(共31张PPT)
直角三角形的边角关系
回顾与反思
北师大版九年级上册
教材分析
本节课是北师大版九年级下第一章《直角三角形的边角关系》的回顾与思考，主要是让学生熟练掌握本章各知识点之间的关系并能解决简单的实际问题，同时逐步渗透“转化思想、数形结合思想、方程思想、从特殊到一般的思想、数学的建模思想.”加深学生对本章知识的理解，提升学生应用本章知识解决实际问题的能力.为后面高中继续学习三角函数的知识奠定基础。
教学目标
1．理解锐角三角函数的概念。
2．会计算含30°，45°，60°角的三角函数值得问题。
3．能够运用三角函数解直角三角形，并解决与直角三角形有关的实际问题，培养学生分析问题和解决问题的能力。
4．体会数形之间的联系，会利用数形结合的思想 问题和解决问题。
知识框架
c
a
b
A
B
C
锐角三角函数
特殊角三角函数
解直角三角形
三角函数的应用
知识梳理
一、锐角三角函数
1.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．
(2)∠A的余弦：cosA＝ ＝ ；
(3)∠A的正切：tanA＝ ＝ .
知识梳理
2.梯子的倾斜程度与tanA、sinA和cosA的关系：
tanA的值越大，梯子越陡;
sinA的值越大，梯子越陡;
cosA的值越小，梯子越陡.
3.锐角三角函数的增减性：
当角度在0°～90°之间变化时，正弦值和正切值随着角度的增大（或减小）而 _______ ；
余弦值随着角度的增大（或减小）而 _______
增大（或减小）
减小（或增大）
知识梳理
二、特殊角的三角函数
知识梳理
三、解直角三角形
.解直角三角形的依据
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B,∠C的对边．
三边关系： ；
三角关系： ；
边角关系：sinA＝cosB＝ ，cosA＝sinB＝ ，
tanA＝ ， tanB＝.
a2＋b2＝c2
∠A＝90°－∠B
知识梳理
(2)直角三角形可解的条件和解法
条件：解直角三角形时知道其中的2个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余的3个未知元素．
解法：①一边一锐角，先由两锐角互余关系求出另一锐角；知斜边，再用正弦(或余弦)求另两边；知直角边用正切求另一直角边，再用正弦或勾股定理求斜边；②知两边：先用勾股定理求另一边，再用边角关系求锐角；③斜三角形问题可通过添加适当的辅助线转化为解直角三角形问题．
知识梳理
四、锐角三角函数的计算
第一步：按计算器 、 、 键，
sin
tan
cos
第二步：输入角度值，
屏幕显示结果.
（有的计算器是先输入角度再按函数名称键）
1.利用计算器求三角函数值．
2.利用计算器求锐角的度数．
第一步：按计算器
SHIFT
sin
cos
tan
第二步：然后输入函数值
屏幕显示答案（按实际需要进行精确）
还可以利用 键，进一步得到角的度数.
°＇″
知识梳理
知识梳理
五、三角函数的应用
1.仰角和俯角在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
2.方向角
以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于900的角，叫做方向角.如图所示：
知识梳理
3.坡角
（1）坡角,坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α .
(2）坡度（或坡比）如图所示，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面的坡度（或坡比），即 ,坡度通常写成1∶m的形式，如1∶6.
（3）坡度与坡角的关系
知识梳理
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
知识梳理
六、利用三角函数测高
1. 测量底部可以到达的物体的高度步骤：
(1)在测点A安置测倾器，测得M的仰角
∠MCE=α；
(3)量出测倾器的高度AC=a，可求出MN
的高度.MN=ME+EN=l·tanα+a
(2)量出测点A到物体底部N的水平距离
AN=l；
典例分析
例1 如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼AB的高度。小刚在D处用高1.5m的测角仪CD，测得教学楼顶端A的仰角为30°，然后向教学楼前进40m到达EF，又测得教学楼顶端A的仰角为60°。求这幢教学楼AB的高度。
[解析] 设CF与AB交于点G，在Rt△AFG中，用AG表示出FG，在Rt△ACG中，用AG表示出CG，然后根据CG－FG＝40，可求AG=
(20＋1.5)m.
