高中数学北师大版必修一第五章 1.1 利用函数性质判定方程解的存在性 同步练习（含解析）

1.1　利用函数性质判定方程解的存在性
课后训练
1.已知函数f(x)=ax2+bx+c,若f(1)>0,f(2)<0,则f(x)在区间(1,2)上零点的个数为(　　).
A.至多有一个 B.有一个或两个
C.有且仅有一个 D.一个也没有
2.函数y=x+1的图象与x轴的交点坐标及其零点分别是(　　).
A.-1,(-1,0) B.(-1,0),0
C.(-1,0),-1 D.-1,-1
3.已知f(x)=(x-a)(x-b)-2(aA.a<αC.α4.下列图象表示的函数中没有零点的是(　　)
5.函数f(x)=3x+ex的零点所在区间为(　　)
A.(-2,-1) B.(-1,0)
C.(0,1) D.(1,2)
6.函数f(x)=x3-的零点个数是(　　)
A.0 B.1
C.2 D.无数个
7.(多选题)已知函数f(x)=x-log2x,0A.0d>b
C.d>c D.a8.已知函数f(x)与g(x)满足的关系为f(x)-g(x)=-x-3,根据所给数表,判断f(x)的一个零点所在的区间为(　　)
x -1 0 1 2 3
g(x) 0.37 1 2.72 7.39 20.39
A.(-1,0) B.(0,1)
C.(1,2) D.(2,3)
9.已知a是函数f(x)=3x-lox的零点,若0A.f(x0)<0 B.f(x0)>0
C.f(x0)=0 D.f(x0)的符号不确定
10.函数y=f(x)=零点的个数为(　　).
A.1 B.2
C.3 D.4
11.函数y=f(x)与y=2x-3的图象关于直线y=x对称,则函数y=f(x)的图象与直线y=x在第一象限的交点位于区间(　　)内.
A.(-2,-1) B.(2,3)
C.(1,2) D.(-1,0)
12.已知函数f(x)=(x-a)(x-b)-2,并且α,β是函数f(x)的两个零点,则实数a,b,α,β的大小关系可能是 (　　)
A.a<αC.α13.方程ex-x-2=0的一个实根所在的区间为(k-1,k)(k∈N),则k的值为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
14.已知函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+2,h(x)=log3x+x的零点依次为a,b,c,则a,b,c的大小关系是　　　　　.
15.已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有3个零点,则实数m的取值范围为　　　　　　　.
16.已知函数f(x)=则该函数零点的个数为　　　　.
17.若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b的取值范围是　　　　　.
18.函数f(x)=2x-3的零点在区间(k,k+1)内,则整数k的值为　　　　　.
19.已知函数f(x)=3mx-4,若在区间[-2,0]上存在x0,使f(x0)=0,则实数m的取值范围是　.
20.若方程ax-x-a=0(a>0,且a≠1)有两个实数解,则实数a的取值范围是　　　　　　　.
21.(1)求函数y=4x+3·2x-4的零点;
(2)已知函数f(x)=x2-|x|+3+a有4个零点,求实数a的取值范围.
22.已知关于x的方程x2-2x+a=0.求当a为何取值范围时:
(1)方程的一根大于1,另一根小于1;
(2)方程的一个根在区间(-1,1)内,另一个根在区间(2,3)内;
(3)方程的两个根都大于零.
23.已知y=f(x)是定义域为R的奇函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)=x2-2x.
(1)写出函数y=f(x)的解析式;
(2)若方程f(x)=a恰有3个不同的解,求实数a的取值范围.
24.已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)为偶函数.
(1)求k的值;
(2)若方程f(x)=log4(a·2x-a)有且仅有一个根,求实数a的取值范围.
25.若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),且当x∈[-1,0]时,f(x)=-x2+1,如果函数g(x)=f(x)-a|x|恰有8个零点,求实数a的值.
1.解析:若a=0,则f(x)=bx+c是一次函数,由f(1)·f(2)<0得零点只有一个;若a≠0,则f(x)=ax2+bx+c为一元二次函数,若f(x)在区间(1,2)上有两个零点,则必有f(1)·f(2)>0,与已知矛盾.故f(x)在区间(1,2)上有且仅有一个零点.
答案:C
2.解析:由y=x+1=0,得x=-1,
故交点坐标为(-1,0),零点是-1.
答案:C
3.解析:∵α,β是函数f(x)的两个零点,∴f(α)=f(β)=0.又f(x)=(x-a)(x-b)-2,∴f(a)=f(b)=-2<0.
画出二次函数f(x)的大致图象,如图所示,
由图象可知,α答案:C
4.A
5.B　函数f(x)=3x+ex为R上的增函数,且f(-2)=-6+e-2<0,f(-1)=-3+e-1<0,f(0)=1>0,所以f(-1)·f(0)<0,因此,函数f(x)=3x+ex的零点所在区间为(-1,0).故选B.
6.B　作出y=x3与y=的图象,如图所示,两个函数的图象只有一个交点,所以函数f(x)只有一个零点.
故选B.
7.ABD　由于y=()x在(0,+∞)上单调递减,y=log2x在(0,+∞)上单调递增,可得f(x)=()x-log2x在定义域(0,+∞)上是减函数,当0f(b)>f(c),又因为f(a)·f(b)·f(c)<0,f(d)=0,所以①当f(a),f(b),f(c)都为负值时,则a,b,c都大于d,②当f(a)>0,f(b)>0,f(c)<0时,则a,b都小于d,c大于d.综合①②可得d>c不可能成立.
