(共26张PPT)
直角三角形的边角关系
1.1 利用三角函数测高
北师大版九年级上册
教材分析
本节将生活中一些物体高度无法直接测量的实际问题转化成数学问题，是在理解三角函数的基础上，综合运用直角三角形边角关系的知识来解决实际问题的活动课，而解直角三角形测高题型为中考的热点试题，往往与解方程的思想及函数问题相结合设计为综合应用题，这节课在解决方案的探究中渗透着数学建模思想、数形结合思想、转化思想.通过这节课的学习，学生能综合运用数学知识动手解决实际问题，也可以深切体会数学与实际生活的密切联系，感受数学所具有的魅力
教学目标
1．能够根据三角函数测高的原理制定测量方案，能够制作测倾器并掌握测倾器测角的方法。
2．能综合应用直角三角形的边角关系的知识解决实际问题。
3．经历制作测倾器的过程，提高学生数学动手能力，并会对仪器进行调整，对测量结果进行矫正，从而使测量结果符合实际。经历策划测量方案的过程，提高数学应用能力和综合分析能力。
4.能够主动积极地思考，积极地投入到数学活动中去，提高数学学习的兴趣，培养不怕困难的品质，在活动中发展合作意识和科学精神。
情景导入
埃及金字塔
法国巴黎铁塔
上海东方明珠电视塔
马来西亚双子塔
你们能测量出它们的高度吗？
活动一
测量倾斜角.
测量倾斜角可以用测角器.
——简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成.
度盘
铅锤
支杆
活动一
使用测倾器测量倾斜角的步骤如下：
使用步骤:
1.把支杆竖直插入地面,使支杆的中心
线、铅垂线和度盘的00刻度线重合,这
时度盘的顶线PQ在水平位置.
0
30
30
60
60
90
90
P
Q
活动一
2.转动度盘,使度盘的直径
对准目标M,记下此时铅垂线
所指的度数
0
30
30
60
60
90
90
M
30°
O
为什么铅锤线所指的度数
就是所求目标的仰角度数呢？
哈哈:同角的余角相等
测量时如何处理误差
要尽量多测几遍，然后取平均值。
活动二
测量底部可以直接到达的物体的高度
所谓“底部可以到达” ，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体的底部之间的距离.
M
N
建立模型
测量底部可以直接到达的物体的高度
在观测点A安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α
量出观测点A到物体底部N的水平距离AN=L
量出测倾器的高度AC=a，可求出MN的高度。MN=ME+EN=L·tanα+α
A
N
C
M
E
α
a
典例分析
几种测量示意图
示例1：测量大树的高度
示例2：测量塔的高度
典例分析
示例3：测量教学楼的高度
示例4：测量缆车的高度
课堂练习
【知识技能类作业】必做题
B
D
课堂练习
100
11.7
100+100
课堂练习
【知识技能类作业】
选做题：
6.如图，一枚运载火箭从地面L处发射，当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达站测得AR的距离是6km，仰角为43°；1s后火箭到达B点，此时测得仰角为45．54°（所有结果取小数点后两位）．
（1）求地面雷达站R到发射处L的水平距离；
（2）求这枚火箭从A到B的平均速度是多少？
课堂练习
【综合实践类作业】
课堂总结
1、测量底部可以直接到达的物体的高度
2、在观测点A安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α
3、量出观测点A到物体底部N的水平距离AN=L
4、量出测倾器的高度AC=a，可求出MN的高度。
MN=ME+EN=L·tanα+α
作业布置
【知识技能类作业 必做题】
C
A
【知识技能类作业 必做题】
作业布置
【知识技能类作业 选做题】
作业布置
作业布置
作业布置
【综合实践类作业】
板书设计
测量高度步骤
谢谢
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九年级下册分课时教学设计
第一课时《1.6利用三角函数测高》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节将生活中一些物体高度无法直接测量的实际问题转化成数学问题，是在理解三角函数的基础上，综合运用直角三角形边角关系的知识来解决实际问题的活动课，而解直角三角形测高题型为中考的热点试题，往往与解方程的思想及函数问题相结合设计为综合应用题，这节课在解决方案的探究中渗透着数学建模思想、数形结合思想、转化思想.通过这节课的学习，学生能综合运用数学知识动手解决实际问题，也可以深切体会数学与实际生活的密切联系，感受数学所具有的魅力
学习者分析 1、知识技能：学生已经学习了锐角三角函数的有关知识，并且能够利用三角函数解直角三角形，同时具备了解简单的直角三角形实际问题的能力。 2、生活经验：学生已经经历了在直角三角形中，利用三角函数解决实际问题的经验，在这之前已经学过利用三角形全等和相似测高，也具备了这方面的经验，具有了和同学合作的经验，具备合作习惯，有交流沟通能力.
