天津市武清区重点中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题（含答案）

天津市武清区重点中学2023-2024学年高三上学期期中考试
数学
一、单选题（共9小题，每小题5分，共45分）
1.已知集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
2.“”是“”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
4.已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
5.某市为了解全市12000名高三学生的体能素质情况，在全市高三学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并将这1000名的体能测试成绩整理成如右图所示频率分布直方图.根据此频率分布直方图，下列结论中正确的是（ ）
A.图中的值为0.020
B.估计样本数据的75%分位数为88
C.同一组中的数据用该组区间的中点值做代表，则这1000名学生的平均成绩约为80.5
D.由样本数据可估计全市高三学生体测成绩优异（80分及以上）的人数约为5000人
6.设是数列的前项和，已知且，则（ ）
A.9 B.27 C.81 D.101
7.古代数学名著《九章算术·商功》中，将底面为矩形.且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若四棱锥为阳马，平面，，，则此“阳马”外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数的图象关于直线对称，则（ ）
A.函数在上单调递增
B.函数为偶函数
C.函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象
D.若，则的最小值为
9.已知抛物线，直线倾斜角是45°且过抛物线的焦点，直线被抛物线截得的线段长是16，双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则直线与轴的交点到双曲线的一条渐近线的距离是（ ）
A.2 B. C. D.1
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
10.已知为实数，若复数为纯虚数，则的值为______.
11.在的展开式中的的系数是______.
12.若直线被圆截得线段的长为6，则实数的值为______.
13.在学校大课间体育活动中，甲、乙两位同学进行定点投篮比赛，每局比赛甲、乙每人各投篮一次，若一方命中且另一方末命中，则命中的一方本局比赛获胜，否则为平局.已知甲、乙每次投篮命中的概率分别为和，且每局比赛甲、乙命中与否互不影响，各局比赛也互不影响.进行1局投篮比赛，甲获胜的概率为______；设共进行了3局投篮比赛，其中甲获胜的局数为，则的数学期望______.
14.设是边长为1的等边三角形，为所在平面内一点，且，则当取最小值时，的值为______.
15.已知函数，若函数与的图象恰有5个不同公共点，则实数的取值范围是______.
三、解答题（共5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16.在中，角，，所对的边分别为，，，角为钝角，且，，.
（1）求的值；
（2）求边的值；
（3）求的值.
17.已知底面是正方形，平面，，，点、分别为线段、的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在，说明理由.
18.已知椭圆的右顶点，且点在椭圆上，，分别是椭圆的左右焦点，过点作斜率为的直线交椭圆于另一点，直线交椭圆于点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，求的值.
19.已知为等差数列，为正项等比数列，的前项和为，，，，.
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）求的前项和的最大值；
（Ⅲ）设求证：.
20.已知函数（，e是自然对数的底数，）.
（1）当时，求函数的极值；
（2）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；
（3）若函数有两个极值点，，且，求的最大值.
天津市武清区重点中学2023-2024学年高三上学期期中考试
数学答案
一、单选
1 2 3 4 5 6 7 8 9
A B A A C B D D D
二、填空题
10 11 12 13 14 15
24 ；
三、解答题
16.解：（Ⅰ）由及正弦定理，得，
∵，，又∵，，∴，且.
又，可得；
（Ⅱ）∵，
由余弦定理，得，即，
即，解得（负值舍）；
（Ⅲ）由（Ⅰ）及，，，得，
又∵，∴为钝角，为锐角，从而.
由（Ⅰ）得.
，，
∴.
17.【分析】（1）法一：分别取、的中点、，连接、、，证明出平面平面，利用面面平行的性质可证得结论成立；
法二：以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立；
（2）利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值；
（3）假设存在点，使得，其中，求出向量的坐标，利用空间向量法可得出关于的方程，解之即可.
【小问1详解】
证明：法一：分别取、的中点、，连接、、，
由题意可知点、分别为线段、的中点，所以，，
因为，所以，所以点、、、四点共面，
因为、分别为、的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面.
又因为，平面，平面，所以平面，
又因为，、平面，所以平面平面，
因为平面，所以平面；
法二：因为为正方形，且平面，所以、、两两互相垂直，
以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、，
所以，易知平面的一个法向量，
所以，所以，又因为平面，所以平面.
【小问2详解】
解：设平面的法向量，，，
则，取，可得，
所以平面的一个法向量为，
易知平面的一个法向量，设平面与平面夹角为，
则，
所以平面与平面夹角余弦值为；
【小问3详解】
解：假设存在点，使得，其中，
则，
由（2）得平面的一个法向量为，
由题意可得，
整理可得.即，
因为，解得或，所以，或.
18.【小问1详解】
由题可得，解得，，所以椭圆的标准方程为；
【小问2详解】
由题可设，由，可得，
∴，即，
所以，即，
当轴时，则，，，，，
此时，，不合题意，
当与不垂直时，，，
∴，，由上可得，所以，
解得，又，所以，综上，的值为.
19.解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由，，即，解得，∴，
由，∴，由，
即，解得或（舍去），∴；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，∴，
∴是首项为，公比为的等比数列，令的前项和为，
则，当为奇数时，
当为偶数时，综上可得，的前项和的最大值为；
（Ⅲ）证明：∵，
∴
①，②，
由①-②可得
，∴，得证.
20.【分析】（1）求出函数的导函数，即可得到，与的关系表，从而得到函数的极值点，计算可得；
（2）令，求出函数的导函数，依题意中在上恒成立，即可得到不等式组，解得即可；
（3）求出的导函数，依题意在上有两个不等实根，令，则在上有两个不等实根、，求出函数的导函数，结合零点存在性定理得到且，即可得到，再由导数说明函数的单调性，即可求出的最大值；
【小问1详解】
解：当时，
令，解得，，所以，与的关系如下：
3
+ 0 - 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以当时，函数取得极大值，即，
当时，函数取得极小值，即；
【小问2详解】
解：因为，所以
令，则
依题意在上恒成立，
令，则，解得
【小问3详解】
解：因为，即，
则，
因为在上有两个极值点，即在上有两个不等实根，
即在上有两个不等实根、，
因为，所以当时，单调递减，
当时，单调递增，则，所以，解得，
所以，所以在和上各有一个实根，
所以函数在上有两个极值点时，并且，
因为，
所以，
令，则，
当时，，单调递减，
因为，所以，即
则
因为且，所以满足题意的整数的最大值为；
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理.