2022-2023学年河南省驻马店市高二下学期期末数学试题（含解析）

2022-2023学年河南省驻马店市高二下学期期末数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.数列的通项为，则的值为
( )
A. B. C. D.
2.直线平分圆，则( )
A. B. C. D.
3.空间直角坐标系中，点到坐标平面的距离为
( )
A. B. C. D.
4.定义在上的函数在区间内的平均变化率为，其中，则函数在处的导数( )
A. B. C. D.
5.椭圆的左右焦点为，，点为椭圆上不在坐标轴上的一点，点，满足，，若四边形的周长等于，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
6.函数的极值点为
( )
A. 和 B. 和
C. D.
7.下列说法正确的是( )
A. 某同学定点投篮每次命中的概率均为，每命中一次得分，若记次投篮得分为，则随机变量服从二项分布，简记．
B. 某工厂生产了一批产品件，其中质量达到“级”的有件，则从该批产品中随机抽取件，记录抽到的产品中为“非级”的个数为，则随机变量的数学期望为．
C. 若随机变量的成对数据的线性相关系数，则认为随机变量与是确定的函数关系，不是线性相关关系．
D. 若随机变量，其分布密度函数为，则．
8.设，，，则
( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.一批电阻的阻值单位：服从正态分布，现从甲、乙、丙三箱成品中各随机抽取一只电阻，测得阻值分别为，，，结合“”原则，则可以认为
( )
A. 甲、乙、丙三箱电阻均可出厂 B. 甲、乙两箱电阻可出厂
C. 乙、丙两箱不可出厂 D. 丙箱电阻不可出厂
10.下列直线在两坐标轴上的截距相等的是( )
A. B.
C. D.
11.已知，则下列正确的是
( )
A.
B.
C.
D.
12.如图，平行六面体中，，，与交于点，则下列说法正确的有
( )
A. 平面平面
B. 若，则平行六面体的体积
C.
D. 若，则
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.若随机变量，且，则 ．
14.已知递增的等比数列中，，，则数列的前项之积为 ．
15.共和国勋章，是中华人民共和国最高荣誉勋章，授予在中国特色社会主义建设和保卫国家中做出巨大贡献、建立卓越功勋的杰出人士共和国勋章获得者有于敏、袁隆平、申纪兰、张富清、黄旭华、孙家栋、李延年、屠呦呦、钟南山，前四位共和国勋章获得者已经作古某校为了学习共和国勋章获得者的先进事迹，弘扬时代精神，特在校园主干道设立并排的个宣传栏，前四位共和国勋章获得者的先进事迹安排在号栏，号栏已经安排好，其余五位安排在号栏黄旭华和孙家栋两位的先进事迹安排在至号栏，李延年的先进事迹栏不放在号，则不同的安排顺序有 种用数字作答
16.若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
三台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是，第二台出现废品的概率是，第三台出现废品的概率是，加工出来的零件放在一起，并且已知第一、二、三台加工的零件之比为：：．
求任意取出个零件是废品的概率；
如果任意取出的个零件是废品，求它是第二台车床加工的概率．
18.本小题分
已知数列满足，．
证明数列为等比数列；
求数列的通项公式；
求数列的前项和．
19.本小题分
已知矩形中，，的中点为，将绕着折起，折起后点记作点不在平面内，连接、得到几何体，为直角三角形．