教学目标 1．能够根据三角函数测高的原理制定测量方案，能够制作测倾器并掌握测倾器测角的方法。 2．能综合应用直角三角形的边角关系的知识解决实际问题。 3．经历制作测倾器的过程，提高学生数学动手能力，并会对仪器进行调整，对测量结果进行矫正，从而使测量结果符合实际。经历策划测量方案的过程，提高数学应用能力和综合分析能力。 4.能够主动积极地思考，积极地投入到数学活动中去，提高数学学习的兴趣，培养不怕困难的品质，在活动中发展合作意识和科学精神。
教学重点 设计活动方案，实地测量
教学难点 实地测量
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：情景导入教师活动1： 你们能测量出它们的高度吗？ 学生活动1： 活动意图说明： 情景导入，激发兴趣环节二：测量活动.教师活动2： 一、测量倾斜角可以用测角器. ——简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成. 2、使用步骤: 1.把支杆竖直插入地面,使支杆的中心线、铅垂线和度盘的00刻度线重合,这 时度盘的顶线PQ在水平位置. 2.转动度盘,使度盘的直径对准目标M,记下此时铅垂线所指的度数 问题1、为什么铅锤线所指的度数就是所求目标的仰角度数呢？(同角的余角相等) 2、测量时如何处理误差(要尽量多测几遍，然后取平均值。) 二、测量底部可以直接到达的物体的高度 所谓“底部可以到达” ，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体的底部之间的距离. 建立模型： 测量底部可以直接到达的物体的高度 在观测点A安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α 量出观测点A到物体底部N的水平距离AN=L 量出测倾器的高度AC=a，可求出MN的高度。MN=ME+EN=L·tanα+α学生活动2： 理解测量的方法。 建立数学模型活动意图说明： 传授测量方法和注意事项，建立数学模型环节三：典例分析教师活动3： 学生活动3： 用代数式表示所测量的物体高度活动意图说明： 出示4种基本测量的方法，并用代数式表示所测量的高度
板书设计 测量高度
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1. 如图，飞机在空中处探测得地面目标处的俯角为，此时飞机高度为，则的长度是（ B ） A. B. C. D. 如图,小敏同学想测量一棵大树的高度.她站在B处仰望树顶,测得仰角为30°,再往大树的方向前进4 m，测得仰角为60°,已知小敏同学身高(AB)为1.6 m,则这棵树的高度约为(结果精确到0.1 m,≈1.73)( D ) A.3.5 m B.3.6 m C.4.3 m D.5.1 m 3. 星期一学校升国旗时，晓军同学站在离旗杆底部米行注目礼，当国旗升到旗杆顶端时，视线的仰角为，若双眼离地面米，则旗杆高度为米． 4．如图，为测量湖面上小船A到公路BC的距离，先在点B处测得小船A在其北偏东60°方向，再沿BC方向前进400m到达点C，测得小船A在其北偏西30°方向，则小船A到公路BC的距离为100 m． 5．如图，某测量小组为了测量山BC的高度，在地面A处测得山顶B的仰角45°，然后沿着坡度为1：的坡面AD走了200米达到D处，此时在D处测得山顶B的仰角为60°，则山高BC=（100+100）米（结果保留根号）． 选做题： 6.如图，一枚运载火箭从地面L处发射，当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达站测得AR的距离是6km，仰角为43°；1s后火箭到达B点，此时测得仰角为45．54°（所有结果取小数点后两位）． （1）求地面雷达站R到发射处L的水平距离； （2）求这枚火箭从A到B的平均速度是多少？ （参考数据：sin43°≈0．68，cos43°≈0．73，tan43°≈0．93，sin45．54°≈0．71，cos45．54°≈0．70，tan45．54°≈1．02） 解：（1）在Rt△ARL中，RL＝AR cos43°≈4．38（km） （2）在Rt△ARL中，AL＝AR sin43°≈4．08 在Rt△BRL中，BL＝RL tan45．54°≈4．468 ∴AB＝BL﹣AL＝0．388≈0．39（km） ∴速度为0．39km/s 【综合拓展类作业】 7. 如图，广场上有一个充满氢气的气球，被广告条拽着悬在空中，甲、乙二人分别从，处看气球的仰角分别是、，点与点的高度差为米，水平距离为米，的高度为米，请问此气球离地面的高度是多少？结果保留到米，参考数据： 解：设米 ∵ ， ∴ ， ∴ ， 在中， ∵ ， ∴ ，， ∴ 米， ∴ 米
