绝对值
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文档简介
1．2．4绝对值
教学任务分析
教学目标 知识技能 通过现实模型使学生能从代数几何两个角度正确理解绝对值的意义，能够做到知数即可知其绝对值并正确表出.
数学思考 在把绝对值的代数定义转化成数学式子的过程中，培养学生运用数学转化思想指导思维活动的能力.
解决问题 求一个数的绝对值；绝对值代数、几何意义的理解和应用；比较大小．
情感态度 从相反数到绝对值，使学生感知数学知识具有普遍的联系性．
重点 绝对值含义的理解、求已知数的绝对值，利用数轴比较有理数的大小．
难点 绝对值的几何意义，代数定义的导出，两个负数比较大小．
教学流程安排
活动流程图 活动内容和目的
一、引入二、新知探究、思考、合作交流三、知识应用、拓展创新四、小结（由学生小结）与作业 创设问题情景，引出本节内容．培养学生的合作能力；独立思考能力、交流能力．探索绝对值的代数意义和几何意义．培养学生灵活运用知识的能力．巩固新知．
教学过程设计
一、创设问题情景，引出本节内容．
活动：请两位同学到讲台前，分别向东、西走2米．
思考：（1）他们所走的路程是否相同？（2）若向右为正，则分别如何表示他们的位置（3）他们所走的路程远近有何关系？
学生活动设计：
学生思考上述问题，在分析问题的过程中得到，表示两位同学位置的数是互为相反数，那么进一步思考就会提出一个问题：互为相反数的两个数只有符号不同，那么相同的方面是什么？为了解决这一问题，先请同学们作以下工作：
动手操作：
在数轴上画出一对互为相反数的有理数的点，观察两个点的位置关系．并请同学在讨论后说出它们的位置关系．
交流：位置关系是两个点分别在原点的两侧，两个点到原点的距离相等或者说两个点到原点有相同倍单位长度．
两个点到原点的距离相等表明相应的有理数具有什么样的性质呢？今天我们就来研究这个问题．
二、新知探究、思考、合作交流．
问题1：绝对值的定义（教师讲解）：为了便于研究这个性质，我们规定：在数轴上，表示有理数的点到原点的距离叫做数的绝对值记作：（几何定义）．
这样我们就进一步明确一个数是由它的符号和绝对值两部分组成．
巩固练习
根据绝对值的定义，求+4、-3、-2、0和的绝对值．
学生活动设计：
现在来看看它们到原点的距离分别是多少？（所谓到原点的距离就是看相应线段长度是多少个单位长度）．
+4对应的点到原点的距离是四个单位长度，则+4的绝对值就是+4（一个单位长度是+1），即：；
-3对应的点到原点是3个单位长度，则-3的绝对值就是+3，即：；
-2对应的B点到原点是2个单位长度，则-2的绝对值就是+2，即：；
对应的C点到原点的距离是3个单位长度，则的绝对值就是，即： ．
因为0对应的点就是原点，可以认为它到原点的距离是0个单位，所以．
问题2：探索绝对值的代数定义：
填空：
（1）|3|＝______；（2）|1.5|＝______；（3）|－3|＝______；(4)|-1.5|=______；(5)|0|=_____．
解决这些问题后，你能得到什么结论？
学生活动设计：
学生根据绝对值的定义直接求出各数的绝对值，然后观察每个问题中的绝对值符号内的数和相应的结果之间的关系，进行归纳、总结：
正有理数的绝对值是它本身；
负有理数的绝对值是它的相反数；
0的绝对值是0．
用数学式子即：（代数定义）．
教师补充：不论有理数a取何值，它的绝对值总是正数或0（统称为非负数），即总有 ≥ 0．
问题3：巩固提高．
下面我们就利用这个结论求有理数的绝对值：
例1：求下列各数的绝对值：
-7、+、-4.75、10.5
解：=7 ； = ； =4.75 ； =10.5．
例2：化简：
（1） ； （2）－．
解：（1）＝（2）－；
例3：计算：×．
解：原式＝．
问题4：绝对值在比较两个负数大小上的应用：
规定：数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数．
探究：在数轴上的点所表示的有理数有何特点？
