(共25张PPT)
直角三角形的边角关系
1.2 30 °，45 °，60 °角的三角函数值
北师大版九年级上册
教材分析
本节课是在学生已有的直角三角形有关知识的基础上，根据三角函数的定义，探究30°，45°，60°三个特殊角的三角函数值，要求能利用特殊角的三角函数值进行基本的运算，并能根据三角函数特殊值求出特殊角；能根据生活中一些较简单的实际问题抽象出一定的几何模型，并由抽象出来的几何模型进行分析和计算，得出实际问题中需要的结果，在教学中要进一步渗透三角函数中量与量之间的相互联系、以及相互转化的观点，培养学生观察、分析、比较、概括的思维能力．对已学习能力较高的学生要求很理解并掌握任意两个锐角互余时，正、余弦之间的关系和正切之间的关系，并能利用这一性质进行简单的三角变换或相应计算．
教学目标
1．经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理．进一步体会三角函数的意义．
2．能够进行30°，45°，60°角的三角函数值的计算．
3．经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析、发现的能力．培养学生把实际问题转化为数学问题的能力．
4．积极参与数学活动，对数学产生好奇心．培养学生独立思考问题的习惯．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心
温故知新
如图，Rt△ABC中，∠C=90°
A
B
C
三边关系：
锐角关系：
a +b =C
∠A+∠B=90°
边角关系：
(1)Rt△ABC中，
30°所对的直角边是斜边的一半。
(2)锐角三角函数：
如图,观察一副三角板:
它们其中有几个锐角 分别是多少度
导入新课
(1)sin30o等于多少
(2)cos30o等于多少
(3)tan30o等于多少
请与同伴交流你是怎么想的 又是怎么做的
合作探究
设30°所对的直角边长为a，那么斜边长为2a
另一条直角边长＝
30°
a
2a
a
独立思考
(1)60 °角的三角函数值分别是多少 你是怎样得到的
A
B
C
2a
60°
a
a
独立思考
(2)45°角的三角函数值分别是多少 你是怎样得到的
课堂小结
特殊角的三角函数值表
60°
45°
30°
tanα
cosα
sinα
三角函数值
角α
三角函数
这张表还可以
看出许多知识
之间的内在联
系
合作学习
三角函数之间的联系
如果两锐角互余，正弦值等于余弦值
如∠A+∠ B=90° sinA=cosB，sinB=cosA
典例分析
例1 计算:
(1)sin300+cos450; (2) sin2600+cos2600+tan450.
解: (1)sin300+cos450
(2) sin2600+cos2600-tan450
老师提示:
记住特殊角三角函数值
Sin2600表示(sin600)2,
cos2600表示(cos600)2,其余类推.
典例分析
例2 如图:一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为600,且两边摆动的角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到0.01m).
老师提示:
将实际问题数学化.
A
C
O
B
D
┌
∴AC=OA-OC=2.5-2.165≈0.34(m).
∴最高位置与最低位置的高度差约为0.34m.
课堂练习
1.求下列各式的值：
(1)1－2 sin30°cos30°
=1-2×
=1-
(2)3tan30°－tan45°+2sin60°
=3×
=
=2
（1）1－2 sin30°cos30°
（2）3tan30°－tan45°+2sin60°
（3）
(3)
=
=2-
=2
课堂练习
2. tan(α+20°)＝1，锐角α的度数应是（ ）
A．40° B．30° C．20° D．10°
3.(中考滨州)有下列运算:
sin30°= , =2, π°=π，2 =-4其中运算结果正确的个数为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
4.若某三角形三个内角度数之比为1:2:3,那么这个三角形最小角的正切值为( )
D
D
C
课堂练习
5.某商场有一自动扶梯,其倾斜角为30 °,高为7m,扶梯的长度是多少
30°
7m
解: 如图,由题意可知,
l=
即扶梯的长度为14m.
课堂练习
【知识技能类作业 选做题】
1
课堂练习
【综合实践类作业】
7.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D,AE⊥BC与点E,已知∠ABC=60°，∠C=45°，
（1）求证AB=BD; (2)若AE=3,求△ABC的面积
课堂总结
直角三角形中的边角关系
直角三角形三边的关系.
直角三角形两锐角的关系.
直角三角形边与角之间的关系.
特殊角300,450,600角的三角函数值.
互余两角之间的三角函数关系.