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，为了测得电视塔的高度，在处用高为米的测角仪，测得电视塔顶端的仰角为，再向电视塔方向前进米达到处，又测得电视塔顶端的仰角为，则这个电视塔的高度（单位：米）为（ C ） A. B. C. D. 2.某校研究性学习小组测量学校旗杆的高度，如图在教学楼一楼处测得旗杆顶部的仰角为，在教学楼三楼处测得旗杆顶部的仰角为，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知米，则旗杆的高度为（ A ） A.米 B.米 C.米 D.米 第1题 第2题 3. 一船向东航行，上午时，在灯塔的西南海里的处，上午时到达这灯塔的正南方向处，则这船航行的速度是 海里/小时． 4．如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，且AM=100海里．那么该船继续航行 海里可使渔船到达离灯塔距离最近的位置 5．如图，无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，如果无人机距地面高度CD为90米，点A、D、B在同一水平直线上，则A、B两点间的距离是米．（结果保留根号） 选做题： 6.胡老师散步途径，，，四地，如图，其中，，三地在同一直线上，地在地北偏东方向，在地正北方向，在地北偏西方向，地在地北偏东方向，、两地相距．问奥运圣火从地传到地的路程（即的路程）大约是多少？（最后结果保留整数，参考数据：，） 解：过作于． 依题意，，． 在中，， 在中，， ， ∴． ∵， ∴， ∴． 又， ∴， ∴，即， 解得：，． ∴奥运圣火从地到地的路程是． 【综合拓展类作业】 7.如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD＝13米，坡比DE：EC＝5：12，高为DE，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为64°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中A、C、E在同一直线上． （1）求斜坡CD的高度DE； （2）求大楼AB的高度；（参考数据：sin64°≈0．9，tan64°≈2）． 解：（1）∵在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD＝13米，坡度为5：12， ∴＝， 设DE＝5x米，则EC＝12x米， ∴（5x）2+（12x）2＝132， 解得，x＝1， ∴5x＝5，12x＝12， 即DE＝5米，EC＝12米， 故斜坡CD的高度DE是5米； （2）∵tan64°＝，tan45°＝，DE＝5米，CE＝12米， ∴2＝，1＝， 解得，AB＝34米，AC＝17米， 即大楼AB的高度是34米．
教学反思
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学 科 数学 年 级 九 设计者 尹坚
教材版本 北师大版 册、章 下册 第一章
课标要求 了解锐角三角函数的概念，能够正确运用正切、正弦、余弦表示直角三角形两边的比，记忆特殊角的正切、正弦、余弦的值，并会根据特殊角的函数值说出特殊角的度数。能够正确的使用计算器计算锐角的三角函数值，由锐角的函数值求出该锐角，理解直角三角形的边与边之间的关系、角与角之间的关系和边与角之间的关系，会用勾股定理、直角三角形两锐角互余以及锐角三角函数值解直角三角形，会用直角三角形有关知识解决实际问题。通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化和对于思想，通过解直角三角形的学习，体会数学在解决生活实际问题中的作用。
内容分析 本章内容包括：锐角三角函数正切、正弦、余弦的概念；利用锐角三角函数解直角三角形。锐角三角函数为解直角三角形提供了有效的工具，解直角三角形在实际问题中广泛运用，也为锐角三角函数与实际联系的机会，研究三角函数的基础是相似三角形的的一些结论。解直角三角形主要依赖于锐角三角函数和勾股定理等内容，因此勾股定理和三角形相似是学习锐角三角函数的基础。本章重点是锐角三角函数的解直角三角形，锐角三角函数既是本章学习的重点，也是本章学习的关键。难点在于锐角三角函数的概念反映角度与函数值之间的对应关系，这种对应关系以及用符号sinA、cosA、tanA等，学生以前没有接触过，因此给学习学习带来一定的难度。
