第15章 分式 单元检测卷（含答案解析）2023-2024学年人教版八年级数学上册

第15章 分式 单元同步检测卷
考试时间：120分钟 试卷满分：120分 测试范围：第15章
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确
1．分式有意义的条件是（　　）
A． B． C． D．
2．代数式，，，，，，中，属于分式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．下列是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
4．若分式中的x，y都扩大原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的9倍 B．扩大为原来的3倍
C．不变 D．缩小到原来的
5．若分式的值为0，则的值是（ ）
A．0 B．1 C．1或0 D．0或
6．如果，那么代数式的值是（ ）
A． B．2 C． D．
7．人的眼睛可以看见的红光的波长为，将数据0.000077 精确到0.00001，并用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
8．解分式方程时，去分母后变形为（ ）
A． B．
C． D．
9．若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
10．老师上课提出问题：“某超市的一种瓶装饮料每箱售价为元，五一期间对该瓶装饮料进行促销活动，买一箱送两瓶，这相当于每瓶按原价九折销售，求这家超市销售这种饮料的原价每瓶是多少元及每箱多少瓶 ”以下为四位同学列出的方程，正确的是（ ）
甲：设该品牌的饮料每瓶是元，则
乙：设该品牌饮料每箱瓶，则
丙：设该品牌的饮料每瓶是元，则
丁：设该品牌饮料每箱瓶，则
A．甲、丁 B．甲、乙 C．乙、丙 D．甲、乙、丙
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．比较两个数的大小： ．
12．分式与的最简公分母是 ．
13．已知关于x的分式方程有增根，则a的值为 ．
14．是方程的解，则的值为 ．
15．若，则 ．
16．若、满足，则 ．
17．已知，则的值是 ．
18．如果关于的分式方程有整数解，且关于的不等式组的解集至少有2个整数解，那么符合条件的所有整数的和为 ．
三、解答题（共66分）
19．（6分）计算：
(1)
(2)
20．（12分）化简下列分式
(1)
(2)
(3)
(4)
21．（6分）先化简，再求值：，其中．
22．（8分）解下列方程：
（1）；
（2）．
23．（9分）关于x的分式方程
(1)若方程的增根为，求m的值；
(2)若方程有增根，求m的值；
(3)若方程无解，求m的值.
24．（8分）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从地沿相同路线骑行去距地30千米的地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．
(1)若乙先骑行2千米，甲才开始从地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；
(2)若乙先骑行20分钟，甲才开始从地出发，则甲、乙恰好同时到达地，求甲骑行的速度．
25．（8分）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知型充电桩比型充电桩的单价少0.3万元，且用12万元购买型充电桩与用18万元购买型充电桩的数量相等．
(1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少
(2)该停车场计划共购买20个A，B型充电桩，购买总费用不超过15万元，且型充电桩购买数量不超过12个．问：共有哪几种购买方案 哪种方案所需购买总费用最少
26．（9分）阅读下列材料：
我们知道，假分数可以写成带分数的形式，在这个计算过程中，先计算分子中含有几个分母，求出整数部分，再把剩余部分写成一个真分数．例如：．
对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，称之为“真分式”．类似地，我们可以把一个“假分式”写成整式和一个“真分式”的和的形式．例如：
；
．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)请写出一个假分式：_______；
(2)请将分式化为整式与真分式的和的形式；
(3)设，则当时，的取值范围是______．
参考答案及解析
1．D
【分析】本题考查分式有意义，根据分母不等于0，列式计算即可得解．
【详解】解：要使分式有意义，则，
解得：．
故选：D．
2．C
【分析】本题主要考查了分式的定义，根据分式的定义进行逐一判断即可：对于两个整式A、B，其中B中含有字母，那么形如的式子叫做分式．
【详解】解：代数式，，，，，，中，属于分式的有，，，，共4个，
故选C．
3．C
【分析】本题考查了最简分式，根据最简分式的定义“一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时(即分子与分母互素)叫最简分式”，逐个进行判断即可．
【详解】解：A、，故A不是最简分式，不符合题意；
B、，故B不是最简分式，不符合题意；
