江西省宜春市高安市重点中学2023-2024学年高三上学期11月期中考试数学试题(含解析)

高安市重点中学2023-2024学年上学期11月期中考试
高三数学试题
一、单选题（每题5分，共40分）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
3．若复数满足，则在复平面内复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．的值为（ ）
A． B． C． D．
5．若正实数m满足，则的值为（ ）
A．-2 B．0 C．-4 D．
6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝8，c＝3，A＝60°，则此三角形外接圆的半径R＝（ ）
A． B．
C． D．
7．设，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
8．若不等式2xln x≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0) B．(－∞，4] C．(0，＋∞) D．[4，＋∞)
二、多选题（每题5分，共20分）
9．下列说法正确的是（ ）
A．在中，满足的三角形有两个
B．在中，若，则
C．在中，是的充要条件
D．在中，
10．等差数列的前项和为，公差为，若，则（ ）
A． B．
C．当时，取得最大值 D．当时，取得最大值
11．在菱形中，是的中点，，则（ ）
A． B．
C． D．
12．已知为圆锥底面圆的直径（为顶点，为圆心），点为圆上异于的动点，，则下列结论正确的为（ ）
A．圆锥的侧面积为
B．的取值范围为
C．若为线段上的动点，则
D．过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为
三、填空题（共20分）
13．设函数，若，则 ．
14．已知各项均为正数的等比数列中，，，其前项和为，则 .
15．已知在中，点M为上的点，且，若，则
16．设，函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为 ．
四、解答题（共70分）
17．已知数列的前项和，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
18．已知函数的部分图像如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)将的图像上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图像，求函数的解析式与单调递增区间；
(3)在第（2）问的前提下，对于任意，是否总存在实数，使得成立？若存在，求出实数m的值或取值范围；若不存在，说明理由．
19．如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，以为直径的圆（为圆心）过点，且，底面，为的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）求四棱锥的侧面积．
20．在等差数列中，，，数列满足.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若______，求数列的前项和.
在①，②，③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
21．已知动点分别与定点和连线的斜率乘积．
(1)求动点的轨迹；
(2)设点位于第一象限，是的右焦点，的平分线交于点，求证：．
22．已知函数．
(1)若在区间上无零点，求实数m的取值范围；
(2)若对任意，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
参考答案
1．C
解：，
由，得，解得，
所以，
所以，
所以.
故选：C.
2．D
由题意，为真命题，所以在上成立，得，则的一个充分不必要条件为.
故选：D
3．D
由题意得：，
所以复平面内复数对应的点为，在第四象限.
故选：D.
4．B
，
故选：B
5．A
，
，
故选：A
6．D
因为b＝8，c＝3，A＝60°，所以a2＝b2＋c2－2bccos A＝64＋9－2×8×3×＝49，所以a＝7，所以此三角形外接圆的直径2R＝＝＝，所以R＝，
故选：D.
7．B
因为且，
，
故.
故选：B.
8．B
由题意对上恒成立，
所以在上恒成立，
设，则，
由，得，
当时，，当时，，
所以时，，所以，
即实数的取值范围是.
9．CD
A选项，由于，则所以三角形有一个，A选项错误.
B选项，，可能，所以B选项错误.
C选项，由正弦定理得，其中是三角形外接圆的半径，所以C选项正确.
D选项，由正弦定理，
=，可知D选项正确.
故选：CD
10．BC
，所以，故，
当时，取得最大值.故BC正确，AD错误.
故选：BC
11．ABD
对于A，因为是菱形，所以，，所以，所以A正确，
对于D，因为是的中点，所以，所以，所以B正确，
对于C，因为，所以，
因为，所以，所以C错误，
对于D，过作于，因为，所以∥，因为是的中点，所以为的四等分点，
所以，所以D正确，
故选：ABD

12．AC
对选项A：母线长，侧面积为，正确；
对选项B：中，，，则当时，
，错误；
对选项C：为等腰直角三角形，，将放平得到，如图2所示，当三点共线时最小，为中点，连接，则，，
，正确；
对选项D：如图3，设截面为，为中点，连接，设，，则
，当，即时等号成立，D错误.
故选：AC
13．
由题意得，当时，由，解得，符合题意；
当时，由解得，符合题意．
综上可得．
14．
设等比数列的公比，则，则，即，
，则，，解得.
因此，.
故答案为：.
15．
因为，
所以，
又，所以，
所以.
故答案为：.
16．
设，当时，，此时，
由，得，即，解得或，
即在上有2个零点；
若，，其图象对称轴为，
函数的大致图像如图：

则此时，即，则，
即无解，则无零点，此时无零点，不符合题意；
故需，此时函数的大致图像如图：

由得或，
要使得函数恰有3个零点，需满足在上有一个零点
此时只有一个解，故只需与函数在y轴左侧图象无交点，
则需，解得，结合，
可得，
故答案为：
17．（1）；（2）．
解：（1）因为，
当时，，
所以
所以，解得，所以（）；
当时，，也满足，
综上所述，；
（2）由（1）知，
所以 ①
②
①②得：，
所以．
18．(1)
(2)，单调递增区间为
(3)存在；
（1）由图可知，，则，，所以，．所以，即
又，所以当时，，所以．
（2）将的图像上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得：，再向右平移个单位长度得到：，由，，解得，，所以函数的单调递增区间为
（3）由，得，由，得，所以，所以．又，得，所以．
由题可知，得，解得，所以存在，使得成立．
19．（1）证明见解析（2）
（1）证明：由题意知点为圆上一点，则.
由底面，知.又，因此平面，
则，又，则.
因为，为的中点，所以.
又，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
（2）由（1）知平面，所以，
，，
因此，.
因为，，分别为，的中点，所以.
设边的高为，则，.
又因为，，所以.
由，可得，
得.
故四棱锥的侧面积.
20．（1），；（2）答案见解析.
（1）设等差数列的公差为，则解得
所以.
当时，.
当时，根据，得到，
所以，
当时，也满足.所以.
（2）若选①，则，
所以，
，
，
可得.
若选②，则，
所以
.
若选③，则，
所以
21．(1)动点的轨迹是以，为顶点、焦距为8的双曲线（不包含顶点，）
(2)证明见解析
（1）由已知，得，化简并整理，得．
故动点P的轨迹E是以A，B为顶点、焦距为8的双曲线（不包含顶点A，B）．
（2）点M是∠AFP的平分线与AP的交点，所以，
又，故，所以，
要证，即证，
也即证，只需证明成立．
当时，因为，，所以，故，显然成立．
当时，由，得，．
所以．
因为点P在双曲线上，所以，
所以，故．
又∠PAF为锐角，所以，从而得证．
22．(1)
(2)
（1）令，得，令，
则，
当时，，，故，
则在区间上单调递减，
因为，当时，，
故实数m的取值范围为．
（2）依题意在时恒成立，
令，解得．
下证当时，不等式在时恒成立．
先证明：当时，．
令，则，
令，则，
易知，所以在上单调递增，，即，
所以在上单调递增，得，即当时，．
再证明：当时，，（*）
因为当时，，故只需证明．
令，
则．
①当时，，在上单调递增，
；
②当时，由知，
所以，
所以（*）成立．
综上所述，实数m的取值范围为．