【备课参考】2015北师大版八年级数学下册：3.2 图形的旋转 同步练习

3.2图形的旋转练习
一．选择题
1．（2013 莆田）如图，将Rt△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C（其中∠B=35°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（　　）
　 A． 55° B． 70° C． 125° D． 145°
2．（2014 遵义一模）用数学的方式理解“当窗理云鬓，对镜贴花黄”和“坐地日行八万里”（只考虑地球的自转），其中蕴含的图形运动是（　　）
　 A． 平移和旋转 B． 对称和旋转 C． 对称和平移 D． 旋转和平移
3．（2015 泰安模拟）如图，把图中的△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC经过一定的变换得到△A′B′C′，如果图中△ABC上的点P的坐标为（a，b），那么它的对应点P′的坐标为（　　）
　 A． （a﹣2，b） B． （a+2，b） C． （﹣a﹣2，﹣b） D． （a+2，﹣b）
4．（2014 义乌市）如图，将Rt△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1=20°，则∠B的度数是（　　）
　 A． 70° B． 65° C． 60° D． 55°
5．（2014 大田县质检）如图，在平面直角坐标系中，△ABC绕旋转中心顺时针旋转90°后得到△A B C ，则其旋转中心的坐标是（　　）
A． （1.5，1.5） B． （1，0） C． （1，﹣1） D． （1.5，﹣0.5） 　
　
6．（2014 宝坻区二模 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论：
①△AED≌△AEF；
②△ABE∽△ACD；
③BE+DC=DE；
④BE2+DC2=DE2．
其中一定正确的是（　　）
　 A． ②④ B． ①③ C． ①④ D． ②③
7．（2013 攀枝花）如图，在△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C中，∠CAB=75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′=（　　）
　 A． 30° B． 35° C． 40° D． 50°
8．（2013 南昌）如图，将△A ( http: / / www.21cnjy.com )BC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE．若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，∠BAC的度数为（　　）
　 A． 60° B． 75° C． 85° D． 90°
9．（2012 十堰）如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④S四边形AOBO′=6+3；⑤S△AOC+S△AOB=6+．其中正确的结论是（　　）
　 A． ①②③⑤ B． ①②③④ C． ①②③④⑤ D． ①②③
10．（2006 绵阳）如图，将△ABC绕顶点A顺时针旋转60°后，得到△AB′C′，且C′为BC的中点，则C′D：DB′=（　　）
　 A． 1：2 B． 1：2 C． 1： D． 1：3
二．填空题（共12小题）
11．（2014 巴中）如图，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△A0B绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是　_________　．
12．（2010 黄浦区二模）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A1B1C的位置，其中B1C⊥AB，B1C、A1B1交AB于M、N两点，则线段MN的长为　_________　．
13．（2014 赤峰样卷）如图，在Rt△A ( http: / / www.21cnjy.com )BC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2．将△ABC绕点C旋转得到△EDC，使点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则图中△CDF的面积为　_________　．
14．如图，已知Rt△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C的周长为8，将△ABC的斜边放在定直线L上，按顺时针的方向在直线上转动两次，使它转到△A2B2C2，则AA2=　_________　．
15．（2014 长春模 ( http: / / www.21cnjy.com )拟）如图是电脑CPU风扇的示意图．风扇共有9个叶片，每个叶片的面积约为8cm2．已知∠AOB=120°，在风扇的转动过程中，叶片落在扇形AOB内部的面积为　_________　．
16．（2014 中山模拟）如图，在△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC中，AB=2，BC=3.5，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为　_________　．
17．（2013 聊城）如图，在等边△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC中，AB=6，D是BC的中点，将△ABD绕点A旋转后得到△ACE，那么线段DE的长度为　_________　．
18．（2012 开平区二模）已知：如图，在平面直角坐标系xoy中，点B1、点C1的坐标分别为（1，0），（1，），将△OB1C1绕原点O逆时针旋转60°，再将其各边都扩大为原来的m倍，使OB2=OC1，得到△OB2C2．将△OB2C2绕原点O逆时针旋转60°，再将其各边都扩大为原来的m倍，使OB3=OC2，得到△OB3C3，如此下去，得到△OB2011C2011，则点C2011的坐标：　_________　．
19．（2011 南开区一模）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，在Rt△ABC中，已知：∠C=90°，∠A=60°，AC=3cm，以斜边AB的中点P为旋转中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到Rt△A′B′C′，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为　_________　cm2．
