二次函数y=ax +bx+c的图象和性质
【学习目标】
1.通过探究,得出y=ax +bx+c的图象和性质。
2.能根据y=a(x-h)2+k来探讨出二次方程y=ax +bx+c的图象和性质。
3.通过探究得出通过三个点的坐标可以确定二次函数的解析式。
4.经历对二次函数解析式求法的学习,学习类比、归纳与灵活选择。
【学习重难点】
从图象的平移变换的角度认识y=a(x-h)2+k型二次函数的图象特征。
【学习过程】
一、预习导入。
1.已知一次函数图象经过点A(-1,2)和点B(2,5),求该一次函数的解析式。
2.求一次函数解析式一般需要几个条件?为什么?求二次函数解析式呢?
二、自主学习。
一般地,用待定系数法求二次函数的解析式通常有以下3种方法:
一般式:;
顶点式:;
交点式:其中,为抛物线与x轴的交点的横坐标。
例:类比一次函数解析式的求法,求二次函数的解析式。
1.已知二次函数的图象过(1,0),(-1,-4)和(0,-3)三点,求这个二次函数解析式。
2.已知抛物线顶点为(1,-4),且又过点(2,-3)求该抛物线的解析式。
已知二次函数的图象与轴交点的横坐标分别是,且与轴交点为(0,3),求这个二次函数解析式。
变式训练:根据下列条件求二次函数解析式。
1.已知二次函数的图象经过一次函数的图象与轴、轴的交点,且过。
2.已知二次函数的图象经过点,并且当时有最大值。
例:已知二次函数的图象过,两点,它的对称轴为直线,求这个二次函数的解析式。
探究可得:一般地,二次函数可通过配方化成的形式,即
。
因此,抛物线的对称轴是,顶点是。
从如下图,从二次函数的图象可以看出:
如果,当时,y随着x的增大而减小,当时,y随着x的增大而增大;
如果,当时,y随着x的增大而增大,当时,y随着x的增大而减=小。
三、归纳提升。
用待定系数法求二次函数解析式通常需要三个条件,列出三元一次方程组求解:
①若已知一般的三点就用 ;
②若已知顶点坐标或最值则用 ;
③若已知图象与轴的交点则用 。
求二次函数的解析式,需求出a,b,c的值。由已知条件列出关于a,b,c的方程组,求出a,b,c的值,就可以写出二次函数的解析式。
四、题组训练。
A组:
1.已知二次函数的图象过点(1,2),则m的值为________________。
2.一个二次函数的图象过(0,1)、(1,0)、(2,3)三点,求这个二次函数的解析式。
3.已知二次函数的图象的顶点坐标为(-2,-3),且过点(-3,-1),求这个二次函数的解析式。
4.如图所示,已知抛物线的对称轴是直线,它与轴交于、两点,与轴交于点,点、的坐标分别是(8,0)、(0,4),求这条抛物线的解析式。
B组:
5.已知双曲线与抛物线交于A(2,3)、B(m,2)、c(-3,n)三点。
(1)求双曲线与抛物线的解析式;
(2)在平面直角坐标系中描出点A、点B、点C,并求出△ABC的面积。
6.在平面直角坐标系中,的位置如图所示,已知,,点的坐标为。
(1)求点的坐标。
(2)求过,,三点的抛物线的解析式;
(3)设点关于抛物线的对称轴的对称点为,求的面积。
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