同角之间的三角函数关系
【知识技能类作业】必做题
1.计算:
(1)sin600-cos450;
(2)cos600+tan600;
作业布置
作业布置
【知识技能类作业】
2．下列各式中不正确的是（ ）
A．sin30°=cos30° B．sin30°+cos30°=1
C．sin35°=cos55° D．tan45°>sin45°
3．计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是（ ）
A．2 B． C．-1 D．1
4.在 △ABC 中，若 则∠C = .
5.在△ABC中，∠C=90°，若∠B=2∠A,则tanA=____.
B
D
120°
【知识技能类作业 选做题】
作业布置
6.
作业布置
【综合实践类作业】
7.升国旗时，小明站在操场上离国旗20m处行注目礼.当国旗升至顶端时，小明看国旗视线的仰角为45°（如图所示），若小明双眼离地面1.60m，你能帮助小明求出旗杆AB的高度吗？
解：由已知得DC=EB=20m
∵tan∠ADC=tan45°=
∴AC=DC tan45°
∴AB=AC+CB=20×tan45°+1.6
=20+1.6=21.6(m)
板书设计
特殊角的三角函数值表
谢谢
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九年级下册分课时教学设计
第一课时《1.2特殊角的三角函数》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是在学生已有的直角三角形有关知识的基础上，根据三角函数的定义，探究30°，45°，60°三个特殊角的三角函数值，要求能利用特殊角的三角函数值进行基本的运算，并能根据三角函数特殊值求出特殊角；能根据生活中一些较简单的实际问题抽象出一定的几何模型，并由抽象出来的几何模型进行分析和计算，得出实际问题中需要的结果，在教学中要进一步渗透三角函数中量与量之间的相互联系、以及相互转化的观点，培养学生观察、分析、比较、概括的思维能力．对已学习能力较高的学生要求很理解并掌握任意两个锐角互余时，正、余弦之间的关系和正切之间的关系，并能利用这一性质进行简单的三角变换或相应计算．
学习者分析 在学生已有的直角三角形有关知识：勾股定理、直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半。三角函数的定义。在此基础上探究30°，45°，60°三个特殊角的三角函数值，学生比较易掌握。在进行30°，45°，60°角的三角函数值的计算时学生要熟记特殊角的三角函数值和正确进行有理数的计算，利用三角函数知识来解决实际问题，需要学生通过观察、发现把实际问题转化为数学问题。
教学目标 1．经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理．进一步体会三角函数的意义． 2．能够进行30°，45°，60°角的三角函数值的计算． 3．经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析、发现的能力．培养学生把实际问题转化为数学问题的能力． 4．积极参与数学活动，对数学产生好奇心．培养学生独立思考问题的习惯．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心
教学重点 1．探索30°，45°，60°角的三角函数值． 2．能够进行含30°，45°，60°角的三角函数值的计算．
教学难点 三角函数值的应用
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：温故知新教师活动1： 如图，Rt△ABC中，∠C=90° 三边关系：a +b =C 锐角关系：∠A+∠B=90° 边角关系： (1)Rt△ABC中，30°所对的直角边是斜边的一半。 (2)锐角三角函数学生活动1： 学生回忆并回答活动意图说明： 通过复习正切、正弦、余弦定义加深掌握，复习的同时也拉近与学生之间的距离.也适合学生胃口，引入新课，揭示课题.环节二：导入新课教师活动2： 1.如图,观察一副三角板: 它们其中有几个锐角 分别是多少度 (1)sin30°等于多少 (2)cos30°等于多少 (3)tan30°等于多少 请与同伴交流你是怎么想的 又是怎么做的 学生活动2： 让学生独立思考,尽情地发表自己的意见，而后教师根据学生的想法给予点评.活动意图说明： 培养学生独立思考并积极发表自身意见的习惯环节三：合作探究特殊角的三角函数教师活动3： 1、设30°所对的直角边长为a，那么斜边长为2a 另一条直角边长＝ 2、60 °角的三角函数值分别是多少 你是怎样得到的 3、45°角的三角函数值分别是多少 你是怎样得到的 4、课堂小结 特殊角的三角函数值表 5、三角函数之间的联系 如果两锐角互余，正弦值等于余弦值 如∠A+∠ B=90° sinA=cosB，sinB=cosA 学生活动3： 1、根据教师讲解30°的三角函数值，学生先思考，60°，45°撒娇函数中， 2、交流思考结果交流，最后归纳整理成特殊三角函数值表。 活动意图说明： 培养学生运用类比思想，通过自主探究得出结论的能力。通过经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，发展学生的推理能力和计算能力，同时找到规律，方便记忆.环节四：典例分析教师活动4： 学生活动4： 学生观察思考，然后根据学生做题，然后选两名同学到黑板上板书.最后多媒体出示完整解题过程，给学生留半分钟进行思考，纠错活动意图说明： 通过运用加强学生对所学内容的掌握，提升应用能力。例题的解答，即检测了学生对特殊三角函数值掌握情况，又让学生感受到特殊角的三角函数值应用的乐趣！.
