四川省绵阳涪城区2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 四川省绵阳涪城区2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 639.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-02 22:04:00 | ||
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文档简介
2023年11月
绵阳涪城区2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试题
单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.直线的一个方向向量为 ( )
A． B. C． D．不存在
2.关于椭圆，以下说法正确的是 ( )
A．长轴长为2 B. 焦距为
C．离心率为 D. 左顶点的坐标为
3.已知直线是圆的对称轴，则的值为( )
A． B． C． D．
4.已知直线与直线，若，则( )
A．2或 B．或5 C．5 D．
5.阿波罗尼斯（公元前262年~公元前190年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点A，B，则所有满足（，且）的点P的轨迹是一个圆．已知平面内的两个相异定点P，Q，动点M满足，记M的轨迹为C，则轨迹C围成图形的面积是( )
A． B． C． D．
6.点到直线l：的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为( )
A．； B．；
C．； D．；
7.已知正四棱锥侧面和底面的棱长都为2，P为棱BC上的一个动点，则点P到平面SAD的距离是（ ）
A． B． C． D．
8.设椭圆的右焦点为F，椭圆C上的两点A、B关于原点对称，且满足，，则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A． B． C． D．
多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.)
9.下列命题中正确的是 ( )
A.若是空间任意四点，则有
B.在空间直角坐标系中，已知点，点P关于坐标原点对称点的坐标为
C.若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
D.任意空间向量a，b，c满足(a·b)·c=a·(b·c)
10．彗星是太阳系中具有明亮尾巴的天体，它们的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆.某彗星测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）距太阳中心约2个天文单位，远日点（距离太阳最远的点）距太阳中心约6个天文单位，且近日点、远日点及太阳中心同在一条直线上，则轨道方程可以为（以“天文单位”为单位） ( )
A． B． C． D．
11.已知圆，直线，点P在直线l上运动，直线，分别切圆C于点A，B.则下列说法正确的是( )
A．M为圆C上一动点，则最小值为
B．四边形的面积最小值为
C．最短时，弦直线方程为
D．最短时，弦长为
12.已知正方体棱长为2，为空间中一点，下列论述正确的是（ ）
A. 若，则异面直线与所成角的余弦值为
B. 若，三棱锥的体积是定值
C. 若，有且仅有一个点，使得 平面
D. 若，则异面直线和所成角取值范围是
填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.)
13．已知圆与圆内切，则______.
14.已知实数x，y满足，则的最大值为______.
15.已知是椭圆的左焦点，是椭圆上的动点，点，则的最小值为 .
16.如图，两个正方形ABCD，CDEF的边长都是6，且二面角为，M为对角线AC靠近点A的三等分点，N为对角线DF的中点，则线段MN= .
解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.已知直线经过直线与的交点.
(1)若直线与直线垂直，求直线的方程；
(2)若直线在坐标轴上的截距相等，求直线的方程.
18.已知圆的圆心在直线上，且圆经过点，与直线相切.
(1)求圆的方程；
(2)过点作圆的切线，求切线方程的斜率.
19.已知的顶点B的坐标为，边上的中线所在的直线方程为，的平分线所在的直线方程为．
(1)求点A的坐标；
(2)求直线的方程.
20.已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，设点，在中，，周长为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过左焦点作倾斜角为的直线l交椭圆C于M、N两点，求△OMN的面积.
21.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面分别是中点．
(1)求证：平面；
(2)若与平面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值．
如图，设P是圆x2＋y2＝12上的动点，点D是点P在x轴上的射影，点M在DP的延长线上，且.
（1）当点P在圆上运动时，求动点M的轨迹方程；
（2）记动点M的轨迹为曲线C，过点作两条相异直线分别与曲线相交于两点，若直线，的斜率分别为，，且，试判断直线的斜率是否为定值？并说明理由.
