第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元测试（含答案）

第二章 一元二次函数、方程和不等式单元测试
一．选择题（共8小题）
1．若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则（　　）
A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c
2．若实数a、b满足b＞a＞0，下列不等式中恒成立的是（　　）
A． B． C． D．
3．若正数x，y满足x2+3xy﹣2＝0，则x+y的最小值是（　　）
A． B． C． D．
4．已知关于x的不等式ax2+5x+c＞0的解集为{x|1＜x＜4}，ax2﹣5x+c≥0的解集为（　　）
A．{x|1≤x≤4} B．{x|x≤﹣4或x≥﹣1}
C．{x|﹣4≤x≤﹣1} D．{x|x≤1或x≥4}
5．已知a，b为非零实数，且a＜b，则下列命题成立的是（　　）
A．a2＜b2 B．ab2＜a2b
C． D．
6．若a＜b＜0，以下不能成立的是（　　）
A． B．2a＞2b
C．|a|＞|b| D．（）a＞（）b
7．已知a＞b＞0，下列不等式中正确的是（　　）
A．a﹣1＜b﹣1 B．ab＜b2 C． D．
8．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明，现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明是（　　）
A．
B．
C．
D．a2+b2＞2ab（a＞b＞0）
二．多选题（共4小题）
9．已知实数a，b，c满足a＞b＞c，且a+b+c＝0，则（　　）
A．ab+bc＜0 B．ln（a﹣c）＞ln（b﹣c）
C．2b＜a﹣c D．a2＞c2
10．若a＞b＞0，m＞0，则下列不等式成立的是（　　）
A．a2＞b2 B．a3+b3＜ab2+a2b
C． D．ac2＞bc2
11．下列命题为真命题的是（　　）
A．ln3＜ln2 B．lnπ＜ C．＞17 D．＜15
12．下列命题中错误的是（　　）
A．当x＞2时，一定成立
B．若实数x，y满足x+y＝1，则
C．对任意a，b，c，d∈R，都有a4+b4+c4+d4≥4abcd
D．对任意a，b，c，d∈R，都有（ab+cd）2≤（a2+c2）（b2+d2）
三．填空题（共4小题）
13．下列命题正确的个数是 　 　．
①若a＞b，则ac2＞bc2；
②若a＞b，则＜；
③若a，b是非零实数，且a＜b，则＜；
④若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2．
14．已知x＞y＞0且m＞0，则与的大小关系为 　 　．
15．已知矩形的周长为36，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，则旋转形成的圆柱的侧面积的最大值为　 　．
16．设x＞1，函数的最小值为 　 　．
四．解答题（共6小题）
17．设a，b，c∈R+，比较aabbcc与（abc）的大小．
18．若x、y∈R，求证：（x2+y2）2≥xy（x+y）2．
19．（1）设x＜y＜0，试比较（x2+y2）（x﹣y）与（x2﹣y2）（x+y）的大小；
（2）已知﹣1＜a+b＜3，2＜a﹣b＜4，求2a+3b的取值范围．
20．若正数a，b满足ab＝4a+b+t，t∈R．
（1）当t＝0时，求a+4b的最小值；
（2）当t＝5时，求ab的取值范围．
21．已知a，b为实数，命题p：a4﹣b4﹣2b2＝1
（1）求证：命题p成立且a+b＝4的充要条件是，；
（2）若p成立，求的最小值，并求此时a，b的值．
22．（1）已知定义在（0，+∞）的函数，求函数的值域．
（2）已知x＞1，求函数的最小值及取得最小值时x的值.
参考答案
一．选择题（共8小题）
1--8DABCC BCB
二．多选题（共4小题）
9．BC
10．AC
11．ACD
12．AB
三．填空题（共4小题）
13．2
14．＜
15．162π
16．3
四．解答题（共6小题）
17．解：不妨设a≥b≥c＞0，则lga≥lgb≥lgc，
据排序不等式有：
alga+blgb+clgc≥blga+clgb+algc；
alga+blgb+clgc≥clga+algb+blgc；
alga+blgb+clgc＝alga+blgb+clgc；
上述三式相加得：
3（alga+blgb+clgc）≥（a+b+c）（lga+lgb+lgc），
即lg（aabbcc）≥lg（abc），
即aabbcc≥（abc）．
18．证明：（x2+y2）2﹣xy（x+y）2＝x4+y4+2x2y2﹣x3y﹣xy3﹣2x2y2＝x4+y4﹣x3y﹣xy3＝（x﹣y）（x3﹣y3）＝（x﹣y）2（x2+xy+y2），
因为（x﹣y）2≥0，（x2+xy+y2＝（x﹣）2+≥0，
所以（x﹣y）2（x2+xy+y2）≥0，
所以（x2+y2）2≥xy（x+y）2．
19．解：（1）（x2+y2）（x﹣y）﹣（x2﹣y2）（x+y）
＝（x﹣y）[x2+y2﹣（x+y）2]
＝﹣2xy（x﹣y）
∵x＜y＜0，∴xy＞0，x﹣y＜0，
∴﹣2xy（x﹣y）＞0，
即（x2+y2）（x﹣y）＞（x2﹣y2）（x+y）．
（2）设2a+3b＝m（a+b）+n（a﹣b），
则，解得，
∴2a+3b＝（a+b）﹣（a﹣b），
∵﹣1＜a+b＜3，2＜a﹣b＜4，
∴﹣，﹣2＜﹣1，
∴﹣＜（a+b）﹣（a﹣b）＜，
即﹣＜2a+3b＜．
20．解：（1）当t＝0时，4a+b＝ab，
所以+＝1，
所以a+4b＝（a+4b）（）＝17+＝25，
当且仅当且ab＝4a+b，即a＝b＝5时取等号；
（2）当t＝5时，ab＝4a+b+5+5，当且仅当b＝4a，即a＝，b＝10时取等号，
解得ab≥25，
故ab的取值范围为[25，+∞）．
21．解：（1）证明：充分性：若，，则首先a+b＝4且a2﹣b2＝1．
又因为a4﹣b4﹣2b2＝（a2+b2）（a2﹣b2）﹣2b2＝a2﹣b2＝1，
所以，是a4﹣b4﹣2b2＝1的充分条件；
必要性：若a4﹣b4﹣2b2＝1，且a+b＝4，
首先a4﹣（b4+2b2+1）＝0，即（a2+b2+1）（a2﹣b2﹣1）＝0，
因为a，b为实数，a2+b2+1≠0，所以a2﹣b2＝1，
解方程组即得，，
综上可得命题p成立且a+b＝4的充要条件是，；
（2）由（1）知，命题p成立a2﹣b2＝1，
则，等号成立当且仅当b2＝4，a2＝5，
所以的最小值为9，此时，b＝±2．
22．解：（1）因为x＞0，
则，当且仅当时，即时等号成立，
所以函数的值域为．
（2）因为x＞1，，
当且仅当时，即时等号成立，
所以函数的最小值为，此时