C、是最简分式，符合题意；
D、，故D不是最简分式，不符合题意；
故选：C．
4．C
【分析】本题主要考查分式的基本性质，x，y都扩大为原来的3倍就是分别变成原来的3倍，变成和．用和代替式子中的x和y，看得到的式子与原来的式子的关系．
【详解】解：用和代替式子中的x和y得：
则分式的值不变；
故选：C．
5．A
【分析】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确解方程是解题关键．直接利用分式的值为零则分子为零分母不为零进而得出答案．
【详解】解：分式的值为0，
且，
解得：．
故选：A．
6．B
【分析】本题主要考查分式的加减法，先计算同分母分式的减法，再将分子、分母因式分解，最后约分，继而将代入计算可得．
【详解】
，
∵，
∴原式，
故选：B．
7．A
【分析】根据将一个绝对值小于1的数表示成的形式，其规律如下：是整数数位只有一位的数，为该数第一个非零数字前面所有零的个数这一规律，即可求出；
本题主要考查科学记数法熟练掌握其规律是解题的关键．
【详解】解：
故选：A．
8．C
【分析】本题考查解分式方程．去分母时，找到最简公分母是解题关键．
【详解】解：分式方程的最简公分母为，
方程两边同时乘以得：
故选：C
9．D
【分析】本题考查了分式方程的解以及解不等式，先求得方程的解，再把转化成关于的不等式，求得的取值范围，注意．
【详解】方程两边都乘以，得：，
解得：，
方程的解是正数，
且，
解得：且，
故选：D．
10．C
【分析】根据题意可设这种饮料的原价每瓶是元，则根据等量关系“九折购买的饮料数量比元购买的一箱饮料的数量多2瓶”，或“一箱加2瓶的饮料九折后的价格是元”；若设每箱有瓶，则根据“购买一箱加2瓶时，每瓶的价格和每瓶九折后的价格相等”分别列出方程即可．
【详解】解：设这种饮料的原价每瓶是元，则有；
设该种饮料每箱有瓶，则有，
故选C．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系是解题的关键．
11．
【分析】本题考查了负整数指数幂，乘方运算，先根据，，再比较大小即可，本题的关键是熟练掌握负整数指数幂，乘方运算法则．
【详解】解：，，
．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了最简公分母的定义及求法．通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里． ②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．
【详解】解：分式与分母分别是，，所以最简公分母，
故答案为：．
13．5
【分析】本题考查了分式方程有增根问题，先去分母，根据分式方程有增根进而可求解，熟练掌握分式方程分母为0时的解就是分式方程的增根是解题的关键．
【详解】解：去分母得：，
整理得：，
由分式方程有增根得：
，即：，
当时，即：，
当是，不存在，
，
故答案为：5．
14．
【分析】本题考查了分式方程的解，将代入方程即可求的值．
【详解】解：将代入方程得：
方程，即，
∴，经检验，符合题意．
故答案为：
15．
【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变．掌握这个性质是解答本题的关键．
将已知分式中分子和分母同时除以，将分式整理成只含的等式，由此计算出的值．
【详解】解：由已知，
分子和分母同时除以，得，
，即．
故答案为．
16．
【分析】此题主要考查了负整数指数幂、零指数幂、非负数的性质，首先利用非负数的性质得出m，n的值，再利用负整数指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．
【详解】解：，
，，
解得：，，
故
．
故答案为：．
17．
【分析】本题主要考查了分式的化简，发现已知与未知式子之间的联系是解题的关键．
由已知得到，把这个式子代入所求的式子，进行化简就得到所求式子的值．
【详解】解：由已知得，，
．
故答案为：．
18．
【分析】本题主要考查了分式方程的解法和不等式组的解法．分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由方程的解为整数确定出的值，不等式组整理后，由已知解集确定出的范围，进而确定出满足题意的所有的值，求出它们的和即可．
【详解】解：，
去分母得：，
∴，且，
∵这个分式方程有整数解，
∴可以是：或或或或，
∴或或或或．
关于的不等式组，
整理得：，
∵这个不等式组的解集至少有2个整数解，
∴，
∴，
∴的值为：，，，
∴符合条件的所有整数的和为：．
故答案为：．
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据零指数幂，负整数指数幂和有理数乘方的计算法则求解即可；
（2）先计算积的乘方，同底数幂乘除法，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方，积的乘方，同底数幂乘除法，熟知相关计算法则是解题的关键，注意非零底数的零次幂结果为1．
20．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）将分子和分母的公因式约去即可；
（2）先将分子和分母分解因式，然后约分即可；
（3）先将分子和分母分解因式，然后约分即可；
（4）先将分子和分母分解因式，然后约分即可.