例2 为建设“宜居宜业宜游”山水园林式城市，内江市正在对城区沱江河段进行区域性景观打造，某施工单位为测得某河段的宽度，测量员先在河对岸岸边取一点A，再在河这边沿河边取两点B，C，在B处测得点A在北偏东30°方向上，在点C处测得点A在西北方向上，量得BC长为200米。求小河的宽度（结果保留根号）。
[解析] 过点A作AD⊥BC于点D，
根据∠CAD＝45°，可得BD＝BC－CD＝200－AD.
在Rt△ABD中，根据tan∠ABD＝AD/BD ，可得AD＝BD·tan∠ABD＝(200－AD)·tan60°
＝ (200－AD)，列方程AD＋ AD＝200 ，解出AD=．
(300－100 )米
典例分析
例题3. 已知，如图，D是△ABC中BC边的中点，∠BAD=90°，tanB= 求sin∠DAC.
解：过D作DE∥AB交AC于E，则∠ADE=∠BAD=90°
设AD=2k，AB=3k；
∵D是△ABC中BC边的中点，
在Rt△ADE中，
课堂练习
【知识技能类作业】必做题
D
B
A
A
课堂练习
5．比较大小：sin57°_____tan57°．
6．在RT△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinA= ，那么AC=_____．
7．如图，点M是Rt△ABC的斜边AB的中点，连接CM，作线段
CM的垂直平分线，分别交边CB和CA的延长线于点D、E，若
∠C=90°，AB=20，tanB= ，则DE=________．
8.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为α，则tanα的值等于____
<
8
14.5
0.75
课堂练习
【知识技能类作业】
选做题：
7.钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A，B，B船在A船的正东方向，且两船保持20 n mile的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一艘我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少.(结果保留根号)
课堂练习
课堂练习
【综合实践类作业】
8.某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD.如图，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为α，无人机沿水平线AF方向继续飞行50 m至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30°.线段AM的长为无人机距地面的铅垂高度，点M，C，D在同一条直线上.其中tan α＝2，MC＝50 m.
(1)求无人机的飞行高度AM；(结果保留根号)
(2)求河流的宽度CD.(结果精确到1 m，
课堂练习
课堂总结
通过本节课的学习，你有哪些收获？
作业布置
【知识技能类作业 必做题】
1. 如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A＝35°，则直角边BC的长是( A )
A. m·sin 35° B. m·cos 35° C. D.
2. 河堤横断面如图所示，堤高BC＝5 m，迎水坡AB的坡比为1∶ ，则AC的长是( B )
A. 10 m B. 5 m C. 15 m D. 10 m
3. 已知∠A为锐角，且tan A＝ ，那么下列判断正确的是( B )
A. 0＜∠A＜30° B. 30°＜∠A＜45° C. 45°＜∠A＜60° D. 60°＜∠A＜90°
4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，那么sin A＋cos B的值为( A )
A. 1 B. C. D.
5.如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20 cm，宽度为30 cm，那么斜面AB的
坡度为 .
6. 如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tan A＝，
则CD＝ .
