八年级数学下册试题 9.4.1 矩形的性质与判定专练 苏科版（含答案）

9.4.1矩形的性质与判定专练
一．解答题
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点C．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）若∠AOE＝90°，AE＝2，求矩形ADCE对角线的长．
2．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，AE∥BD，OE与AB交于点F．
（1）试判断四边形AEBO的形状，并说明理由；
（2）若OE＝5，AC＝8，求菱形ABCD的面积．
3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）若菱形边长为10，面积为96，求矩形AODE周长．
4．如图，在菱形ABCD中，点O是对角线AC的中点，过点O的直线EF与边AD、BC交于点E、F，∠CAE＝∠FEA，连接AF、CE．
（1）求证：四边形AFCE是矩形；
（2）若AB＝5，AC＝2，直接写出四边形AFCE的面积．
5．如图，在菱形ABCD中，AB＝3，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN．
（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；
（2）填空：①当AM的值为　 　时，四边形AMDN是矩形；
②当AM的值为　 　时，四边形AMDN是菱形．
6．在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形EBFD是矩形．
（2）若AE＝3，DE＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB．
7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若BF＝8，DF＝4，求CD的长．
8．如图，在 ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）已知∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分线，若AD＝3，求DC的长度．
9．如图，AC、BD相交于点O，且O是AC、BD的中点，点E在四边形ABCD外，且∠AEC＝∠BED＝90°，求证：四边形ABCD是矩形．
10．如图，在 ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，∠AEF的角平分线交AB于点M，∠EFC的角平分线交CD于点N，连接MF、NE．
（1）求证：四边形EMFN是平行四边形．
（2）小明在完成（1）的证明后继续进行了探索，他猜想：当AB＝AD时，四边形EMFN是矩形．请在下列框图中补全他的证明思路．
小明的证明思路
由（1）知四边形EMFN是平行四边形．要证 EMFN是矩形，只要证∠MFN＝90°．由已知条件知∠EFN＝∠CFN，故只要证∠EFM＝∠BFM．易证 　 　，故只要证∠BFM＝∠BMF，即证BM＝BF，故只要证　 　．易证AE＝AM，AE＝BF，即可得证．
11．如图，在平行四边形ABCD中，P是AB上一点（不与点A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD于点Q，连接CQ，∠BPC＝∠AQP．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）当AP＝3，AD＝9时，求AQ和CQ的长．
12．如图，过△ABC边AC的中点O，作OE⊥AC，交AB于点E，过点A作AD∥BC，与BO的延长线交于点D，连接CD，CE，若CE平分∠ACB，CE⊥BO于点F．
（1）求证：
①OC＝BC；
②四边形ABCD是矩形；
（2）若BC＝3，求DE的长．
13．如图，△ABC中，分别以AB、AC为边在△ABC外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD、BE，四边形ADFE是平行四边形．
（1）求证：△ACD≌△AEB；
（2）当∠BAC的度数为　 　时，平行四边形ADFE是矩形；当∠BAC的度数为　 　时，平行四边形ADFE不存在；
（3）当△ABC满足　 　时，平行四边形ADFE是菱形．
14．如图，平行四边形ABCD中，点G是CD的中点，点E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF．
（1）求证：四边形CEDF为平行四边形．
（2）若AB＝5cm，BC＝10cm，∠B＝60°．
①当AE＝　 　cm时，四边形CEDF是矩形．
②当AE＝　 　cm时，四边形CEDF是菱形．
15．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．
（1）若AOBD，求证：四边形ABCD为矩形；
（2）若AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，求证：AE＝CF．
16．在四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，AC和BD交于点O，CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于点E．