8.C　由列表可知f(-1)=g(-1)+1-3=0.37-2=-1.63,f(0)=g(0)-0-3=1-3=-2,f(1)=-1.28,f(2)=2.39,f(3)=14.39,∵f(1)·f(2)<0,∴函数f(x)的一个零点所在的区间为(1,2).
9.解析:因为f(x)=3x-lox=3x+log3x,
所以f(x)在区间(0,+∞)上是增函数.
又因为0答案:A
10.解析:画出函数f(x)=的图象如图所示.
由图可知,f(x)的零点个数为2.
答案:B
11.解析:y=2x-3的反函数为y=log2(x+3)(x>-3),即函数y=f(x)=log2(x+3)(x>-3).在同一平面直角坐标系中,画出函数f(x)=log2(x+3)(x>-3)和y=x的图象,如图,由图可得,两函数图象的交点分别位于区间(-3,-2]与区间(2,3)内,故选B.
答案:B
12.C　
∵α,β是函数f(x)的两个零点,∴f(α)=f(β)=0.
又f(a)=f(b)=-2<0,结合二次函数的图象(如图所示)可知a,b必在α,β之间.故选C.
13.B　令f(x)=ex-x-2,在定义域R上为连续函数,
又f(1)=e-3<0,f(2)=e2-4>0,
所以方程ex-x-2=0的一个实根必在(1,2),
所以k=2.故选B.
14.a观察图象可知,函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+2,h(x)=log3x+x的零点依次是点A,B,C的横坐标,由图象可知a15.解析:令g(x)=f(x)-m=0,得f(x)=m.
由题意知,函数f(x)与y=m的图象有3个交点.
在同一平面直角坐标系中,画出函数f(x)与y=m的图象,如图.
由图可知,当-16.3　当x<0时,由f(x)=0,得x=-4,当x≥0时,由f(x)=0,得x=4或x=0.
故函数共有3个零点.
17.(0,2)　因为y=f(x)有两个零点,所以|2x-2|-b=0有两个实根.即|2x-2|=b有两个实根.
令y1=|2x-2|,y2=b,则y1与y2的图象有两个交点.
由图可知当b∈(0,2)时,y1与y2有两个交点.
由题意得f(k)f(k+1)=(2k-3)(2k-1)<0,解得又因为k为整数,故k=1.
1
因为在区间[-2,0]上存在零点x0使f(x0)=0,且f(x)单调,所以f(-2)·f(0)≤0,即(-6m-4)×(-4)≤0,解得m≤-.
所以,实数m的取值范围是.
答案:
20.解析:在同一平面直角坐标系中画出函数y=ax与函数y=x+a的图象(图略),由图象可知,当a>1时,它们有两个交点,即方程ax-x-a=0有两个实数解.当0答案:(1,+∞)
21.解:(1)令y=0,得4x+3·2x-4=0,即(2x)2+3·2x-4=0,所以(2x-1)(2x+4)=0,则2x=1,或2x=-4,
因为2x>0,所以2x=1,解得x=0,
即函数y=4x+3·2x-4的零点是0.
(2)设g(x)=x2-|x|+3,则g(x)=
画出其图象如图.
函数f(x)有4个零点,即方程g(x)+a=0有4个实根,即函数y=g(x)与y=-a的图象有4个交点,
由图知<-a<3,解得-3故实数a的取值范围为.
22.解:(1)结合对应函数的图象知,当方程的一根大于1,另一根小于1时,f(1)<0.由f(1)<0,得1-2+a<0,解得a<1.
故a的取值范围为(-∞,-1).
(2)由方程一个根在区间(-1,1)内,另一个根在区间(2,3)内,得解得-3(3)由方程的两个根都大于零,
得解得0故a的取值范围为(0,1].
23.解:(1)当x∈(-∞,0)时,-x∈(0,+∞),
因为y=f(x)是奇函数,所以当x∈(-∞,0)时,f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x,所以f(x)=
(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,最小值为-1;
当x∈(-∞,0)时,f(x)=-x2-2x=1-(x+1)2,最大值为1.所以据此可画出函数y=f(x)的图象,如图所示.
由图可得,若方程f(x)=a恰有3个不同的解,实数a的取值范围是(-1,1).
24.解:(1)因为f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x).
即log4(4-x+1)-kx=log4(4x+1)+kx,
所以log4-log4(4x+1)=2kx,
所以(2k+1)x=0,因为x不恒为0,所以k=-.
(2)由(1)知,f(x)=log4(4x+1)-x,
所以f(x)=log4(a·2x-a),
即log4(4x+1)-x=log4(a·2x-a),
整理得log4(4x+1)=log4[(a·2x-a)2x],
所以4x+1=(a·2x-a)·2x,(*)
令t=2x>0,则(*)变为关于t的方程(1-a)t2+at+1=0.(**)
由题意知其仅有一正根.
①当a=1时,t=-1不合题意;
②当(**)式有一正根一负根时,
需有解得a>1.
③当(**)式有两相等的正根时,需有解得a=-2-2.
综上所述,实数a的取值范围为{a|a>1,或a=-2-2}.
25.解由f(x+1)=f(x-1),则f(x)=f(x-2),故函数f(x)为周期为2的周期函数.
∵函数g(x)=f(x)-a|x|恰有8个零点,
∴f(x)-a|x|=0在(-∞,0)上有四个解,
即f(x)的图象与直线y=a|x|在(-∞,0)上有4个公共点.又当x∈[-1,0]时,f(x)=-x2+1,
∴当直线y=-ax与y=-(x+4)2+1相切时,即可在(-∞,0)上有4个公共点,
∴x2+(8-a)x+15=0.
∴Δ=(8-a)2-60=0.
∵a>0,∴a=8-2
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