14.2.2 完全平方公式课件(共33张PPT)

(共33张PPT)
14.2.2 完全平方公式
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.2 乘法公式
学习目标
1.理解两数和或差的平方公式.
2.掌握完全平方公式，会用几何图形说明公式的意义.
3.能正确地运用完全平方公式进行计算.
重点：完全平方公式及其应用.
难点：完全平方的结构特征及其应用和添括号时符号的变化.
课前预习
阅读课本P109-112页内容, 了解本节主要内容.
a2+2ab+b2
不变号
a2-2ab+b2
改变符号
互逆
新课导入
有一个正方形花坛，它的边长为（a＋b）米，那么这个正方形花坛的面积是多少平方米？
像研究平方差公式一样，我们探究一下(a+b)2的运算结果有什么规律．
（1）(p+1)2=(p+1)(p+1)=_______；
（2）(m+2)2=_______；
（3）(p-1)2=(p-1)(p-1)=________；
（4）(m-2)2=________；
新知讲解
完全平方公式
一
问题1 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
①(p+1)2=(p+1)(p+1)=p (p+1) +1﹙p＋1﹚＝p2+p＋p＋1＝p2＋2p＋1
②﹙m＋2﹚2＝ m2＋4m＋4
③﹙p-1﹚2=p2+2p+1
④﹙m-2﹚2=m2-4m+4
计算下列各式，你能发现什么？
(p+1)2 =
(m+2)2=
(p-1)2 =
(m-2)2 =
p2+2p+1=p2+2×p×1+12
m2+4m+4=m2+2×m×2+22
p2-2p+1=p2-2×p×1+12
m2- 4m+4=m2-2×m×2+22
猜想 (a+b)2=
(a -b)2=
a2+2ab+b2
a2 - 2ab+b2
　　完全平方公式：
　　问题3　你能用文字语言表述完全平方公式吗？
　两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．
　　问题2 你能用式子表示发现的规律吗？
　　公式特点：
（1）积为二次三项式；
（2）积中两项为两数的平方和；
（3）另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相
同；
（4）公式中的字母a，b 可以表示数，单项式和多项
式.
问题4：仔细观察，说说完全平方公式有什么特点？
问题5 你能根据图1和图2中的面积说明完全平方公式吗
b
a
a
b
b
a
b
a
图 1
图2
几何解释:
a
a
b
b
=
+
+
+
a2
ab
ab
b2
（a+b)2= .
a2+2ab+b2
和的完全平方公式：
a2
ab
b(a b)
=
a2 2ab+b2 .
=
(a b)2
a b
a b
a
a
ab
b(a b)
b
b
(a b)2
几何解释:
（a-b)2= .
a2-2ab+b2
差的完全平方公式：
想一想：下面各式的计算是否正确？如果不正确， 应当怎样改正？
(1)(x+y)2=x2 +y2
(2)(x -y)2 =x2 -y2
(3) (-x +y)2 =x2+2xy +y2
(4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2
×
×
×
×
(x +y)2 =x2+2xy +y2
(x -y)2 =x2 -2xy +y2
(-x +y)2 =x2 -2xy +y2
(2x +y)2 =4x2+4xy +y2
例1 运用完全平方公式计算：
解: (4m+n)2=
=16m2
(1)(4m+n)2；
(a +b)2= a2 + 2 ab + b2
(4m)2
+2 (4m) n
+n2
+8mn
+n2；
典例分析
(a - b)2 = a2 - 2 ab + b2
y2
=y2
-y
+
解： =
+
-2 y
(2)
利用完全平方公式计算：
(1)(5－a)2； (2)(－3m－4n)2；
(3)(－3a＋b)2.
针对训练
(3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.
解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2；
(2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2；
(1) 1022；
解： 1022
= (100+2)2
=10000+400+4
=10404.
(2) 992.
992
= (100 –1)2
=10000 -200+1
=9801.
例2 运用完全平方公式计算：
方法总结：运用完全平方公式进行简便计算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全平方公式的形式．
利用乘法公式计算：
(1)982－101×99；
(2)20162－2016×4030＋20152.
针对训练
＝(2016－2015)2＝1.