（1）如图1，求证：四边形ODEC是矩形；
（2）如图2，连接OE，当AD∥BC时，在不添加任何辅助线及字母的情况下，请直接写出图中所有的平行四边形．
17．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，AD∥BC，∠ADC＝∠ABC，OA＝OB．
（1）如图1，求证：四边形ABCD为矩形；
（2）如图2，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，若AD＝12，AB＝5，求PE+PF的值．
18．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，过点A作AE⊥BC于E，延长BC到F，使CF＝BE，连接DF和OF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形．
（2）若AD＝5，CE＝3，∠ABF＝60°，求OF的长．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点C．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）若∠AOE＝90°，AE＝2，求矩形ADCE对角线的长．
20．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，点E是菱形外一点，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形DECO是矩形；
（2）连接AE交BD于点F，当∠ADB＝30°，DE＝4时，求AF的长度．
21．如图，在菱形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，分别过点B、C作BE∥AC，CE∥BD，BE与CE交于点E．
（1）求证：四边形OBEC是矩形；
（2）当∠ABD＝60°，AD＝2时，求BE的长．
22．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DEAC，连接AE交OD于点F，连接CE、OE．
（1）求证：四边形OCED为矩形；
（2）若菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，求AE的长．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，AG平分△ABC的外角∠BAF，BE⊥AG，垂足为E．
（1）求证：四边形ADBE是矩形；
（2）连结DE，交AB于点O，若BC＝8，AO，则△ABC的面积是：　 　．
24．如图，在平行四边形ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，连接CQ．
（1）若∠BPC＝∠AQP，求证：四边形ABCD是矩形；
（2）在（1）的条件下，当AP＝4，AD＝12时，求AQ的长．
25．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN．
（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；
（2）①当AM的值为　 　时，四边形AMDN是矩形；
②若AM＝6，求证：四边形AMDN是菱形．
26．矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．点E，F在对角线AC上，点M，N分别在边AD，BC上．
（1）如图1，若AE＝CF＝1，M，N分别是AD，BC的中点．求证：四边形EMFN为矩形．
（2）如图2，若AE＝CF＝0.5，AM＝CN＝x（0＜x＜2），且四边形EMFN为矩形，求x的值．
27．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是每秒1个单位，连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；
（2）当t＝6时，判断四边形AQCP的形状，并说明理由．
28．如图，平行四边形ABCD中，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF．
（1）求证：四边形CEDF为平行四边形；
（2）若AB＝6cm，BC＝10cm，∠B＝60°，
①当AE＝　 　cm时，四边形CEDF是矩形；
②当AE＝　 　cm时，四边形CEDF是菱形．
答案
一．解答题
1．（1）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴BD＝AE，BD∥AE，
∵D为BC的中点，
∴CD＝BD，
∴CD＝AE．
∴四边形ADCE是平行四边形．
又∵AB＝AC，D为边BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形．
（2）解：∵四边形ADCE是矩形，∠AOE＝90°，
∴矩形ADCE是正方形，
∴CE＝AE＝2，∠AEC＝90°，
∴ACAE＝2，
即矩形ADCE对角线的长为2．
2．（1）四边形AEBO是矩形，理由如下：
∵BE∥AC，AE∥BD
∴四边形AEBO是平行四边形．
又∵菱形ABCD对角线交于点O