学生活动设计：学生自主探索，自己寻找特殊的数进行检验（比如-3的绝对值是3，-2的绝对值是2，因而-3的绝对值大于-2的绝对值，而表示-3的点在表示-2的点的左边，-3小于-2．即：-3的绝对值大，但它本身反而比-2小）于是得出：在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数，这可以比较两个有理数的大小；从数轴上可知：
（1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数；
（2）两个负数绝对值大的反而小；
（3）两个正数绝对值大的大．
这是比较两个有理数大小的法则．
巩固练习 ：
例1、比较下面各组数的大小．
(1)-和-； (2)-和-3.13；
（3）-（-1）和-（+2）； （4）-（- 0.3）和．
方法：分别求出两个负数的绝对值，比较绝对值的大小．
解：（1）分别求出两个负数的绝对值，并化为同分母的分数，
==， ==，
因为<， 即 <， 所以->-．
(2)分别求出两个负数的绝对值，并化为小数形式，得：
==3.142， =3.13，
因为3.142＞3.13 , 即 ＞,
所以-＜-3.13．
三、知识应用、拓展创新
问题1：正式排球比赛，对所有使用的排球的质量是严格规定的，检查5个排球的质量，超过规定重量克数记为正数，不足规定记为负数，检查结果如下：
＋15 －10 ＋30 －20 －40
请指出哪一个排球的质量好一些？你怎样用学过的绝对值知识来说明这个问题．
〔解答〕第2个排球更好一些，因为它的绝对值最小说明最接近规定质量．
问题2：已知数轴上有A和B两点，它们之间的距离为1，点A和原点的距离为2，那么所有满足条件的点B对应的数有哪些？
〔解答〕－3、－1、1、3．
学生活动设计：
对于问题1主要让学生体会绝对值在生活中的应用，此时只需要看各个数的绝对值即可，对于问题2，分析点A和点B在数轴上可能的位置，比如，点A和原点的距离为2说明点A表示的数的绝对值是2，则这个数为2或－2，然后再分情况讨论．
四、小结（由学生小结）与作业
小结：
1．初步理解绝对值的概念（包括代数定义和几何定义）；
2．能求已知数的绝对值；
3．会用绝对值比较两个负数的大小．
作业：
第18页 4～10．
教学任务分析
教学目标 知识技能 通过现实模型使学生能从代数几何两个角度正确理解绝对值的意义，能够做到知数即可知其绝对值并正确表出.
数学思考 在把绝对值的代数定义转化成数学式子的过程中，培养学生运用数学转化思想指导思维活动的能力.
解决问题 求一个数的绝对值；绝对值代数、几何意义的理解和应用；比较大小．
情感态度 从相反数到绝对值，使学生感知数学知识具有普遍的联系性．
重点 绝对值含义的理解、求已知数的绝对值，利用数轴比较有理数的大小．
难点 绝对值的几何意义，代数定义的导出，两个负数比较大小．
教学流程安排
活动流程图 活动内容和目的
一、引入二、新知探究、思考、合作交流三、知识应用、拓展创新四、小结（由学生小结）与作业 创设问题情景，引出本节内容．培养学生的合作能力；独立思考能力、交流能力．探索绝对值的代数意义和几何意义．培养学生灵活运用知识的能力．巩固新知．
教学过程设计
一、创设问题情景，引出本节内容．
活动：请两位同学到讲台前，分别向东、西走2米．
思考：（1）他们所走的路程是否相同？（2）若向右为正，则分别如何表示他们的位置（3）他们所走的路程远近有何关系？
学生活动设计：
学生思考上述问题，在分析问题的过程中得到，表示两位同学位置的数是互为相反数，那么进一步思考就会提出一个问题：互为相反数的两个数只有符号不同，那么相同的方面是什么？为了解决这一问题，先请同学们作以下工作：
动手操作：
在数轴上画出一对互为相反数的有理数的点，观察两个点的位置关系．并请同学在讨论后说出它们的位置关系．
交流：位置关系是两个点分别在原点的两侧，两个点到原点的距离相等或者说两个点到原点有相同倍单位长度．
两个点到原点的距离相等表明相应的有理数具有什么样的性质呢？今天我们就来研究这个问题．
二、新知探究、思考、合作交流．
问题1：绝对值的定义（教师讲解）：为了便于研究这个性质，我们规定：在数轴上，表示有理数的点到原点的距离叫做数的绝对值记作：（几何定义）．
