2023春季湖北省黄州中学（黄冈外校）高二5月阶段性质量检测5.23(数学)
单选题
1.设随机变量X服从正态分布N(3,4),若P(X<2a-3)=P(X>a+2),则a=( )
A. 3 B. C. 5 D.
2.已知二项式
的展开式中仅有第4项的二项式系数最大,则展开式中
项的系数为( )
A. -80 B. 80 C. -160 D. -120
3.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:℃)的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(
,
)(i=1,2,
,20)得到下面的散点图:由此散点图,在10℃至40℃之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是.( )
A. y=a+bx B. y=a+ C. y=a+b D. y=a+bx
4.如表提供了某厂节能降耗改造后在生产A产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨) 的几组对应数据,根据表中提供的数据,求出y关于x的线性回归方程为
=0.7x+0.35,则下列结论错误的是( )
x 3 4 5 6
y 2.5 t 4 4.5
A. 线性回归直线一定过点(4.5,3.5)
B. 产品的生产能耗与产量呈正相关
C. t的取值必定是3.15
D. A产品每多生产1吨, 则相应的生产能耗约增加0.7吨
5.直线y=kx+1与曲线f(x)=a
x+b相切于点P(1,2),则2a+b=( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
6.若、、、、E五位同学随机站成一排照相,则A站正中间且B与C相邻的概率为( )
A. B. C. D.
7.已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-5.1),b=g(),c=g(3),则a,b,c的大小关系为.( )
A. a< b< c B. c< b< a C. b< a< c D. b< c< a
8.已知函数f(x)=x-1-x,对定义域内任意x都有f(x)kx-2,则实数k的取值范围是( )
A. (-,1-] B. (-,-] C. [-,+) D. [1-,+)
二．多选题
9.函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,给出下列命题,以下正确的命题是( )
A. -3是函数y=f(x)的极值点 B. -1是函数y=f(x)的最小值点
C. y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增 D. y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零
10.以下四个命题中正确的是( )
A. 8道四选一的单选题,随机猜结果,猜对答案的题目数X~B(8,0.25)
B. 两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于1
C. 在某项测量中,测量结果服从正态分布N(1,)(>0),若在(0,1)内取值的概率为0.4,则在(2,+)内取值的概率为0.2
D. 对分类变量X与Y的随机变量的观测值k来说,k越小,判断“X与Y有关系”的把握程度越大
11.一袋中有大小相同的4个红球和2个白球, 则下列结论正确的是( )
A. 从中任取2球,在已知其中一个是红球的条件下,另一个也是红球的概率是
B. 从中有放回的取球6次,每次任取一球,则取到红球次数的方差为
C. 从中不放回的取球2次,每次任取1球,则在第一次取到红球后,第二次再次取到红球的概率为
D. 从中不放回的取球2次,每次任取1球,第二次取到红球的概率为
12.下列选项中正确的是( )
A. 已知随机变量X服从二项分布B(10,),则D(2X)=5
B. 口袋中有大小相同的7个红球、2个蓝球和1个黑球.从中任取两个球, 记其中红球的个数为随机变量X,则X的数学期望E(X)=
C. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次,所得的样本空间为={1,2,3,4,5,6},令事件A={2,3,4},事件B={1,2},则事件A与事件B相互独立
D. 某射击运动员每次射击击中目标的概率为0.8,则在9次射击中,最有可能击中的次数是7次
三．填空题
13.已知随机变量~B(6,p),且E()=2,则D(3+2)= .
14.设随机变量X,Y满足:Y=3X-1,X~B(2,p),若P(X1)=,则D(Y)= .
15.与曲线y=和y=-都相切的直线方程为
16.已知函数f(x)=,g(x)=2x(2x),若f()=g()=t,t>0,则的最大值为
四．解答题
17.已知二项式的第三项和第八项的二项式系数相等.
(1)求n的值.
(2)若展开式的常数项为84,求a.
18.为加快推动旅游业复苏,进一步增强居民旅游消费意愿,山东省人民政府规定自2023年1月21日起至3月31日在全省实施景区门票减免, 全省国有A级旅游景区免首道门票, 鼓励非国有A级旅游景区首道门票至少半价优惠,本次门票优惠几乎涵盖了全省所有知名的重点景区,据统计,活动开展以来游客至少去过两个及以上景区的人数占比约为90%.某市旅游局从游客中随机抽取100人(其中年龄在50周岁及以下的有60人) 了解他们对全省实施景区门票减免活动的满意度,并按年龄(50周岁及以下和50周岁以上)分类统计得到如下不完整的2
2列联表:
不满意 满意 总计
50周岁及以下 55
50周岁以上 15
总计 100
(1)根据统计数据完成以上22列联表,并根据小概率值=0.001的独立性检验,能否认为对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄有关联
(2)现从本市游客中随机抽取3人了解他们的出游情况,设其中至少去过两个及以上景区的人数为X,若以本次活动中至少去过两个及以上景区的人数的频率为概率.
求X的分布列和数学期望;
求P(|X-1|1).
参考公式及数据:
=-
,其中n=a+b+c+d.
=P(k) 0.100 0.050 0.010 0.001
k 2.706 3.841 6.635 10.828
19.为促进经济发展,某地要求各商场采取多种举措鼓励消费.A商场在春节期间推出“你摸球, 我打折”促销活动, 门口设置两个盒子, 甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球, 乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球,购物满一定金额的顾客可以从甲、乙两个盒内各任取2个球.具体规则如下:摸出3个红球记为一等奖,没有红球记为二等奖,2个红球记为三等奖,1个红球记为鼓励奖。
(1)获得一、二、三等奖和鼓励奖的折扣率分别为5折,7折、8折和9折.记随机变量为获得各奖次的折扣率,求随机变量的分布列及期望E();
(2)某一时段内有3人参加该促销活动,记随机变量
为获得7折及以下资格的人数,求P(=2).20.已知函数f(x)=++ax.
(1)若函数f(x)在区间[1,+)上单调递增,求实数a的最小值;
(2)若函数g(x)=,对[,2],[,2],使f'()g()成立,求实数a的取值范围.
21.2018年11月5日至10日, 首届中国国际进口博览会在国家会展中心(上海)举行,吸引了58个“一带一路”沿线国家的超过1000多家企业参展, 成为共建“一带一路”的又一个重要支撑.某企业为了参加这次盛会,提升行业竞争力, 加大了科技投入.该企业连续6年来的科技投入x(百万元)与收益y(百万元)的数据统计如下:并根据数据绘制散点图如图所示:根据散点图的特点,甲认为样本点分布在指数曲线y=c
的周围,据此他对数据进行了一些初步处理如下表:其中
=
,
=
.
(-)(-) (-)(-)
43.5 4.5 854.0 34.7 12730.4 70
(1)(ⅰ)请根据表中数据,建立y关于x的回归方程(保留一位小数);
(ⅱ)根据所建立的回归方程,若该企业想在下一年收益达到2亿,则科技投入的费用至少要多少 (其中52.3)
(2)乙认为样本点分布在二次曲线y=+n的周围,并计算得回归方程为y=0.-12.0,以及该回归模型的相关指数=0.94,试比较甲乙两人所建立的模型,谁的拟合效果更好.
附:对于一组数据(,),(,),,(,),其回归直线方程=+u的斜率和截距的最小二乘估计分别为=,=-,相关指数:=1- .
已知实数a0,函数f(x)=ax+x
讨论函数f(x)的单调性;
(2)证明:(x+x+3).
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】AC
10.【答案】AB
11.【答案】BD
12.【答案】BC
13.【答案】12
14.【答案】4
15.【答案】x-y+1=0
16.【答案】
17.【答案】解：（1）由第3项和第8项的二项式系数相等可得 ＝，解得 n＝9．
（2）由（1）知，展开式的第r+1项为：Tr+1＝（ax）9﹣r（）r
＝a9﹣r；
令9﹣r＝0得r＝6，此时：
展开式的常数项为：a9﹣6 ＝84,
则a3＝1,
即a＝1.
18.【答案】解:(1)由题意,抽取的100名游客中年龄在50周岁及以下的有60人,
则年龄在50周岁以上的有40人,补全的22列联表如下:
不满意 满意 总计
50周岁及以下 5 55 60
50周岁以上 15 25 40
总计 20 80 100
设:对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄无关联,
==12.760>10.828，
根据小概率值=0.001的独立性检验,我们推断不成立,即认为对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄有关联, 此推断犯错误的概率不大于0.001.
(2)由题意可得一位游客至少去过两个及以上景区的概率为0.9,
X~B(3,0.9),X的所有可能取值为0,1,2,3,
则P(X=0)==0.001,
P(X=1)=0.9=0.027,
P(X=2)=0.1=0.243,
P(X=3)==0.729
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.001 0.027 0.243 0.729
数学期望 E(X)=00.001+10.027+20.243+30.729=2.7.
P(|X-1|1)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)
=1-P(X=3)=1-0.729=0.271.
19.【答案】解： (1)设事件为“从甲盒中取出个红球”,事件为“从乙盒中取出j个红球”,则, .
记为取出的4个球中红球的个数，
则,
,
,
，
由题意得ξ的分布列为
ξ 5折 7折 8折 9折
p
则E(ξ)=；
（2）由（1）可知，获得7折及以下资格的概率为.
由题意得η～B(3,)，则P(η=2)=.
20.【答案】解：(1)由题设知＝x2＋2x＋a≥0在[1，＋∞)上恒成立，
即a≥－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上恒成立，
而函数y＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)单调递减，则ymax＝－3，∴a≥－3，
∴a的最小值为－3.
(2)“对 x1∈， x2∈，使≤g(x2)成立”
等价于“当x∈时，≤g(x)max”．
∵＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1在上单调递增，
∴max＝＝8＋a.
而＝，由＞0，得x＜1，
由＜0，得x＞1，
∴g(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
∴当x∈时，g(x)max＝g(1)＝.
由8＋a≤，得a≤，
∴实数a的取值范围为.
21.【答案】解：（1）解:(1)(i)==7,
令z=y=bx+c;
令a=c,则z=bx+a.
根据最小二乘估计可知:= =0.5,
从而=-=4.5-0.57=1,
故回归方程为z=0.5x+1，即y=20.5x+1．
（ii）设20.5x+1≥200，解得0.5x+1≥log2200，即x≥4+4log25≈13.2，
故科技投入的费用至少要13.2百万元，下一年的收益才能达到2亿．
（2）甲建立的回归模型的残差：
yi 5.6 6.5 12.0 27.5 80.0 129.2
4 8 16 32 64 128
1.6 -1.5 -4 -4.5 16 1.2
则，从而，
即甲建立的回归模型拟合效果更好．
22.【答案】（1）由题意，，
由定义域{x|x＞0}知，
若a＞0， 则f′(x)＞0在(0，+∞)上恒成立，
故f(x)在(0，+∞)上单调递增；
若a＜0，当x∈(0，-a)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，
当x∈(-a，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，
综上所述，当a＞0时，f(x)在(0，+∞)上单调递增，
当a＜0，f(x)在(0，-a)上单调递减，在(-a，+∞)上单调递增；
（2）证明：由题意，该不等式等价于e2·xex≥lnx+x+3，即xex+2≥lnx+x+3，
又可化为elnx·ex+2≥lnx+x+3，即elnx+x+2≥lnx+x+3，
令t＝lnx+x+2，易知，t随x增大而增大，且知t∈R，
则只需证et≥t+1,
设g(t)＝et-t-1，则g′(t)＝et-1，
所以当t∈(-∞，0)时，g′(t)<0,g(t)单调递减，
当t∈(0，+∞)时，g′(t)>0,g(t)单调递增，
故g(t)min≥g(0)＝0，故原不等式得证,
故.