∴AC⊥BD，即∠AOB＝90°．
∴四边形AEBO是矩形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴OAAC＝4，OB＝OD，AC⊥BD，
∵四边形AEBO是矩形，
∴AB＝OE＝5，
∴OB3，
∴BD＝2OB＝6，
∴菱形ABCD的面积AC×BD8×6＝24．
3．（1）证明：∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，
∴四边形AODE是矩形；
（2）解：∵菱形ABCD边长为10，面积为96，
∴AD＝10，AC＝2OA，BD＝2OD，AC⊥BD，AC×BD＝96，
∴∠AOD＝90°，2OA×OD＝96，
∴OA2+OD2＝AD2＝100，
∴OA2+2OA×OD+OD2＝100+96＝196，
∴（OA+OD）2＝196，
∴OA+OD＝14，
∵四边形AODE是矩形，
∴DE＝OA，AE＝OD，
∴矩形AODE的周长＝2（OA+OD）＝28．
4．（1）证明：∵∠OAE＝∠OEA，
∴OA＝OE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠OCF＝∠OAE，∠OFC＝∠OEA，
∴∠OFC＝∠OCF，
∵OF＝OC，
∵O为AC的中点，
∴OA＝OC，
∴OA＝OC＝OE＝OF，
∴四边形AFCE是平行四边形，AC＝EF，
∴四边形AFCE是矩形；
（2）解：设CF＝x，
∵四边形ABCD是菱形，AB＝5，
∴BC＝AB＝5，
∴BF＝5﹣x，
∵四边形AFCE是矩形，
∴∠AFC＝90°＝∠AFB，
在Rt△AFB和Rt△AFC中，由勾股定理得：AF2＝AB2﹣BF2＝AC2﹣CF2，
即52﹣（5﹣x）2＝（2）2﹣x2，
解得：x＝2，
即CF＝2，
则AF4，
∴四边形AFCE的面积是AF×CF＝2×4＝8．
5．（1）证明：∵点E是AD边的中点，
∴AE＝DE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DC∥AB，
∴∠DNE＝∠AME，
在△DNE和△AME中
，
∴△DNE≌△AME（AAS），
∴NE＝ME，
∵AE＝DE，
∴四边形AMDN是平行四边形；
（2）解：①当AM＝1.5时，四边形AMDN是矩形，
理由是：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝3，
∵∠DAB＝60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴AD＝BD＝3，
∵AM＝1.5，AB＝3，
∴AM＝BM，
∴DM⊥AB，
即∠DMA＝90°，
∵四边形AMDN是平行四边形，
∴四边形AMDN是矩形，
即当AM＝1.5时，四边形AMDN是矩形，
故答案为：1.5；
②当AM＝3时，四边形AMDN是菱形，
理由是，此时AM＝AB＝3，
即M和B重合，
∵由①知：△ABD是等边三角形，
∴AM＝MD，
∵四边形AMDN是平行四边形，
∴四边形AMDN是菱形，
故答案为：3．
6．证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，即DF∥BE，
又∵DF＝BE，
∴四边形DEBF为平行四边形，
又∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴四边形DEBF为矩形；
（2）∵四边形DEBF为矩形，
∴∠DEB＝90°，
∵AE＝3，DE＝4，DF＝5
∴AD5，
∴AD＝DF＝5，
∴∠DAF＝∠DFA，
∵AB∥CD，
∴∠FAB＝∠DFA，
∴∠FAB＝∠DFA，
∴AF平分∠DAB．
7．（1）证明：∵在菱形ABCD中，
∴AD∥BC且AD＝BC，
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
∴AD＝EF，
∵AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴四边形AEFD是矩形；
（2）解：设BC＝CD＝x，则CF＝8﹣x
在Rt△DCF中，
∵x2＝（8﹣x）2+42 ，
∴x＝5，
∴CD＝5．
8．证明（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴DC∥AB，DC＝AB
∵CF＝AE
∴DF＝BE且DC∥AB
∴四边形DFBE是平行四边形
又∵DE⊥AB
∴四边形DFBE是矩形；
（2）∵∠DAB＝60°，AD＝3，DE⊥AB
∴AE，DEAE
∵四边形DFBE是矩形
∴BF＝DE
∵AF平分∠DAB
∴∠FAB∠DAB＝30°，且BF⊥AB
∴ABBF
∴CD
9．证明：连接EO，如图所示：
∵O是AC、BD的中点，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
在Rt△EBD中，
∵O为BD中点，
∴EOBD，
在Rt△AEC中，∵O为AC中点，
∴EOAC，
∴AC＝BD，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形．
10．（1）证明：在 ABCD中，∠A＝∠C，AD∥BC，AD＝BC
∵E、F分别是AD、BC的中点，
∴AEAD，CFBC
又∵AD＝BC，
∴AE＝CF，
∵AD∥BC，
∴∠AEF＝∠CFE．