作业布置
【知识技能类作业 必做题】
7.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△ABC的周长．（结果保留根号）
作业布置
【综合实践类作业】
8．在数学活动课上，九年级（1）班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树（如图）的高度，设计的方案及测量数据如下：(1)在大树前的平地上选择一点A，测得由点A看大树顶端C的仰角为35°；(2)在点A和大树之间选择一点B（A，B，D在同一直线上），测得由点B看大树顶端C的仰角恰好为45°；(3)量出A，B两点间的距离为4.5米.请你根据以上数据求出大树CD的高度.（精确到0.1米）（可能用到的参考数据sin35°≈0.57cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）
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学 科 数学 年 级 九 设计者 尹坚
教材版本 北师大版 册、章 下册 第一章
课标要求 了解锐角三角函数的概念，能够正确运用正切、正弦、余弦表示直角三角形两边的比，记忆特殊角的正切、正弦、余弦的值，并会根据特殊角的函数值说出特殊角的度数。能够正确的使用计算器计算锐角的三角函数值，由锐角的函数值求出该锐角，理解直角三角形的边与边之间的关系、角与角之间的关系和边与角之间的关系，会用勾股定理、直角三角形两锐角互余以及锐角三角函数值解直角三角形，会用直角三角形有关知识解决实际问题。通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化和对于思想，通过解直角三角形的学习，体会数学在解决生活实际问题中的作用。
内容分析 本章内容包括：锐角三角函数正切、正弦、余弦的概念；利用锐角三角函数解直角三角形。锐角三角函数为解直角三角形提供了有效的工具，解直角三角形在实际问题中广泛运用，也为锐角三角函数与实际联系的机会，研究三角函数的基础是相似三角形的的一些结论。解直角三角形主要依赖于锐角三角函数和勾股定理等内容，因此勾股定理和三角形相似是学习锐角三角函数的基础。本章重点是锐角三角函数的解直角三角形，锐角三角函数既是本章学习的重点，也是本章学习的关键。难点在于锐角三角函数的概念反映角度与函数值之间的对应关系，这种对应关系以及用符号sinA、cosA、tanA等，学生以前没有接触过，因此给学习学习带来一定的难度。
学情分析 我们以及学习了直角三角形两个重要性质：在直角三角形中两锐角互余，在直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。以及函数的一些知识：一次函数、二次函数、反比例函数，这些都是学习本章知识的基础，相似是的知识与本章练习特别紧密，它诠释了锐角三角函数的合理性。考虑到学生的认知水平和思维高度，学生对理解锐角三角函数有一定的困难，因为他和以前学过的函数有点不同，它反映的不是数量与数量之间的关系，而是反映数量与角度之间的对应关系。
单元目标 教学目标能力目标1、了解锐角三角函数的概念，能正确运用sinA、cosA、tanA表示直角三角形两边的比。2、掌握30°，45°，60°正切、正弦、余弦的函数值，会根据特殊角的函数值说出角的度数。3、会用计算机计算已知锐角求它的函数值，由已知的函数值求出角的度数。4、理解直角三角形边与边、角与角、边与角的关系，解直角三角形。5、会用解直角三角形的方法解决生活中的实际问题。过程与方法经历锐角三角函数的学习，体会数学问题的一般方法和类比方法。经历解直角三角形的学习，体会数学问题模型化和转化的数学思想。情感态度与价值观通过锐角三角函数的学习，体会函数的变化与对应思想。通过解决日常生活中的实际问题，体会数学在日常生活中的运用。通过小组合作学习，培养主动参与、勇于创新的探究精神。在解决问题的过程中，引发学生的学习需求，主动参与学习，体验学习的付出与收获。教学重点、难点对锐角三角函数的理解。灵活运用特殊的三角函数值。将实际问题转化为数学问题。灵活运用三角函数解决实际问题
