仁寿第一中学校（北校）2023-2024学年高二上学期11月期中考试
答案
1. B
2. A
3. A
4.B
5. C
6.D
7. C
8. B
9. AC
10. CD
11. ABC
12. AC
13. 15
14.
15.
16. 或
17. 由题可知，，
因为，
所以，
所以是直角三角形，
又因为，
所以，
所以是等腰三角形
综上可知，是等腰直角三角形．
（2）的中点坐标为，又，
所以直线的斜率，
所以直线的方程为：，即，
所以边上的中线所在直线的方程为：．
18. （1）设4名同学的书包分别为A，B，C，D，4名同学拿书包的所有可能可表示为
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
共有24种情况．
恰有两名同学拿对了书包包含6个样本点，分别为
，，，，，，
故其概率为．
（2）至少有两名同学拿对了书包包含7个样本点，分别为
，，，，，，，
故其概率为．
（3）书包都拿错了包含9个样本点，分别为
，，，，，，
，，，
故其概率为．
19. （1）因为直线l在两坐标轴上截距和为零，
所以直线l斜率存在且不为，故不妨设斜率为，则直线l方程为，
所以直线在坐标轴上截距分别为，，
所以，整理得，解得或
所以直线l方程为或.
（2）由（1）知，
因为，
所以面积为，
当且仅当，即时等号成立，
所以面积最小值
21. （1）记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件A，B，C，
则，，，
即，，
所以，，
所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为，．
（2）有3个家庭回答正确的概率为
，
有2个家庭回答正确的概率为
，
所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率．仁寿第一中学校（北校）2023-2024学年高二上学期11月期中考试
数学试卷
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、单选题
1. 直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
2.在空间直角坐标系O-xyz中，与点关于平面Oxz对称的点为（ ）
A． B．
C． D．
3. 若直线与直线平行，则（ ）
A． B． C．或 D．不存在
4.如图，在四面体OABC中，M是棱OA上靠近点A的三等分点，N，P分别是BC，MN的中点．设，，，则向量可表示为（ ）
A． B．
C． D．
5. 一次函数与为常数，且，它们在同一坐标系内的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
6.下列各对事件中，不互为相互独立事件的是（ ）
A．甲 乙两运动员各射击一次，事件“甲射中10环”，事件“乙射中9环”
B．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲 乙两组中各选1名学生参加演讲比赛，事件“从甲组中选出1名男生”，事件“从乙组中选出1名女生”
C．袋中有3白 2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件“第一次摸到白球”，事件"第二次摸到白球”
D．袋中有3白 2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件“第一次摸到白球”，事件“第二次摸到黑球”
7. 在空间直角坐标系中，已知，，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
8. 已知实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二 多选题（全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9.已知是空间的三个单位向量，下列说法正确的是（ ）
A．
B．若两两共面，则共面
C．若是空间的一个基底，则也是空间一个基底
D．对于空间的任意一个向量，总存在实数x,y,z使得
10. 下列说法正确的是（ ）
A．过，两点的直线方程为
B．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是16
C．点关于直线的对称点为
D．直线必过定点
11. 在一次随机试验中，事件发生的概率分别是0.2，0.3，0.5，则下列说法错误的是（ ）
A．与是互斥事件，也是对立事件 B．是必然事件
C． D．
12. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）
A． B．向量与的夹角是60°
C．AC1⊥DB D．BD1与AC所成角的余弦值为
第Ⅱ卷（选择题共90分）
二、填空题（每题5分，共计20分）
13. 在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有50个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球，黑色球的频率稳定在30%和40%，则口袋中白色球的个数可能是__________个．
14. 平面的法向量为，平面β的法向量为，若，则m= .
15.已知点A，B，直线与线段AB相交，则m的取值范围为__________.
16. 若非零实数对满足关系式，则 ．
三、解答题（6个大题，共计70分）
17（10分）已知的三个顶点是．
(1)试判定的形状；
(2)求边上的中线所在直线的方程．
18（12分）有4名同学下课后一起来到图书馆看书，到图书馆以后把书包放到了一起，后来停电了，大家随机拿起了一个书包离开图书馆，分别计算下列事件的概率．
(1)恰有两名同学拿对了书包；
(2)至少有两名同学拿对了书包；
(3)书包都拿错了．
19（12分）已知直线l过点.
（1）若直线l在两坐标轴上截距和为零，求l方程；
（2）设直线l的斜率，直线l与两坐标轴交点别为，求面积最小值.
20（12分）如图，P,O分别是正四棱柱上、下底面的中心，E是AB的中点，.
（1）求证：
（2）当时，求点O到平面PBC的距离.
21（12分）与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及学生安全教育，某社区举办学生安全知识竞赛活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是．乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，各家庭是否回答正确互不影响，
(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率：
(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率
22（12分）如图，在四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD是矩形，是等边三角形，平面SAD平面ABCD,AB=1，E为棱SA上一点，P为棱AD的中点，四棱锥S-ABCD的体积为.
（1）若E为棱SA的中点，F是棱SB的中点，求直线BC与平面PEF所成的角的大小；
（2）是否存在点E,使得平面PEB与平面SAD夹角的余弦值为？若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由.