板书设计 特殊角的三角函数值表
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 求下列各式的值： （1）1－2 sin30°cos30° =1- （2）3tan30°－tan45°+2sin60° =2√3 1 （3）cos60°/1+sin60°+1/tan30° =2 2. √3 tan(α+20°)＝1，锐角α的度数应是（ D ） A．40° B．30° C．20° D．10° 3.(中考滨州)有下列运算: sin30°= , √8 =2√2, π°=π，2=-4,其中运算结果正确的个数为( D ) A.4 B.3 C.2 D.1 4.若某三角形三个内角度数之比为1:2:3,那么这个三角形最小角的正切值为( C ) 5.某商场有一自动扶梯,其倾斜角为30 °,高为7m,扶梯的长度是多少 解: 如图,由题意可知, l=7/sin30°=7×2=14(m) 即扶梯的长度为14m. 选做题： 6.观察下列等式：
，；
，；
，．
根据上述规律，计算1 ．
计算：． 原式
． 【综合拓展类作业】 7.如图，在中，的平分线交边于点，于点已知，．
求证：；
若，求的面积． 证明：平分，，
，
，
，
，
；
解：由题意得，，，
，
．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 2．下列各式中不正确的是（ B ） A．sin30°=cos30° B．sin30°+cos30°=1 C．sin35°=cos55° D．tan45°>sin45° 3．计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是（ D ） A．2 B．√2 C．-1 D．1 4.在 △ABC 中，若|sinA 1/2|+(cosB √3/2)^2=0 则∠C = 120° . 5.在△ABC中，∠C=90°，若∠B=2∠A,则tanA= 选做题： 6.如图，在中，，，为斜边的中点，连接，点是边上的动点不与点、重合，过点作交延长线交于点，连接，下列结论： 若，则； 若，，则； 和一定相似； 若，，则． 其中正确的是.填写所有正确结论的序号 【综合拓展类作业】 7.升国旗时，小明站在操场上离国旗20m处行注目礼.当国旗升至顶端时，小明看国旗视线的仰角为45°（如图所示），若小明双眼离地面1.60m，你能帮助小明求出旗杆AB的高度吗？ 解：由已知得DC=EB=20m ∵tan∠ADC=tan45°=AC/DC ∴AC=DC tan45° ∴AB=AC+CB=20×tan45°+1.6 =20+1.6=21.6(m)
教学反思
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学 科 数学 年 级 九 设计者 尹坚
教材版本 北师大版 册、章 下册 第一章
课标要求 了解锐角三角函数的概念，能够正确运用正切、正弦、余弦表示直角三角形两边的比，记忆特殊角的正切、正弦、余弦的值，并会根据特殊角的函数值说出特殊角的度数。能够正确的使用计算器计算锐角的三角函数值，由锐角的函数值求出该锐角，理解直角三角形的边与边之间的关系、角与角之间的关系和边与角之间的关系，会用勾股定理、直角三角形两锐角互余以及锐角三角函数值解直角三角形，会用直角三角形有关知识解决实际问题。通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化和对于思想，通过解直角三角形的学习，体会数学在解决生活实际问题中的作用。
内容分析 本章内容包括：锐角三角函数正切、正弦、余弦的概念；利用锐角三角函数解直角三角形。锐角三角函数为解直角三角形提供了有效的工具，解直角三角形在实际问题中广泛运用，也为锐角三角函数与实际联系的机会，研究三角函数的基础是相似三角形的的一些结论。解直角三角形主要依赖于锐角三角函数和勾股定理等内容，因此勾股定理和三角形相似是学习锐角三角函数的基础。本章重点是锐角三角函数的解直角三角形，锐角三角函数既是本章学习的重点，也是本章学习的关键。难点在于锐角三角函数的概念反映角度与函数值之间的对应关系，这种对应关系以及用符号sinA、cosA、tanA等，学生以前没有接触过，因此给学习学习带来一定的难度。
学情分析 我们以及学习了直角三角形两个重要性质：在直角三角形中两锐角互余，在直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。以及函数的一些知识：一次函数、二次函数、反比例函数，这些都是学习本章知识的基础，相似是的知识与本章练习特别紧密，它诠释了锐角三角函数的合理性。考虑到学生的认知水平和思维高度，学生对理解锐角三角函数有一定的困难，因为他和以前学过的函数有点不同，它反映的不是数量与数量之间的关系，而是反映数量与角度之间的对应关系。