20．（2007 株洲）如图，将边长为的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转30°后得到正方形A′B′C′D′，则图中阴影部分面积为　_________　平方单位．
21．如图，在直角坐标系中，已知点P0的 ( http: / / www.21cnjy.com )坐标为（1，0），将线段OP0按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；如此下去，得到线段OP3，OP4，OPn（n为正整数），则点P6的坐标是　_________　；△P5OP6的面积是　_________　．
22．如图，平面直角坐标系中，A（4 ( http: / / www.21cnjy.com )，2）、B（3，0），将△ABO绕OA中点C逆时针旋转90°得到△A′B′O′，则A′的坐标为　_________　．
三．解答题（共4小题）
23．（2014 宿迁）如图，已知△B ( http: / / www.21cnjy.com )AD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．
（1）当A，B，C三点在同一直线上时（如图1），求证：M为AN的中点；
（2）将图1中的△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），求证：△ACN为等腰直角三角形；
（3）将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．
　
24．（2014 岳阳）数学活动﹣求重叠部分的面积
（1）问题情境：如图①，将顶角 ( http: / / www.21cnjy.com )为120°的等腰三角形纸片（纸片足够大）的顶点P与等边△ABC的内心O重合，已知OA=2，则图中重叠部分△PAB的面积为　_________　．
（2）探究1：在（1）的条件下，将纸片 ( http: / / www.21cnjy.com )绕P点旋转至如图②所示位置，纸片两边分别与AC，AB交于点E，F，图②中重叠部分的面积与图①重叠部分的面积是否相等？如果相等，请给予证明；如果不相等，请说明理由．
（3）探究2：如图③，若∠CAB=α（0°＜α＜90°），AD为∠CAB的角平分线，点P在射线AD上，且AP=2，以P为顶点的等腰三角形纸片（纸片足够大）与∠CAB的两边AC，AB分别交于点E、F，∠EPF=180°﹣α，求重叠部分的面积．（用α或的三角函数值表示）
　
25．（2014 宜兴市模拟）如图，有一张直角三角形纸片ABC，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=3，直角边AC在x轴上，B点在第二象限，A（，0），AB交y轴于E，将纸片过E点折叠使BE与EA所在直线重合，得到折痕EF（F在x轴上），再展开还原沿EF剪开得到四边形BCFE，然后把四边形BCFE从E点开始沿射线EA方向平行移动，至B点到达A点停止（记平移后的四边形为B1C1F1E1）．在平移过程中，设平移的距离BB1=x，四边形B1C1F1E1与△AEF重叠的面积为S．
（1）求折痕EF的长；
（2）平移过程中是否存在点F1落在y轴上，若存在，求出x的值；若不存在，说明理由；
（3）直接写出S与x的函数关系式及自变量x的取值范围．
　
3.2图形的旋转练习
参考答案与试题解析
　
一．选择题（共10小题）
1．（2013 莆田）如图，将Rt△ABC ( http: / / www.21cnjy.com )（其中∠B=35°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
　 A． 55° B． 70° C． 125° D． 145°
考点： 旋转的性质．
分析： 根据直角三角形两锐角互余求出∠BAC，然后求出∠BAB1，再根据旋转的性质对应边的夹角∠BAB1即为旋转角．
解答： 解：∵∠B=35°，∠C=90°，∴∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣35°=55°，∵点C、A、B1在同一条直线上，∴∠BAB′=180°﹣∠BAC=180°﹣55°=125°，∴旋转角等于125°．故选C．
点评： 本题考查了旋转的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握旋转的性质，明确对应边的夹角即为旋转角是解题的关键．
　
2．（2014 遵义一模）用数学的方式理解“当窗理云鬓，对镜贴花黄”和“坐地日行八万里”（只考虑地球的自转），其中蕴含的图形运动是（　　）
　 A． 平移和旋转 B． 对称和旋转 C． 对称和平移 D． 旋转和平移
考点： 生活中的旋转现象．
分析： 根据对称和旋转定义来判断．
解答： 解：根据对称和旋转定义可知：“当窗理云鬓，对镜贴花黄”是对称；“坐地日行八万里”是旋转．故选B．
点评： 考查学生对对称和旋转的理解能力．要理解：“对镜贴花黄”是指人和镜像的对称关系；“坐地日行八万里”是指人绕地心旋转．
　
3．（2015 泰安模拟）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，把图中的△ABC经过一定的变换得到△A′B′C′，如果图中△ABC上的点P的坐标为（a，b），那么它的对应点P′的坐标为（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
　 A． （a﹣2，b） B． （a+2，b） C． （﹣a﹣2，﹣b） D． （a+2，﹣b）
考点： 坐标与图形变化-旋转．
专题： 压轴题．
分析： 先根据图形确定出对称中心，然后根据中点公式列式计算即可得解．
解答： 解：由图可知，△ABC与△A′B′C′关于点（﹣1，0）成中心对称，设点P′的坐标为（x，y），所以，=﹣1，=0，解得x=﹣a﹣2，y=﹣b，所以，P′（﹣a﹣2，﹣b）．故选C．
点评： 本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，准确识图，观察出两三角形成中心对称，对称中心是（﹣1，0）是解题的关键．
　
4．（2014 义乌市）如图，将Rt△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1=20°，则∠B的度数是（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
　 A． 70° B． 65° C． 60° D． 55°