第1页，共1页2023春季湖北省黄州中学（黄冈外校）高二年级（数学）周测（5）
3.11(数学)
单选题
1.若函数，则的值为（ ）
A. 0 B. C. D.
2.曲线在点处的切线斜率为8，则实数的值为（ ）
A. B. 6 C. 12 D.
3.已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4.若，，且函数在处有极值，则的最大值等于（ ）.
A. 16 B. 25 C. 36 D. 49
5.函数（其中为自然对数的底数）的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
6.已知函数，，若至少存在一个，使得
成立，则实数
的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数在处取得最大值，则下列判断正确的是（ ）①，②，③，④
A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④
8.已知函数在R上有且只有一个零点，则实数m的最小值为（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
二．多选题
9.已知点在函数的图象上，则过点A的曲线的切线方程是（ ）
A. B. C. D.
10.如图是导函数的图象，则下列说法错误的是（ ）
A. 为函数的单调递增区间 B. 为函数的单调递减区间
C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极小值
11.设函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 定义域是（0，+） B. x∈（0，1）时，图象位于x轴下方
C. 存在单调递增区间 D. 有且仅有两个极值点
12.已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件有（ ）
A. B. C. D.
三．填空题
13.若函数的图象在点处的切线垂直于直线，则函数的最小值是____.
14.已知奇函数的导函数为，，若，则实数的取值范围为______.
15.做一个无盖的圆柱形水桶，若要使水桶的容积是，且用料最省，则水桶的底面半径为______．
16.已知函数的导函数为，任意均有，且，若函数在上有两个零点，则实数的取值范围是________．
四．解答题
17.在①在处取得极小值2，②在处取得极大值6，③的极大值为6，极小值为2这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．问题：已知函数，且______，求
的单调区间．
18.一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比.已知速度为每小时10海里时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？
19.设函数
.（1）若，求的单调区间；（2）若时，求的取值范围.
20.已知函数在处有极值.
（1）求的值，并判断是的极大值点还是极小值点？
（2）若不等式对于任意的恒成立，求的取值范围.
21.设函数
（1）当时，求函数的极值；
（2）若函数有2个零点，求实数的取值范围.
22.已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明：．
1.B
2.A
3.A
4.C
5.D
6.B
7.B
8.A
9.AD
10.BC
11.BC
12.AC
13.
14.(1，)
15.3
16.
17.解：选条件①．
易知，
由，即，得．
所以，
令，得或，令，得．
所以的单调递减区间为，单调递增区间为和．
选条件②．
易知，
由，即，得．
所以，
令，得或，令，得．
所以的单调递减区间为，单调递增区间为和．
选条件③．
易知，
由题意可知，
令，得，
则，随的变化情况如下表所示．
+ 0 - 0 +
极大值 极小值
所以，解得．
所以的单调递减区间为，单调递增区间为和．
18.解：设速度为每小时v海里的燃料费是每小时p元，
那么由题设的比例关系得p＝k·v3，其中k为比例系数，
由题知v＝10时，p＝6，
∴k= =0.006，
则p＝0.006v3，
又设当船的速度为每小时v海里时，航行1海里所需的总费用为q元，
那么每小时所需的总费用是0.006v3+96(元)，而航行1海里所需时间为 小时，
所以航行1海里的总费用为q= (0.006v3+96)=0.006v2+ .
q′=0.012v- = (v3-8000),
令q′=0,解得v=20，
因为当0< v＜20时，q′＜0，此时函数单调递减；
当v＞20时，q′＞0，此时函数单调递增，
所以当v＝20时，q取得最小值，
即速度为20海里/小时时，航行1海里所需费用总和最小.
19.解：（1）由题意，函数的定义域为，
当时，，则，
当时，，当时，，
故的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）由（1）可知，，当且仅当时，等号成立，
若，则，不符合条件，
若，得到，，
令，得或，
若，则当时，，单调递减，此时，不符合条件；
若，则当时，，单调递增，此时，即当时，，
综上所述，a的取值范围是.
20.解：（1）由，得，
由题意，得，即，解得.
当时，，
由，得，结合，解得.
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
∴是的极大值点.
（2）由（1）知，所以，
所以不等式对于任意的恒成立等价于对于任意的恒成立.
记， ，则，
.
由，得，所以，
即，∴.
从而在上是减函数，∴，
故，
所以的取值范围是.
21.解：（1）当时，函数，定义域为，
，
令，得或（舍）.
当0< x<1时，f'(x)<0；当x>1时，f'(x)>0；
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
即函数在处取得极小值，极小值为,无极大值.
（2）函数，定义域为，
令,，则，
所以当时，；当时，，
所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是.
①当，的最小值为，
即有唯一的零点；
②当时，的最小值为，且，即不存在零点；
③当时，的最小值，
又，，
所以函数在上有唯一的零点，
又当时，，，
令函数，定义域为，
则，解得，
可知函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，
所以函数在上有唯一的零点.
所以当时，有2个不同的零点.
综上所述，实数的取值范围是.
22.（1）解：因为f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x，且f(x)的定义域为{x|x>0},
所以f′（x）=+2ax+（2a+1）
=
=，
①当a=0时，f′（x）=+1＞0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当a＞0，由于x＞0，所以（2ax+1）（x+1）＞0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
③当a＜0时，令f′（x）=0，解得：x=-或x=-1(舍)，
当x∈（0，-）时f′（x）＞0；当x∈（-，+∞）时，f′（x）＜0，
所以函数f（x）在（0，-）上单调递增，在（-，+∞）上单调递减；
综上可知：当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＜0时，f（x）在（0，-）上单调递增，在（-，+∞）上单调递减；
（2）证明：由（1）可知：当a＜0时，f（x）在（0，-）上单调递增，在（-，+∞）上单调递减，
所以当x=-时，函数f（x）取最大值，f（x）max=f（-）=-1-ln2-+ln（-）,
从而要证f（x）≤--2，即证f（-）≤--2，
即证-1-ln2-+ln（-）≤--2，即证-（-）+ln（-）≤-1+ln2；
令t=-，则t＞0，即证：-t+lnt≤-1+ln2,（*）
令g（t）=-t+lnt，t＞0，
则g′（t）=-+，
令g′（t）=0，可知t=2，
则当0＜t＜2时，g′（t）＞0，当t＞2时，g′（t）＜0，
所以g（t）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减，
即g（t）≤g（2）=-×2+ln2=-1+ln2，则（*）式成立，
所以当a＜0时，f（x）≤--2成立．
第1页，共1页2023春季湖北省黄州中学（黄冈外校）高二年级（数学）周测2 2.17(数学)
单选题
1.设函数f(x)可导,则等于( )
A. f'(1) B. 3f'(1) C. f'(1) D. f'(3)
2.若函数f(x)=-x-6x,则f'(x)0的解集为( )
A. (-,0)[2,+) B. [2,+) C. (0,+) D. (0,][2,+)
3.如图所示,函数y=f(x)的图像在点P处的切线方程是y=-2x+10,则f(4)+f'(4)的值为( )
A. 0 B. 1 C. -1 D. 2
4.为了评估某种治疗肺炎药物的疗效, 现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量.设该药物在人体血管中药物浓度c与时间t的关系为c= f(t), 甲、乙两人服用该药物后, 血管中药物浓度随时间t变化的关系如下图所示.给出下列四个结论错误的是( )
A. 在时刻,甲、乙两人血管中的药物浓度相同;
B. 在时刻,甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同;
C. 在[,]这个时间段内,甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同;
D. 在[,],[,]两个时间段内,甲血管中药物浓度的平均变化率不相同.
5.已知曲线f(x)=
在点(1,f(1))处切线的斜率为1,则实数a的值为( )
A. - B. -1 C. D. 2
6.已知函数f(x)=-2m,g(x)=3x-x,若y=f(x)与y=g(x)在公共点处的切线相同,则m=( )
A. -3 B. 1 C. 2 D. 5
7.我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型,比如:当x0时,的极限即为型.两个无穷小之比的极限可能存在,也可能不存在,为此,洛必达在1696年提出洛必达法则:在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求限来确定未定式值的方法。如:===== 1,则=( )
A. 0 B. C. 1 D. 2
8.已知函数f(x)=,在区间(0,3)内任取两个实数,,且,若不等式<1恒成立,则实数a的最小值为( )
A. -4 B. -2 C. -1 D. 4
二．多选题
9.下列各式正确是( )
A. ()'= B. [(-x)]'= C. ()'= D. ()'=-
10.若直线y=x+b是函数f(x)图象的一条切线,则函数f(x)可以是( )
A. f(x)= B. f(x)= C. f(x)=x D. f(x)=
11.设点P是曲线y=-x+上的任意一点,P点处的切线的倾斜角为,则角的取值范围包含下列哪些区间 ( )
A. (,) B. (,) C. [0,) D. [,)
12.已知函数f(x)的定义域为R,且在R上可导,其导函数记为f'(x).正确的是( )
A. 若函数f(x)是奇函数,则f'(x)是偶函数
B. 若函数f'(x)是偶函数,则f(x)是奇函数
C. 若函数f(x)是周期函数,则f'(x)也是周期函数
D. 若函数f'(x)是周期函数,则f(x)也是周期函数
三．填空题
13.一个小球从5m高的位置自由下落,其位移y(单位:m)与时间t(时间:s)之间的关系为y(t)=-4.,则t=1s时小球的瞬时速度为 m/s.
14.曲线f(x)=x+2x在点(1,1)处的切线方程为 .
15.函数f(x)可导,且f'(1)=2,则
x0时, .
16.已知定义在(0,+)上的函数f(x)的导函数为f'(x),f(x)=f'(1)+(x+f(1))x,则f(1)+f'(1)= .
四．解答题
17.求下列函数的导数.
(1)y=-(2x);
(2)y=-x;
(3)y=.
18.设点P是曲线f(x)=-x+2上的任意一点,k是曲线在点P处的切线的斜率.
(1)求k的取值范围;
(2)求当k取最小值时,曲线在点P处的切线方程.
19.已知函数f(x)=,g(x)=x.
(1)设h(x)=,求h'(x);
(2)求曲线y=g(x)在(,g())处切线的方程;
(3)若直线l过坐标原点且与曲线y=f(x)相切,求直线l的方程.
20.已知函数f(x)=a+x,g(x)=
(1)若a=2,求函数y=f(x)的图象在x=处的切线的方程.
(2)若函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象存在公共切线,求实数a的取值范围.
21.已知函数f(x)=,且f(x)的图象在x=1处与直线y=2相切.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若P(,)为f(x)图象上的任意一点,直线l与f(x)的图象切于P点,求直线l的斜率k的取值范围.
22.如图,曲线y=(x0)在点Q0(1,1)处的切线交x轴于点,过作斜率为-1的直线交曲线于点;曲线在点
处的切线交x轴于点,过作斜率为-1的直线交曲线于点,依次重复上述过程得到一系列点:,;,;;,,;记点(,)(n=0,1,2,).
(1)求;
(2)求与的关系式;
(3)求证:(+1)(+1)(+1)(+1)<3.
1.A
2.B
3.A
4.B
5.B
6.B
7.B
8.A
9.BC
10.BCD
11.CD
12.AC
13.
14.3x-y-2=0
15.1
16.
17.解：（1）y＝2x－
（2）y＝－2(exsin x＋excos x)＝－2ex(sin x＋cos x)．
（3）y＝＝
18.解：(1)设P(,-+2),
因为k=f'()=--,
所以k的取值范围为[-,+).
(2)由(1)知=-,此时=0,即P(0,2),
所以此时曲线在点P处的切线方程为y=-x+2.
19.解：（1）因为，，所以．
所以．
（2）因为，所以，即切线的斜率．
曲线在处切线方程为，化简得.