单元知识结构框架及课时安排 （二）课时安排课时编号单元主要内容课时数11.1锐角三角函数（正切）121.1锐角三角函数（正弦和余弦）131.2特殊三角函数值141.3三角函数的计算151.4解直角三角形161.5三角函数的应用171.6利用三角函数测高18回顾与反思1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务1.1锐角三角函数（正切）1．经历探索刻画梯子倾斜程度的过程，理解正切的概念，感受正切与现实生活的联系.2．了解坡度、坡角等概念，并能用正切进行简单的计算．3．逐步学会利用数形结合、从特殊到一般、转化等数学思想分析问题和解决问题.1、学生回忆并回答问题.2、让学生独立思考,尽情地发表自己的看法,而后教师根据学生的想法给予点评.3、学生思考探究梯子的倾斜程度与什么有关。4、理解正切函数的几点说明。5、理解山坡的坡度i(即tanA)解决那一个自动扶梯比较陡的问题.环节一：温故知新环节二：问题导入环节三：探究梯子的倾斜程度与什么有关（正切函数）1.1锐角三角函数（正弦和余弦）1.理解锐角正弦、余弦的意义，并能运用sinA、cosA表示直角三角形中两边的比。 能根据正弦、余弦概念正确进行计算。2.经历探索直角三角形中的边与角的关系，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力。3.在主动参与探索概念的过程中，发展学生的合情推理能力和合作交流、探究发现的意识。培养学生独立思考的习惯以及使学生获得成功的体验，建立自信心。1.学生回忆并回答问题。2、让学生独立思考,尽情地发表自己的看法,而后教师根据学生的想法给予点评.3、先让学生独立思考，教师再根据学生的完全情况确定评讲方法.4、小组合作探究，运用三角函数解决问题。环节一：温故知新。环节二：问题导入。环节三：正弦和余弦。环节四：典例分析。1.2特殊三角函数值1．经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理．进一步体会三角函数的意义．2．能够进行30°，45°，60°角的三角函数值的计算．3．经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析、发现的能力．培养学生把实际问题转化为数学问题的能力．4．积极参与数学活动，对数学产生好奇心．培养学生独立思考问题的习惯．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心1.学生回忆并回答问题。2.让学生独立思考,尽情地发表自己的意见，而后教师根据学生的想法给予点评.3.根据教师讲解30°的三角函数值，学生先思考，60°，45°撒娇函数中，2、交流思考结果交流，最后归纳整理成特殊三角函数值表。4.学生观察思考，然后根据学生做题，然后选两名同学到黑板上板书.最后多媒体出示完整解题过程，给学生留半分钟进行思考，纠错。环节一：温故知新。环节二：问题导入。环节三：探究特殊角三角函数值。环节四：典例分析。1.3 三角函数的计算1．经历用计算器由已知锐角求三角函数的过程，进一步体会三角函数的意义。2．能够用计算器进行有关三角函数值的计算。3．能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题，提高用现代工具解决实际问题的能力。4．发现实际的问题中的边角关系，提高学生有条理地思考和表达的能力1、学生根据教师提出的问题逐个思考并回答。2、学生思考问题是生活问题数学化。3、学生用计算机计sin16°;cos64°,ttan85°,4、利用计算机计算sin16°和SinA=0.25,求∠A的度数环节一：温故知新。环节二：问题导入。环节三：由计算机计算三角函数值。环节四：已知三角函数的值，求角的度数。1.4解直角三角形1.让学生理解直角三角形中除直角外，另外五个元素的关系；2.会利用勾股定理，直角三角形两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。3.通过利用勾股定理，直角三角形两锐角互余及锐角三角函数探究“解直角三角形至少需要知道几个元素”的过程，培养学生分析问题的能力，向学生渗透分类讨论的数学思想和数学方法，从而提高学生分析问题、解决问题的能力。4.在解直角三角形的过程中渗透数形结合的思想，提高解直角三角形的能力；在探究“解直角三角形至少需要知道几个元素”的过程培养学生严谨的学习习惯和解决问题的能力。1、思考、回顾、归纳总结2、讨论三角形6个元素除直角外还需要几个已知条件，才能求出其他元素。3、学生试着解决例题1、2、3，教师指导规范答题，并展示优秀的作品。环节一：温故知新。环节二：探究新知。1.5三角函数的应用1、经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用．