考点： 旋转的性质．
专题： 几何图形问题．
分析： 根据旋转的性质可得AC=A′C，然后判 ( http: / / www.21cnjy.com )断出△ACA′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠CAA′=45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠A′B′C，然后根据旋转的性质可得∠B=∠A′B′C．
解答： 解：∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，∴AC=A′C，∴△ACA′是等腰直角三角形，∴∠CAA′=45°，∴∠A′B′C=∠1+∠CAA′=20°+45°=65°，由旋转的性质得∠B=∠A′B′C=65°．故选：B．
点评： 本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
　
5．（2014 大田县质检）如图，在平面直角坐标系中，△ABC绕旋转中心顺时针旋转90°后得到△A B C ，则其旋转中心的坐标是（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
　 A． （1.5，1.5） B． （1，0） C． （1，﹣1） D． （1.5，﹣0.5）
考点： 旋转的性质．
分析： 根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相 ( http: / / www.21cnjy.com )等，可知旋转中心一定在任何一对对应点所连线段的垂直平分线上，由图形可知，线段BB′与AA′的垂直平分线的交点即为所求．
解答： 解：∵△ABC绕旋转中心顺时针旋转90°后得到△A B C ，∴A、B的对应点分别是A 、B ，又∵线段BB′的垂直平分线为x=1，线段AA′是一个边长为3的正方形的对角线，其垂直平分线是另一条对角线所在的直线，由图形可知，线段BB′与AA′的垂直平分线的交点为（1，﹣1）．故选C．
点评： 本题考查了旋转的性质及线段垂直平分线的判定．能够结合图形，找出对应点的垂直平分线是解题的关键．
　
6．（2014 宝坻区二模）如图，在Rt△A ( http: / / www.21cnjy.com )BC中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论：
①△AED≌△AEF；
②△ABE∽△ACD；
③BE+DC=DE；
④BE2+DC2=DE2．
其中一定正确的是（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
　 A． ②④ B． ①③ C． ①④ D． ②③
考点： 旋转的性质；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．
分析： 由△ADC绕点A顺时针旋转90°得△ ( http: / / www.21cnjy.com )AFB，可知△ADC≌△AFB，∠FAD=90°，由∠DAE=45°可判断∠FAE=∠DAE，可证①△AED≌△AEF．由已知条件可证△BEF为直角三角形，则有④BE2+DC2=DE2是正确的．
解答： 解：∵△ADC绕点A顺时针旋转90°得△AFB，∴△ADC≌△AFB，∠FAD=90°，∴AD=AF，∵∠DAE=45°，∴∠FAE=90°﹣∠DAE=45°，∴∠DAE=∠FAE，在△AED与△AEF中，，∴△AED≌△AEF（SAS），故①正确；∵∠BAE与∠CAD的大小无法确定，∴△ABE与△ACD是否相似无法确定，故②错误；同理，DE与BE+DC的大小也无法确定，故③错误；∵△AED≌△AEF，∴ED=FE，∠ACB=∠ABF，在Rt△ABC中，∵∠ABC+∠ACB=90°，∴∠ABC+∠ABF=90°即∠FBE=90°，∴BE2+BF2=FE2，即BE2+DC2=DE2，故④正确．故选C． ( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 本题考查的是相似三角形的判定与性质，涉及到全都三角形的判定与性质、图形旋转的性质等知识，难度适中．
　
7．（2013 攀枝花）如图，在△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C中，∠CAB=75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′=（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
　 A． 30° B． 35° C． 40° D． 50°
考点： 旋转的性质；平行线的性质；等腰三角形的性质．
专题： 几何图形问题．
分析： 根据旋转的性质可得AC=AC′，∠BAC ( http: / / www.21cnjy.com )=∠B′AC′，再根据两直线平行，内错角相等求出∠ACC′=∠CAB，然后利用等腰三角形两底角相等求出∠CAC′，再求出∠BAB′=∠CAC′，从而得解．
解答： 解：∵△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，∴AC=AC′，∠BAC=∠B′AC′，∵CC′∥AB，∠CAB=75°，∴∠ACC′=∠CAB=75°，∴∠CAC′=180°﹣2∠ACC′=180°﹣2×75°=30°，∵∠BAB′=∠BAC﹣∠B′AC，∠CAC′=∠B′AC′﹣∠B′AC，∴∠BAB′=∠CAC′=30°．故选：A．
点评： 本题考查了旋转的性质，主要利用了旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小的性质，等腰三角形两底角相等的性质，平行线的性质．
　
8．（2013 南昌）如图，将△A ( http: / / www.21cnjy.com )BC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE．若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，∠BAC的度数为（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
　 A． 60° B． 75° C． 85° D． 90°
考点： 旋转的性质．
分析： 根据旋转的性质知，旋转角∠EAC=∠ ( http: / / www.21cnjy.com )BAD=65°，对应角∠C=∠E=70°，则在直角△ABF中易求∠B=25°，所以利用△ABC的内角和是180°来求∠BAC的度数即可．