（3）因为，所以．
设切点为，
则曲线在切点处的切线方程为，
代入原点坐标得， 解得．
所以过原点的切线方程为，即．
20.解：(1)()，
若，则，，
故在处的切线的方程为，即：；
(2)()，
设上的切点为，
则在该点处对应的切线的斜率为，
切线为①，
，设上的切点为，
则在该点处对应的切线的斜率为，
切线为②，
要使得和存在公切线，
只需要存在实数，使得①和②为同一条直线，
即两线的斜率和它们在轴上的截距均相同，
即，
消去得，
令，则，
所以，在上递增，在上递减，
，
所以.
21.解：（1）由题意得，f′（x）===，
因为f（x）的图象在x=1处与直线y=2相切，
所以，解得，
则.
（2）由（1）可得，f′（x）=，
所以直线l的斜率k=f′（x0）===-4·+，
设t=，则t∈（0，1]，
所以k=4（2t2-t）=8（t-）2-，
则在对称轴t=处取到最小值，在t=1处取到最大值4，
所以直线l的斜率k的取值范围是[，4]．
22.解：（1）y'=2x，则k=2，
故直线P1Q0的方程为y=2（x-1）+1=2x-1，即,
直线P1Q1的方程为，与y=x2（x≥0）联立得出，
解得．
（2）由（1）可得，
则直线Pn+1Qn的方程为，即，
直线Pn+1Qn+1的方程为与y=x2（x≥0）联立得出，
即，故，
证明：（3）由（2）可得，
解得xn+1=，即，
则
，
故，
由，
可得．
第1页，共1页2023春季湖北省黄州中学（黄冈外校）高二年级（数学）周测3 2.24(数学)
单选题
1.已知函数f(x)可导,且满足=2,则函数y=f(x)在x=3处的导数为( )
A. -1 B. -2 C. 1 D. 2
2.设函数f(x)是其定义域内的可导函数,其函数图象如图所示,则其导函数f'(x)的图象可能是( )
A. B.
C. D.
3.函数f(x)=-的图像在点(1,f(1))处的切线方程为( )
A. y=-2x-1 B. y=-2x+1 C. y=2x-3 D. y=2x+1
4.已知函数y=f(x)的图象如图所示,f'(x)是函数f(x)的导函数,则下列数值排序正确的是( )
A. 2f'(2)< f(4)-f(2)<2f'(4) B. 2f'(4)<2f(2)< f(4)-f(2)
C. 2f'(2)<2f'(4)< f(4)-f(2) D. f(4)-f(2)<2f'(4)<2f'(2)
5.若函数f(x)=kx-x在区间(1,+)上单调递增,则实数k的取值范围是( )
A. (-,-2] B. (-,-1] C. [2,+) D. [1,+)
6.若过点(a,b)可以作曲线y=的两条切线,则( )
A. < a B. < b C. 0< a< D. 0< b<
7.若曲线y=(x+a)的一条切线为y=ex+b,其中a,b为正实数,则a+的取值范围是( )
A. (+,+) B. [e,+) C. [2,+) D. [2,e)
8.已知正四棱锥的侧棱长为,其各顶点都在同一个球面上,若该球的体积为36,且33
,则该正四棱锥体积的取值范围是( )
A. [18,] B. [,] C. [,] D. [18,27]
二．多选题
9.下列说法错误的有( )
A. f'()是函数y=f(x)在x=附近的平均变化率.
B. 函数f(x)=(-x)的导数f'(x)=x.
C. 求f'()时,可先求f(),再求f'().
D. 曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.
10.若函数f(x)=-1与g(x)=ax图象恰有一个公共点,则实数a可能取值为( )
A. 2 B. 0 C. 1 D. -1
11.已知f'(x)为函数f(x)的导函数,当x>0时,有f(x)-xf'(x)>0恒成立,则下列不等式一定成立的是( )
A. f()>2f() B. f()<2f() C. f()>2f(1) D. 2f()>f(1)
12.若函数y=f(x)的图象上存在两个不同的点P,Q,使得f(x)在这两点处的切线重合,则称函数y=f(x)为“切线重合函数”,下列函数中是“切线重合函数”的是( )
A. y=x+x B. y=(x) C. y=x+x D. y=+x
三．填空题
13.曲线y=(ax+1)在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a= .
14.写出一个同时具有下列性质的函数f(x): .f()=f()f();当x(0,+)时,f'(x)>0;f'(x)是奇函数.
15.若曲线y=(x+a)有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是 .
16.已知函数f(x)=|-1|,<0,>0,函数f(x)的图象在点A(,f())和点B(,f())的两条切线互相垂直,且分别交y轴于M,N两点,则取值范围是 .
四．解答题
17.若直线为曲线:y=与曲线:y=的公切线,求直线的斜率为
18.已知函数f(x)=-+x.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)求曲线y=f(x)过点(1,0)的切线方程.
19.用导数的方法求和:1+2x++++(x0,且x1).
20.已知函数f(x)=++(a-2)x+3.
(1)若函数f(x)在区间(1,2)上单调递增,求实数a的取值范围;
(2)若函数f(x)在区间(1,2)上存在单调递增区间,求实数a的取值范围.
21.设函数f(x)=+bx+c,曲线y=f(x)在点(,f())处的切线与y轴垂直.
(1)求b;
(2)若f(x)有一个绝对值不大于1的零点,证明:f(x)所有零点的绝对值都不大于1.
22.已知函数f(x)=ax--(a+1)x.
(1)当a=0时,求f(x)的最大值;
(2)若f(x)恰有一个零点,求a的取值范围.
1.A
2.C
3.B
4.A
5.D
6.D
7.C
8.C
9.ABC
10.BCD
11.BD
12.ABC
13.-3
14.答案不唯一，均满足.
15.(-,-4)(0,+)
16.
17.解：曲线C1：y=x2，则y′=2x，曲线C2：y=x3，则y′=3x2，
直线l与曲线C1的切点坐标为（a，b），则切线方程为y=2ax-a2，
直线l与曲线C2的切点坐标为（m，n），则切线方程为y=3m2x-2m3，
∴2a=3m2，a2=2m3，
∴m=0或m=，
∴直线l的斜率为0或．
18.解:（1）由题意得f'（x）=3x2-4x+1=(3x-1)(x-1)，
时f(x)>0,函数单调递增,
时f(x)>0,函数单调递增,
时f(x)<0,函数单调递减,
故函数f(x)的单调增区间为和，单调减区间为;
（2）设切点为（x0，y0），
∵切点在函数图象上，∴，
故曲线在该点处的切线为，
∵切线过点（1，0），
∴
即，
解得x0=1或，
当x0=1时，切点为（1，0），
∵f'（1）=0，f(0)=0,
∴切线方程为y=0；
当时，切点为，
∵，
∴切线方程为x+4y-1=0．
综上可得：切线方程为y=0或x+4y-1=0．
19.解:设f(x)=1+2x++++,g(x)=x+++++,
则有f(x)=g'(x)，
而由等比数列求和公式可得
g(x)==,
于是f(x)=g'(x)=()'
=
=,
即1+2x++++
= .
20.解：（1）依题意f′（x）=x2+ax+（a-2）≥0在（1，2）上恒成立，
即a≥在（1，2）上恒成立，
令t=x+1∈（2，3），g（t）===-t++2在（2，3）上单调递减，
而g（t）＜，
所以a≥．
（2）依题意f′（x）=x2+ax+（a-2）＞0在（1，2）有解．
则f′（1）＞0或f′（2）＞0，
则a＞或a＞-，
所以a＞-．
21.解：(1),
由题意知：，解得；
(2)由（1）可得,
由题意知直线与函数的图象在上至少有一交点，
设，则，
当时， ，
当时，，
当时，，
故在和上单调递减，在上单调递增，
又，，，，
故，
显然此时直线与函数的图象在上无交点，
原命题得证.
22.解：(1)当a=0时，,定义域为.
,
当单调递增，当单调递减，
故.
(2)f(x)=ax--(a+1)x，定义域为.
，
令
①若a=0，g(x)=-x+1,由（1）知f(x),此时无零点.
②若，,
当a=1时，g(x)=,,故f(x)单调递增，且f(1)=0,符合题意.
当a时，g(x)=0有两个不等的实根，，
若a，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,)单调递减，此时f(x),此时无零点.
若,f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,)单调递减，在(,+)单调递增，
又f(1)=a-1<0,f()=1-a+（a+1）lna<0,当x时，f(x)>0,符合题意，
若a>1,f(x)在(0,)上单调递增，在(,1)单调递减，在(1,+)单调递增,
又f(1)=a-1>0,f()>0,当x时，f(x)<0，符合题意.
综上，a的取值范围为.
第1页，共1页2023春季湖北省黄州中学（黄冈外校）高二年级（数学）周测4 3.3(数学)
一．单选题
1.如图，函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8，则f(5)+f'(5)等于( )
A. B. 1 C. 2 D. 0
2.曲线在点(1, f(1))处的切线与直线x+y=0垂直，则a=( )
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
3.设a为实数，函数f(x)=++(a-3)x，且f'(x)是偶函数，则f(x)的单调递增区间为( )
A. (0,+) B. (-,-1)，(1,+)
C. (-1,1) D. (3,+)
4.已知函数f(x)=-，则f(x)的大致图像为( )
A. B. C. D.
5.若点P是曲线y=-x上任一点，则点P到直线y=x-1的最小距离是( )
A. B. 1 C. D.
6.已知函数f(x)=+x，其中f'(x)为函数f(x)的导数，则f(2018)+f(-2018)+f'(2019)-f'(-2019)等于( )
A. 2 B. 2019 C. 2018 D. 0
7.已知函数f(x)=xx+2x(aR).若存在x[1,3]，使得f(x)>xf'(x)成立，则实数a的取值范围是( )
A. (-1,6) B. (-,3) C. (,+) D. (-,2)
8.已知定义域为R的奇函数y=f(x)的导函数为y=f'(x)，当x0时，(x)+>0，若a=-f(-)，b=2f(2)，c=(3)f(
3)，则a，b，c的大小关系是( )
A. a< b< c B. a< c< b C. b< c< a D. c< a< b
二．多选题
9.已知曲线y=在点P处的切线的斜率k=12，则点P的坐标可以是( )
A. (1,1) B. (-1,-1) C. (2,8) D. (-2,-8)
10.已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(1)=5，对任意实数x都有(x)<3，则不等式f(x)<3x+2成立的充分不必要条件为( )
A. (0,+) B. [1,+) C. (2,+) D. (3,+)
11.过抛物线=8y的焦点F的直线交抛物线于A,B两点，分别过A,B作抛物线的切线交于点P，则下列说法正确的是( )
A. 若|AB|=16，则直线AB的倾斜角为 B. 点P在直线y=-2上
C. APBP D. 的最小值为
12.对于函数f(x)=，下列说法错误的是( )
A. f（x）在(1,e)上单调递增，在(e,+)上单调递减
B. 若方程f(|x+1|)=k有4个不等的实根,,,，则+++=-4
C. 当0<<<1时，<
D. 设g(x)=+a，若对R,(1,+)，使得g()=f()成立，则ae
三．填空题
13.已知函数f(x)=x-，则=____________．
14.直线l是曲线y=+x-2在点处的切线，则直线 l的倾斜角为____________．
15.若直线x=m与这两条曲线和都相交，交点分别为 M，N，则的最小值为__________．
16.函数f(x)对于任意xR，均满足f(x)=f(2-x)，f(x)=，若存在实数a,b,c,d(a< b< c< d)满足f(a)=f(b)=f(c)=f(d)，则(b-a)(c-d+2)的取值范围是__________．
四．解答题
17.设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0,
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)证明:曲线y=f(x)上任意一点处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为定值.