2、经历从实际情境中抽象出数学基本图形和数学关系的过程，感受“模型、抽象”在锐角三角函数中的应用，积累数学建模的经验.3、在解决具体问题过程中，体会数与形之间的联系，感悟数学思想，发展应用意识，能有条理地、清晰地阐述观点，对数字结果的意义进行说明.4、通过合作学习，激发学生的求知欲，使其敢于发表自己的想法，敢于质疑，养成独立思考、合作交流的学习习惯.1、学生回顾知识。2、对出示的6个问题小组讨论，形成解决问题的策略。3、同学们对此问题独立思考，能确定解答的方案，不理解的地方要积极地和同学、教师交流，从而释惑解疑。4、学生分组探究下列问题，并推选该组的学生到黑板进行展示自己的解答过程环节一：温故知新。环节二：活动探究。环节三：探究新知环节四：典例精析1.6利用三角函数测高1．能够根据三角函数测高的原理制定测量方案，能够制作测倾器并掌握测倾器测角的方法。2．能综合应用直角三角形的边角关系的知识解决实际问题。3．经历制作测倾器的过程，提高学生数学动手能力，并会对仪器进行调整，对测量结果进行矫正，从而使测量结果符合实际。经历策划测量方案的过程，提高数学应用能力和综合分析能力。4.能够主动积极地思考，积极地投入到数学活动中去，提高数学学习的兴趣，培养不怕困难的品质，在活动中发展合作意识和科学精神。理解测量的方法。建立数学模型。用代数式表示所测量的物体高度。环节一：情景引入。环节二：活动探究。环节三：建立数学模型。回顾与反思1．理解锐角三角函数的概念。2．会计算含30°，45°，60°角的三角函数值得问题。3．能够运用三角函数解直角三角形，并解决与直角三角形有关的实际问题，培养学生分析问题和解决问题的能力。4．体会数形之间的联系，会利用数形结合的思想 问题和解决问题。1.回顾本章知识的主要内容。2.根据教师所提问题，逐步回顾每个知识点的内容，独立思考小组活动相结合的形式完成这个环节。3.学生解决3个典例，对于学困生教师适当点拨。环节一：知识框架。环节二：知识梳理。环节三：典例分析。
《直角三角形的边角关系》单元教学设计
活动一；温故知新
活动二；问题导入
任务一 1.1锐角三角函数(正切）
活动三；探究正切函数
直角三角形的边角关系
活动一；温故知新
活动二；情景导入
任务二 1.1锐角三角函数(正弦和余弦）
活动三；探究正弦和余弦
活动一；温故知新
活动二；情景导入
任务三 1.2特殊三角函数值
活动三；探究特殊角三角函数值
活动四；典例分析
活动一；温故知新
任务四 1.3三角函数的计算
活动二；情景导入
活动三；计算机计算三角函数的值
直角三角形的边角关系
活动四；已知三角函数的值，求角的度数
活动一；温故知新
任务五 1.4 解直角三角形
活动二；探究新知
活动一；温故知新
任务六 1.5三角函数的应用
活动二；活动探究
活动三；探究新知
活动四；典例精析
活动一；情景导入
任务七 1.6利用三角函数测高
活动二；测量活动
活动三；建立模型
活动一；知识框架
任务八 回顾与反思
活动二；知识梳理
活动三；典例分析
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九年级下册分课时教学设计
第一课《直角三角形边角关系 回顾与反思》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是北师大版九年级下第一章《直角三角形的边角关系》的回顾与思考，主要是让学生熟练掌握本章各知识点之间的关系并能解决简单的实际问题，同时逐步渗透“转化思想、数形结合思想、方程思想、从特殊到一般的思想、数学的建模思想.”加深学生对本章知识的理解，提升学生应用本章知识解决实际问题的能力.为后面高中继续学习三角函数的知识奠定基础。
学习者分析 学生在八年级已经学习了直角三角形的三边关系即勾股定理，和直角三角形两个锐角互余等知识，再此基础上，进一步利用三角函数表示直角三角形三边之间的关系，但锐角三角函数的概念比较抽象，理解有一定的难度。在此我们从生活中学生熟悉的梯子的倾斜程度入手，并用三角函数来描述，帮助学生容易理解概念，利用三角函数解决实际问题需要将实际问题抽象成数学模型，部分学生的能力还不够，需要教师的引导作用，还需进一步强化和练习。
教学目标 1．理解锐角三角函数的概念。 2．会计算含30°，45°，60°角的三角函数值得问题。 3．能够运用三角函数解直角三角形，并解决与直角三角形有关的实际问题，培养学生分析问题和解决问题的能力。 4．体会数形之间的联系，会利用数形结合的思想 问题和解决问题。
教学重点 掌握锐角三角函数的意义，熟练特殊角的三角函数值，并能用锐角三角函数解决实际问题，提高对知识的理解和应用能力.
教学难点 能把简单的实际问题抽象成数学模型，选择适当的三角函数解决问题，并及时地把有关知识上升为数学经验，形成个性化的学习技能.
