广东省东莞市七校2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题（含答案）

东莞市七校2023-2024学年高二上学期期中联考
数学
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.
1. 如图，直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量，，满足，则的值为（ ）
A. 2 B. -2 C. D.
3. 已知圆的一条直径的端点分别为，，则此圆的标准方程是（ ）
A. B.
C. D.
4. 抛物线准线方程是
A. B.
C. D.
5. 直线与直线平行，那么该两平行线之间距离是（ ）
A. 0 B. C. D.
6. 如图，四边形ABCD为平行四边形，，，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆.已知图（1）、（2）、（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别、、，设图（1）、（2）、（3）中椭圆的离心率分别为、、，则（ ）.
A. B.
C. D.
8. 如图，正方体的棱长为1，点P为正方形内的动点，满足直线BP与下底面ABCD所成角为的点P的轨迹长度为（ ）
A B. C. D.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.
9. 已知双曲线，则下列关于双曲线的结论正确的是（ ）
A. 实轴长为6 B. 焦距为5
C. 离心率为 D. 焦点到渐近线的距离为4
10. 已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（ ）
A. 与是共线向量 B. 与同向的单位向量是
C. 和夹角的余弦值是 D. 平面的一个法向量是
11. 设圆，点，若圆O上存在两点到A距离为2，则的可能取值（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
12. 在正三棱柱中，，，与交于点，点是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 存点，使得
C. 三棱锥的体积为
D. 直线与平面所成角的正弦值为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上.
13. 若方程表示的曲线为焦点在轴上双曲线，则的取值范围为______.
14. 已知分别是平面的法向量，且，则__________.
15. 设半径为3的圆被直线截得的弦的中点为，且弦长，则圆的标准方程__________.
16. 已知实数，满足，则代数式的最大值为______.
四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.
17. 在菱形中，对角线与轴平行，，，点是线段的中点.
（1）求点的坐标；
（2）求过点且与直线垂直的直线.
18. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，，，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
19. 已知双曲线的渐近线方程为，且点在该双曲线上.
（1）求双曲线方程；
（2）若点，分别是双曲线的左、右焦点，且双曲线上一点满足，求的面积.
20. 党的二十大报告提出要加快建设交通强国.在我国万平方千米的大地之下拥有超过座，总长接近赤道长度的隧道（约千米）.这些隧道样式多种多样，它们或傍山而过，上方构筑顶棚形成“明洞”﹔或挂于峭壁，每隔一段开出“天窗”形成挂壁公路.但是更多时候它们都隐伏于山体之中，只露出窄窄的出入口洞门、佛山某学生学过圆的知识后受此启发，为山体隧道设计了一个圆弧形洞门样式，如图所示，路宽为米，洞门最高处距路面米.
（1）建立适当平面直角坐标系，求圆弧的方程.
（2）为使双向行驶的车辆更加安全，该同学进一步优化了设计方案，在路中间建立了米宽的隔墙.某货车装满货物后整体呈长方体状，宽米，高米，则此货车能否通过该洞门 并说明理由.
21. 在四棱锥中，底面为直角梯形，，侧面底面，且分别为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面的夹角的余弦值．
22. 已知椭圆：的两焦点，，且椭圆过.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作不与坐标轴垂直的直线交椭圆于，两点，线段的垂直平分线与轴负半轴交于点，若点的纵坐标的最大值为，求的取值范围.
东莞市七校2023-2024学年高二上学期期中联考
数学 答案
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】D
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】B
【6题答案】
【答案】D
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】B
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.
【9题答案】
【答案】AD
【10题答案】
【答案】BD
【11题答案】
【答案】BCD
【12题答案】
【答案】AC
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上.
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
【15题答案】
【答案】或.
【16题答案】
【答案】
四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.
【17题答案】
【答案】（1）
（2）
【18题答案】
【答案】（1）证明略
（2）
【19题答案】
【答案】（1） （2）3
【20题答案】
【答案】（1）
（2）不能，理由略
【21题答案】
【答案】（1）证明略
（2）
【22题答案】
【答案】（1）
（2）,．