18.已知曲线y=
(1)求曲线在点P(1,1)的切线方程;
(2)求曲线过点Q(1,0)的切线方程;
(3)求满足斜率为-的曲线的切线方程.
19.已知函数f(x)=++bx+(a,bR).
(1)若函数f(x)在x=1处有极值10,求b的值;
(2)在(1)的条件下, 求f(x)在区间[0,2]上的最值.
20.如图所示, 某风景区在一个直径AB为400m的半圆形花园中设计一条观光路线, 在点A与圆弧上一点C之间设计为直线段小路,在路的两侧边缘种植绿化带;从点C到点B设计为沿圆弧BC的弧形小路, 在路的一侧边缘种植绿化带.(注: 小路及绿化带的宽度忽略不计)
(1)设BAC=(弧度),将绿化带总长度S()表示为的函数;
(2)试确定的值, 使得绿化带总长度最大, 并求最大值.
21.设函数f(x)=-ax,a>0.
(1)讨论函数f(x)在区间(0,1)上的单调性;
(2)函数g(x)=x-x,若对任意的(0,1),总存在(0,+)使得f()>g(),求实数a的取值范围.
22.设函数．
(1)求f(x)的极值；
(2)若nN*，证明：+++<(n+1)．
1.C
2.D
3.B
4.C
5.C
6.A
7.C
8.B
9.CD
10.CD
11.BC
12.ACD
13.4
14.
15.
16.
17.(1)解:方程7x-4y-12=0可化为，当时，,切点为,
又，
于是，
解得a=1,b=3，
故 ;
(2)证明:设为曲线上任一点，
由知曲线在点处的切线方程为:
，
即.
令，得，从而得切线与直线的交点坐标为,
令，得，从而得切线与直线的交点坐标为,
所以点处的切线与直线所围成的三角形面积为.
故曲线上任一点处的切线与直线所围成的三角形面积为定值，此定值为６.
18.解：令f(x)=，∴．
（1）显然P(1，1)是曲线上的点．所以P为切点，所求切线斜率为函数在P(1，1)点导数．
即k＝f′(1)＝-1．
所以曲线在P(1，1)处的切线方程为y-1＝-(x-1)，即为y＝-x+2．
（2）显然Q(1，0)不在曲线上．
则可设过该点的切线的切点为，
那么该切线斜率为．
则切线方程为，
它过点Q(1，0)，则，a，解得，
∴切线方程为4x+y-4＝0．
（3）设切点为B(b,),由，得．
当时，切线方程为，
当时，切线方程为．
19.解：（Ⅰ）函数,
则f'(x)=3x2+2ax+b，
由题意得，解得或,
当时，f'(x)=3x2+8x-11，△=196>0，所以函数f(x)有极值点；
当时，f'(x)=3x2-6x+3=0=3(x-1)2≥0，所以函数f(x)没有极值点；
综上可得b=-11.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，x∈,
且f'(x)=3x2+8x-11=(3x+11)(x-1），
令f'(x)=0,解得x=-或x=1.
当x(1,2]时f'(x)>0，函数f(x)单调递增；
当x[0,1]时f'(x)<0，函数f(x)单调递减；
当x=1时，函数f(x)取得极小值f(1)=10.
而f(0)=16,f(2)=18.
所以在[0,2]上函数f(x)的最小值是f(1)=10，最大值是f(2)=18.
20.解：（1）如图，连结OC，BC，
在直角三角形ABC中，，（m），
所以（m），
由于，
所以弧BC的长为（m），
所以， ；
（2）由（1）得，，
所以，，
当时，，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
当时，有最大值，
所以当时，绿化带总长度最大，最大值为米.
21.解：（1）f'（x）=ex-a，∵a＞0，∴f'（x）=0 x=lna．
①当lna≤0 0＜a≤1时，f'（x）＞0恒成立，∴f（x）在（0，1）上单调递增．
②当lna≥1 a≥e时，f'（x）＜0恒成立，∴f（x）在（0，1）上单调递减．
③当0＜lna＜1 1＜a＜e吋，f'（x）＞0 x∈（lna，1），f'（x）＜0 x∈（0，lna）
f（x）在（0，lna）单调递减，（lna，1）单调递增．
综上所述，当0＜a≤1吋，f（x）在（0，1）上单调递增；
当a≥e时，f（x）在（0，1）上单调递减；
当1＜a＜e时，f（x）在（0，lna）单调递减，（lna，1）单调递增．
（2）由题意可知：f（x）min＞g（x）min （*）
，令g′（x）＞0 x＞1，令g′（x）＜0 0＜x＜1，
∴g（x）在（0，1）上单调递减，g（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴g（x）min=g（1）=1，
由（1）可知：
①当0＜a≤1时，f（x）在（0，1）上单调递增，∴f（x）＞f（0）=1，则（*）恒成立，
②当a≥e时，f（x）在（0，1）上单调递减，∴f（x）＞f（1）=e-a，
则应e-a≥1 a≤e-1（舍）
③当1＜a＜e时，f（x）min=f（lna）=a-alna，
则应有a-alna＞1 （Δ）
令h（a）=a-alna，1＜a＜e，
则h'（a）=1-（1+lna）=-lna＜0恒成立，
∴h（a）在（1，e）上单调递减，故h（a）＜1-1×ln1=1恒成立，则（Δ）无解，
综上，a∈（0，1]．
22.解：(1)f(x)的定义域是(0,+)，
f'(x)=2x-1-=，
令f'(x)>0，解得：x>1，令f'(x)<0，解得：0< x<1，
f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+)上单调递增，
f=f(1)=0，无极大值．
(2)由(1)知f(x)=-x-x在(0,1)上单调递减，
x(0,1)时，-x-x>f(1)=0，-x>x，
令x=，得-x=-，
->=-，即>，
2>，>，>，，>，
累加得：2++++>++++，
(n+1)>++++．
第1页，共1页2023春季湖北省黄州中学（黄冈外校）高二年级（数学）周测八3.31(数学)
一．单选题
1.不等式<6的解集为( )
A. [2,8] B. (7,12) C. {x|7< x<12,xN} D. {8}
2.若一个三位正整数的十位数字比个位数字和百位数字都大,则称这个数为“伞数”,现从1,2,3,4,5这5个数字中任取3个数字,组成没有重复数字的三位数,其中“伞数”共有几个.( )
A. 60 B. C. 20 D.
3.已知A(1,f(1)),B(1+x,f(1)+y)是函数f(x)=a+2x上的两点,且=4,则a=( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4.用四种颜色给正四棱锥V-ABCD的五个顶点涂色,要求每个顶点涂一种颜色,且每条棱的两个顶点涂不同颜色, 则不同的涂法有( )
A. 72种 B. 36种 C. 12种 D. 60种
5.为庆祝中国共产党建党一百周年, 某校有甲、乙、丙、丁、戊5名党员参加“党史知识竞赛”, 决出第一名到第五名的名次(无并列名次),已知甲排第三,乙不是第一,丙不是第五,据此推测5人的名次排列情况共有种( )
A. 5 B. 14 C. 8 D. 21
6.已知f(x)是定义在R上的奇函数,其导函数为f'(x),且当x>0时,f'(x)x+>0,则不等式(-1)f(x)<0的解集为( )
A. (-1,1) B. (-,-1)(0,1)
C. (-,-1)(1,+) D. (-1,0)(1,+)
7.设f(x)=若函数f(x)的最小值为,则实数a的取值范围为( )
A. [-2,1] B. [0,1] C. [0,2] D. [1,+)
8.设a,bR,当x>0时,恒有++2+(a+1)x+b+1-xx,则a-b=( )
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
二．多选题
9.已知函数f(x)=-3ax+1(aR)在[0,2]上的最大值为5,则a的值可能是( )
A. 2 B. -2 C. 1 D. -1
10.以下命题正确的是( )
A. a=0是z=a+bi为纯虚数的必要不充分条件
B. 满足+1=0的x有且仅有i
C. “在区间(a,b)内f'(x)>0”是“f(x)在区间(a,b)内单调递增”的充分不必要条件
D. 已知f(x)=,则f'(x)=
11.已知函数f(x)=a(x-1)-(2x-1)在(-,1)上有两个不同的零点,则实数a可能取到的值为( )
A. -1 B. C. D. 1
12.已知函数f(x)=x+1,则( )
A. f(x)的周期为2
B. f(x)的图象关于点(0,1)对称
C. f(x)在[0,]上为增函数
D. f(x)在区间[-5,5]上所有的极值之和为10
三．填空题
13.4名学生和2名老师手牵手围成一圈, 要求老师必须相邻, 不同排法数为 .
14.若函数f(x)=(-x-2)在区间(2,3)上不是单调函数,则实数m的取值范围是 .
15.为满足北京环球度假区游客绿色出行需求,国网北京电力在该度假区停车楼建成了目前国内规模最大的集中式智慧有序充电站, 充电站共建设901个充电桩, 其中包括861个新型交流有序充电桩、37个直流充电桩以及3个专门满足新能源大巴快速补电需求的大功率直流充电桩.现有A、B、C、D、E、F六辆新能源大巴, 需要安排在某周一的上午或下午在甲、乙、丙3个新能源大巴大功率直流充电桩充电, 每个充电柱在上午和下午均只安排一辆大巴充电,若要求A、B两车不能同时在上午充电,而C车只能在下午充电, 且F车不能在甲充电桩充电, 则不同的充电方案一共有 种.(用数字作答)
16.“双减”政策实施以来, 各地中小学纷纷开展丰富的课后活动.某校积极开展各种棋类益智活动,某项单人跳棋游戏的规则如下:如图所示,棋子的初始位置为
处,玩家每掷出一枚骰子,朝上一面的点数即为棋子沿棋盘实线顺时针方向前进的格子数,即玩家掷出的点数为i(i=1,2,
,6),则棋子就按顺时针方向前进i个格子、一直循环下去,现在已知小明同学抛掷3次骰子后棋子恰好又回到起点
处,则其不同的走法数为 .(用数字作答)
四．解答题
17.(1)计算:
;(2)已知-=,求++++的值(用数字作答).
18.有一个长方体的容器(如图),它的宽为10cm,高为100cm.右侧面为一活塞,容器中装有1000mL的水.活塞的初始位置(距左侧面)为=1cm,水面高度为100cm.当活塞位于距左侧面xcm的位置时,水面高度为ycm.
(1)写出y关于x的函数解析式y=f(x),x200cm;
(2)活塞的位置x从1cm变为2cm,水面高度y改变了多少 活塞的位置x从8cm变为10cm,水面高度y改变了多少 以上哪个过程水面高度的变化较快
(3)试估计当x=10cm时,水面高度y的瞬时变化率.
19.用数字0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字的五位数.
(1)比20000大的五位偶数共有多少个;
(2)从小到大排列所有的五位数,问35214是第几位
(3)能被6整除的五位数有多少个.
20.某班有一个5男4女组成的社会实践调查小组,准备在暑假进行三项不同的社会实践,若不同的组合调查不同的项目算作不同的调查方式,求按下列要求进行组合时,有多少种不同的调查方式
(1)将9人分成人数分别为2人、3人、4人的三个组去进行社会实践;
(2)将9人平均分成3个组去进行社会实践;
(3)将9人平均分成每组既有男生又有女生的三个组去进行社会实践.
21.已知函数f(x)=2ax-+x.
(1)若f(x)在x=1,x=处取得极值.
求a,b的值;
若存在[,2],使得不等式f()-c0成立,求c的最小值;
(2)当b=a时,若f(x)在(0,+)上是单调函数,求a的取值范围.
22.已知函数f(x)=x-ax的最小值与函数g(x)=的最大值相等.
(1)求实数a的值;
(2)若g(x)=m有两个不相等的实数根,,求证:<
.