解答： 解：根据旋转的性质知，∠EAC=∠BAD=65°，∠C=∠E=70°．如图，设AD⊥BC于点F．则∠AFB=90°，∴在Rt△ABF中，∠B=90°﹣∠BAD=25°，∴在△ABC中，∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣25°﹣70°=85°，即∠BAC的度数为85°．故选C． ( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 本题考查了旋转的性质．解题的过程中，利用了三角形内角和定理和直角三角形的两个锐角互余的性质来求相关角的度数的．
　
9．（2012 十堰）如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④S四边形AOBO′=6+3；⑤S△AOC+S△AOB=6+．其中正确的结论是（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
　 A． ①②③⑤ B． ①②③④ C． ①②③④⑤ D． ①②③
考点： 旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理．
专题： 压轴题．
分析： 证明△BO′A≌△BOC，又∠OBO′ ( http: / / www.21cnjy.com )=60°，所以△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论①正确；由△OBO′是等边三角形，可知结论②正确；在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，故△AOO′是直角三角形；进而求得∠AOB=150°，故结论③正确；=S△AOO′+S△OBO′=6+4，故结论④错误；如图②，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O″点．利用旋转变换构造等边三角形与直角三角形，将S△AOC+S△AOB转化为S△COO″+S△AOO″，计算可得结论⑤正确．
解答： 解：由题意可知，∠1+∠2=∠3+∠2=60°，∴∠1=∠3，又∵OB=O′B，AB=BC，∴△BO′A≌△BOC，又∵∠OBO′=60°，∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论①正确；如图①，连接OO′，∵OB=O′B，且∠OBO′=60°，∴△OBO′是等边三角形，∴OO′=OB=4．故结论②正确；∵△BO′A≌△BOC，∴O′A=5．在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′=90°，∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°，故结论③正确；=S△AOO′+S△OBO′=×3×4+×42=6+4，故结论④错误；如图②所示，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O″点．易知△AOO″是边长为3的等边三角形，△COO″是边长为3、4、5的直角三角形，则S△AOC+S△AOB=S四边形AOCO″=S△COO″+S△AOO″=×3×4+×32=6+，故结论⑤正确．综上所述，正确的结论为：①②③⑤．故选A． ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 本题考查了旋转变换中等边三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形，直角三角形的性质．利用勾股定理的逆定理，判定勾股数3、4、5所构成的三角形是直角三角形，这是本题的要点．在判定结论⑤时，将△AOB向不同方向旋转，体现了结论①﹣结论④解题思路的拓展应用．
　
10．（2006 绵阳）如图，将△ABC绕顶点A顺时针旋转60°后，得到△AB′C′，且C′为BC的中点，则C′D：DB′=（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
　 A． 1：2 B． 1：2 C． 1： D． 1：3
考点： 旋转的性质．
专题： 压轴题．
分析： 旋转60°后，AC=AC′ ( http: / / www.21cnjy.com )，旋转角∠C′AC=60°，可证△ACC′为等边三角形；再根据BC′=CC′=AC，证明△BC′D为30°的直角三角形，寻找线段C′D与DB′之间的数量关系．
解答： 解：根据旋转的性质可知：AC=AC′，∠AC′B′=∠C=60°，∵旋转角是60°，即∠C′AC=60°，∴△ACC′为等边三角形，∴BC′=CC′=AC，∴∠B=∠C′AB=30°，∴∠BDC′=∠C′AB+∠AC′B′=90°，即B′C′⊥AB，∴BC′=2C′D，∴BC=B′C′=4C′D，∴C′D：DB′=1：3．故选D．
点评： 本题考查旋转两相等的性质，即对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．
　
二．填空题（共12小题）
11．（2014 巴中）如图，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△A0B绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是　（7，3）　．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 坐标与图形变化-旋转．
分析： 首先根据直线AB来求出点A和点B的坐标，B′的横坐标等于OA+OB，而纵坐标等于OA，进而得出B′的坐标．
解答： 解：直线y=﹣x+4与x轴，y轴分别交于A（3，0），B（0，4）两点，∵旋转前后三角形全等，∠O′AO=90°，∠B′O′A=90°∴OA=O′A，OB=O′B′，O′B′∥x轴，∴点B′的纵坐标为OA长，即为3，横坐标为OA+OB=OA+O′B′=3+4=7，故点B′的坐标是（7，3），故答案为：（7，3）．
点评： 本题主要考查了对于图形翻转的理解，其中要考虑到点B和点B′位置的特殊性，以及点B′的坐标与OA和OB的关系．
　
12．（2010 黄浦区二模）如图，在△A ( http: / / www.21cnjy.com )BC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A1B1C的位置，其中B1C⊥AB，B1C、A1B1交AB于M、N两点，则线段MN的长为　0.8　．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 旋转的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．