【详解】（1）解：=
=；
（2）解：=
=；
（3）解：＝
=；
（4）解：=
=．
【点睛】本题考查了约分，规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．
21．，
【分析】分式的混合运算，根据加减乘除的运算法则化简分式，代入求值即可求出答案．
【详解】解：原式
当时，原式，
故答案是： ．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则即可，包括完全平方公式，能约分的要约分等，理解和掌握乘法公式，分式的乘法，除法法则是解题的关键．
22．（1）；（2）无解
【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：（1）两边同乘（x 2），得：3＋x＝ 2（x 2），
去括号得：3＋x＝ 2x＋4，
移项合并得：3x＝1，
解得：，
经检验，是原方程的解；
（2）两边同乘（x 1）（x＋1），得： 4＝ 1，
去括号得：＋2x＋1 4＝ 1，
移项合并得：2x＝2，
解得：x＝1，
经检验，x＝1是原方程的增根，
则原方程无解．
【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
23．(1)
(2)或
(3)1或或
【分析】（1）根据分式方程的性质先去分母，再移项并合并同类项，结合题意，通过求解一元一次方程，即可得到答案；
（2）根据分式方程增根的性质，首先得方程的增根为或，再通过计算即可得到答案；
（3）结合（1）的结论，根据分式方程和一元一次方程的性质计算，即可得到答案.
【详解】（1）∵，
去分母得：，
移项并合并同类项，得：，
当方程的增根为时，，
∴；
（2）当方程有增根时，方程的增根为或，
当时，，
当时，，
解得：，
∴或；
（3）∵
当方程无增根，且时，方程无解，
∴得，
当方程有增根，且时，，方程无解，
当方程有增根，且时，，方程无解，
∴当或或时，方程无解．
【点睛】本题考查了分式方程的知识；解题的关键是熟练掌握分式方程的性质，从而完成求解.
24．(1)
(2)千米/时
【分析】（1）设乙的速度为千米/时，则甲的速度为千米/时，根据甲出发半小时恰好追上乙列方程求解即可；
（2）设乙的速度为千米/时，则甲的速度为千米/时，根据甲、乙恰好同时到达地列方程求解即可．
【详解】（1）解：设乙的速度为千米/时，则甲的速度为千米/时，
由题意得：，
解得：，
则，
答：甲骑行的速度为千米/时；
（2）设乙的速度为千米/时，则甲的速度为千米/时，
由题意得：，
解得，
经检验是分式方程的解，
则，
答：甲骑行的速度为千米/时．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和分式方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．
25．(1)A型充电桩的单价为万元，则B型充电桩的单价为万元
(2)该停车场有3种购买方案，方案一：购买10个A型充电桩、10个B型充电桩；方案二购买11个A型充电桩、9个B型充电桩；方案三：购买12个A型充电桩、8个B型充电桩．购买方案三总费用最少，最少费用万元
【分析】本题考查了分式的应用以及一元一次不等式的应用；
（1）设型充电桩的单价为万元，则型充电桩的单价少万元，根据“用12万元购买型充电桩与用18万元购买型充电桩的数量相等”列出分式方程，求解即可；
（2）设购买型充电桩个，则购买型充电桩个，根据购买总费用不超过15万元，列出一元一次不等式，解不等式，结合为整数，且
型充电桩购买数量不超过12个，得出各购买方案，即可解决问题．
【详解】（1）设型充电桩的单价为万元，则型充电桩的单价万元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：型充电桩的单价为0.6万元，型充电桩的单价为0.9万元；
（2）设购买型充电桩个，则购买型充电桩个，
根据题意得：，
解得：，
，且为整数，
，11，12，
该停车场共有3种购买方案：
方案一：购买10个型充电桩、10个型充电桩；
方案二：购买11个型充电桩、9个型充电桩；
方案三：购买12个型充电桩、8个型充电桩；
型充电桩的单价低于型充电桩的单价，
∴型充电桩越多费用越少，
购买方案三总费用最少，最少费用（万元），
答：共有3种购买方案，购买12个型充电桩、8个型充电桩，所需购买总费用最少．
26．(1)(答案不唯一)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了分式的加减法，分式的基本性质，不等式的性质；
（1）用“假分式”的定义解答即可；
（2）利用题干中的方法化简运算即可；
（3）将化成整式和一个“真分式”的和的形式后，利用分式值的意义解答即可．
【详解】（1）解：，则是假分式
故答案为：(答案不唯一)．
（2）解：
；
（3）解：∵，
，
∵，
∴，
∴
∴．