1.D
2.C
3.D
4.A
5.B
6.B
7.B
8.A
9.AB
10.AC
11.BC
12.BCD
13.48
14.（，）
15.168
16.27
17.解：（1）；
（2）由
,
化简得10m=(7-m)(6-m)，
得m=2或m=21（舍），
∴
=
=
=
==462.
18.解：（1）∵10xy=1000，∴y=，
即y关于x的函数解析式为y=（）；
（2）由（1）得y=，设y=f（x），则f（x）=，
所以f（1）=100，f（2）=50，则f（2）-f（1）=50-100=-50（cm），
f（8）=12.5，f（10）=10，则f（10）-f（8）=10-12.5=-2.5（cm）；
∵==-50，==-1.25，
且|-50|＞|-1.25|，
∴活塞的位置x从1cm变为2cm，水面高度改变了-50cm；
活塞的位置x从8cm变为10cm，水面高度改变了-2.5cm；
从1cm变为2cm，水面高度的变化较快；
（3）∵===-，
当△x趋于0时，趋于-1，
∴当x=10cm时，水面高度y关于x的瞬时变化率为-1．
19.解：（1）根据题意，符合题意的五位数的首位只能是2，3，4，5，共4种可能，末位数字必须是0、2或4；
当首位是2时，末位是4或0，有2A43=48种结果，
当首位是4时，同样有48种结果，
当首位是3，5时，共有2×3×A43=144种结果，
综上，可知共有48+48+144=240种结果，即比20000大的五位偶数有240个；
（2）根据题意，当五位数首位数字为1、2时，有2A54=240个数，
当首位数字为3，第2位数字为0、1、2、4时，有4A43=96个数，
当首位数字为3，第2位数字为5，第3位数字为0、1时，有2A32=12个数，
当首位数字为3，第2位数字为5，第3位数字为2，十位数字为0时，有2个数，
当首位数字为3，第2位数字为5，第3位数字为2，十位数字为1时，比35214小的还有35210，1个数；
则比35214小的五位数有240+96+12+2+1=351个，故35214是第352位；
（3）根据题意，被6整除的数必须是既能被2整除，也能被3整除，
若能被3整除，则各位数字之和必须能被3整除，有2种情况，
①、当五个数字由1、2、3、4、5组成时，其末位数字为2、4，有2A44=48个，
②、当五个数字由0、1、2、4、5组成时，
首位数字为1、5时，末位有3种选择，共有2×3×A33=36个，
首位数字为2、4时，末位有2种选择，共有2×2×A33=24个，
此时共有36+24=60个，
则被6整除的五位数有46+60=108个.
20.解：（1）先将9人按分组，有种分组方法，
再把各组分配到三个项目中去有种方法，
由分步乘法计数原理得，
所以不同的调查方式有7560种.
（2）从9人中任选3人去调查第一个项目，
从余下6人中任选3人去调查第二个项目，
最后3人去调查第三个项目，
由分步乘法计数原理得，
所以不同的调查方式有1680种.
（3）把4个女生按2:1:1分组，有种分法，
从5个男生中任选1个到两个女生的一组，
从余下4个男生中任选2人到1个女生的一组，
最后2个男生到最后的1个女生组，分法种数为，
将分得的三个小组分配到三个项目中，有种方法，
由分步乘法计数原理得，
所以不同的调查方式有1080种.
21.解：(1)①∵，定义域为(0，+∞),
∴,
∵f(x)在处取得极值，
∴
即，
所以所求a，b值均为,
则，
当时，;当时，，
经检验符合题意，所以；
②在存在x0，使得不等式f(x0)-c≤0成立，则只需c≥[f(x)]min,
由，
∴当时，f'(x)＜0，函数f(x)在上单调递减；
当时，f'(x)＞0，函数f(x)在上单调递增；
当x∈(1，2)时，f'(x)＜0，函数f(x)在(1，2)上单调递减，
∴f(x)在处有极小值,
而,
又，
因，
∴，
∴，
故．
(2)当 a=b 时，
①当a=0时，f(x)=lnx，则f(x)在(0，+∞)上单调递增；
②当a＞0时，∵x＞0，∴2ax2+x+a＞0，∴f'(x)＞0，则f(x)在(0，+∞)上单调递增；
③当a＜0时，设g(x)=2ax2+x+a，开口向下，
则f(x)在(0，+∞)上只能单调递减，
则对于任意的,恒成立，
又对称轴,
只需Δ≤0，即，又，从而得，
综上可得，.
22.解:（1）,
当时，，
所以在单调递增，不存在最小值;
当时，，得，
当时，，单调递减；
当时， ，单调递增，
所以函数的最小值为
，得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以函数的最大值为,
令，，得,
当时，，单调递增；
当时，，单调递减,
所以，因此，得.
（2）因为时，，
因为有两个不相等的实数根，
设，所以，
两式相减得，
要证
只要证
只要证
只要证
令，则，
令
则，
令 ，得
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，单调递增，
所以
故.
第1页，共1页2023春季湖北省黄州中学（黄冈外校）高二年级（数学）周测九4.8(数学)
一．单选题
1.若曲线在点(1，a)处的切线与直线l：x+y+5＝0平行，则实数a＝（ ）．
A. B. 1 C. D. 2
2.中国空间站（China Space Station）的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．2022年10月31日15:37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕．2023年，中国空间站将正式进入运营阶段．假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三舱中每个舱中都有2人，则不同的安排方法有（ ）
A. 72种 B. 90种 C. 360种 D. 450种
3.如图，已知函数f(x)的图像在点P(2，f(2))处的切线为l，则f(2)+f′(2)＝（ ）
A. -2 B. -1 C. 0 D. 2
4.如图，现要对某公园的4个区域进行绿化，有4种不同颜色的花卉可供选择，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色的花卉，则不同的绿化方案有（）
A. 48种 B. 72种 C. 64种 D. 256种
5.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（）
A. 在第10行中第5个数最大
B. 第2023行中第1011个数和第1012个数相等
C.
D. 第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数
6.已知不等式k(x+2)ex-1＜x恰有2个整数解，则实数k的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7.设，，，则（ ）
A. b＜a＜c B. c＜a＜b C. c＜b＜a D. b＜c＜a
8.已知y＝(x-a)2+(xex-a+1)2(a∈R)，则y的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二．多选题
9.函数f(x)＝(x-1)ln x-1，则下列说法正确的是（ ）
A. f(x)在x＝1处有最小值 B. (1，-1)是f(x)的一个极值点
C. f(x)在(1，+∞)上单调递增 D. 当-1≤a＜0时，方程f(x)＝a有两异根
10.在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A. 常数项是24 B. 第4项系数最大 C. 第3项是-32x2 D. 所有项的系数的和为1
11.为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（）
A. 某学生从中选2门课程学习，共有15种选法
B. 课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法
C. 课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144种排法
D. 课程“礼”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480种排法
12.已知定义在R上的函数f(x)，g(x)，其导函数分别为f′(x)，g′(x)，若f(x)＝f(-x)，g(-1)＝0，f(x)+g′(x-1)＝x2-1，
，则（ ）
A. g(x)是奇函数 B. g(x)是周期函数 C. f(6)＝32+f(2) D. f′(6)＝3f′(2)
三，填空题
13.已知某物体在平面上作变速直线运动，且位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系可用函数：s＝5t+4t2表示，则该物体在t＝3秒时的瞬时速度为_______m/s．
14.为提升本地景点的知名度、美誉度，各地文旅局长纷纷出圈，现有五名大学生决定去海南三亚、四川九寨沟、东北长白山旅游．若每人只去一个景点，每个景点至少有一人前往，其中甲、乙需要到同一景点，则不同的人员分配方案种数为_______．
15.剪纸是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺术之一．如图，一圆形纸片，直径AB＝10 cm，需要剪去菱形EFGH，可以经过两次对折、沿EF裁剪、展开后得到．若CF＝EF，要使镂空的菱形EFGH面积最大，则菱形的边长EF＝_______cm．
16.已知m、n为实数，f(x)＝x-mln x+n-1，若f(x)≥0对 x∈(0，+∞)恒成立，则
的最小值为_______．
四．解答题
17.已知函数f(x)＝x3-6x2+9x-2．
（1）求f(x)的极值；
（2）求f(x)在区间[-2，2]上的最大值与最小值．
18.已知函数．
（1）若f(x)在x＝2处取得极大值，求实数a的值；
（2）若f(x)在(-1，1)上单调递增，求实数a的取值范围．
19.已知f(x)＝(1+2x)n展开式的二项式系数和为64，且(1+2x)n＝a0+a1x+a2x2+…+anxn．
（1）求a2的值；
（2）求(1+2x)n展开式中二项式系数最大的项；
（3）求a1+2a2+3a3+…+nan的值．
20.已知函数f(x)＝sin x-ax，a∈R．
（1）若a＝1，求曲线y＝f(x)在点处的切线方程；
（2）若f(x)≥a在上恒成立，求实数a的取值范围．
21.已知函数f(x)＝x2+(a-2)x-aln x(a∈R)．
（1）讨论f(x)的单调性；
（2）当a＞0时，若方程f(x)＝m有两个不等实根x1，x2，证明：x1+x2＞2．
22.已知函数f(x)＝2ln x+bx2-2x．
（1）若函数f(x)存在单调递减区间，求实数b的取值范围；
（2）设x1，x2(x1＜x2)是函数f(x)的两个极值点，证明：f(x1)-f(x2)＜(2b-1)(x1-x2)．
1.D
2.B
3.C
4.A
5.D
6.A
7.D
8.C
9.AC
10.AD
11.ACD
12.BCD
13.29
14.36
15.
16.0
17.解：(1)f(x)=-+9x-2,
f'(x)=-12x+9=3(x-3)(x-1),
x (-,1) 1 (1,3) 3 (3,+)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 单调递增 极大值2 单调递减 极小值-2 单调递增
故 f(x)的极大值是f(1)=2,极小值是f(3)=-2;
(2)由(1) 知:
x -2 (-2,1) 1 (1,2) 2
f'(x) + 0 -
f(x) -52 单调递增 极大值2 单调递减 0
即函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值为2,最小值为-52.
18.解：(1)因为f'(x)==,
所以f'(2)==0,得a=1,
此时f'(x)=,
所以在(-,2)上f'(x)>0,f(x)单调递增,在(2,+)上f'(x)<0,f(x)单调递减,
所以f(x)在x=2处取得极大值,符合题意,
故实数a的值为1.
(2)由(1)知,f'(x)=,
因为f(x)在(-1,1)上单调递增,
所以f'(x)0在(-1,1)上恒成立.
因为>0,
所以-x+a+10在(-1,1)上恒成立,
即ax-1在(-1,1)上恒成立.
因为g(x)=x-1在(-1,1)上单调递增,
所以g(x)< g(1)=0,
故实数a的取值范围为[0,+).
19.解：(1)的展开式的所有项的二项式系数和为=64,
n=6,故展开式中第三项为:==,所以=60;
(2)==+x+++,
第四项的二项式系数最大,
所以展开式中二项式系数最大的项==;
(3)因为f(x)==+x+++,
f'(x)=12=+x+++,
令x=1, 可得++++=12=2916.
20.解：（1）当 时， ，所以 ，
，所以 ，故所求切线方程为 ．
（2）解法1：因为 在 上恒成立，
令 ， ，则 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，
因为 ， ，
由零点存在定理知，存在唯一 ，使 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
从而 ．
解法2：因为 在 上恒成立，
令 ，则
， 设
则 ，
所以 在 上单调递减，
因为 ， ，
当 时， ， ，所以 在 上单调递增， ，成立；
当 时， ，由零点存在定理知，存在唯一 ，使 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
，
因为 ，所以 ， ，解得
又 ，所以
当 时， ， ，所以 在 上单调递减， ，解得 ，
因为 ，所以不成立；
综上， ．
21.解：(1)函数f(x)的定义域为(0,+),f'(x)=2x+a-2-=,
a0时,当x(0,1)时,f'(x)<0;当x(1,+)时,f'(x)>0,
所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增;
a<0时,令f'(x)=0得=1,=-,
当-2< a<0时,当x(0,-),(1,+)时,f'(x)>0;当x(-,1)时,f'(x)<0,
所以f(x)在(0,-),(1,+)上单调递增,在(-,1)上单调递减.
