PF的方程为
因为直线PF与C的左，右两支分别交于E，D两点，则．
设，
联立方程组，得，
则．