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：知识框架； 教师活动1： 学生活动1： 回顾本章知识的主要内容活动意图说明： 唤醒学生记忆，自然过渡到知识梳理环节二：知识梳理教师活动2： 一、锐角三角函数 1.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边． 2.梯子的倾斜程度与tanA、sinA和cosA的关系： tanA的值越大，梯子越陡; sinA的值越大，梯子越陡; cosA的值越小，梯子越陡. 3.锐角三角函数的增减性： 当角度在0°～90°之间变化时，正弦值和正切值随着角度的增大（或减小）而 增加（或减少 ； 余弦值随着角度的增大（或减小）而 减少（或增加）。 二、特殊角的三角函数 三、解直角三角形 解直角三角形的依据 (1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B,∠C的对边． (2)直角三角形可解的条件和解法 条件：解直角三角形时知道其中的2个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余的3个未知元素． 解法：①一边一锐角，先由两锐角互余关系求出另一锐角；知斜边，再用正弦(或余弦)求另两边；知直角边用正切求另一直角边，再用正弦或勾股定理求斜边；②知两边：先用勾股定理求另一边，再用边角关系求锐角；③斜三角形问题可通过添加适当的辅助线转化为解直角三角形问题． 四、锐角三角函数的计算 1.利用计算器求三角函数值． 第一步：按计算器sin、cos、tan键，第二步：输入角度值， 屏幕显示结果.(有的计算器是先输入角度再按函数名称键） 利用计算器求锐角的度数． 第一步：按计算器SHIFT、sin、cos、tan 第二步：然后输入函数值 屏幕显示答案（按实际需要进行精确） 还可以利用 键，进一步得到角的度数. 五、三角函数的应用 1.仰角和俯角在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. 2.方向角 以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于900的角，叫做方向角.如图所示： 3.坡角 1）坡角,坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α . (2）坡度（或坡比）如图所示，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面的坡度（或坡比），即 h/L ,坡度通常写成1∶m的形式，如1∶6. （3）坡度与坡角的关系 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： 1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案． 六、利用三角函数测高 1. 测量底部可以到达的物体的高度步骤： (1)在测点A安置测倾器，测得M的仰角 ∠MCE=α； (2)量出测点A到物体底部N的水平距离 AN=L； (3)量出测倾器的高度AC=a，可求出MN的高度.MN=ME+EN=L·tanα+a学生活动2： 根据教师所提问题，逐步回顾每个知识点的内容，独立思考小组活动相结合的形式完成这个环节 活动意图说明： 以问题串的形式提出六个问题，复习对应的知识点。进一步让学生感受到数学与现实生活的紧密联系。环节三：典例分析教师活动3： 例1 如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼AB的高度。小刚在D处用高1.5m的测角仪CD，测得教学楼顶端A的仰角为30°，然后向教学楼前进40m到达EF，又测得教学楼顶端A的仰角为60°。求这幢教学楼AB的高度。 [解析] 设CF与AB交于点G，在Rt△AFG中，用AG表示出FG，在Rt△ACG中，用AG表示出CG，然后根据CG－FG＝40，可求AG= 例2 为建设“宜居宜业宜游”山水园林式城市，内江市正在对城区沱江河段进行区域性景观打造，某施工单位为测得某河段的宽度，测量员先在河对岸岸边取一点A，再在河这边沿河边取两点B，C，在B处测得点A在北偏东30°方向上，在点C处测得点A在西北方向上，量得BC长为200米。求小河的宽度（结果保留根号）。 [解析] 过点A作AD⊥BC于点D， 根据∠CAD＝45°，可得BD＝BC－CD＝200－AD. 在Rt△ABD中，根据tan∠ABD＝AD/BD ，可得AD＝BD·tan∠ABD＝(200－AD)·tan60°＝(200－AD)，列方程AD＋AD＝200 ， 解出AD=300-100． 例题3. 已知，如图，D是△ABC中BC边的中点，∠BAD=90°，tanB= 求sin∠DAC. 解：过D作DE∥AB交AC于E，则∠ADE=∠BAD=90° 设AD=2k，AB=3k；∵D是△ABC中BC边的中点，DE=K 在Rt△ADE中，AE=K 学生活动3： 学生解决3个典例，对于学困生教师适当点拨活动意图说明： 通过3个典例分析解直角三角的实际问题，让学生先讨论说思路，然后教师引导学生将实际问题抽象成数学模型.