当a=-2时,当x(0,+)时,f'(x)0,所以f(x)在(0,+)上单调递增.
当a<-2时,当x(0,1),(-,+)时,f'(x)>0;当x(1,-)时,f'(x)<0,
所以f(x)在(0,1),(-,+)上单调递增,在(1,-)上单调递减.
综上,当a0时,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增;
当-2< a<0时,f(x)在(-,1)上单调递减,在(0,-),(1,+)上单调递增;
当a=-2时,f(x)在(0,+)上单调递增;
当a<2时,f(x)在(1,-)上单调递减,在(0,1),(-,+)上单调递增.
(2) 由(1) 知, a>0时, f(x)在(0,1)上单调递减, 在(1,+)上单调递增,
因为方程f(x)=m有两个不等实根,,所以不妨设0<<1<,且2->1
设x(0,1),令F(x)=f(x)-f(2-x),
=+(a-2)x-ax-[+(a-2)(2-x)-a(2-x)]
=a[2x-2-x+(2-x)]
则F'(x)=a(2--)=0,
所以当x(0,1)时,F'(x)0,F(x)在(0,1)单调递减,又F(1)=0,
所以F()>F(1)=0,即
又f()=f(),所以f()>f(2-),
又由于>1,2->1,且f(x)在(1,+)上单调递增,
所以>2-即+>2.
22.解：（1） ，
∵函数 存在单调递减区间，∴ 在 上有解，
∵ ，设 ，则 ，
当 时，显然 在 上有解；
当 时， ， ，
由韦达定理知 ， ，所以必有一个正根，满足条件.
当 时，有 ，解得 ，综上： ．
（2）由题意可知， ，
∵ 有两个极值点 ，∴ 是 的两个根，则 ，
∴
，
∴要证 ，即证 ，
即证 ，即证 ，即证 ，
令 ，则证明 ，
令 ，则 ，∴ 在 上单调递增，
则 ，即 ， 所以原不等式 成立．
第1页，共1页2023春季湖北省黄州中学（黄冈外校）高二年级（数学）周测七3.24(数学)
一．单选题
1.已知以初速度(>0)竖直上抛的物体,ts时的高度s(单位:m)与t的函数关系为s=t-,则物体在时刻
处的瞬时速度为( )
A. B. --gt C. - D. -gt
2.函数f(x)=x-的极大值为( )
A. - B. 0 C. 1 D. e
3.已知函数f(x)=-ax的定义域为(0,+),p:a<1,q:y=f(x)是增函数,则p是q的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4.函数f(x)=x-x,x[0,2]的最小值为( )
A. - B. 0 C. D. +
5.函数f(x)=的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.已知函数f(x)=-ax-11在(1,3)内不是单调函数,则实数a的取值范围是( )
A. (2,8) B. [4,36]
C. (-,2][8,+) D. (4,36)
7.若函数y=x-ax有两个零点,则实数a的取值范围是( )
A. (-,) B. (,1) C. (0,) D. (0,1)
8.已知函数f(x)=1+x-+-+,则使不等式f(-x-1) 0成立的最小正整数x为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二．多选题
9.现安排高二年级、、三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践, 每名同学只能选择一个工厂,且允许多人选择同一个工厂,则下列说法正确的是( )
A. 共有不同的安排方法有种
B. 若甲工厂必须有同学去,则不同的安排方法有37种
C. 若A同学必须去甲工厂,则不同的安排方法有12种
D. 若三名同学所选工厂各不相同,则不同的安排方法有24种
10.由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字组成无重复数字的五位数,其中偶数的个数是.( )
A. + B. +(-)
C. -+(-) D. --(-)
11.函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-x+a只有一个零点,则a的值可以为( )
A. 2 B. -2 C. 0 D. 1
12.关于函数f(x)=+x,下列判断正确的是( )
A. x=2是f(x)的极大值点
B. 函数y=f(x)-x有且只有1个零点
C. 存在正实数k,使得f(x)>kx成立
D. 对两个不相等的正实数,,若f()=f(),则f(+)>+4.
三．填空题
13.已知f(x)=f'(-1)-,其中f'(x)是其导函数,则f'(22)+f'(-22)= .
14.安排3名支教老师去6所学校任教,每校至多2人,则不同的分配方案共有 种.(用数字作答)
15.函数f(x)=|2x-1|-2x的最小值为 .
16.已知函数f(x)=+,若存在,使得f() ,则实数a的值为 .
四．解答题
17.计算:
(1)若=,求正整数;
(2)计算:
18.三个女生和五个男生排成一排.
(1)如果女生须全排在一起,有多少种不同的排法
(2)如果女生必须全分开,有多少种不同的排法
(3)如果两端都不能排女生,有多少种不同的排法
(4)如果男生按固定顺序,有多少种不同的排法
19.两县城A和B相距20km,现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关, 对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和, 记C点到城A的距离为xkm, 建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y, 统计调查表明: 垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比,比例系数为4;对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比,比例系数为k,当垃圾处理厂建在
的中点时,对城A和城B的总影响度为0.065.
(1)将y表示成x的函数;
(2)讨论(1)中函数的单调性,并判断弧上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小 若存在, 求出该点到城A的距离; 若不存在, 说明理由.
20.已知函数f(x)=+x(a为常数),且函数f(x)的图象在x=2处的切线斜率小于-.
(1)求实数a的取值范围;
(2)试判断(a-1)e与(e-1)a的大小,并说明理由.
21.已知函数f(x)=x-ax,g(x)=+x.
(1)若x[0,+),f(x)0恒成立,求实数a的取值范围;
(2)判断方程:g(x)=+x在x(0,+)上实根个数并说明理由.
22.已知函数f(x)=x(1-x).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)设a,b为两个不相等的正数,且ba-ab=a-b,证明:2<+< e.
1.C
2.C
3.B
4.A
5.C
6.D
7.C
8.A
9.ABD
10.ABD
11.ABC
12.BD
13.0
14.210
15.1
16.
17.（1）解：=,
2n(2n-1)(2n-2)=10n(n-1)(n-2),且n为不小于3的正整数,
整理可得2(2n-1)=5(n-2),
解得n=8.
（2）解：原式=====1.
18.解：女生须全排在一起，把3个女生捆绑在一起看做一个复合元素，再和5个男生全排，故有种；
女生必须全分开，先排男生，形成了6个空中，插入3名女生，故有种；
两端都不能排女生，从男生中选2人排在两端，其余的全排，故有种；
男生按固定顺序，从8个位置中，任选3个位置排3个女生，其余的5个位置男生按照固定顺序排列，故有种;
19.解：（1）由题意知AC⊥BC，BC2=400-x2，，
其中当时，y=0.065，
所以k=9，
所以y表示成x的函数为.
（2），，
令y'=0,得18x4=8（400-x2）2，
所以x2=160，即，
当时，18x4＜8（400-x2）2，即y'＜0,所以函数为单调减函数，
当时，18x4＞8（400-x2）2，即y'＞0,所以函数为单调增函数．
所以当时，即当C点到城A的距离为时，函数有最小值，此时垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小.
20.解:(1)由f'(x)=,且函数f(x)在x=2处的切线斜率小于-,
知f'(2)=<-,解得a>1.
故实数a的取值范围为（1，+∞）.
(2)由(1)可知(a-1)e与(e-1)a均为正数.
要比较(a-1)e与(e-1)a的大小,可转化为比较与的大小.
构造函数(x)=(x>1),则'(x)=,
再设m(x)=1--x,则m'(x)=,从而m(x)在(1,+)上单调递减,此时m(x),
故'(x)<0在(1,+)上恒成立,则(x)=在(1,+)上单调递减.
综上所述,当a(1,e)时,(a-1)e<(e-1)a;
当a=e时,(a-1)e=(e-1)a;
当a(e,+)时,(a-1)e>(e-1)a.
21.解：，
当a1时:f'(x)0，在递减，，
符合题意，
当0< a<1时 考虑时 ，
令 ，，
在递减，即在递减，
又，
由零点存在性定理知在存在唯一的零点记为，
在递增，
，这与 在恒成立不符，
当a0时: 这与 在恒成立不符，
综合以上：；
（2），
，
下先证： ，
令 ， ，
令m'(x)=0 ，
当时 在递减，
当时 在递增，
，所以，
又（1）知： ，
，
在的单调递增.
①当，即时，由在的单调递增，
，即，方程 有一根，
②当 即时，由在的单调递增，得，
而时 ，
方程无解，
综合以上：方程 仅有一实根.
22.（1）解：由函数的解析式可得f'（x）=1 lnx 1= lnx，
∴x∈（0，1），f′（x）＞0，f（x）单调递增，
x∈（1，+∞），f′（x）＜0，f（x）单调递减，
则f（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．
（2）证明：由blna alnb=a b，得，
即，
由（1）f（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，
所以f（x）max=f（1）=1，且f（e）=0，
令，，
则x1，x2为f（x）=k 的两根，其中k∈（0，1）．
不妨令x1∈（0，1），x2∈（1，e），则2 x1＞1，
先证2＜x1+x2，即证x2＞2 x1，即证f（x2）=f（x1）＜f（2-x1），
令h（x）=f（x） f（2 x），
则h′（x）=f′（x）+f′（2 x）= lnx ln（2 x）= ln[x（2 x）]在（0，1）单调递减，
所以h′（x）＞h′（1）=0，
故函数h（x）在（0，1）单调递增，
∴h（x1）＜h（1）=0．∴f（x1）＜f（2-x1），∴2＜x1+x2，得证．
同理，要证x1+x2＜e，即证1＜x2＜e-x1，
根据（1）中f（x）单调性，
即证f（x2）=f（x1）＞f（e-x1），
令φ（x）=f（x） f（e x），x∈（0，1），
则φ'（x）= ln[x（e x）]，令φ′（x0）=0，
x∈（0，x0），φ'（x）＞0，φ（x）单调递增，
x∈（x0，1），φ'（x）＜0，φ（x）单调递减，
又x＞0，f（x）＞0，且f（e）=0，
故x→0，φ（0）＞0，
φ（1）=f（1） f（e 1）＞0，
∴φ（x）＞0恒成立，
x1+x2＜e得证，
则2＜+＜e．
第1页，共1页2023春季湖北省黄州中学（黄冈外校）高二年级（数学）周测十二 5.6(数学)
一．单选题
1.已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且P(X=0)=3-4P(X=1)=a，则a=( ）
A. B. C. D.
2.某市场供应的电子产品中，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%．若从该市场供应的电子产品中任意购买甲、乙厂各一件电子产品，则该产品都不是合格品的概率为（）