证明：平面平面；
求平面与平面所成角的正弦值．
20.本小题分
市场监管部门对某线下某实体店年前两季度的月利润情况进行调查统计，得到的数据如下：
月份
净利润万元
是否可以用线性回归模型拟合与的关系？请用相关系数加以说明；参考：若时，则线性相关程度较高，，则线性相关程度一般，计算时精确度为
利用最小二乘法求出关于的回归方程；用样本估计总体，请预估第月份的利润．
附：对于一组数据，其回归直线的斜率
，相关系数．
参考数据：，，，，，．
21.本小题分
已知．
当时，求在内的单调区间；
若对任意的时，恒成立，求实数的取值范围．
22.本小题分
在平面直角坐标系中，已知点、，的内切圆与直线相切于点，记点的轨迹为．
求的方程；
设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，连接若直线的斜率与直线的斜率之和为，试比较与的大小．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查求解数列中的项，属于基础题．
令 代入即可．
【解答】
解： ，
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于较易题．
直线平分圆，说明直线过圆心，把圆心坐标代入直线方程可得答案．
【解答】
解：因为直线 平分圆 ，
化为 ，
所以直线 经过该圆的圆心 ，
则 ，即 ．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间中点的坐标定义，属基础题．
由空间直角坐标系中点的坐标的定义即可求解．
【解答】
解：空间直角坐标系中，点 到坐标平面 的距离即为竖坐标．
故选：
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查导数的几何意义，属于较易题．
利用导数的定义可求得 的值．
【解答】
解：由导数的定义可得 ，
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆的离心率相关知识，属于中档题．
根据 ， ，可得点 为线段 的中点，点 为线段 的中点，再根据四边形 的周长结合椭圆的离心率公式即可得解．
【解答】
解：因为 ，所以点 为线段 的中点，
因为 ，所以 ，
即 ，所以点 为线段 的中点，
又因点 为线段 的中点，
所以 且 ， 且 ，
所以四边形 的周长为 ，
又因点为椭圆上不在坐标轴上的一点，所以 ，
所以 ，即 ，
故椭圆的离心率为 ．
故选：．

6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，是基础题．
由 可求得实数 的值，再利用导数可求得函数 的单调性，再判断极值点即可．
【解答】
解：因为 ，
则 ，
由令，解得或，列表如下：
减 极小值 增 增
因此，函数 的极值点为 ．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查离散型随机变量的分布列和方差，属于中档题．
根据二项分布的定义即可判断；根据超几何分布的期望公式即可判断；根据相关系数的意义即可判断；根据正态分布的对称性即可判断．
【解答】
解：对于，由题意，记次投篮命中的次数为 ，则 ，
随机变量命中次数 服从二项分布，而随机变量投篮得分不服从二项分布，故A错误；
对于，由题意随机变量 服从超几何分布，则 ，故B错误；
对于，若随机变量 的成对数据的线性相关系数 ，
则认为随机变量与是确定的函数关系，且是线性相关关系，故C错误；
对于，因为随机变量 ，其分布密度函数为 ，
所以 ，则 ，故D正确．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
常见的不等式转换 ， ， ，
， ．
利用做差法比较 ，构造新函数 ，求导利用导数研究函数的单调性，找到 ，令 ，可通过转换得到 ，此时只需令 ，找到 即可判定．
本题主要考查利用导数比较大小，属于中等题．
【解答】
解： ，令 ，
则
根据余弦函数的单调性，易知， 在 上单调递减，且 ，
所以 在 单调递增，所以 ，即 ；
令
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
所以 ，所以 ，即 ．
令 ，故 在 上单调递减，
故 ，即 ，
综上： ．
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查正态分布的实际应用，属于较易题．
根据“”原则计算区间，进而可判断．
【解答】
解：因为，所以，，
所以，，
因为，，，
所以甲、乙两箱电阻可出厂，丙箱电阻不可出厂．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查直线的截距式方程，属于较易题．
根据坐标轴的截距的定义，结合选项，逐项判定，即可求解．
【解答】
解：对于中，直线，可得在轴和轴上的截距分别为和，
不符合题意，所以不正确；
对于中，直线，可得在轴和轴上的截距分别为和，
符合题意，所以B正确；
对于中，直线，可得在轴和轴上的截距分别为和，
符合题意，所以C正确；
对于中，直线，可得在轴和轴上的截距分别为和，
不符合题意，所以不正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查二项式定理的应用，涉及赋值法以及导数的应用，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
令，找到，即可判定选项 A；令，即可判定选项 B；对二项式求导，令，即可判定选项；选项可转换为选项求解．
【解答】
解：对于选项，令，则，
又，所以，故 A选项正确；
对于选项，令，则，
，
故，故 B选项正确；
对于选项，记，
则，
令，则，故 C选项错误；
对于选项，的展开通项公式，
当为奇数时，系数为负数，
所以，故 D选项错误，
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】
此题考查面面垂直的判断，考查平行六面体体积的求法，考查空间向量的运算，解题的关键是正确利用平行六面体的性质结合题意分析求解，考查空间想能力和计算能力，属于中档题．
对于，由题意可得四边形为菱形，则可得，再计算，可得，从而得平面，再利用面面垂直的判定定理可得结论；对于，连接，可得，从而可证得平面，进而可求出体积，对于，利用空间向量的加法分析判断，对于，设，则可得，然后利用向量的夹角公式计算判断．
【解答】
解：对于，因为在平行四边形中，，所以四边形为菱形，所以，
因为，，
所以，所以，
因为，所以，
所以，所以，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面，所以 A正确，
对于，连接，因为，，所以，
所以为直角三角形，即，因为，所以，
因为由选项A知平面，平面，所以，
因为，平面，所以平面，
所以平行六面体的体积，所以 B正确，
对于，因为四边形为平行四边形，所以为的中点，
所以，所以，所以 C错误，
对于，设，因为在菱形中，，所以，
所以，所以 D正确，
故选：