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．在中，，，则的值是（ B ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，是边上的高，则下列选项中不能表示的是（ D ） A． B． C． D． 3．若某人沿坡角为α的斜坡前进100m，则他上升的最大高度是（A ） A．100sinαm B．m C．m D．100cosαm 4．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果BC=2，sinA=，那么AB的长是（ A ） A．3 B． C． D． 5．比较大小：sin57° < tan57°． 6．在RT△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinA= ，那么AC= 8． 7．如图，点M是Rt△ABC的斜边AB的中点，连接CM，作线段CM的垂直平分线，分别交边CB和CA的延长线于点D、E，若∠C=90°，AB=20，tanB= ，则DE=14.5． 8.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为α，则tanα的值等于 0.75 选做题： 9.钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A，B，B船在A船的正东方向，且两船保持20 n mile的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一艘我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少.(结果保留根号) 解：过点B作BD⊥AC于点D. 由题意可知∠BAC＝45°，∠ABC＝90°＋15°＝105°， ∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝30°. 在Rt△ABD中，BD＝AB·sin∠BAD＝20×＝10(n mile). 在Rt△BCD中，BC＝＝＝20(n mile). 答：此时船C与船B的距离是20n mile. 【综合拓展类作业】 10. 某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD.如图X1－18，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为α，无人机沿水平线AF方向继续飞行50 m至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30°.线段AM的长为无人机距地面的铅垂高度，点M，C，D在同一条直线上.其中tan α＝2，MC＝50m. (1)求无人机的飞行高度AM；(结果保留根号) (2)求河流的宽度CD.(结果精确到1 m，参考数据：≈1.41，≈1.73) 解：(1)，过点B作BN⊥MD，垂足为N. 由题意可知∠ACM＝α，∠BDM＝30°，AB＝MN＝50 m，AM＝BN. 在Rt△ACM中，tan∠ACM＝tanα＝2，MC＝50 m， ∴AM＝2MC＝100(m). 答：无人机的飞行高度AM为100 m. (2)在Rt△BND中， ∵tan∠BDN＝，即tan 30°＝. 解得DN＝300. ∴DM＝DN＋MN＝300＋50＝350(m). ∴CD＝DM－MC＝350－50≈264(m). 答：河流的宽度CD约为264 m.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1. 如图在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A＝35°，则直角边BC的长是( A ) A. m·sin 35° B. m·cos 35° C. D. 2. 河堤横断面如图X1－2所示，堤高BC＝5 m，迎水坡AB的坡比为1∶，则AC的长是( B ) A. 10 m B. 5 m C. 15 m D. 10 m 3. 已知∠A为锐角，且tan A＝，那么下列判断正确的是( B ) A. 0＜∠A＜30° B. 30°＜∠A＜45° C. 45°＜∠A＜60° D. 60°＜∠A＜90° 4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，那么sin A＋cos B的值为( A ) A. 1 B. C. D. 5 如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20 cm，宽度为30 cm，那么斜面AB的坡度为1∶1.5 如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tan A＝，则CD＝1.2 选做题： 7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△ABC的周长．（结果保留根号） 解：∵△ABD是等边三角形， ∴∠B=60°， ∵∠BAC=90°， ∴∠C=180°﹣90°﹣60°=30°， ∴BC=2AB=4， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC===2， ∴△ABC的周长是AC+BC+AB=2+4+2=6+2． 答：△ABC的周长是6+2． 【综合拓展类作业】 8．在数学活动课上，九年级（1）班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树（如图）的高度，设计的方案及测量数据如下：(1)在大树前的平地上选择一点A，测得由点A看大树顶端C的仰角为35°；(2)在点A和大树之间选择一点B（A，B，D在同一直线上），测得由点B看大树顶端C的仰角恰好为45°；(3)量出A，B两点间的距离为4.5米.请你根据以上数据求出大树CD的高度.（精确到0.1米）（可能用到的参考数据sin35°≈0.57cos35°≈0.82，tan35°≈0.70） 解：设CD=x米， ∵∠DBC=45°， ∴DB=CD=x，AD=x+4.5， 在Rt△ACD中，tan∠A=， ∴tan35°=， 解得：x=10.5， 所以大树的高为10.5米．
教学反思
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