A. 2% B. 30% C. 72% D. 26%
3.下列说法正确的是（）
A. 若a＝0.50.6，b＝0.60.5，c＝log93，则c＞b＞a
B. 若将6名教师分到3所中学任教，每所学校至少一名教师且人数互不相同，则有320种不同的分法
C. 一组数据为148，150，151，153，153，154，155，156，156，158，163，165，则这组数据的第75百分位数是156
D. 投掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件A＝{两次的点数均为奇数}，事件B＝{两次的点数之和为4}，则P（B|A）
4.由数字0，1，2，3，4组成的各位上没有重复数字的五位数中，从小到大排列第88个数为（）
A. 42301 B. 42130 C. 42103 D. 42031
5.已知函数
的图象如图所示，则
可以为（ ）
A. B. C. D.
6.设随机变量ξ的分布列如表：
ξ 1 2 3 … 2020 2021
p a1 a2 a3 … a2020 a2021
则下列说法错误的是（ ）
A. 当{an}为等差数列时，a2+a2020
B. 数列{an}的通项公式可能为an
C. 当数列{an}满足an（n＝1，2，…，2020）时，a2021
D. 当数列{an}满足P（ξ≤k）＝k2ak（k＝1，2，…，2021）时，a1
7.设函数y＝f（x），x∈R的导数为f'（x），且f（x）＝f（﹣x），f'（x）＞f（x），则不等式成立的是（ ）
A. f（0）＜e﹣1f（1）＜e2f（2） B. e﹣1f（1）＜f（0）＜e2f（2）
C. e2f（2）＜f（0）＜e﹣1f（1） D. e2f（2）＜e﹣1f（1）＜f（0）
8.已知a＞b，c＞d，
，（1﹣c）ec＝（1﹣d）ed＝0.99，则（ ）
A. a+b＜0 B. c+d＞0 C. a+d＞0 D. b+c＞0
二．多选题
9.有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为8%，第2台加工的次品率为3%，第3台加工的次品率为2%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的10%，40%，50%，从混放的零件中任取一个零件，则下列结论正确的是（）
A. 该零件是第1台车床加工出来的次品的概率为0.08
B. 该零件是次品的概率为0.03
C. 如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为0.98
D. 如果该零件是次品，那么它不是第3台车床加工出来的概率为
10.已知x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，下列不等式恒成立的是（ ）
A. sinx1＜x1 B.
C. 2cosx2﹣2cosx1＜x2﹣x1 D.
11.已知a＞1，函数
，下列结论正确的是（ ）
A. f（x）一定存在最小值 B. f（x）可能不存在最小值
C. 若aex﹣lnx﹣b≥0恒成立，则 D. 若aex﹣lnx﹣b≥0恒成立，则
12.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n（n∈N*）次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有2个黑球的概率为pn，恰有1个黑球的概率为qn，则下列结论正确的是（ ）
A. ，
B. 数列{2pn+qn﹣1}是等比数列
C. Xn的数学期望（n∈N*）
D. 数列{pn}的通项公式为（n∈N*）
三．填空题
13.若每经过一天某种物品的价格变为原来的1.02倍的概率为0.5，变为原来的0.98倍的概率也为0.5，则经过6天该物品的价格较原来价格增加的概率为_______．
14.（2x2﹣x+1）10的展开式中x3项的系数为________．
15.某一随机变量ξ的概率分布列如表，且m+2n＝1.2，则P（ξ
）＝_______．
ξ 0 1 2 3
P 0.1 m n 0.1
16.已知过点（2，b）不可能作曲线y＝2ex的切线，对于满足上述条件的任意的b，函数f（x）x+1（0＜a＜1）恒有两个不同的极值点，则a的取值范围是________．
四．解答题
17.已知（2x﹣1）n的展开式中，奇数项的二项式系数的和为128．若
（1）求a1+a2+a3+…+an的值；
（2）求的值．
18.某高中社团进行社会实践，对
岁的人群随机抽取
人进行了一次是否开通“微博”的调查，若开通“微博”的称为“时尚族”，否则称为“非时尚族”，通过调查分别得到如图所示统计表和各年龄段人数频率分布直方图：
完成以下问题：
（1）补全频率分布直方图并求，，的值；
（2）从
岁年龄段的“时尚族”中采用分层抽样法抽取18人参加网络时尚达人大赛，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在岁的人数为，求的分布列和期望．
19.已知．
（1）若f（x）的展开式中，二项式系数之和是128，求f（x）展开式中的第3项；
（2）若f（x）的展开式中，二项式系数最大的项仅是第4项，求f（x） g（x）展开式中的常数项．
20.某大型养鸡场流行一种传染病，鸡的感染率为．
（1）若，从中随机取出2只鸡，记取到病鸡的只数为，求的概率分布及数学期望;
（2）对该养鸡场所有鸡进行抽血化验，以期查出所有病鸡.方案如下：按每k(k
N*)只鸡一组分组，并把同组的k只鸡的血混合在一起化验，若发现有问题，再分别对该组k只鸡逐只化验.设每只鸡的化验次数为随机变量，当且仅当2k8时，的数学期望E()<1，求的取值范围．
21.已知函数．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若﹣1＜a＜2，当x1，x2∈[0，1]时，设|f（x1）﹣f（x2）|的最大值为h（a），求h（a）的取值范围．
22.已知函数f(x)=xx-x,g(x)=x-ax+1．
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）若当x>0时，g(x)0，求实数a的取值范围；
（3）设0< m< x< n，证明：<
.
1.C
2.A
3.D
4.B
5.A
6.C
7.C
8.D
9.BC
10.ABD
11.AC
12.BC
13.
14.-300
15.0.5
16.[e-2，1）
17.解: (1) 因为奇数项的二项式系数的和为128, 所以=128,解得n=8,
=+x+++,
令x=1,得+++++=1,
令x=0,得=1,
所以+++=0,
(2)因为=+x+++,
两边同时取导数可得, 16(2 x-1)=+x+++,
将x=代入可得,16(2-=++++,
故++++=0.
18.解：（Ⅰ）第二组的频率为1-（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，
所以高为．
频率分布直方图如下：
第一组的人数为，频率为0.04×5=0.2，
所以．
由题可知，第二组的频率为0.3，
所以第二组的人数为1000×0.3=300，
所以．
第四组的频率为0.03×5=0.15，
所以第四组的人数为1000×0.15=150，
所以a=150×0.4=60．
（Ⅱ）因为[40，45）岁年龄段的“时尚族”与[45，50）岁年龄段的“时尚族”的比值
为60：30=2：1，
所以采用分层抽样法抽取18人，[40，45）岁中有12人，[45，50）岁中有6人．
随机变量X服从超几何分布．
，
，
，
．
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
∴数学期望
（或者 ）．
19.解：（1）因为f（x）的展开式中，二项式系数之和是128，所以2n=128，得n=7，
所以f（x）=，
故f（x）展开式中的第3项为T3=T2+1= =21 4x-1=．
（2）因为f（x）的展开式中，二项式系数最大的项仅是第4项，
所以n为偶函数，且=4-1，即n=6，
所以f（x）=，其展开式的通项公式为Tr+1== ，
而g（x）=展开式的通项公式为Tm+1== x12-3m，
要求f（x） g（x）= 展开式中的常数项，则需令（2-）+（12-3m）=0，即+3m=14，其中r,m∈N，且r,m∈[0，6]，
所以只有当r=6，m=3时，+3m=14才成立，
故所求的常数项为 =10240．
20.解:(1)依题意,的所有可能取值为0,1,2.
且P(=0)=0.0.=0.01,
P(=1)=0.90.1=0.18,
P(=2)=0.0.=0.81,
所以的概率分布表为
0 1 2
P 0.01 0.18 0.81
所以E()=00.01+10.18+20.81=1.8.
(2) 设q=1-p.
若同一组的k只鸡无感染,则=;否则,=+1.
所以P(=)=,P(=+1)=1-.
所以E()=+(+1)(1-)=+1-.
又当且仅当2k8,kN*时,E()<1,即<,
所以当且仅当2k8且kN*时,>-q.(*)
设f(x)=+q,则f'(x)=,令f'(x)=0,得x=e.
所以f(x)在(1,e)上单调递增, f(x)在(e,+)上单调递减.
由(*)知,f(2)>0,f(1)0,f(8)>0,f(9)0,
解得< q ,所以p的取值范围是[1-,1-).
21.解：（1）f′（x）=3x2-3（a+1）x=3x[x-（a+1）]，
①当a+1＜0，即a＜-1时，若x＜a+1或x＞0，f′（x）＞0，若a+1＜x＜0，f′（x）＜0，
∴f（x）的单调递增区间为（-∞，a+1），（0，+∞），单调递减区间为（a+1，0）；
②当a+1=0，即a=-1时，f′（x）＞0恒成立，f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；
③当a+1＞0，即a＞-1时，若0＜x＜a+1，f′（x）＜0，若x＜0或x＞a+1，f′（x）＞0，
∴f（x）的单调递增区间为（-∞，0），（a+1，+∞），单调递减区间为（0，a+1）；
（2）由（1）知，当-1＜a＜2时，f（x）在（0，a+1）上递减，在（a+1，+∞）上递增，
由f（x）=f（0），解得x=0或，
①若a+1≥1，即0≤a＜2时，f（x）在[0，1]上递减，；
②若，即时，f（x）在[0，a+1]上递减，在（a+1，1]上递增，且f（0）≥f（1），则；
③若，即时，f（x）在[0，a+1]上递减，在（a+1，1]上递增，且f（0）＜f（1），则，
∴，
∴h（a）在上递减，
∴，
综上所述，．
22.解: (1) f(x)的定义域为{x|x>0},f'(x)=x,令f'(x)=0,得x=1
当0< x< 1时,f'(x)<0;当x>1时，f'(x)>0;
f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增;
(2) 方法一: 由条件, 须且只需g0
g(x)的定义域为{x|x>0},g'(x)=
①若a0,g(1)=1-a>0,不合题意;
②若a>0,令g'(x)=0,得x=
当x(0,)时,g'(x)>0,g(x)单调递增
当x(,+)时,g'(x)<0,g(x)单调递减
g=g()=-a0,
解得a1,即为所求;
方法二:当x>0时,g(x)0a,
令h(x)=(x>0),则须且只需ah
h'(x)=
令h'(x)=0,得x=1
当0 < x<1时，h'(x)>0;当x>1时,h'(x)<0;
h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减;
h=1,故a1,即为所求
方法三:取g(1)=1-a0,得a1
以下证明当a1时,g(x)0成立(略)
(3)证法一:==-1
=-1=x-1+
同理可得=x-1+
在(2) 中取a=1得: 当x>0时,xx-1(当且仅当x=1时, 等号成立)
0< m< x< n,∴ >1,0<<1
<-1<1,<-1>1
<,
所以<成立
证法二: 由(1) 作f(x)的草图, 联想到两点斜率公式及导数的几何意义,
考虑将问题转化为证明< f'(x)<.