∵EM平分∠AEF，FN平分∠EFC．
∴∠AEM＝∠FEM∠AEF，∠CFN＝∠FEN∠CFE．
∵∠AEF＝∠CFE，∠AEM∠AEF，∠CFN∠CFE．
∴∠AEM＝∠CFN，
在△AME和△CNF中，
∴△AME≌△CNF（ASA）
∵∠FEM＝∠FEN，
∴EM∥FN，
∵△AME≌△CNF，
∴EM＝FN．
∵EM∥FN，EM＝FN，
∴四边形EMFN是平行四边形；
（2）解：∠EFM＝∠BMF，
AM＝BM（或：M是AB中点）．
故答案为：∠EFM＝∠BMF，AM＝BM．
11．（1）证明：∵∠BPQ＝∠BPC+∠CPQ＝∠A+∠AQP，∠BPC＝∠AQP，
∴∠CPQ＝∠A，
∵PQ⊥CP，
∴∠A＝∠CPQ＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠CPQ＝90°，
在Rt△CDQ和Rt△CPQ中，
，
∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ（HL），
∴DQ＝PQ，
设AQ＝x，则DQ＝PQ＝12﹣x，
在Rt△APQ中，AQ2+AP2＝PQ2，
∴x2+32＝（9﹣x）2，
解得：x＝4，
∴AQ的长是4．
设CD＝AB＝CP＝y，则PB＝y﹣3，在Rt△PCB中，根据勾股定理列方程，求出y＝15．
在Rt△CDQ中，CQ5．
12．（1）证明：①∵CE平分∠ACB，
∴∠OCE＝∠BCE，
∵BO⊥CE，
∴∠CFO＝∠CFB＝90°，
在△OCF与△BCF中，
，
∴△OCF≌△BCF（ASA），
∴OC＝BC；
②∵点O是AC的中点，
∴OA＝OC，
∵AD∥BC，
∴∠DAO＝∠BCO，∠ADO＝∠CBO，
在△OAD与△OCB中，
，
∴△OAD≌△OCB（ASA），
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵OE⊥AC，
∴∠EOC＝90°，
在△OCE与△BCE中，
，
∴△OCE≌△BCE（SAS），
∴∠EBC＝∠EOC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝3，∠DAB＝90°，AC＝BD，
∴OB＝OC，
∵OC＝BC，
∴OC＝OB＝BC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OCB＝60°，
∴∠ECBOCB＝30°，
∵∠EBC＝90°，
∴EBEC，
∵BE2+BC2＝EC2，BC＝3，
∴EB，EC＝2，
∵OE⊥AC，OA＝OC，
∴EC＝EA＝2，
在Rt△ADE中，∠DAB＝90°，
∴DE．
13．（1）证明：∵△ABD和△ACE是等边三角形，
∴AD＝AB，AE＝AC，∠ACE＝∠AEC＝∠DAB＝∠EAC＝60°，
∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAE，
在△ACD和△AEB中，
，
∴△ACD≌△AEB（SAS）；
（2）解：当∠BAC的度数为150°时，平行四边形ADFE是矩形；当∠BAC的度数为60°时，平行四边形ADFE不存在；理由如下：
当∠BAC＝150°时，
∵∠DAB＝∠CAE＝60°，
∴∠DAE＝360°﹣150°﹣60°﹣60°＝90°，
又∵四边形ADFE是平行四边形，
∴平行四边形ADFE是矩形；
当∠BAC＝60°，∠BAC+∠DAB+∠CAE＝180°，
∴D、A、E三点共线，
∴平行四边形ADFE不存在；
故答案为：150°，60°；
（3）解：当△ABC满足AB＝AC且∠BAC≠60°时，平行四边形ADFE是菱形，理由如下：
∵△ABD和△ACE是等边三角形，
∴AD＝AB，AE＝AC，
∵AB＝AC，
∴AD＝AE，
又∵四边形ADFE是平行四边形，
∴平行四边形ADFE是菱形，
故答案为：AB＝AC且∠BAC≠60°．
14．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BF，
∴∠DEG＝∠CFG，
∵G是CD的中点，
∴GD＝GC，
在△GED和△GFC中，
，
∴△GED≌△GFC（AAS），
∴DE＝CF，
又∵DE∥CF，
∴四边形CEDF是平行四边形，
（2）解：①当AE＝7.5cm时，四边形CEDF是矩形；理由如下：
作AP⊥BC于P，如图所示：
∵AB＝6cm，∠B＝60°，
∴∠BAP＝30°，
∴BPAB＝2.5cm，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠CDE＝∠B＝60°，DC＝AB＝5cm，AD＝BC＝10cm，
∵AE＝7.5cm，
∴DE＝AD﹣AE＝2.5cm＝BP，
在△ABP和△CDE中，
，
∴△ABP≌△CDE（SAS），
∴∠CED＝∠APB＝90°，
∴平行四边形CEDF是矩形，
故答案为：7.5；
②当AE＝5cm时，四边形CEDF是菱形，理由如下：
∵AE＝5cm，AD＝10cm，
∴DE＝AD﹣AE＝5（cm），
∵DC＝5cm，∠CDE＝∠B＝60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴DE＝CE，
∴平行四边形CEDF是菱形，
故答案为：2cm．
15．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵OABD，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF．