分析： 在Rt△ACB中，利用勾股定理可求得AB的长 ( http: / / www.21cnjy.com )，根据直角三角形面积的不同表示方法，可求得CM的值．由旋转的性质知：BC=B1C，进而可求得B1M的长，再由△B1CA1∽△B1MN即可求得MN的长．
解答： 解：Rt△ABC中，AC=4，BC=3，由勾股定理得：AB=5，由于△ABC的面积：S=AC BC=AB CM，得：CM==，由旋转的性质知：BC=B1C=3，则B1M=，∵B1C⊥AB，B1C⊥A1C，∴△B1CA1∽△B1MN，∴=，即：=即：MN=×=0.8．故答案为：0.8．
点评： 此题主要考查了旋转的性质、解直角三角形以及相似三角形的判定与性质的相关知识，难度不大．
　
13．（2014 赤峰样卷）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2．将△ABC绕点C旋转得到△EDC，使点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则图中△CDF的面积为　　．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 旋转的性质．
专题： 计算题．
分析： 先根据已知条件求出AC的长及∠B的度数，再根 ( http: / / www.21cnjy.com )据图形旋转的性质及等边三角形的判定定理判断出△BCD的形状，进而得出∠DCF的度数，由直角三角形的性质可判断出DF是△ABC的中位线，由三角形的面积公式即可得出结论．
解答： 解：∵△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，∴∠B=60°，AC=BC×cot∠A=2×=2 ，AB=2BC=4，∵△EDC是△ABC旋转而成，∴BC=CD=BD=AB=2，∵∠B=60°，∴△BCD是等边三角形，∴∠BCD=60°，∴∠DCF=∠BCA﹣∠BCD=30°，∵∠EDC=∠B=60°，∴∠DFC=90°，即DE⊥AC，∴DE∥BC，∵BD=AB=2，∴DF是△ABC的中位线，∴DF=BC=×2=1，CF=AC=×2 =，∴S△CDF=DF×CF=×=．故答案为：． ( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 本题考查的是图形旋转的性质及直角三角形的性质、三角形中位线定理及三角形的面积公式，熟知图形旋转的性质是解答此题的关键，即：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．
　
14．如图，已知Rt△ABC ( http: / / www.21cnjy.com )的周长为8，将△ABC的斜边放在定直线L上，按顺时针的方向在直线上转动两次，使它转到△A2B2C2，则AA2=　8　．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 旋转的性质．
分析： 根据旋转性质得出△ABC≌△A1 ( http: / / www.21cnjy.com )B1C1≌△A2B2C2，根据全等三角形性质得出BC=B1C1，A2B2=AB=A1B1，求出AA2=AC+B1C1+A2B2=AC+BC+AB，代入求出即可．
解答： 解：∵△ABC旋转第一次得到△A1B1C1，旋转第二次得到△A2B2C2，∴△ABC≌△A1B1C1≌△A2B2C2，∴BC=B1C1，A2B2=AB=A1B1，∴AA2=AC+B1C1+A2B2=AC+BC+AB，∵△ABC的周长是8，∴AC+BC+AB=8，∴AA2=AC+BC+AB=8，故答案为：8．
点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，旋转的性质，注意：旋转前后的图形全等，全等三角形的对应边相等．
　
15．（2014 长春模拟）如图是电脑CP ( http: / / www.21cnjy.com )U风扇的示意图．风扇共有9个叶片，每个叶片的面积约为8cm2．已知∠AOB=120°，在风扇的转动过程中，叶片落在扇形AOB内部的面积为　24cm2　．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 生活中的旋转现象．
分析： 根据旋转的性质和图形的特点求出图中∠AOB内部包含的叶片面积之和为一个叶片的面积，代入求出即可．
解答： 解：每个叶片的面积为8cm2，因而图形的面积是72cm2，∵∠AOB为120°∴叶片落在扇形AOB内部的面积是图形面积的，因而叶片落在扇形AOB内部的面积为72×=24cm2，故答案为：24cm2．
点评： 本题考查了图形的旋转与重合，理解旋转对 ( http: / / www.21cnjy.com )称图形的定义是解决本题的关键．注：旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
　
16．（2014 中山模拟）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )在△ABC中，AB=2，BC=3.5，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为　1.5　．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 旋转的性质．
分析： 由将△ABC绕点A按顺时针旋转一 ( http: / / www.21cnjy.com )定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上，可得AD=AB，又由∠B=60°，可证得△ABD是等边三角形，继而可得BD=AB=2，则可求得答案．
解答： 解：由旋转的性质可得：AD=AB，∵∠B=60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB，∵AB=2，BC=3.5，∴CD=BC﹣BD=3.5﹣2=1.5．故答案为：1.5．
点评： 此题考查了旋转的性质以及等边三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．
　
17．（2013 聊城）如图，在等边△ABC中，AB=6，D是BC的中点，将△ABD绕点A旋转后得到△ACE，那么线段DE的长度为　3　．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 旋转的性质；等边三角形的判定与性质．
专题： 几何图形问题．
分析： 首先，利用等边三角形的性质求得AD=3；然后根据旋转的性质、等边三角形的性质推知△ADE为等边三角形，则DE=AD．
