苏科版八年级数学下册试题 9.2 中心对称与中心对称图形（含答案）

9.2中心对称与中心对称图形
一、选择题．
1．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列图标中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．在线段、角、等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形这几个图形中是中心对称图形的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC＝4，BD＝16，将△BOC绕着点C旋转180°得到△B′O′C，则点A与点B′之间的距离为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
5．在平面直角坐标系xOy中，点A（4，3），点B为x轴正半轴上一点，将△AOB绕其一顶点旋转180°，连接其余四个顶点得到一个四边形，若该四边形是一个轴对称图形，则满足条件的点有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
6．如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（　　）
A．点A与点A′是对称点 B．BO＝B′O
C．AB∥A′B′ D．∠ACB＝∠C′A′B′
7．如图，△ABC与△A′B′C′关于O成中心对称，下列结论中不成立的是（　　）
A．OC＝OC′ B．OA＝OA′
C．BC＝B′C′ D．∠ABC＝∠A′C′B′
8．如图，△ABC为等边三角形，AB＝4，AD⊥BC，点E为线段AD上的动点，连接CE，以CE为边在下方作等边△CEF，连接DF，则线段DF的最小值为（　　）
A．2 B． C． D．1
9．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列结论正确的是（　　）
A．AC＝AD B．BC＝DE C．AB⊥EB D．∠A＝∠EBC
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，把△ABC绕AC边的中点M旋转后得△DEF，若直角顶点F恰好落在AB边上，且DE边交AB边于点G，若AC＝4，BC＝3，则AG的长为（　　）
A． B． C． D．1
二、填空题
11．在等腰直角三角形、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有　 　个．
12．给出如下5种图形：①矩形，②等边三角形，③正五边形，④圆，⑤线段．其中，是轴对称图形但不是中心对称图形的有　 　．（请将所有符合题意的序号填在横线上）
13．下列4种图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有　 　个．
14．六张完全相同的卡片上，分别画有等边三角形、正方形、矩形、平行四边形、圆、菱形，现从中随机抽取一张，卡片上画的恰好既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为　 　．
15．如图，点A，B，C的坐标分别为（0，﹣1），（0，2），（3，0）．从下面四个点M（3，3），N（3，﹣3），P（﹣3，0），Q（﹣3，1）中选择一个点，以A，B，C与该点为顶点的四边形不是中心对称图形，则该点是　 　．
16．如图，将△OAB绕点O逆时针旋转70°到△OCD的位置，若∠AOB＝40°，则∠AOD的大小为　 　度．
17．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，P是△ABC内一点，若PA＝1，PC＝2，∠APC＝135°，则PB的长为　 　．
18．一副三角板按如图所示叠放在一起，∠C＝60°，∠OAB＝45°，其中点B、D重合，若固定△AOB，将三角板ACD绕着公共顶点A顺时针旋转一周后停止，当旋转角为　 　度时，CD∥AO．
三、解答题
19．如图，D是△ABC边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE＝AD，连接BE．
（1）图中哪两个图形成中心对称？
（2）若△ADC的面积为4，求△ABE的面积．
20．如图，是5个全等的小正方形组成的图案，请用不同的两种方法分别在两幅图中各添加1个正方形，使整个图案称为中心对称图形．
21．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．
（1）将△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2；
（3）若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．