16．（1）证明：∵AB＝BC，AD＝CD，
∴BD垂直平分AC，
∴∠COD＝90°，
∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形ODEC是平行四边形，
∵∠COD＝90°，
∴四边形ODEC是矩形；
（2）解：∵AB＝BC，AD＝CD，
∴BD垂直平分AC，
∴AO＝OC，∠BOC＝∠AOD，
∵AD∥BC，
∴∠BCO＝∠DAO，
∴△AOD≌△COB（ASA），
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形ODEC是平行四边形，
∴DE＝CO，
∴DE＝AO，
∴四边形AOED是平行四边形，
∴AD＝OE，AD∥OE，
∴BC＝OE，BC∥OE，
∴四边形OECB是平行四边形，
综上所述，四边形ABCD，四边形ODEC，四边形AOED，四边形OECB是平行四边形．
17．证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠BAD＝∠BCD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OCAC，OB＝ODBD，
∵OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）如图，连接OP，
∵AD＝12，AB＝5，
∴BD13，
∴BO＝OD＝AO＝CO，
∵S△AODS矩形ABCD12×5＝15，
∴S△AOP+S△POD＝15，
∴FPEP＝15，
∴PE+PF．
18．（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，
∴AB∥DC且AB＝DC，
∴∠ABE＝∠DCF，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴AE＝DF，∠AEB＝∠DFC＝90°，
∴AE∥DF，
∴四边形AEFD是矩形；
（2）解：由（1）知：四边形AEFD是矩形，
∴EF＝AD＝5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝5，OB＝OD，
∵EC＝3，
∴BE＝CF＝2，
∴BF＝BC+BF＝7，
Rt△ABE中，∠ABE＝60°，
∴∠BAE＝30°，
∴AB＝2BE＝4，
∴DF＝AE2，
∴BD，
∵OB＝OD，∠DFC＝90°，
∴OFBD．
19．（1）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴BD＝AE，BD∥AE，
∵D为BC的中点，
∴CD＝BD，
∴CD＝AE．
∴四边形ADCE是平行四边形．
又∵AB＝AC，D为边BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形．
（2）解：∵四边形ADCE是矩形，∠AOE＝90°，
∴矩形ADCE是正方形，
∴CE＝AE＝2，∠AEC＝90°，
∴ACAE＝2，
即矩形ADCE对角线的长为2．
20．（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形DECO是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC＝90°，
∴四边形DECO是矩形；
（2）解：如图，∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝OC，AC⊥BD，
∵四边形DECO是矩形，
∴OC＝DE＝4，
∴AO＝4，
∵DE∥AC，
∴∠FAO＝∠DEF，
在△AFO和△EFD中，，
∴△AFO≌△EFD（AAS），
∴OF＝DF，
∵∠ADB＝30°，
∴ODAO＝4，
∴OFOD＝2，
∴AF2．
21．（1）证明：∵BE∥AC，CE∥BD，
∴BE∥OC，CE∥OB，
∴四边形OBEC为平行四边形，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∴四边形OBEC是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD＝AB，OB＝OD，OA＝OC，
∵∠DAB＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD＝AD＝AB＝2，
∴OD＝OB，
在Rt△AOD中，AO3
∴OC＝OA＝3，
∵四边形OBEC是矩形，
∴BE＝OC＝3．
22．（1）证明：四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OCAC，AD＝CD，
∵DE∥AC且DEAC，
∴DE＝OA＝OC，
∴四边形OADE、四边形OCED都是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形OCED是矩形；
（2）解：∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴AC＝AB＝6，
∴在矩形OCED中，CE＝OD3．
∴在Rt△ACE中，AE3．
23．（1）证明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