单元目标 教学目标能力目标1、了解锐角三角函数的概念，能正确运用sinA、cosA、tanA表示直角三角形两边的比。2、掌握30°，45°，60°正切、正弦、余弦的函数值，会根据特殊角的函数值说出角的度数。3、会用计算机计算已知锐角求它的函数值，由已知的函数值求出角的度数。4、理解直角三角形边与边、角与角、边与角的关系，解直角三角形。5、会用解直角三角形的方法解决生活中的实际问题。过程与方法经历锐角三角函数的学习，体会数学问题的一般方法和类比方法。经历解直角三角形的学习，体会数学问题模型化和转化的数学思想。情感态度与价值观通过锐角三角函数的学习，体会函数的变化与对应思想。通过解决日常生活中的实际问题，体会数学在日常生活中的运用。通过小组合作学习，培养主动参与、勇于创新的探究精神。在解决问题的过程中，引发学生的学习需求，主动参与学习，体验学习的付出与收获。教学重点、难点对锐角三角函数的理解。灵活运用特殊的三角函数值。将实际问题转化为数学问题。灵活运用三角函数解决实际问题
单元知识结构框架及课时安排 （二）课时安排课时编号单元主要内容课时数11.1锐角三角函数（正切）121.1锐角三角函数（正弦和余弦）131.2特殊三角函数值141.3三角函数的计算151.4解直角三角形161.5三角函数的应用171.6利用三角函数测高18回顾与反思1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务1.1锐角三角函数（正切）1．经历探索刻画梯子倾斜程度的过程，理解正切的概念，感受正切与现实生活的联系.2．了解坡度、坡角等概念，并能用正切进行简单的计算．3．逐步学会利用数形结合、从特殊到一般、转化等数学思想分析问题和解决问题.1、学生回忆并回答问题.2、让学生独立思考,尽情地发表自己的看法,而后教师根据学生的想法给予点评.3、学生思考探究梯子的倾斜程度与什么有关。4、理解正切函数的几点说明。5、理解山坡的坡度i(即tanA)解决那一个自动扶梯比较陡的问题.环节一：温故知新环节二：问题导入环节三：探究梯子的倾斜程度与什么有关（正切函数）1.1锐角三角函数（正弦和余弦）1.理解锐角正弦、余弦的意义，并能运用sinA、cosA表示直角三角形中两边的比。 能根据正弦、余弦概念正确进行计算。2.经历探索直角三角形中的边与角的关系，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力。3.在主动参与探索概念的过程中，发展学生的合情推理能力和合作交流、探究发现的意识。培养学生独立思考的习惯以及使学生获得成功的体验，建立自信心。1.学生回忆并回答问题。2、让学生独立思考,尽情地发表自己的看法,而后教师根据学生的想法给予点评.3、先让学生独立思考，教师再根据学生的完全情况确定评讲方法.4、小组合作探究，运用三角函数解决问题。环节一：温故知新。环节二：问题导入。环节三：正弦和余弦。环节四：典例分析。1.2特殊三角函数值1．经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理．进一步体会三角函数的意义．2．能够进行30°，45°，60°角的三角函数值的计算．3．经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析、发现的能力．培养学生把实际问题转化为数学问题的能力．4．积极参与数学活动，对数学产生好奇心．培养学生独立思考问题的习惯．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心1.学生回忆并回答问题。2.让学生独立思考,尽情地发表自己的意见，而后教师根据学生的想法给予点评.3.根据教师讲解30°的三角函数值，学生先思考，60°，45°撒娇函数中，2、交流思考结果交流，最后归纳整理成特殊三角函数值表。4.学生观察思考，然后根据学生做题，然后选两名同学到黑板上板书.最后多媒体出示完整解题过程，给学生留半分钟进行思考，纠错。环节一：温故知新。环节二：问题导入。环节三：探究特殊角三角函数值。环节四：典例分析。1.3 三角函数的计算1．经历用计算器由已知锐角求三角函数的过程，进一步体会三角函数的意义。2．能够用计算器进行有关三角函数值的计算。3．能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题，提高用现代工具解决实际问题的能力。