在(2) 中取a=1得: 当x>0时,x-x+10(当且仅当x=1时, 等号成立)
0< m< x,∴ 0<<1,
f(x)-f(m)-f'(x)(x-m)=(xx-x)-(mm-m)-x(x-m)
=m(x-m)-(x-m)=m(-+1)<0
f(x)-f(m) < f'(x)(x-m)
x-m>0,< f'(x)
同理可证,f(x)-f(n) < f'(x)(x-n)
x-n<0,>f'(x)
所以<成立
第1页，共1页2023春季湖北省黄州中学（黄冈外校）高二年级（数学）周测十六6.3(数学)
一．填空题
1.集合A={xN|x1},集合B={x5},则AB=(
A. {2} B. {1,2} C. {0,1,2} D.
2.“不等式+x+m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是( )
A. m> B. 0< m<1 C. m> D. m>1
3.某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高, 得出株高(单位: cm)服从正态分布, 其密度曲线函数为f(x)=,xR,则下列说法错误的是( )
A. 该地水稻的平均株高为100cm
B. 该地水稻株高的方差为100
C. 随机测量一株水稻,其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小
D. 随机测量一株水稻,其株高在(90,100)和在(100,110)(单位:cm)的概率一样大
4.已知-=,则二项式(1+x+)的展开式中项的系数为( )
A. 120 B. 135 C. 140 D. 100
5.若函数f(x)=(1-x)(+ax+b)的图象关于点(-2,0)对称,,分别是f(x)的极大值和极小值点,则-=( )
A. - B. 2 C. -2 D.
6.已知随机变量的分布列如下:则D()的最大值为( )
1 1.5 2
P n m 2m-n
A. B. C. D.
7.据一组样本数据(,),(,),,(),求得经验回归方程为=1.5x+0.5,且=3.现发现这组样本数据中有两个样本点(1.2,2.2)和(4.8,7.8)误差较大,去除后重新求得的经验回归直线的斜率为1.2,则.( )
A. 变量x与y具有正相关关系
B. 去除两个误差较大的样本点后,重新求得的回归方程仍为=1.5x+0.5
C. 去除两个误差较大的样本点后,y的估计值增加速度变快
D. 去除两个误差较大的样本点后,相应于样本点(2,3.75)的残差为0.05
8.在卡方独立性检验中,=,其中为列联表中第i行j列的实际频数,为假定独立情况下由每行、每列的总频率乘以总频数得到的理论频数,取p=q=2时,如表所示,则有:=0.30.410=1.2,=1.8,=2.8,=4.2,因此:=+++
=与课本公式=等价,故以下23列联表的最小值为( )
1 2 P=0.3
3 4 P=0.7
P=0.4 P=0.6 (n=10)
5x(x) y 30
30 25 45
(n=200)
A. B. C. D.
二．多选题
9.下列关系中正确的有( )
A. (x+y)(+)8 B. +1
C. >是a>b的充分不必要条件 D. x>4,y<2,则2x-3y>2
10.已知函数f(x)=x(+),则以下结论正确的是( )
A. f(x)为奇函数
B. f(x)在区间(0,+)上单调递增
C. 曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线的斜率为2
D. 函数f(x)有三个零点
11.英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著,根据贝叶斯统计理论,随机事件 、B存在如下关系: P(A|B)=某高校有甲乙两家餐厅,王同学第一天去甲乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲餐厅,那么第二天去甲餐厅的概率为0.6;如果第一天去乙餐厅,那么第二天去甲餐厅的概率为0.5,则王同学( )
A. 第二天去甲餐厅的概率为0.54
B. 第二天去了甲餐厅,则第一天去乙餐厅的概率为
C. 第二天去乙餐厅的概率为0.44
D. 第二天去了乙餐厅,则第一天去甲餐厅的概率为
12.下列结论正确的有( )
A. 若随机变量N(3,),P(1)=0.23,则P(5)=0.77
B. 若随机变量X B(5,),则D(3X+1)=11
C. 样本相关系数r越大,两个变量的线性相关性越强;反之,线性相关性越弱
D. 96,90,92,92,93,93,94,95,99,100的第80百分位数为97.5
三．填空题
13.已知下列命题:(1)两个变量相关性越强,则相关系数r就越接近于1;
(2)在回归直线方程=-0.5x+2,当解释变量x每增加一个单位时,预报变量平均减少0.5个单位;
(3)回归直线=x+过样本点的中心(,),且至少过一个样本点;
(4)从统计量中得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系, 是指有5%的可能性使得推断出现错误.其中正确命题的序号是 .
14.已知离散型随机变量X服从二项分布X~B(n,p),且E(X)=4,D(X)=q,则+
的最小值为 .
15.设=+(x-8)+++,则除以8所得的余数为 .
16.已知函数f(x)=,若关于x的方程2+(1-2m)f(x)-m=0有5个不同的实数解,则实数m的取值范围为 .
四．解答题
17.已知全集U=R,集合A={+2x-80},B={x|m-1xm+1}.
(1)若m=2,求(B)A;
(2)若B
A,求实数m的取值范围.
18.已知函数f(x)=2x+(a+3)x,aR.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若关于x的不等式f(x)3x在(0,+)上有解,求a的取值范围.
19.2016年5月,北京市提出地铁分段计价的相关意见,针对“你能接受的最高票价是多少 ”这个问题,在某地铁站口随机对50人进行调查,调查数据的频率分布直方图及被调查者中35岁以下的人数与统计结果如下:
(1)根据频率分布直方图,求a的值,并估计众数,说明此众数的实际意义;
(2)从50名被调查者中,选择最高票价.落在[8,10) [10,12]的被调查者中各随机选取3人进行追踪调查,记选中的6人中35岁以上(含35岁)的人数为X,求随机变量X的分布列及数学期望.
20.某企业新研发了一种产品,产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件产品的非原料成本y(元)与生产该产品的数量x(千件)有关, 经统计得到如下数据:
x 1 2 3 4 5 6 7 8
y 56.5 31 22.75 17.8 15.95 14.5 13 12.5
根据以上数据绘制了散点图.
观察散点图,两个变量间的关系考虑用反比例函数模型y=a+和指数函数模型y=分别进行拟合.已求得用指数函数模型拟合的回归方程为y=,y与x的相关系数=-0.929.
(1)用反比例函数模型求y关于x的回归方程;
(2)若y与
的相关系数
0.993,用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好,并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本;
(3)根据企业长期研究表明,非原料成本y服从正态分布N(,),用样本平均数作为的估计值,用样本标准差s作为的估计值,若非原料成本y在(-,+)之外,说明该成本异常,并称落在(-,+)之外的成本为异样成本,此时需寻找出现异样成本的原因.利用估计值判断上面表格中非原料成本数据,哪些需要寻找出现异样成本的原因
参考数据(其中=):
0.34 0.115 1.53 184 5777.555 93.06 13.9
参考公式:对于一组数据(,),(,),,(,),其回归直线=+x的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:=,=-
21.某公司在一次年终总结会上举行抽奖活动, 在一个不透明的箱子中放入3个红球和3个白球(球的形状和大小都相同),抽奖规则有以下两种方案可供选择:
方案一:选取一名员工在袋中随机摸出一个球,若是红球,则放回袋中;若是白球,则不放回,再在袋中补充一个红球,这样反复进行3次,若最后袋中红球个数为X,则每位员工颁发奖金X万元;
方案二:从袋中一次性摸出3个球,把白球换成红球再全部放回袋中,设袋中红球个数为Y,则每位员工颁发奖金Y万元.
(1)若用方案一,求X的分布列与数学期望;
(2)比较方案一与方案二,求采用哪种方案,员工获得奖金数额的数学期望值更高 请说明理由;
(3)若企业有1000名员工,他们为企业贡献的利润近似服从正态分布N(,),为各位员工贡献利润数额的均值,计算结果为100万元,为数据的方差,计算结果为225,若规定奖金只有贡献利润大于115万元的员工可以获得,若按方案一与方案二两种抽奖方式获得奖金的数学期望值的最大值计算,求获奖员工的人数及每人可以获得奖金的平均数值(保留到整数)参考数据:若随机变量服从正态分布N(,),则P(-+)0.6827.
22.学习强国中有两项竞赛答题,一项为“双人对战”,另一项为“四人赛”.规则如下:一天内参与“双人对战”答题,仅首局比赛可获得积分,获胜得2分,失败得1分;一天内参与“四人赛”答题,仅前两局比赛可获得积分,首局获胜得3分,次局获胜得2分,失败均得1分.已知李明参加“双人对战”答题时,每局比赛获胜的概率为;参加“四人赛”答题时,第一局和第二局比赛获胜的概率分别为p,.李明周一到周五每天完成“双人对战”答题一局和“四人赛”答题两局,各局答题互不影响.
(1)求李明这5天完成“双人对战”答题的总得分X的分布列和数学期望;
(2)设李明在这5天的“四人赛”答题中,恰有3天每天得分不低于3分的概率为f(p).求p为何值时, f(p)取得最大值.
1.B
2.C
3.C
4.B
5.C
6.C
7.A
8.C
9.BCD
10.ABC
11.AB
12.AD
13.
14.
15.7
16.
17.解：（1）全集U=R，集合A={x|x2+2x-8≤0}={x|-4≤x≤2}，
若m=2，则B={x|1≤x≤3}，
UB={x|x＜1或x＞3}，
∴（ UB）∩A={x|-4≤x＜1}．
（2）∵集合A={x|-4≤x≤2}，B={x|m-1≤x≤m+1}≠ ，B A，
∴，等号不能同时成立，
解得-3≤m≤1．
∴实数m的取值范围[-3，1]．
18.解：(1)由题意得,x(0,+),f '(x)=+(a+3)=.
①当a+30,即a-3时,f '(x)>0,故函数f(x)在(0,+)上单调递增;
②当a+3<0,即a<-3时,令f '(x)=0,解得x=-,
故当x(0,-)时,f '(x)>0,当x(-,+)时,f'(x)<0,
故函数f(x)在(0,-)上单调递增,在(-,+)上单调递减;
综上所述,当a-3时,f(x)在(0,+)上单调递增;
当a<-3时,f(x)在(0,-)上单调递增,在(-,+)上单调递减.
(2)若关于x的不等式f(x)3x在(0,+)上有解,
则a-在(0,+)上有解,a
记g(x)=-,则g'(x)=,
故当x(0,e)时,g'(x)<0,当x(e,+)时,g'(x)>0,
故函数g(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+)上单调递增,
g=g(e)=-,
故实数a的取值范围[-,+).
19.解：（1）由题意得：0.04×2+a×2+0.2×2+0.06×2+0.04×2=1，解得a=0.16.
由频率分布直方图估计众数为7，说明在被调查的50人中，能接受最高票价为7元的人数比能接受最高票价为其他人数多．
（2）由题意知，50名被调查者中：选择最高票价在[8，10）的人数为0.06×2×50=6人．
选择最高票价在[10，12]的人数为0.04×2×50=4人.故X的可能取值为0，1，2，
，
，
.
所以，X的分布列为：
X 0 1 2
P
.
20.解：（1）令u=，则可转化为y=a+bu，
因为，
所以== 50，
所以==6，
所以y=6+50u，
所以 y关于x的回归方程为y=6+；
（2）因为|r1|＜|r2|，所以用反比例函数模型拟合效果更好，
把x=10代入回归方程得y=11（元），
所以产量为10千件时每件产品的非原料成本约为11元；
（3）因为，所以μ=23，
因为样本标准差为s===13.9，
所以σ=13.9，
所以非原料成本y服从正态分布N（23，13.92），
所以（μ-σ，μ+σ）=（23-13.9，23+13.9）=（9.1，36.9），
因为56.5在（μ-σ，μ+σ）之外，
所以需要寻找非原料成本数据出现异样成本的原因．
21.解：（1）对于方案一，由条件可知 有可能取值为3，4，5，6，
， ，
， ，
∴ 的分布列为：
3 4 5 6
X的数学期望值为 ；
（2）对于方案二，由条件可得 值为3，4，5，6，
， ，
， ，
∴ 的数学期望值 ,
∵ 所以采用方案二员工获得奖金数额的数学期望值会更高；
（3）由（1）（2）可知，平均每位员工获得奖金的数学期望的最大值为 ，
则给员工颁发奖金的总数为 （万元），
设每位职工为企业的贡献的数额为 ，
所以获得奖金的职工数约为
（人）
则获奖员工可以获得奖金的平均数值为 （万元）.
22. 解:(1)X的取值范围是{5,6,7,8,9,10},
P(X=5)==,
P(X=6)=()1=,
P(X=7)===,
P(X=8)===,
P(X=9)==,
P(X=10)==.
所以X的分布列为
X 5 6 7 8 9 10
P
E(X)=5+6+7+8+9+10==.
（2）由题意知，设“每天得分不低于3分”为事件A,
则P(A)=p+(1-p)=
所以5天中恰有3天每天得分不低于3分的概率
f(p)==,,
f'(p)=[6-2(1-p)]=(1-p)(4-10p),
当p(0,)时,f'(p)>0,f(p)在(0,)单增,
当p(,1)时,f'(p)<0,f(p)在(,1)单减,
所以当p=时,f(p)取得最大值.
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