绵阳涪城区2023-2024学年高二上学期期中考试
参考答案
1．B 2．B 3．A 4．D
5．C 6．A 7．D 8．C
9．ABC 10．AC 11．BCD 12．BD
13．12 14． 15． 16．
17．（1）由
解得即 2分
因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即; 5分
（2）显然，直线的斜率存在，
设直线的方程为，令，解得，
令，解得，
所以， 8分
解得或，
所以直线的方程为或 10分
18．（1）由题意，圆心在直线上，可设圆心坐标为，
圆与直线相切，圆过点且在直线，
，解得， 3分
所以圆心坐标，半径，
所以圆的方程为 6分
（2）由题，设切线方程是，即，
由于直线与圆相切，故，解得， 12分
19．（1）设点，则中点的坐标为，
由题意知点在直线上，点在直线上，
所以
解得
即点的坐标为． 5分
（2）设点关于直线的对称点为，则由角的对称性知点在直线上，
设点的坐标为，则点的中点坐标为，
则
解得
即点的坐标为． 10分
直线的斜率为，
所以直线即的方程为，即． 12分
20．（1）由
， ①
又的周长为，
， ②
联立①②，解得，
椭圆方程为; 5分
（2）直线的方程为:，设，，
由得，，
因为直线过椭圆内焦点，所以恒成立
， 8分
10分
原点到直线的距离为，
所以的面积 12分
21．（1）设为中点，连接，，又，分别是、中点，
所以，，，又底面是正方形，
所以，，故四边形为平行四边形，则，
由平面，平面，则平面 4分
（2）由题意知，以为原点，构建空间直角坐标系，令，则，
所以，，，，
所以，，， 6分
令为平面的一个法向量，则
令，即， 8分
令为平面的一个法向量，则
令，即 10分
所以
即平面与平面夹角的余弦值． 12分
22．（1）设，，
因为点是在轴上的射影，是线段上一点，且，
所以 2分
因为在圆上，
所以，
化简得 3分
因为，所以
动点的轨迹方程为; 4分
（2）法一：由题意可知直线的斜率存在且不过点，
设直线的方程为，，
，，由，
消去整理得，
需满足，则， 7分
因为
9分
将，
代入得
化简得，即
整理得，而， 11分
，所以直线的斜率为定值，其定值为2 12分
（2）法二:由题意可设:，
由
得 6分
设，则，
， 8分
同理 9
，
则，
10分
为定值 12分
绵阳涪城区2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试题
单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.直线的一个方向向量为 ( )
A． B. C． D．不存在
2.关于椭圆，以下说法正确的是 ( )
A．长轴长为2 B. 焦距为
C．离心率为 D. 左顶点的坐标为
3.已知直线是圆的对称轴，则的值为( )
A． B． C． D．
4.已知直线与直线，若，则( )
A．2或 B．或5 C．5 D．
5.阿波罗尼斯（公元前262年~公元前190年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点A，B，则所有满足（，且）的点P的轨迹是一个圆．已知平面内的两个相异定点P，Q，动点M满足，记M的轨迹为C，则轨迹C围成图形的面积是( )
A． B． C． D．
6.点到直线l：的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为( )
A．； B．；
C．； D．；
7.已知正四棱锥侧面和底面的棱长都为2，P为棱BC上的一个动点，则点P到平面SAD的距离是（ ）
A． B． C． D．
8.设椭圆的右焦点为F，椭圆C上的两点A、B关于原点对称，且满足，，则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A． B． C． D．
多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.)
9.下列命题中正确的是 ( )
A.若是空间任意四点，则有
B.在空间直角坐标系中，已知点，点P关于坐标原点对称点的坐标为
C.若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
D.任意空间向量a，b，c满足(a·b)·c=a·(b·c)
10．彗星是太阳系中具有明亮尾巴的天体，它们的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆.某彗星测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）距太阳中心约2个天文单位，远日点（距离太阳最远的点）距太阳中心约6个天文单位，且近日点、远日点及太阳中心同在一条直线上，则轨道方程可以为（以“天文单位”为单位） ( )
A． B． C． D．
11.已知圆，直线，点P在直线l上运动，直线，分别切圆C于点A，B.则下列说法正确的是( )
A．M为圆C上一动点，则最小值为
B．四边形的面积最小值为
C．最短时，弦直线方程为
D．最短时，弦长为
12.已知正方体棱长为2，为空间中一点，下列论述正确的是（ ）
A. 若，则异面直线与所成角的余弦值为
B. 若，三棱锥的体积是定值
C. 若，有且仅有一个点，使得 平面
D. 若，则异面直线和所成角取值范围是
填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.)