解答： 解：如图，∵在等边△ABC中，∠B=60°，AB=6，D是BC的中点，∴AD⊥BD，∠BAD=∠CAD=30°，∴AD=ABcos30°=6×=3．根据旋转的性质知，∠EAC=∠DAB=30°，AD=AE，∴∠DAE=∠EAC+∠CAD=60°，∴△ADE的等边三角形，∴DE=AD=3，即线段DE的长度为3．故答案为：3．
点评： 本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )．旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．
　
18．（2012 开平区二模）已知：如图，在平面直角坐标系xoy中，点B1、点C1的坐标分别为（1，0），（1，），将△OB1C1绕原点O逆时针旋转60°，再将其各边都扩大为原来的m倍，使OB2=OC1，得到△OB2C2．将△OB2C2绕原点O逆时针旋转60°，再将其各边都扩大为原来的m倍，使OB3=OC2，得到△OB3C3，如此下去，得到△OB2011C2011，则点C2011的坐标：　（22010，22010）　．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 坐标与图形变化-旋转．
专题： 压轴题；规律型．
分析： 可得旋转5次后，正好旋转一周，那么可得点C2011的坐标跟C1的坐标在一条射线上，其横纵坐标均为原来的2010倍．
解答： 解：∵每一次的旋转角是60°，∴旋转5次后C在x轴正半轴上，∴2011÷5=402…1，∴点C2011的坐标跟C1的坐标在一条射线上，∵第2次旋转后，各边长是原来的2倍，第3次旋转后，各边长是原来的22倍，∴点C2011的横纵坐标均为原来的2010倍．故答案为：（22010，22010）．
点评： 本题考查了坐标与图形变化﹣旋转及规律旋转后点的坐标，得到所求点的位置是解决本题的突破点；得到坐标的规律是解决本题的难点．
　
19．（2011 南开区一模）如图，在Rt△ABC中，已知：∠C=90°，∠A=60°，AC=3cm，以斜边AB的中点P为旋转中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到Rt△A′B′C′，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为　　cm2．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 旋转的性质；直角三角形全等的判定．
专题： 压轴题．
分析： 根据已知及勾股定理求得DP的长，再 ( http: / / www.21cnjy.com )根据全等三角形的判定得到△B′PH≌△BPD，从而根据直角三角形的性质求得GH，BG的长，从而不难求得旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积．
解答： 解：在直角△DPB中，BP=AP=AC=3，∵∠A=60°，∴DP2+BP2=BD2，∴x2+32=（2x）2，∴DP=x=，∵B′P=BP，∠B=∠B′，∠B′PH=∠BPD=90°，∴△B′PH≌△BPD，∴PH=PD=，∵在直角△BGH中，BH=3+，∴GH=，BG=，∴S△BGH=××=，S△BDP=×3×=，∴SDGHP==cm2． ( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 此题考查勾股定理，三角形的全等的判定及性质，旋转的性质等知识的综合运用．
　
20．（2007 株洲）如图，将边长为的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转30°后得到正方形A′B′C′D′，则图中阴影部分面积为　（）　平方单位．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 旋转的性质；正方形的性质．
专题： 压轴题．
分析： 根据正边形的性质求出DM的长，再求得四边形ADMB′的面积，然后由旋转的性质求得阴影部分面积．
解答： 解：设CD、B′C′相交于点M，DM=x，∴∠MAD=30°，AM=2x，∴x2+3=4x2，解得x=1，∴SADMB′=，∴图中阴影部分面积为（3﹣）平方单位． ( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 本题要把旋转的性质和正方形的性质结合求解．旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，注意方程思想的运用．
　
21．如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将线段OP0按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；如此下去，得到线段OP3，OP4，OPn（n为正整数），则点P6的坐标是　（0，﹣64）　；△P5OP6的面积是　　．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 坐标与图形变化-旋转．
专题： 压轴题；规律型．
分析： 解题的关键是抓住旋转的三要素：旋转中心原点，旋转方向逆时针，旋转角度．
解答： 解：过P5作P5N⊥轴于N，P5M⊥y轴于M，∵线段OP0按逆时针方向每次旋转45°， ( http: / / www.21cnjy.com )∴旋转6次是45°×6=270°，∴P6在y轴的负半轴，OP5=25，OP6=26，由勾股定理得：ON=P5N=16=P5M，∴P5（﹣16，﹣16），P6（0，﹣64），∴△P5OP6的面积是OP6×P5M=×64×16=512．
点评： 本题将一个图形的旋转放在坐标系中来考 ( http: / / www.21cnjy.com )查，是一道考查数与形结合的好试题，也为高中后续学习做了良好的铺垫．从考试情况看，还有非常多考生没完全理解旋转的三大要素即中心、方向、角度，故失分的较多．本题综合考查学生旋转和坐标知识．
　
22．如图，平面直角坐标系中，A（4， ( http: / / www.21cnjy.com )2）、B（3，0），将△ABO绕OA中点C逆时针旋转90°得到△A′B′O′，则A′的坐标为　（1，3）　．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 坐标与图形变化-旋转；勾股定理．
专题： 压轴题．
分析： 过A'作O'B'的垂线交y轴于点N，根据勾股定理求得ON与A′N的长度即可．