13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查次独立重复试验及其概率计算，属于基础题．
根据二项分布的期望公式得 ，进而根据二项分布概率公式计算即可．
【解答】
解：因为随机变量 ，且 ，
所以 ，解得 ，
则 ．
故答案为： ．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．
由条件结合等比数列通项公式求数列的通项公式，再求数列的前项之积．
【解答】
解：设等比数列的公比为，由已知可得，
因为，，
所以，
解得，所以，
所以，
故答案为：．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查排列组合的相关知识，属于中档题．
根据题意，先安排黄旭华和孙家栋两位，再安排李延年，最后安排屠呦呦、钟南山，结合分步计数原理，即可求解．
【解答】
解：由题意，黄旭华和孙家栋两位的先进事迹安排在至号栏，有 种安排方式，
又由李延年的先进事迹栏不放在号，有 种安排方式，
剩余的两位屠呦呦、钟南山，有 种安排方式，
由分步计数原理可得，共有 种不同的安排方式．
故答案为 ： ．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用导数研究函数的零点．
函数 有两个不同的零点，即函数 的图象与轴有两个不同的交点，借助导数研究函数值变化， ，得出结果．
【解答】
解：由题意， ， ，
当 时， 恒大于，则函数递增，不可能有两个零点；
当 时，令 ，得 ，
即当 时， ，即 单调递增，且 ；
即当 时， ，即 单调递减，且 ；
由于函数 有两个不同的零点，
即函数 的图象与轴有两个不同的交点，
所以 ，
解得， ，
所以当 时，函数 有两个不同的零点．
故答案为： ．
17.【答案】解：设事件 表示“零件取自第 台车床”，
事件 表示“取到零件为废品”，
因此 ， ， 构成样本空间的一个划分．
根据条件则：
， ，
， ，
根据全概率公式可得
；
如果任意取出的个零件是废品，它是第二台车床加工的概率 ．
又因为 ．
根据条件概率的求解公式
，即为所求．

【解析】本题考查全概率公式、条件概率公式等基础知识，属于中档题．
利用全概率公式计算即可；
利用条件概率公式计算即可．
18.【答案】解：
由条件 ，即 ，
又因 ，则 ．
因此数列 是以 为首项，为公比的等比数列
由知 是以 为首项，为公比的等比数列，
则 ，即 ．
由则
．

【解析】本题考查等比数列的判定或证明，分组法求和，等比数列的通项公式与求和公式，属于中档题．
由条件 ，即 ，从而得证；
由写出 的通项公式，从而解决；
利用分组求和法求前项的和即可．
19.【答案】解：
证明：如图，连接 ，连接 交 于点 ，则 ，
翻折前 ，翻折后，则有 ，
由于 为直角三角形，且 ，
，因此必有 ，
又因为 ， 、 平面 ，则 面 ，
因为 平面 ，从而可得 ，
又因 ， ，则 ，所以， ．
又因 ， 、 平面 ，即 面 ，
因为 平面 ，因此，面 面 ．