这样我们就进一步明确一个数是由它的符号和绝对值两部分组成．
巩固练习
根据绝对值的定义，求+4、-3、-2、0和的绝对值．
学生活动设计：
现在来看看它们到原点的距离分别是多少？（所谓到原点的距离就是看相应线段长度是多少个单位长度）．
+4对应的点到原点的距离是四个单位长度，则+4的绝对值就是+4（一个单位长度是+1），即：；
-3对应的点到原点是3个单位长度，则-3的绝对值就是+3，即：；
-2对应的B点到原点是2个单位长度，则-2的绝对值就是+2，即：；
对应的C点到原点的距离是3个单位长度，则的绝对值就是，即： ．
因为0对应的点就是原点，可以认为它到原点的距离是0个单位，所以．
问题2：探索绝对值的代数定义：
填空：
（1）|3|＝______；（2）|1.5|＝______；（3）|－3|＝______；(4)|-1.5|=______；(5)|0|=_____．
解决这些问题后，你能得到什么结论？
学生活动设计：
学生根据绝对值的定义直接求出各数的绝对值，然后观察每个问题中的绝对值符号内的数和相应的结果之间的关系，进行归纳、总结：
正有理数的绝对值是它本身；
负有理数的绝对值是它的相反数；
0的绝对值是0．
用数学式子即：（代数定义）．
教师补充：不论有理数a取何值，它的绝对值总是正数或0（统称为非负数），即总有 ≥ 0．
问题3：巩固提高．
下面我们就利用这个结论求有理数的绝对值：
例1：求下列各数的绝对值：
-7、+、-4.75、10.5
解：=7 ； = ； =4.75 ； =10.5．
例2：化简：
（1） ； （2）－．
解：（1）＝（2）－；
例3：计算：×．
解：原式＝．
问题4：绝对值在比较两个负数大小上的应用：
规定：数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数．
探究：在数轴上的点所表示的有理数有何特点？
学生活动设计：学生自主探索，自己寻找特殊的数进行检验（比如-3的绝对值是3，-2的绝对值是2，因而-3的绝对值大于-2的绝对值，而表示-3的点在表示-2的点的左边，-3小于-2．即：-3的绝对值大，但它本身反而比-2小）于是得出：在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数，这可以比较两个有理数的大小；从数轴上可知：
（1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数；
（2）两个负数绝对值大的反而小；
（3）两个正数绝对值大的大．
这是比较两个有理数大小的法则．
巩固练习 ：
例1、比较下面各组数的大小．
(1)-和-； (2)-和-3.13；
（3）-（-1）和-（+2）； （4）-（- 0.3）和．
方法：分别求出两个负数的绝对值，比较绝对值的大小．
解：（1）分别求出两个负数的绝对值，并化为同分母的分数，
==， ==，
因为<， 即 <， 所以->-．
(2)分别求出两个负数的绝对值，并化为小数形式，得：
==3.142， =3.13，
因为3.142＞3.13 , 即 ＞,
所以-＜-3.13．
三、知识应用、拓展创新
问题1：正式排球比赛，对所有使用的排球的质量是严格规定的，检查5个排球的质量，超过规定重量克数记为正数，不足规定记为负数，检查结果如下：
＋15 －10 ＋30 －20 －40
请指出哪一个排球的质量好一些？你怎样用学过的绝对值知识来说明这个问题．
〔解答〕第2个排球更好一些，因为它的绝对值最小说明最接近规定质量．
问题2：已知数轴上有A和B两点，它们之间的距离为1，点A和原点的距离为2，那么所有满足条件的点B对应的数有哪些？
〔解答〕－3、－1、1、3．
学生活动设计：
对于问题1主要让学生体会绝对值在生活中的应用，此时只需要看各个数的绝对值即可，对于问题2，分析点A和点B在数轴上可能的位置，比如，点A和原点的距离为2说明点A表示的数的绝对值是2，则这个数为2或－2，然后再分情况讨论．
四、小结（由学生小结）与作业
小结：
1．初步理解绝对值的概念（包括代数定义和几何定义）；
2．能求已知数的绝对值；
3．会用绝对值比较两个负数的大小．
作业：
第18页 4～10．