13．已知圆与圆内切，则______.
14.已知实数x，y满足，则的最大值为______.
15.已知是椭圆的左焦点，是椭圆上的动点，点，则的最小值为 .
16.如图，两个正方形ABCD，CDEF的边长都是6，且二面角为，M为对角线AC靠近点A的三等分点，N为对角线DF的中点，则线段MN= .
解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.已知直线经过直线与的交点.
(1)若直线与直线垂直，求直线的方程；
(2)若直线在坐标轴上的截距相等，求直线的方程.
18.已知圆的圆心在直线上，且圆经过点，与直线相切.
(1)求圆的方程；
(2)过点作圆的切线，求切线方程的斜率.
19.已知的顶点B的坐标为，边上的中线所在的直线方程为，的平分线所在的直线方程为．
(1)求点A的坐标；
(2)求直线的方程.
20.已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，设点，在中，，周长为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过左焦点作倾斜角为的直线l交椭圆C于M、N两点，求△OMN的面积.
21.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面分别是中点．
(1)求证：平面；
(2)若与平面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值．
如图，设P是圆x2＋y2＝12上的动点，点D是点P在x轴上的射影，点M在DP的延长线上，且.
（1）当点P在圆上运动时，求动点M的轨迹方程；
（2）记动点M的轨迹为曲线C，过点作两条相异直线分别与曲线相交于两点，若直线，的斜率分别为，，且，试判断直线的斜率是否为定值？并说明理由.
绵阳涪城区2023-2024学年高二上学期期中考试
参考答案
1．B 2．B 3．A 4．D
5．C 6．A 7．D 8．C
9．ABC 10．AC 11．BCD 12．BD
13．12 14． 15． 16．
17．（1）由
解得即 2分
因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即; 5分
（2）显然，直线的斜率存在，
设直线的方程为，令，解得，
令，解得，
所以， 8分
解得或，
所以直线的方程为或 10分
18．（1）由题意，圆心在直线上，可设圆心坐标为，
圆与直线相切，圆过点且在直线，
，解得， 3分
所以圆心坐标，半径，
所以圆的方程为 6分
（2）由题，设切线方程是，即，
由于直线与圆相切，故，解得， 12分
19．（1）设点，则中点的坐标为，
由题意知点在直线上，点在直线上，
所以
解得
即点的坐标为． 5分
（2）设点关于直线的对称点为，则由角的对称性知点在直线上，
设点的坐标为，则点的中点坐标为，
则
解得
即点的坐标为． 10分
直线的斜率为，
所以直线即的方程为，即． 12分
20．（1）由
， ①
又的周长为，
， ②
联立①②，解得，
椭圆方程为; 5分
（2）直线的方程为:，设，，
由得，，
因为直线过椭圆内焦点，所以恒成立
， 8分
10分
原点到直线的距离为，
所以的面积 12分
21．（1）设为中点，连接，，又，分别是、中点，
所以，，，又底面是正方形，
所以，，故四边形为平行四边形，则，
由平面，平面，则平面 4分
（2）由题意知，以为原点，构建空间直角坐标系，令，则，
所以，，，，
所以，，， 6分
令为平面的一个法向量，则
令，即， 8分
令为平面的一个法向量，则
令，即 10分
所以
即平面与平面夹角的余弦值． 12分
22．（1）设，，
因为点是在轴上的射影，是线段上一点，且，
所以 2分
因为在圆上，
所以，
化简得 3分
因为，所以
动点的轨迹方程为; 4分
（2）法一：由题意可知直线的斜率存在且不过点，
设直线的方程为，，
，，由，
消去整理得，
需满足，则， 7分
因为
9分
将，
代入得
化简得，即
整理得，而， 11分
，所以直线的斜率为定值，其定值为2 12分
（2）法二:由题意可设:，
由
得 6分
设，则，
， 8分
同理 9
，
则，
10分
为定值 12分
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