4．发现实际的问题中的边角关系，提高学生有条理地思考和表达的能力1、学生根据教师提出的问题逐个思考并回答。2、学生思考问题是生活问题数学化。3、学生用计算机计sin16°;cos64°,ttan85°,4、利用计算机计算sin16°和SinA=0.25,求∠A的度数环节一：温故知新。环节二：问题导入。环节三：由计算机计算三角函数值。环节四：已知三角函数的值，求角的度数。1.4解直角三角形1.让学生理解直角三角形中除直角外，另外五个元素的关系；2.会利用勾股定理，直角三角形两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。3.通过利用勾股定理，直角三角形两锐角互余及锐角三角函数探究“解直角三角形至少需要知道几个元素”的过程，培养学生分析问题的能力，向学生渗透分类讨论的数学思想和数学方法，从而提高学生分析问题、解决问题的能力。4.在解直角三角形的过程中渗透数形结合的思想，提高解直角三角形的能力；在探究“解直角三角形至少需要知道几个元素”的过程培养学生严谨的学习习惯和解决问题的能力。1、思考、回顾、归纳总结2、讨论三角形6个元素除直角外还需要几个已知条件，才能求出其他元素。3、学生试着解决例题1、2、3，教师指导规范答题，并展示优秀的作品。环节一：温故知新。环节二：探究新知。1.5三角函数的应用1、经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用．2、经历从实际情境中抽象出数学基本图形和数学关系的过程，感受“模型、抽象”在锐角三角函数中的应用，积累数学建模的经验.3、在解决具体问题过程中，体会数与形之间的联系，感悟数学思想，发展应用意识，能有条理地、清晰地阐述观点，对数字结果的意义进行说明.4、通过合作学习，激发学生的求知欲，使其敢于发表自己的想法，敢于质疑，养成独立思考、合作交流的学习习惯.1、学生回顾知识。2、对出示的6个问题小组讨论，形成解决问题的策略。3、同学们对此问题独立思考，能确定解答的方案，不理解的地方要积极地和同学、教师交流，从而释惑解疑。4、学生分组探究下列问题，并推选该组的学生到黑板进行展示自己的解答过程环节一：温故知新。环节二：活动探究。环节三：探究新知环节四：典例精析1.6利用三角函数测高1．能够根据三角函数测高的原理制定测量方案，能够制作测倾器并掌握测倾器测角的方法。2．能综合应用直角三角形的边角关系的知识解决实际问题。3．经历制作测倾器的过程，提高学生数学动手能力，并会对仪器进行调整，对测量结果进行矫正，从而使测量结果符合实际。经历策划测量方案的过程，提高数学应用能力和综合分析能力。4.能够主动积极地思考，积极地投入到数学活动中去，提高数学学习的兴趣，培养不怕困难的品质，在活动中发展合作意识和科学精神。理解测量的方法。建立数学模型。用代数式表示所测量的物体高度。环节一：情景引入。环节二：活动探究。环节三：建立数学模型。回顾与反思1．理解锐角三角函数的概念。2．会计算含30°，45°，60°角的三角函数值得问题。3．能够运用三角函数解直角三角形，并解决与直角三角形有关的实际问题，培养学生分析问题和解决问题的能力。4．体会数形之间的联系，会利用数形结合的思想 问题和解决问题。1.回顾本章知识的主要内容。2.根据教师所提问题，逐步回顾每个知识点的内容，独立思考小组活动相结合的形式完成这个环节。3.学生解决3个典例，对于学困生教师适当点拨。环节一：知识框架。环节二：知识梳理。环节三：典例分析。
《直角三角形的边角关系》单元教学设计
活动一；温故知新
活动二；问题导入
任务一 1.1锐角三角函数(正切）
活动三；探究正切函数
直角三角形的边角关系
活动一；温故知新
活动二；情景导入
任务二 1.1锐角三角函数(正弦和余弦）
活动三；探究正弦和余弦
活动一；温故知新
活动二；情景导入
任务三 1.2特殊三角函数值
活动三；探究特殊角三角函数值
活动四；典例分析
活动一；温故知新
任务四 1.3三角函数的计算
活动二；情景导入
活动三；计算机计算三角函数的值
直角三角形的边角关系
活动四；已知三角函数的值，求角的度数
活动一；温故知新
任务五 1.4 解直角三角形
活动二；探究新知
活动一；温故知新
任务六 1.5三角函数的应用
活动二；活动探究
活动三；探究新知
活动四；典例精析
活动一；情景导入
任务七 1.6利用三角函数测高
活动二；测量活动
活动三；建立模型
活动一；知识框架
任务八 回顾与反思
活动二；知识梳理
活动三；典例分析
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