广东省肇庆市2023-2024学年高二上学期11月学科能力检测数学试题（含解析）

肇庆市2023-2024学年高二上学期11月学科能力检测数学
一、单选题
1．设向量不共面，已知，，若三点共线，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．已知二面角的棱上两点，，线段与分别在这个二面角内的两个半平面内，并且都垂直于棱.若，，，.则这两个平面的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶．单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图①），类似五面体的形状（如图②），若四边形是矩形，，且，，则三棱锥的体积为（ ）
A． B．3 C． D．
4．“”是“直线被圆所截得的弦长等于”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知圆C的方程为，直线，点P是直线l上的一动点，过P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，当四边形PAOB的面积最小时，直线AB的方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别是，，离心率为.，是椭圆上的点，的中点为，，过作圆的一条切线，切点为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．5
7．已知，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
8．.如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球，球的半径分别为4和1，球心距，截面分别与球，球切于点，，（，是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．点在动直线上的投影点为，则点的轨迹方程是 .
10．已知双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为 .
11．已知圆的圆心在直线上，且与直线和轴都相切，则圆的方程为 .
12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在一点使得，则该椭圆离心率的取值范围是 ．
13．已知是棱长为1的正四面体.若点满足，其中，则的最小值为 .
14．设，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，且，，则椭圆的离心率为 ．
15．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过点作倾斜角为的直线l与C的左、右两支分别交于点P，Q，若，则C的离心率为 ．
16．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.已知圆：，点，平面内一定点（异于点），对于圆上任意动点，都有比值为定值，则定点的坐标为 .
三、解答题
17．已知点，圆．
(1)求圆过点的切线方程；
(2)为圆与轴正半轴的交点，过点作直线与圆交于两点、，设、的斜率分别为、，求证：为定值．
18．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上．
(1)求的方程；
(2)过作两条相互垂直的直线和，与的右支分别交，两点和，两点，求四边形面积的最小值．
四、解答题
19．已知点，点和点为椭圆上不同的三个点.当点，点B和点C为椭圆的顶点时，△ABC恰好是边长为2的等边三角形.
(1)求椭圆标准方程；
(2)若为原点，且满足，求的面积.
答案
1．A
解：因为，，
所以，
因为三点共线，所以存在唯一的，使得,
即，
即，解得：.
2．A
解：由题可知，、在直线上，，，且，，如下图，
故，，，，，，
因为，
故，
故，解得，
所以平面和平面的夹角的余弦值是.
3．A
解：如图，在线段上取点，使得，，
在线段上取点，使得，，
连接，设分别为的中点，连接，
由题意可得，，，，平面，
则，连接，则，
以为原点，以，，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，则可取，
则点到平面的距离为，
又，
所以三棱锥的体积为.

4．A
解：因为圆的圆心，半径.
又直线被圆截得的弦长为.
所以圆心C到直线的距离，
因此，解得或，
易知“”是“或”的充分不必要条件；
5．A
解：依题意可知，
所以，
所以最小时，最小，此时，
的斜率为，所以此时直线的斜率为，也即此时直线的方程为，
由解得，则，
以为圆心，半径为的圆的方程为，
即，与两式相减并化简得：.

B
解：
连接，中点为，
，
，即椭圆方程为
设，则，，连接,
由题意知，，且
，由二次函数性质得，当时
取得最大值，此时
7．B
解：如图，过点作点关于线段的对称点，则.
设，则有，解得，所以.
设，则，所以，
又，所以点到轴的距离为，
所以可视为线段上的点到轴的距离与到的距离之和.
过作轴，过点作轴，
显然有，则为所求最小值，此时与线段的交点，即为最小值时的位置.
易得，所以的最小值为.
8．A
解：依题意，截面椭圆的长轴与圆锥的轴相交，椭圆长轴所在直线与圆锥的轴确定的平面截此组合体，
得圆锥的轴截面及球，球的截面大圆，如图，
点分别为圆与圆锥轴截面等腰三角形一腰相切的切点，线段是椭圆长轴，
椭圆长轴长，
过作于D，连，显然四边形为矩形，
又，
则，
过作交延长线于C，显然四边形为矩形，
椭圆焦距，
所以椭圆的离心率．
9．
解：将动直线整理为，
联立，可得，所以动直线过定点.
又，所以点在以为直径的圆上运动，
设，则，
，
即.
10．
解：圆即，圆心为，半径，
双曲线的渐近线方程为，
依题意，即，又，所以，
所以离心率.
11．或
解:由已知圆的圆心在直线上，
则设，
又圆与轴相切，
所以半径，
圆的方程为
因为圆与直线相切，
所以，
化简得，解得或，
所以圆的方程为或，
12．
解:由椭圆的定义可知：，
在△中，由余弦定理得：，
所以，
又，即，当且仅当时等号成立，
故，
所以，，解得：.
13．/
解:由点满足，其中，得点在平面内，
因此的最小值即为正四面体的底面上的高，令点在底面上的射影为，
则为正的中心，，
所以的最小值为.
故答案为：

14．
解:因为，所以，
设，则，，
由椭圆定义得：，．
因为，所以，
即
得：，所以，，
在中，，
得：，即，故．

15．
解:依题意，由，
得，即的平分线与直线PQ垂直，
如图，设的平分线与直线PQ交于点D，
则，，又，
所以，所以，．
由题得，，设，，，
在中，，，则，，
由双曲线的性质可得，解得，
则，所以在中，，
又，，所以，
即，整理得，所以．
16．
解:设的坐标为，动点，，
则，
，
，
，
可得，
又点的轨迹方程，
可得，解得（舍）或，
则的坐标为.
17．（1）解：易知圆的圆心为，半径为，因为，则点在圆外，
当切线的斜率不存在时，切线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，
则直线与圆相切，合乎题意；
当切线的斜率存在时，设切线的方程为，即，
则，解得，此时，切线的方程为，即.
综上所述，求圆过点的切线方程为或.
（2）证明：在圆的方程中，令，可得，则，
由（1）可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
设点、，
联立可得，
，解得，
由韦达定理可得，，
所以，
.
故为定值．
18．解:（1）设双曲线，则，解得，
所以双曲线的方程为.
（2）根据题意，直线，的斜率都存在且不为0，
设直线，，其中，
双曲线的渐近线为，
因为，均与的右支有两个交点，所以，，所以，
将的方程与联立，可得，
设，则，，
所以
，
用替换，可得，
所以．
令，所以，
则，
当，即时，等号成立，
故四边形面积的最小值为．
19．解:（1）当点，点和点为椭圆的顶点时，恰好构成边长为2的等边三角形，
①当点，点和点中有两个点为上顶点和下顶点，一个点为左顶点或右顶点时，不妨设点，点为上顶点和下顶点，点为右顶点，此时，，
②当点，点和点中有一个点为上顶点或下顶点，两个点为左顶点和右顶点，不妨设点，点为左顶点和右顶点，点为上顶点，此时，（舍去），
所以椭圆的标准方程为.
（2）设，
因为，
所以，
①当直线斜率不存在时，
即，则，
因为点在椭圆上，所以，则有，
所以，点到的距离为，
此时.
②当直线斜率存在时，设直线方程为，
联立得消去整理得，
满足，
由韦达定理得，
所以，
所以，
又因为点在椭圆上，
所以，
化简得，
所以
，
所以点到直线的距离，
所以
综上所述，的面积为.