第三章函数的概念与性质 单元测试 2024届高三数学一轮复习(含答案)

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名称 第三章函数的概念与性质 单元测试 2024届高三数学一轮复习(含答案)
格式 docx
文件大小 89.0KB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2023-12-03 09:39:10

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第三章函数的概念与性质单元测试2024届高三数学一轮复习
一.选择题(共8小题)
1.下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递减的是(  )
A. B.f(x)=x2 C.f(x)=2x D.f(x)=|x|
2.下列函数:①;②;③y=1(﹣1≤x<1);④y=x0.其中与函数y=1是同一个函数的个数是(  )
A.3 B.2 C.1 D.0
3.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x≥0时,f(x)=x+cosx﹣1,则x<0时,f(x)=(  )
A.x﹣cosx+1 B.﹣x+cosx﹣1 C.x+cosx﹣1 D.﹣x﹣cosx+1
4.下列函数中,值域不为R的函数是(  )
A.y=x3 B.y=3x C.y=log3x D.y=tan3x
5.已知函数是幂函数,且在(0,+∞)上是减函数,则实数m=(  )
A.2 B.﹣1 C.4 D.2或﹣1
6.已知函数,则“a≥2”是“f(x)在R上单调递增”的(  )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分又不必要条件
7.德国著名数学家狄利克雷是解析数学的创始人,以其名字命名的函数称为狄利克雷函数,其解析式为D(x)=,则下列关于狄利克需函数的说法正确的是(  )
A.D(x)既不是奇函数又不是偶函数
B.对于任意的实数x,y,D(x+y)≤D(x)+D(y)
C.对任意实数x,D(D(x))=1
D.若x∈R,则不等式x2﹣4D(x)x+3<0的解集为{x|1<x<3}
8.已知函数f(x)的定义域为R,f(2﹣x)=f(2+x),f(5)=2,且 x1,x2∈(﹣∞,2],当x1≠x2时,,则不等式f(x)+4x+3>x2的解集为(  )
A.{x|x<﹣1或x>5} B.{x|﹣1<x<5}
C.{x|x<﹣5或x>5} D.{x|﹣5<x<5}
二.多选题(共4小题)
(多选)9.下列各组函数表示相同函数的有(  )
A.,g(x)=|x|
B.f(x)=1,g(x)=x0
C.,
D.,g(t)=|t|
(多选)10.若幂函数f(x)=(m﹣1)xα的图像经过点(8,2),则(  )
A.α=3
B.m=2
C.函数f(x)的定义域为{x|x≠0}
D.函数f(x)的值域为R
(多选)11.若函数f(x)在定义域D内的某区间M上单调递增,且在M上也单调递增,则称f(x)在M上是“强增函数”,则下列说法正确的是(  )
A.若函数,则存在M使f(x)是“强增函数”
B.若函数f(x)=x2+x3,则f(x)为定义在R上的“强增函数”
C.若函数f(x)=2x,则存在区间M,使f(x)在M上不是“强增函数”
D.若函数f(x)=x2+(a﹣3)x+a 在区间[1,+∞)上是“强增函数”,则a=1
(多选)12.已知函数,则下列结论正确的是(  )
A.f(e)>f(2)
B.f(x)在R上为增函数
C.若f(x)的值域为(﹣∞,0)∪(1,+∞)
D.方程f(x)+x﹣3=0有且仅有两个解
三.填空题(共5小题)
13.幂函数f(x)=(m2﹣2m﹣2)xm在区间(0,+∞)上单调递增,则实数m的值为    .
14.函数y=[x]称为高斯函数,其中[x]表示不超过实数x的最大整数,例如[2.3]=2,[5]=5,当x∈(0,2)时,函数y=[x] x的值域为    .
15.已知函数f(x)=是定义在R上的增函数,则a的取值范围是    .
16.函数f(x)=,若当a=5时,存在实数m,使得f(m)=0,则22m+1的值为    ;若f(x)存在最大值,则实数a的最小值为    .
17.函数f(x)是定义在R上的函数,且f(x+1)为偶函数,f(x+2)是奇函数,当x∈[0,1]时,f(x)=3x﹣1,则f(2023)=   .
四.解答题(共5小题)
18.已知幂函数f(x)=(﹣3m2﹣2m+2)x1+3m在(0,+∞)上为增函数.
(1)求f(x)解析式;
(2)若函数y=f(x)﹣(2a+1)x+a2﹣1在区间(2,3)上为单调函数,求实数a的取值范围.
19.已知幂函数f(x)=(m2﹣5m+7)xm为奇函数.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若函数g(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,g(x)=f(x)﹣x2,求函数g(x)的解析式.
20.已知函数.
(1)求与f(﹣2)的值;
(2)若,求a的取值范围;
(3)当m<0时,f(m﹣2)﹣f(2m)>0,求m的取值范围.
21.已知函数f(x)=ln(e2x+m)﹣x(e为自然对数的底数,且e≈2.71828).
(1)当m=1时,判断f(x)的奇偶性并证明;
(2)若函数的图像上存在两点A,B,其关于y轴的对称点A′,B′恰在函数f(x)的图像上,求实数m的取值范围.