22．如图，在12×12正方形网格中建立直角坐标系，每个小正方形的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点A（0，2），B（3，5），C（2，2）．
（1）将△ABC以点A为旋转中心旋转180°，得到△AB1C1，点B、C的对应点分别是点B1，C1，请在网格图中画出△AB1C1．
（2）将△ABC平移至△A2B2C2，其中点A，B，C的对应点分别为点A2，B2，C2，且点C2的坐标为（2，﹣4），请在图中画出平移后的△A2B2C2．
（3）在第（1）、（2）小题基础上，若将△AB1C1绕某一点旋转可得到△A2B2C2，则旋转中心点P的坐标为　 　．（直接写出答案）
23．如图，△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，点C、D分别在OA、OB上的点，连接AD、BC，点H为BC中点，连接OH．
（1）如图1，求证OHAD，OH⊥AD；
（2）将△COD绕点O旋转到图2所示位置时，（1）中结论是否仍成立？若成立，证明你的结论；若不成立，请说明理由．
24．将两块斜边长相等的等腰直角三角形按如图A摆放，斜边AB分别交CD、CE于M、N点，
（1）如果把图A中的△BCN绕点C逆时针旋转90°得到△ACF，连接FM，如图B，求证：△CMF≌△CMN：
（2）将△CED绕点C旋转：
①当点M、N在AB上（不与A、B重合）时，线段AM、MN、NB之间有一个不变的关系式，请你写出这个关系式，并说明理由；
②当点M在AB上，点N在AB的延长线上（如图C）时，①中的关系式是否仍然成立？请说明理由．
答案
一、选择题
A．B．C．C．A．D．D．D．D．A．
二、填空题
11．3．
12．②③．
13．1．
14．．
15．点P．
16．30．
17．．
18．75°或255°．
三、解答题
19．（1）图中△ADC和三角形EDB成中心对称；
（2）∵△ADC和三角形EDB成中心对称，△ADC的面积为4，
∴△EDB的面积也为4，
∵D为BC的中点，
∴△ABD的面积也为4，
所以△ABE的面积为8．
20．如图所示：
．
21．（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）根据图形可知：
旋转中心的坐标为：（﹣3，0）．
22．（1）如图，△AB1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）旋转中心点P的坐标为（0，﹣1）．
故答案为：（0，﹣1）．
23．（1）证明：∵△OAB与△OCD为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，
∴OC＝OD，OA＝OB，
∵在△AOD与△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴∠ADO＝∠BCO，∠OAD＝∠OBC，BC＝AD，
∵点H为线段BC的中点，
∴OH＝HB，OHBC，
∴∠OBH＝∠HOB＝∠OAD，
又∵∠OAD+∠ADO＝90°，
∴∠ADO+∠BOH＝90°，
∴OH⊥AD，
∵AD＝BC，OHBC，
∴OHAD．
（2）结论：OHAD，OH⊥AD仍成立，
如图2中，延长OH到E，使得HE＝OH，连接BE，
∵点H是BC中点，
∴BH＝CH，
∴△BEH≌△CHO（SAS），
∴OE＝2OH，∠EBC＝∠BCO，
∴∠OBE＝∠EBC+∠OBC＝∠BCO+∠OBC＝180°﹣∠BOC，
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOD＝180°﹣∠BOC＝∠OBE，
∵OB＝OA，OC＝OD
∴△BEO≌△ODA（SAS），
∴OE＝AD，∠EOB＝∠DAO，
∴OHOEAD，
∵∠AOB＝90°，
∴∠DAO+∠AOH＝∠EOB+∠AOH＝90°，
∴OH⊥AD．
24．（1）∵△BCN绕点C逆时针旋转90°得到△ACF，
∴CF＝CN，∠ACF＝∠BCN，
∵∠DCE＝45°，
∴∠ACM+∠BCN＝45°，
∴∠ACM+∠ACF＝45°，
即∠MCF＝45°，
∴∠MCF＝∠MCN，
在△CMF和△CMN中，，
∴△CMF≌△CMN（SAS）；
（2）①∵△CMF≌△CMN，
∴FM＝MN，
又∵∠CAF＝∠B＝45°，
∴∠FAM＝∠CAF+∠BAC＝45°+45°＝90°，
∴AM2+AF2＝FM2，
∴AM2+BN2＝MN2；
②如图，把△BCN绕点C逆时针旋转90°得到△ACF，
则AF＝BN，CF＝CN，∠BCN＝∠ACF，
∵∠MCF＝∠ACB﹣∠MCB﹣∠ACF＝90°﹣（45°﹣∠BCN）﹣∠ACF＝45°+∠BCN﹣∠ACF＝45°，
∴∠MCF＝∠MCN，
在△CMF和△CMN中，，
∴△CMF≌△CMN（SAS），
∴FM＝MN，
∵∠ABC＝45°，
∴∠CAF＝∠CBN＝135°，
又∵∠BAC＝45°，
∴∠FAM＝∠CAF﹣∠BAC＝135°﹣45°＝90°，
∴AM2+AF2＝FM2，
∴AM2+BN2＝MN2．