第三章函数的概念与性质 单元测试 2024届高三数学一轮复习（含答案）

第三章函数的概念与性质单元测试2024届高三数学一轮复习
一．选择题（共8小题）
1．下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递减的是（　　）
A． B．f（x）＝x2 C．f（x）＝2x D．f（x）＝|x|
2．下列函数：①；②；③y＝1（﹣1≤x＜1）；④y＝x0．其中与函数y＝1是同一个函数的个数是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
3．已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x+cosx﹣1，则x＜0时，f（x）＝（　　）
A．x﹣cosx+1 B．﹣x+cosx﹣1 C．x+cosx﹣1 D．﹣x﹣cosx+1
4．下列函数中，值域不为R的函数是（　　）
A．y＝x3 B．y＝3x C．y＝log3x D．y＝tan3x
5．已知函数是幂函数，且在（0，+∞）上是减函数，则实数m＝（　　）
A．2 B．﹣1 C．4 D．2或﹣1
6．已知函数，则“a≥2”是“f（x）在R上单调递增”的（　　）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分又不必要条件
7．德国著名数学家狄利克雷是解析数学的创始人，以其名字命名的函数称为狄利克雷函数，其解析式为D（x）＝，则下列关于狄利克需函数的说法正确的是（　　）
A．D（x）既不是奇函数又不是偶函数
B．对于任意的实数x，y，D（x+y）≤D（x）+D（y）
C．对任意实数x，D（D（x））＝1
D．若x∈R，则不等式x2﹣4D（x）x+3＜0的解集为{x|1＜x＜3}
8．已知函数f（x）的定义域为R，f（2﹣x）＝f（2+x），f（5）＝2，且 x1，x2∈（﹣∞，2]，当x1≠x2时，，则不等式f（x）+4x+3＞x2的解集为（　　）
A．{x|x＜﹣1或x＞5} B．{x|﹣1＜x＜5}
C．{x|x＜﹣5或x＞5} D．{x|﹣5＜x＜5}
二．多选题（共4小题）
（多选）9．下列各组函数表示相同函数的有（　　）
A．，g（x）＝|x|
B．f（x）＝1，g（x）＝x0
C．，
D．，g（t）＝|t|
（多选）10．若幂函数f（x）＝（m﹣1）xα的图像经过点（8，2），则（　　）
A．α＝3
B．m＝2
C．函数f（x）的定义域为{x|x≠0}
D．函数f（x）的值域为R
（多选）11．若函数f（x）在定义域D内的某区间M上单调递增，且在M上也单调递增，则称f（x）在M上是“强增函数”，则下列说法正确的是（　　）
A．若函数，则存在M使f（x）是“强增函数”
B．若函数f（x）＝x2+x3，则f（x）为定义在R上的“强增函数”
C．若函数f（x）＝2x，则存在区间M，使f（x）在M上不是“强增函数”
D．若函数f（x）＝x2+（a﹣3）x+a 在区间[1，+∞）上是“强增函数”，则a＝1
（多选）12．已知函数，则下列结论正确的是（　　）
A．f（e）＞f（2）
B．f（x）在R上为增函数
C．若f（x）的值域为（﹣∞，0）∪（1，+∞）
D．方程f（x）+x﹣3＝0有且仅有两个解
三．填空题（共5小题）
13．幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm在区间（0，+∞）上单调递增，则实数m的值为 　 　．
14．函数y＝[x]称为高斯函数，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，例如[2.3]＝2，[5]＝5，当x∈（0，2）时，函数y＝[x] x的值域为 　 　．
15．已知函数f（x）＝是定义在R上的增函数，则a的取值范围是 　 　．
16．函数f（x）＝，若当a＝5时，存在实数m，使得f（m）＝0，则22m+1的值为 　 　；若f（x）存在最大值，则实数a的最小值为 　 　．
17．函数f（x）是定义在R上的函数，且f（x+1）为偶函数，f（x+2）是奇函数，当x∈[0，1]时，f（x）＝3x﹣1，则f（2023）＝　 　．
四．解答题（共5小题）
18．已知幂函数f（x）＝（﹣3m2﹣2m+2）x1+3m在（0，+∞）上为增函数．
（1）求f（x）解析式；
（2）若函数y＝f（x）﹣（2a+1）x+a2﹣1在区间（2，3）上为单调函数，求实数a的取值范围．
19．已知幂函数f（x）＝（m2﹣5m+7）xm为奇函数．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，g（x）＝f（x）﹣x2，求函数g（x）的解析式．
20．已知函数．
（1）求与f（﹣2）的值；
（2）若，求a的取值范围；
（3）当m＜0时，f（m﹣2）﹣f（2m）＞0，求m的取值范围．
21．已知函数f（x）＝ln（e2x+m）﹣x（e为自然对数的底数，且e≈2.71828）．
（1）当m＝1时，判断f（x）的奇偶性并证明；
（2）若函数的图像上存在两点A，B，其关于y轴的对称点A′，B′恰在函数f（x）的图像上，求实数m的取值范围．
22．设函数f（x），g（x）具有如下性质：
①定义域均为R；
②f（x）为奇函数，g（x）为偶函数；
③f（x）+g（x）＝ex（常数e是自然对数的底数，e＝2.71828…）．
利用上述性质，解决以下问题：
（1）求函数f（x），g（x）的解析式；
（2）证明：对任意实数x，[f（x）]2﹣[g（x）]2为定值，并求出这个定值；
（3）已知m∈R，记函数y＝2m g（2x）﹣4f（x），x∈[﹣1，0]的最小值为φ（m），求φ（m）.