学情分析 我们以及学习了直角三角形两个重要性质：在直角三角形中两锐角互余，在直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。以及函数的一些知识：一次函数、二次函数、反比例函数，这些都是学习本章知识的基础，相似是的知识与本章练习特别紧密，它诠释了锐角三角函数的合理性。考虑到学生的认知水平和思维高度，学生对理解锐角三角函数有一定的困难，因为他和以前学过的函数有点不同，它反映的不是数量与数量之间的关系，而是反映数量与角度之间的对应关系。
单元目标 教学目标能力目标1、了解锐角三角函数的概念，能正确运用sinA、cosA、tanA表示直角三角形两边的比。2、掌握30°，45°，60°正切、正弦、余弦的函数值，会根据特殊角的函数值说出角的度数。3、会用计算机计算已知锐角求它的函数值，由已知的函数值求出角的度数。4、理解直角三角形边与边、角与角、边与角的关系，解直角三角形。5、会用解直角三角形的方法解决生活中的实际问题。过程与方法经历锐角三角函数的学习，体会数学问题的一般方法和类比方法。经历解直角三角形的学习，体会数学问题模型化和转化的数学思想。情感态度与价值观通过锐角三角函数的学习，体会函数的变化与对应思想。通过解决日常生活中的实际问题，体会数学在日常生活中的运用。通过小组合作学习，培养主动参与、勇于创新的探究精神。在解决问题的过程中，引发学生的学习需求，主动参与学习，体验学习的付出与收获。教学重点、难点对锐角三角函数的理解。灵活运用特殊的三角函数值。将实际问题转化为数学问题。灵活运用三角函数解决实际问题
单元知识结构框架及课时安排 （二）课时安排课时编号单元主要内容课时数11.1锐角三角函数（正切）121.1锐角三角函数（正弦和余弦）131.2特殊三角函数值141.3三角函数的计算151.4解直角三角形161.5三角函数的应用171.6利用三角函数测高18回顾与反思1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务1.1锐角三角函数（正切）1．经历探索刻画梯子倾斜程度的过程，理解正切的概念，感受正切与现实生活的联系.2．了解坡度、坡角等概念，并能用正切进行简单的计算．3．逐步学会利用数形结合、从特殊到一般、转化等数学思想分析问题和解决问题.1、学生回忆并回答问题.2、让学生独立思考,尽情地发表自己的看法,而后教师根据学生的想法给予点评.3、学生思考探究梯子的倾斜程度与什么有关。4、理解正切函数的几点说明。5、理解山坡的坡度i(即tanA)解决那一个自动扶梯比较陡的问题.环节一：温故知新环节二：问题导入环节三：探究梯子的倾斜程度与什么有关（正切函数）1.1锐角三角函数（正弦和余弦）1.理解锐角正弦、余弦的意义，并能运用sinA、cosA表示直角三角形中两边的比。 能根据正弦、余弦概念正确进行计算。2.经历探索直角三角形中的边与角的关系，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力。3.在主动参与探索概念的过程中，发展学生的合情推理能力和合作交流、探究发现的意识。培养学生独立思考的习惯以及使学生获得成功的体验，建立自信心。1.学生回忆并回答问题。2、让学生独立思考,尽情地发表自己的看法,而后教师根据学生的想法给予点评.3、先让学生独立思考，教师再根据学生的完全情况确定评讲方法.4、小组合作探究，运用三角函数解决问题。环节一：温故知新。环节二：问题导入。环节三：正弦和余弦。环节四：典例分析。1.2特殊三角函数值1．经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理．进一步体会三角函数的意义．2．能够进行30°，45°，60°角的三角函数值的计算．3．经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析、发现的能力．培养学生把实际问题转化为数学问题的能力．4．积极参与数学活动，对数学产生好奇心．培养学生独立思考问题的习惯．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心1.学生回忆并回答问题。2.让学生独立思考,尽情地发表自己的意见，而后教师根据学生的想法给予点评.3.根据教师讲解30°的三角函数值，学生先思考，60°，45°撒娇函数中，2、交流思考结果交流，最后归纳整理成特殊三角函数值表。4.学生观察思考，然后根据学生做题，然后选两名同学到黑板上板书.最后多媒体出示完整解题过程，给学生留半分钟进行思考，纠错。环节一：温故知新。环节二：问题导入。环节三：探究特殊角三角函数值。环节四：典例分析。1.3 三角函数的计算1．经历用计算器由已知锐角求三角函数的过程，进一步体会三角函数的意义。2．能够用计算器进行有关三角函数值的计算。3．