解：如图，取 中点为 ， 中点为 ，连接 ，
由可知，平面 平面 ，
因为 ， 为 的中点，则 ，
因为平面 平面 ， 平面 ，所以， 面 ，
因为 、 分别为 、 的中点，则 ，
因为 ，则 ，
以点 为坐标原点，分别以 、 、 方向为 、 、 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．

则 、 、 、 ，
得 ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
由 ，则 ，
取 ，则 ， ，得到 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，则 ， ，则 ，
则 ，
从而 ，
也即平面 与平面 所成夹角的正弦值为 ．

【解析】本题考查面面垂直的判定定理，平面与平面所成角的向量求法，考查了转化与化归思想，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题．
证明出 面 ，可得出 ，利用勾股定理可证得 ，利用线面垂直和面面垂直的判定可证得结论成立；
取 中点为 ， 中点为 ，连接 ，推导出 面 ， ，以点 为坐标原点，分别以 、 、 方向为 、 、 轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得平面 与平面 所成角的正弦值．
20.【答案】解：
由条件则 ，
，
．
根据相关系数公式则
．
因此可以用线性回归模型拟合与的关系．
根据则变量，线性相关，设所求的线性回归方程为 ．
根据回归方程的回归系数公式则
．
又因为 ．
从而可得变量，线性回归方程为
当 时，
因此预测月份的利润为万元．

【解析】本题考查线性回归方程相关知识，属于中档题．
计算出相关数据，利用相关系数公式计算即可；
根据线性回归方程公式计算即可．
21.【答案】解：当 时， ，
求导得 ，
而 ，由 ，得 ，
当 时， ，当 时， ，
则当 时，若 ，则 ；若 ，则 ，
当 时，若 ，则 ；若 ，则 ，
所以函数 在 内的单调增区间为： ， ；
单调减区间为： ， ．
因为 ，
于是函数 为偶函数，
则 对任意 恒成立，等价于对任意的 ，恒有 成立，
求导得 ，
当 时，当 ， 成立时， 恒成立，
即 恒成立，函数 在 内单调递增，则有 ，
因此 ，解得 ，则 ；
当 ， 时，函数 在 上单调递减，且 ，
因此存在 ，使得当 时， ， ，函数 在 上递减，
此时 ， ，不符合题意，
所以实数 的取值范围为 ．

【解析】探讨函数 是偶函数，把在实数集上恒成立问题转化为 时，不等式恒成立求解是关键．
把 代入，求出函数 的导数 ，分段讨论求解 、 作答．
探讨函数 的奇偶性，把问题转化为 时， 恒成立求解．
22.【答案】解：
因为点 、 ， 的内切圆与直线 相切于点 ，
所以 ，
因此根据双曲线的定义可知，点 的轨迹为以 ， 为焦点的双曲线的右支，
设点 的轨迹的方程为 ，焦距为 ，
所以 ， ，
所以 ， ， ，
所以点 的轨迹方程为
由题意，直线 的斜率互为相反数，记 ，
则 ， ， ， ， ，
设 ，则直线 ， ．
联立直线 和双曲线方程 ，
整理得 ．
该方程有两个不等实根 ， ，
则
根据韦达定理可得 ， ，
同理可得 ， ．
又因为 ， ．
， ．
则 ，
同理可得
即
进而可得 相似于 ，
即 ， ，
也即，，，四点共圆，可得
从而得 ．
因此

【解析】本题考查直线与双曲线的综合问题关键在于直线与双曲线方程的联立，进而通过韦达定理的转化得到 ，进而得到 相似于 ，由，，，四点共圆，可得 从而 进而得到答案本题考查学生的数据运算与分析能力、数形结合能力、转化与化归能力，属于难题．
根据内切圆的性质得到 ，从而结合双曲线的定义得到轨迹方程；
根据条件设 ， ， ， ， ， ，根据直线与双曲线方程的联立，由韦达定理得到 ， ，结合弦长公式得到 ，从而证明 ，进而可得 相似于 ，由四点共圆的知识即可得到答案．
第1页，共1页