解答： 解：如图过A'作O'B'的垂线交y轴于点N，∵点A到OB的距离是2，∴点A'到O'B'的距离A'M=2，故A'N=MN﹣A'M=OB﹣A'M=3﹣2=1，由勾股定理得OA=2，∴A'C=OC=，由勾股定理OA'=，在Rt△OA'N中，用勾股定理得ON=3，∴A'（1，3）． ( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 本题涉及图形变换，旋转，体现了新课标的精神，抓住旋转的三要素：旋转中心C，旋转方向逆时针，旋转角度90°，通过画图计算得A′．
　
三．解答题（共4小题）
23．（2014 宿迁） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．
（1）当A，B，C三点在同一直线上时（如图1），求证：M为AN的中点；
（2）将图1中的△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），求证：△ACN为等腰直角三角形；
（3）将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 几何变换综合题；平行线的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；多边形内角与外角．
专题： 几何综合题；压轴题．
分析： （1）由EN∥AD和点M ( http: / / www.21cnjy.com )为DE的中点可以证到△ADM≌△NEM，从而证到M为AN的中点．（2）易证AB=DA=NE，∠AB ( http: / / www.21cnjy.com )C=∠NEC=135°，从而可以证到△ABC≌△NEC，进而可以证到AC=NC，∠ACN=∠BCE=90°，则有△ACN为等腰直角三角形．（3）借鉴（2）中的解题经验可得AB=DA=NE，∠ABC=∠NEC=180°﹣∠CBN，从而可以证到△ABC≌△NEC，进而可以证到AC=NC，∠ACN=∠BCE=90°，则有△ACN为等腰直角三角形．
解答： （1）证明：如图1，∵EN∥AD，∴∠MAD=∠MNE，∠ADM=∠NEM．∵点M为DE的中点，∴DM=EM．在△ADM和△NEM中，∴．∴△ADM≌△NEM．∴AM=MN．∴M为AN的中点．（2）证明：如图2，∵△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∴AB=AD，CB=CE，∠CBE=∠CEB=45°．∵AD∥NE，∴∠DAE+∠NEA=180°．∵∠DAE=90°，∴∠NEA=90°．∴∠NEC=135°．∵A，B，E三点在同一直线上，∴∠ABC=180°﹣∠CBE=135°．∴∠ABC=∠NEC．∵△ADM≌△NEM（已证），∴AD=NE．∵AD=AB，∴AB=NE．在△ABC和△NEC中，∴△ABC≌△NEC．∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．∴∠ACN=∠BCE=90°．∴△ACN为等腰直角三角形．（3）△ACN仍为等腰直角三角形．证明：如图3，此时A、B、N三点在同一条直线上．∵AD∥EN，∠DAB=90°，∴∠ENA=∠DAN=90°．∵∠BCE=90°，∴∠CBN+∠CEN=360°﹣90°﹣90°=180°．∵A、B、N三点在同一条直线上，∴∠ABC+∠CBN=180°．∴∠ABC=∠NEC．∵△ADM≌△NEM（已证），∴AD=NE．∵AD=AB，∴AB=NE．在△ABC和△NEC中，∴△ABC≌△NEC．∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．∴∠ACN=∠BCE=90°．∴△ACN为等腰直角三角形． ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质、 ( http: / / www.21cnjy.com )平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、多边形的内角与外角等知识，渗透了变中有不变的辩证思想，是一道好题．
　
24．（2014 岳阳）数学活动﹣求重叠部分的面积
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（1）问题情境：如图①，将顶角为120°的等腰三角形纸片（纸片足够大）的顶点P与等边△ABC的内心O重合，已知OA=2，则图中重叠部分△PAB的面积为　　．
（2）探究1：在（1）的条件下， ( http: / / www.21cnjy.com )将纸片绕P点旋转至如图②所示位置，纸片两边分别与AC，AB交于点E，F，图②中重叠部分的面积与图①重叠部分的面积是否相等？如果相等，请给予证明；如果不相等，请说明理由．
（3）探究2：如图③，若∠CAB=α（0°＜α＜90°），AD为∠CAB的角平分线，点P在射线AD上，且AP=2，以P为顶点的等腰三角形纸片（纸片足够大）与∠CAB的两边AC，AB分别交于点E、F，∠EPF=180°﹣α，求重叠部分的面积．（用α或的三角函数值表示）
考点： 几何变换综合题．
专题： 探究型．
分析： （1）由点O是等边三角形ABC的内 ( http: / / www.21cnjy.com )心可以得到∠OAB=∠OBA=30°，结合条件OA=2即可求出重叠部分的面积．（2）由旋转可得∠FOE=∠BOA，从而得到∠EOA=∠FOB，进而可以证到△EOA≌△FOB，因而重叠部分面积不变．（3）在射线AB上取一点G，使得PG=PA，过点P作PH⊥AF，垂足为H，方法同（2），可以证到重叠部分的面积等于△PAG的面积，只需求出△PAG的面积就可解决问题．
解答： 解：（1）过点O作ON⊥AB，垂足为N，如图①，∵△ABC为等边三角形，∴∠CAB=∠CBA=60°．∵点O为△ABC的内心∴∠OAB=∠CAB，∠OBA=∠CBA．∴∠OAB=∠OBA=30°．∴OB=OA=2．∵ON⊥AB，∴AN=NB，PN=1．∴AN=∴AB=2AN=2．∴S△OAB=AB PN=．故答案为：．（2）图②中重叠部分的面积与图①重叠部分的面积相等．证明：连接AO、BO，如图②，由旋转可得：∠EOF=∠AOB，则∠EOA=∠FOB．在△EOA和△FOB中，∴△EOA≌△FOB．∴S四边形AEOF=S△OAB．∴图②中重叠部分的面积与图①重叠部分的面积相等．（3）在射线AB上取一点G，使得PG=PA，过点P作PH⊥AF，垂足为H，如图③，则有AH=GH=AG．∵∠CAB=α，AD为∠CAB的角平分线，∴∠PAE=∠PAF=∠CAB=．∵PG=PA，∴∠PGA=∠PAG=．∴∠APG=180°﹣α．∵∠EPF=180°﹣α，∴∠EPF=∠APG．同理可得：S四边形AEPF=S△PAG．∵AP=2，∴PH=2sin，AH=2cos．∴AG=2AH=4cos．∴S△PAG=AG PH=4sincos．∴重叠部分的面积为：S面积=4sincos． ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 本题属于探究性试题，考查了 ( http: / / www.21cnjy.com )旋转的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角函数的定义、全等三角形的判定与性质、三角形的内心、三角形的内角和定理、勾股定理等知识，有一定的综合性．另外，在解决问题的过程中，常常可以借鉴已证的结论和已有的解题经验来解决新的问题．