∴∠ADB＝90°，
∵AG为△ABC的外角∠BAF的平分线，
∴∠BAE＝∠FAE，
∴∠DAE＝90°，
∵BE⊥AG，
∴∠AEB＝90°，
∴四边形ADBE为矩形；
（2）解：∵AD是BC边的中线，BC＝8，
∴BD＝CD＝4，
由（1）得：四边形ADBE是矩形，
∴AB＝DE＝2AO＝5，
在Rt△ABD中，AD3，
∴△ABC的面积BC×AD8×3＝12；
故答案为：12．
24．（1）证明：∵∠BPQ＝∠BPC+∠CPQ＝∠A+∠AQP，∠BPC＝∠AQP，
∴∠CPQ＝∠A，
∵PQ⊥CP，
∴∠A＝∠CPQ＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠CPQ＝90°，
在Rt△CDQ和Rt△CPQ中，，
∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ（HL），
∴DQ＝PQ，
设AQ＝x，则DQ＝PQ＝12﹣x，
在Rt△APQ中，AQ2+AP2＝PQ2，
∴x2+42＝（12﹣x）2，
解得：，
∴AQ的长是．
25．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠DNE＝∠AME，
∵点E是AD边的中点，
∴AE＝DE，
在△NDE和△MAE中，，
∴△NDE≌△MAE（AAS），
∴NE＝ME，
∴四边形AMDN是平行四边形；
（2）①解：当AM的值为3时，四边形AMDN是矩形．理由如下：
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD＝6，
∵点E是AD边的中点，
∴AEAD＝3，
∴AM＝AE＝3，
∵∠DAB＝60°，
∴△AEM是等边三角形，
∴EM＝AE，
∵NE＝EMMN，
∴MN＝AD，
∵四边形AMDN是平行四边形，
∴四边形AMDN是矩形．
故答案为：3；
②证明：∵AB＝AD＝6，AM＝6，
∴AD＝AM，
∵∠DAB＝60°，
∴△AMD是等边三角形，
∴ME⊥AD，
∵四边形AMDN是平行四边形，
∴四边形AMDN是菱形．
26．（1）证明：连接MN，如图1所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∠B＝90°，
∴∠EAM＝∠FCN，AC5，
∵M，N分别是AD，BC的中点，
∴AM＝DM＝BN＝CN，AM∥BN，
∴四边形ABNM是平行四边形，
又∵∠B＝90°，
∴四边形ABNM是矩形，
∴MN＝AB＝3，
在△AME和△CNF中，，
∴△AME≌△CNF（SAS），
∴EM＝FN，∠AEM＝∠CFN，
∴∠MEF＝∠NFE，
∴EM∥FN，
∴四边形EMFN是平行四边形，
又∵AE＝CF＝1，
∴EF＝AC﹣AE﹣CF＝3，
∴MN＝EF，
∴四边形EMFN为矩形．
（2）解：连接MN，作MH⊥BC于H，如图2所示：
则四边形ABHM是矩形，
∴MH＝AB＝3，BH＝AM＝x，
∴HN＝BC﹣BH﹣CN＝4﹣2x，
∵四边形EMFN为矩形，AE＝CF＝0.5，
∴MN＝EF＝AC﹣AE﹣CF＝4，
在Rt△MHN中，由勾股定理得：32+（4﹣2x）2＝42，
解得：x＝2±，
∵0＜x＜2，
∴x＝2．
27．（1）∵在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，
∴BC＝AD＝16，AB＝CD＝8，
由已知可得，BQ＝DP＝t，AP＝CQ＝16﹣t，
在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，
当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，
∴t＝16﹣t，
解得：t＝8，
∴当t＝8s时，四边形ABQP为矩形；
（2）四边形AQCP为菱形；理由如下：
∵t＝6，
∴BQ＝6，DP＝6，
∴CQ＝16﹣6＝10，AP＝16﹣6＝10，
∴AP＝CQ，AP∥CQ，
∴四边形AQCP为平行四边形，
在Rt△ABQ中，AQ10，
∴AQ＝CQ，
∴平行四边形AQCP为菱形，
即当t＝6时，四边形AQCP为菱形．
28．（1）证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CF∥ED，
∴∠FCD＝∠GCD，
∵G是CD的中点，
∴CG＝DG，
在△FCG和△EDG中，
∴△CFG≌△EDG（ASA），
∴FG＝EG，
∴四边形CEDF是平行四边形；
（2）①解：当AE＝7时，平行四边形CEDF是矩形，
理由是：过A作AM⊥BC于M，
∵∠B＝60°，AB＝6，
∴BM＝3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠CDA＝∠B＝60°，DC＝AB＝6，BC＝AD＝10，
∵AE＝7，
∴DE＝3＝BM，
在△MBA和△EDC中，，
∴△MBA≌△EDC（SAS），
∴∠CED＝∠AMB＝90°，
∵四边形CEDF是平行四边形，
∴四边形CEDF是矩形，
故答案为：7；
②当AE＝4时，四边形CEDF是菱形，
理由是：∵AD＝10，AE＝4，
∴DE＝6，
∵CD＝6，∠CDE＝60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴CE＝DE，
∵四边形CEDF是平行四边形，
∴四边形CEDF是菱形，
故答案为：4．