22.设函数f(x),g(x)具有如下性质:
①定义域均为R;
②f(x)为奇函数,g(x)为偶函数;
③f(x)+g(x)=ex(常数e是自然对数的底数,e=2.71828…).
利用上述性质,解决以下问题:
(1)求函数f(x),g(x)的解析式;
(2)证明:对任意实数x,[f(x)]2﹣[g(x)]2为定值,并求出这个定值;
(3)已知m∈R,记函数y=2m g(2x)﹣4f(x),x∈[﹣1,0]的最小值为φ(m),求φ(m).
参考答案
一.选择题(共8小题)
1--8ADABA CCB
二.多选题(共4小题)
9.AD
10.BD
11.ACD
12.ACD
三.填空题(共5小题)
13.3
14.{0,4}∪[1,2)
15.[1,3]
16.18,0.
17.﹣2
四.解答题(共5小题)
18.解:(1)∵幂函数解析式为f(x)=(﹣3m2﹣2m+2)x1+3m,
∴﹣3m2﹣2m+2=1,解得 m=﹣1,或 m=,
当 m=﹣1时,f(x)=x﹣2=,在(0,+∞)上为减函数,不合题意,舍去;
当m=时,f(x)=x2 在(0,+∞)上为增函数,符合题意,
∴f(x)=x2.
(2)∵函数y=f(x)﹣(2a+1)x+a2﹣1在区间(2,3)上为单调函数,
函数图象的对称轴为x=,∴≤2,或 ≥3.
解得 a≤,或 a≥,
∴实数a的取值范围为{a|a≤,或 a≥}.
19.解:(1)因为f(x)为幂函数,所以m2﹣5m+7=1,解得m=2或m=3;
当m=2时,f(x)=x2是偶函数,不是奇函数;
当m=3时,f(x)=x3是奇函数,所以m=3.
故f(x)的解析式f(x)=x3.
(2)由(1)得,当x≥0时,g(x)=f(x)﹣x2=x3﹣x2,
对于x<0,则﹣x>0,g(﹣x)=(﹣x)3﹣(﹣x)2=﹣x3﹣x2,
又因为函数g(x)是定义在R上的偶函数,
所以g(﹣x)=g(x),
所以g(x)=﹣x3﹣x2(x<0),
所以函数g(x)的解析式.
20.解:(1),.
(2)若a>0,,解得,
若a≤0,,即22a>2﹣1,解得,
所以a的取值范围为.
(3)当m<0时,f(m﹣2)﹣f(2m)=4m﹣2﹣42m>0,
即4m﹣2>42m,解得m<﹣2,所以m的取值范围为(﹣∞,﹣2).
21.解:(1)当m=1时,f(x)=ln(e2x+1)﹣x,为偶函数,证明如下:
函数f(x)的定义域为R,
且,
所以f(x)为偶函数.
(2)函数的定义域为(ln3,+∞),
设函数关于y轴对称的函数为h(x),
设(x,y)是h(x)上的任意一点,则(﹣x,y)在函数图像上,即,
所以h(x)=ln(1﹣3ex),x<﹣ln3,
因为函数的图像上存在两点A,B,其关于y轴的对称点A′,B′恰在函数f(x)的图像上,
所以方程h(x)=f(x)至少有两个实数根,即ln(1﹣3ex)=ln(e2x+m)﹣x至少有两个实数根,
ln(e2x+m)﹣x=ln(e2x+m)﹣lnex=ln(ex+me﹣x),
所以ln(1﹣3ex)=ln(ex+me﹣x)至少有两个实数根,
即1﹣3ex=ex+me﹣x在(﹣∞,﹣ln3)上至少有两个实数根,
所以ex﹣4e2x=m在(﹣∞,﹣ln3)上至少有两个实数根,
令,则﹣4t2=m在上至少有两个实数根,
所以函数y=t﹣4t2,与y=m图像有两个交点,
因为,当时,,
当t=0时,y=0,
当时,函数y=t﹣4t2,与y=m图像恰有两个交点,
所以实数m的取值范围为.
22.(1)解:由性质③知f(x)+g(x)=ex,∴f(﹣x)+g(﹣x)=e﹣x,
由性质②知,f(﹣x)=﹣f(x),g(﹣x)=g(x),∴﹣f(x)+g(x)=e﹣x,
即,解得f(x)=,g(x)=.
(2)证明:由(1)可得:[f(x)]2﹣[g(x)]2=
===﹣1.
(3)解:函数y=2m g(2x)﹣4f(x)=m(e2x+e﹣2x)﹣2(ex﹣e﹣x),
设t=ex﹣e﹣x,由x∈[﹣1,0],可得t∈[,0],且e2x+e﹣2x=t2+2,
原函数化为h(t)=m(t2+2)﹣2t=mt2﹣2t+2m,t∈[,0],
当m=0时,h(t)=﹣2t,在[,0]上单调递减,此时h(t)min=h(0)=0;
当m≠0时,函数h(t)的对称轴为t=,
当m>0时,则>0,h(t)在[,0]上单调递减,此时h(t)min=h(0)=2m;
当<<0,即m<时,=;
当≤,即≤m<0时,h(t)min=h(0)=2m.
综上所述,