　
25．（2014 宜兴市模拟）如图，有一张直角三角形纸片ABC，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=3，直角边AC在x轴上，B点在第二象限，A（，0），AB交y轴于E，将纸片过E点折叠使BE与EA所在直线重合，得到折痕EF（F在x轴上），再展开还原沿EF剪开得到四边形BCFE，然后把四边形BCFE从E点开始沿射线EA方向平行移动，至B点到达A点停止（记平移后的四边形为B1C1F1E1）．在平移过程中，设平移的距离BB1=x，四边形B1C1F1E1与△AEF重叠的面积为S．
（1）求折痕EF的长；
（2）平移过程中是否存在点F1落在y轴上，若存在，求出x的值；若不存在，说明理由；
（3）直接写出S与x的函数关系式及自变量x的取值范围．
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考点： 几何变换综合题．
分析： （1）运用30°的角的直角三角形求解即可．（2）作B1D⊥BC，由（1）可得FO=，所以B1D=，在直角三角形中可求出BB1，即x的值．（3）分4种情况讨论①当0≤x≤2时，即点E到A时经过的面积，②当2＜x≤时，S为△AEF的面积，③当＜x≤4时，④当4＜x≤6时，根据四边形B1C1F1E1与△AEF重叠的面积为S与x关系求出表达式及自变量x的取值范围．
解答： 解：（1）∵∠ACB=90°，∠B=60°，∴∠BAC=30°，∵A（，0），∴EO=1，∵∠EFO=60°，∠EOF=90°，∴EF==，（2）存在，如图1，作B1D⊥BC， ( http: / / www.21cnjy.com )∵FO=，∴B1D=，∠B=60°∴BB1==，即x=，（3）①当0≤x≤2时，即点E到A时经过的面积，如图2， ( http: / / www.21cnjy.com )∵AO=，∠ACB=90°，∠B=60°，∴AE=2，∵BB1=EE1=x，∴E1A=2﹣x，∴E1M=（2﹣x），∴S=（EF+E1M） E1E=[+（2﹣x）] x=﹣x2+x②当2＜x≤时，S为△AEF的面积，所以S=EF AE=××2=，③当＜x≤4时，如图3 ( http: / / www.21cnjy.com )∵∠ACB=90°，∠B=60°，BC=3，∴AC=3，∵AO=，OF=，∴CF=3﹣﹣=，∴此时BB1=，即当B1C1过点F时x=，当x＞，时，FM=（x﹣），在RT△NMF中，NM=FM=（x﹣），∴△NMF的面积为：FM MN=×（x﹣）×（x﹣），∴S=S△AEF﹣S△NMF=﹣×（x﹣）×（x﹣）=﹣x2+x﹣，④当4＜x≤6时，如图4， ( http: / / www.21cnjy.com )∵∠ACB=90°，∠B=60°，BC=3，∴AB=6，AB1=6﹣x，∴DB1=（6﹣x），AD=（6﹣x），∴S=DA DB1=×（6﹣x）×（6﹣x）=x2﹣x+．
点评： 本题主要考查了几何变换综合题，涉及直角三角形，梯形面积，三角形面积及坐标轴，第三小题是难点解题的关键是要分4种情况讨论．
　
26．（2014 大港区二模） ( http: / / www.21cnjy.com )如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O（0，0），A（8，0），C（0，4），点P是OA边上的动点（与点O、A不重合），将△PAB沿PB翻折，得到△PDB，
( http: / / www.21cnjy.com )
（Ⅰ）如图1，当∠BPA=30°时，求点D的坐标；
（Ⅱ）现在OC边上选取适当的点E，再将△ ( http: / / www.21cnjy.com )POE沿PE翻折，得到△PEF．并使直线PD、PF重合．如图2，设P（x，0），E（0，y），求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点F恰好落在边CB上时，求点P的坐标．（直接写出结果即可）．
考点： 几何变换综合题．
分析： （1）过点D作x轴的垂线，利用RT△ ( http: / / www.21cnjy.com )PAB中，∠PAB=90°，∠BPA=30°，得出边的长，再利用RT△PQD求DQ及OQ，得出D点的坐标，（2）RT△POE∽RT△BAP，得出=，利用比例式得出y关于x的函数关系式，并根据y关于x的函数关系式得出y的最大值，（3）过P作PN⊥CB于点N，利用△CEF∽△NFP，得出比例式=，利用比例式求得y与x的关系式，再与（Ⅱ）中的函数关系式，求出x的值，从而得出点P的坐标．
解答： 解：（Ⅰ）如图1，过点D作x轴的垂线，垂足为点Q， ( http: / / www.21cnjy.com )根据题意，在RT△PAB中，∠PAB=90°，∠BPA=30°，AB=4，PB=8，AP=4，在RT△PBD中，由题意∠PDB=90°，∠DPA=2∠BPA=60°，∠PDQ=30°，所以PQ=PA=2=AQ，DQ=PQ×=2×=6，OQ=8﹣AQ=8﹣2，所以D点的坐标为（8﹣2，6）（Ⅱ）如图2， ( http: / / www.21cnjy.com )由已知PB平分∠APD，PE平分∠OPF，且PD，PE垂直，则∠BPE=90°，∴∠OPE+∠APB═90°，又∵∠APB+∠ABP=90°，∴∠OPE=∠PBA，∴RT△POE∽RT△BAP，∴=，即=，∴y=x（8﹣x）=﹣x2+2x=﹣（x﹣4）2+4，（0＜x＜8）且当x=4时，y有最大值为4，（Ⅲ）P点的坐标为（4，0），（，0） ( http: / / www.21cnjy.com )过P作PN⊥CB于点N，∴∠ECF=∠FNP=90°，∴∠CEF+∠EFC=90°，∵∠EFC+∠PFN=90°∴∠CEF=∠PFN，∴△CEF∽△NFP，∴=CF===2．∴=即2y﹣4=，将y=﹣x2+2x代入得：8（﹣x2+2x）﹣16=x2﹣16+64整理得3x2﹣32x+80=0，解得x1=4，x2=∴P点的坐标为（4，0），（，0）．
点评： 本题主要考查了几何变换综合题．涉及相似三角形，二次函数及勾股定理，解题的关键是利用图形翻折后角及边不变的性质解题．