解：(1)原式＝(100－2)2－(100＋1)(100－1)
＝1002－400＋4－1002＋1＝－395；
(2)原式＝20162－2×2016×2015＋20152
例3 已知x－y＝6，xy＝－8.求:
(1) x2＋y2的值； (2)(x+y)2的值.
＝36－16＝20；
解：(1)∵x－y＝6，xy＝－8，
(x－y)2＝x2＋y2－2xy，
∴x2＋y2＝(x－y)2＋2xy
(2)∵x2＋y2＝20，xy＝－8，
∴(x+y)2＝x2＋y2＋2xy
＝20－16＝4.
方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的变式：
x2＋y2＝(x－y)2＋2xy＝(x+y)2－2xy,(x－y)2＝(x+y)2－4xy.
添括号法则
二
a+(b+c) = a+b+c;
a- (b+c) = a - b – c.
a + b + c = a + ( b + c) ;
a – b – c = a – ( b + c ) .
去括号
把上面两个等式的左右两边反过来，也就添括号：
新知讲解
添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号（简记为“负变正不变”）.
知识要点
添括号法则
例5 运用乘法公式计算:
(1) (x+2y-3)(x-2y+3) ;
原式=[x+(2y–3)][x-(2y-3)]
解: (1)
= x2-(2y-3)2
= x2-(4y2-12y+9)
= x2-4y2+12y-9.
典例分析
例5 运用乘法公式计算:
(2) (a+b+c)2.
(2)原式 = [(a+b)+c]2
= (a+b)2+2(a+b)c+c2
=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2.
方法总结：第1小题选用平方差公式进行计算，需要分组.分组方法是“符号相同的为一组，符号相反的为另一组”.第2小题要把其中两项看成一个整体，再按照完全平方公式进行计算.
计算：(1)(a－b＋c)2；
针对训练
解：(1)原式＝[(a－b)＋c]2
＝(a－b)2＋c2＋2(a－b)c
＝a2－2ab＋b2＋c2＋2ac－2bc；
计算： (2)(1－2x＋y)(1＋2x－y)．
针对训练
＝1－4x2＋4xy－y2.
解：原式＝[1＋(－2x＋y)][1－(－2x＋y)]
＝12－(－2x＋y)2
2.下列计算结果为2ab－a2－b2的是( )
A．(a－b)2 B．(－a－b)2
C．－(a＋b)2 D．－(a－b)2
1.运用乘法公式计算(a-2)2的结果是（　　）
A．a2-4a+4 B．a2-2a+4
C．a2-4 D．a2-4a-4
A
D
随堂练习
3.运用完全平方公式计算:
(1) (6a+5b)2=_______________；
(2) (4x-3y)2=_______________ ；
(3) (2m-1)2 =_______________；
(4)(-2m-1)2 =_______________.
36a2+60ab+25b2
16x2-24xy+9y2
4m2+4m+1
4m2-4m+1
4.由完全平方公式可知：32＋2×3×5＋52＝(3＋5)2＝64，运用这一方法计算：4.3212＋8.642×0.679＋0.6792＝________．
25
5.计算
(1)(3a＋b－2)(3a－b＋2)；
(2)(x－y－m＋n)(x－y＋m－n)．
(2)原式＝[(x－y)－(m－n)][(x－y)＋(m－n)]
解：(1)原式＝[3a＋(b－2)][3a－(b－2)]
＝(3a)2－(b－2)2
＝9a2－b2＋4b－4.　
＝(x－y)2－(m－n)2
＝x2－2xy＋y2－m2＋2mn－n2.
6.若a+b=5,ab=-6, 求a2+b2,a2-ab+b2.
7.已知x+y=8,x-y=4,求xy.
解：a2+b2=（a+b)2-2ab=52-2×(-6)=37；
a2-ab+b2=a2+b2-ab=37-(-6)=43.
解：∵x+y=8, ∴(x+y)2=64,即x2+y2+2xy=64①;
∵x-y=4, ∴(x-y)2=16,即x2+y2-2xy=16②;
由①-②得
4xy=48
∴xy=12.
完全平方公式
法则
注意
(a±b)2= a2 ±2ab+b2
1.项数、符号、字母及其指数
2.不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添括号变形成符合公式的要求才行
常用
结论
3.弄清完全平方公式和平方差公式不同（从公式结构特点及结果两方面）
a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab;
4ab=(a+b)2-(a-b)2.
课堂练习
本课结束
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