能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题，提高用现代工具解决实际问题的能力。4．发现实际的问题中的边角关系，提高学生有条理地思考和表达的能力1、学生根据教师提出的问题逐个思考并回答。2、学生思考问题是生活问题数学化。3、学生用计算机计sin16°;cos64°,ttan85°,4、利用计算机计算sin16°和SinA=0.25,求∠A的度数环节一：温故知新。环节二：问题导入。环节三：由计算机计算三角函数值。环节四：已知三角函数的值，求角的度数。1.4解直角三角形1.让学生理解直角三角形中除直角外，另外五个元素的关系；2.会利用勾股定理，直角三角形两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。3.通过利用勾股定理，直角三角形两锐角互余及锐角三角函数探究“解直角三角形至少需要知道几个元素”的过程，培养学生分析问题的能力，向学生渗透分类讨论的数学思想和数学方法，从而提高学生分析问题、解决问题的能力。4.在解直角三角形的过程中渗透数形结合的思想，提高解直角三角形的能力；在探究“解直角三角形至少需要知道几个元素”的过程培养学生严谨的学习习惯和解决问题的能力。1、思考、回顾、归纳总结2、讨论三角形6个元素除直角外还需要几个已知条件，才能求出其他元素。3、学生试着解决例题1、2、3，教师指导规范答题，并展示优秀的作品。环节一：温故知新。环节二：探究新知。1.5三角函数的应用1、经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用．2、经历从实际情境中抽象出数学基本图形和数学关系的过程，感受“模型、抽象”在锐角三角函数中的应用，积累数学建模的经验.3、在解决具体问题过程中，体会数与形之间的联系，感悟数学思想，发展应用意识，能有条理地、清晰地阐述观点，对数字结果的意义进行说明.4、通过合作学习，激发学生的求知欲，使其敢于发表自己的想法，敢于质疑，养成独立思考、合作交流的学习习惯.1、学生回顾知识。2、对出示的6个问题小组讨论，形成解决问题的策略。3、同学们对此问题独立思考，能确定解答的方案，不理解的地方要积极地和同学、教师交流，从而释惑解疑。4、学生分组探究下列问题，并推选该组的学生到黑板进行展示自己的解答过程环节一：温故知新。环节二：活动探究。环节三：探究新知环节四：典例精析1.6利用三角函数测高1．能够根据三角函数测高的原理制定测量方案，能够制作测倾器并掌握测倾器测角的方法。2．能综合应用直角三角形的边角关系的知识解决实际问题。3．经历制作测倾器的过程，提高学生数学动手能力，并会对仪器进行调整，对测量结果进行矫正，从而使测量结果符合实际。经历策划测量方案的过程，提高数学应用能力和综合分析能力。4.能够主动积极地思考，积极地投入到数学活动中去，提高数学学习的兴趣，培养不怕困难的品质，在活动中发展合作意识和科学精神。理解测量的方法。建立数学模型。用代数式表示所测量的物体高度。环节一：情景引入。环节二：活动探究。环节三：建立数学模型。回顾与反思1．理解锐角三角函数的概念。2．会计算含30°，45°，60°角的三角函数值得问题。3．能够运用三角函数解直角三角形，并解决与直角三角形有关的实际问题，培养学生分析问题和解决问题的能力。4．体会数形之间的联系，会利用数形结合的思想 问题和解决问题。1.回顾本章知识的主要内容。2.根据教师所提问题，逐步回顾每个知识点的内容，独立思考小组活动相结合的形式完成这个环节。3.学生解决3个典例，对于学困生教师适当点拨。环节一：知识框架。环节二：知识梳理。环节三：典例分析。
《直角三角形的边角关系》单元教学设计
活动一；温故知新
活动二；问题导入
任务一 1.1锐角三角函数(正切）
活动三；探究正切函数
直角三角形的边角关系
活动一；温故知新
活动二；情景导入
任务二 1.1锐角三角函数(正弦和余弦）
活动三；探究正弦和余弦
活动一；温故知新
活动二；情景导入
任务三 1.2特殊三角函数值
活动三；探究特殊角三角函数值
活动四；典例分析
活动一；温故知新
任务四 1.3三角函数的计算
活动二；情景导入
活动三；计算机计算三角函数的值
直角三角形的边角关系
活动四；已知三角函数的值，求角的度数
活动一；温故知新
任务五 1.4 解直角三角形
活动二；探究新知
活动一；温故知新
任务六 1.5三角函数的应用
活动二；活动探究
活动三；探究新知
活动四；典例精析
活动一；情景导入
任务七 1.6利用三角函数测高
活动二；测量活动
活动三；建立模型
活动一；知识框架
任务八 回顾与反思
活动二；知识梳理
活动三；典例分析
上海东方明珠电视塔
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