参考答案
一．选择题（共8小题）
1--8ADABA CCB
二．多选题（共4小题）
9．AD
10．BD
11．ACD
12．ACD
三．填空题（共5小题）
13．3
14．{0，4}∪[1，2）
15．[1，3]
16．18，0．
17．﹣2
四．解答题（共5小题）
18．解：（1）∵幂函数解析式为f（x）＝（﹣3m2﹣2m+2）x1+3m，
∴﹣3m2﹣2m+2＝1，解得 m＝﹣1，或 m＝，
当 m＝﹣1时，f（x）＝x﹣2＝，在（0，+∞）上为减函数，不合题意，舍去；
当m＝时，f（x）＝x2 在（0，+∞）上为增函数，符合题意，
∴f（x）＝x2．
（2）∵函数y＝f（x）﹣（2a+1）x+a2﹣1在区间（2，3）上为单调函数，
函数图象的对称轴为x＝，∴≤2，或 ≥3．
解得 a≤，或 a≥，
∴实数a的取值范围为{a|a≤，或 a≥}．
19．解：（1）因为f（x）为幂函数，所以m2﹣5m+7＝1，解得m＝2或m＝3；
当m＝2时，f（x）＝x2是偶函数，不是奇函数；
当m＝3时，f（x）＝x3是奇函数，所以m＝3．
故f（x）的解析式f（x）＝x3．
（2）由（1）得，当x≥0时，g（x）＝f（x）﹣x2＝x3﹣x2，
对于x＜0，则﹣x＞0，g（﹣x）＝（﹣x）3﹣（﹣x）2＝﹣x3﹣x2，
又因为函数g（x）是定义在R上的偶函数，
所以g（﹣x）＝g（x），
所以g（x）＝﹣x3﹣x2（x＜0），
所以函数g（x）的解析式．
20．解：（1），．
（2）若a＞0，，解得，
若a≤0，，即22a＞2﹣1，解得，
所以a的取值范围为．
（3）当m＜0时，f（m﹣2）﹣f（2m）＝4m﹣2﹣42m＞0，
即4m﹣2＞42m，解得m＜﹣2，所以m的取值范围为（﹣∞，﹣2）．
21．解：（1）当m＝1时，f（x）＝ln（e2x+1）﹣x，为偶函数，证明如下：
函数f（x）的定义域为R，
且，
所以f（x）为偶函数．
（2）函数的定义域为（ln3，+∞），
设函数关于y轴对称的函数为h（x），
设（x，y）是h（x）上的任意一点，则（﹣x，y）在函数图像上，即，
所以h（x）＝ln（1﹣3ex），x＜﹣ln3，
因为函数的图像上存在两点A，B，其关于y轴的对称点A′，B′恰在函数f（x）的图像上，
所以方程h（x）＝f（x）至少有两个实数根，即ln（1﹣3ex）＝ln（e2x+m）﹣x至少有两个实数根，
ln（e2x+m）﹣x＝ln（e2x+m）﹣lnex＝ln（ex+me﹣x），
所以ln（1﹣3ex）＝ln（ex+me﹣x）至少有两个实数根，
即1﹣3ex＝ex+me﹣x在（﹣∞，﹣ln3）上至少有两个实数根，
所以ex﹣4e2x＝m在（﹣∞，﹣ln3）上至少有两个实数根，
令，则﹣4t2＝m在上至少有两个实数根，
所以函数y＝t﹣4t2，与y＝m图像有两个交点，
因为，当时，，
当t＝0时，y＝0，
当时，函数y＝t﹣4t2，与y＝m图像恰有两个交点，
所以实数m的取值范围为．
22．（1）解：由性质③知f（x）+g（x）＝ex，∴f（﹣x）+g（﹣x）＝e﹣x，
由性质②知，f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x），∴﹣f（x）+g（x）＝e﹣x，
即，解得f（x）＝，g（x）＝．
（2）证明：由（1）可得：[f（x）]2﹣[g（x）]2＝
＝＝＝﹣1．
（3）解：函数y＝2m g（2x）﹣4f（x）＝m（e2x+e﹣2x）﹣2（ex﹣e﹣x），
设t＝ex﹣e﹣x，由x∈[﹣1，0]，可得t∈[，0]，且e2x+e﹣2x＝t2+2，
原函数化为h（t）＝m（t2+2）﹣2t＝mt2﹣2t+2m，t∈[，0]，
当m＝0时，h（t）＝﹣2t，在[，0]上单调递减，此时h（t）min＝h（0）＝0；
当m≠0时，函数h（t）的对称轴为t＝，
当m＞0时，则＞0，h（t）在[，0]上单调递减，此时h（t）min＝h（0）＝2m；
当＜＜0，即m＜时，＝；
当≤，即≤m＜0时，h（t）min＝h（0）＝2m．
综上所述，